Cofidece Iterval Ara Fariza Statistika Iferesial Populasi Sampel Simpulka (estimasi) tetag parameter Medapatka statistik Estimasi: estimasi titik, estimasi iterval, uji hipotesa 2 1
Proses Estimasi Populasi Mea, µ, tidak diketahui Sampel Radom Mea X = 50 Saya 95% cofidet bahwa µ atara 40 & 60. Sampel 3 CARA MENDUGA HARGA PARAMETER Harga parameter dapat diestimasika/ diduga dega dua cara, yaki : 1. Poit estimatio (Pedugaa Titik) 2. Iterval estimatio (Pedugaa Iterval). 1. Poit estimatio (Pedugaa Titik) adalah suatu ilai (suatu titik) yag diguaka utuk meduga suatu parameter populasi. 2. Iterval estimatio (Pedugaa Iterval) adalah suatu iterval yag meyataka selag dimaa suatu parameter populasi mugki berada 2
Poit Estimatio Estimasi Parameter Populasi Dega statistik Sample Mea Proporsi Varia Differece µ p 2 µ 1 µ 2 X X P S 2 S X 1 2 5 Iterval Estimatio Berupa ilai jagkaua Memberika variasi pertimbaga dalam statistik sampel dari sampel ke sampel Berdasarka observasi dari 1 sampel Memberika iformasi tetag kedekata parameter populasi yag tidak diketahui Dikodisika dalam level cofidece Tidak perah 100% percaya 6 3
Estimasi Cofidece Iterval Cofidece Iterval Mea Proporsi diketahui Tidak diketahui 7 Cofidece Iterval utuk µ ( diketahui) Asumsi Stadar deviasi populasi diketahui Populasi berdistribusi ormal Jika populasi tidak ormal, guaka sampel yag besar Estimasi Cofidece iterval X Z µ X + Z α / 2 α / 2 8 4
Eleme Estimasi Cofidece Iterval Level cofidece (Tigkat kepercayaa) Kepercayaa dalam iterval yag berisi parameter populasi tak diketahui Presisi (jagkaua) Kedekata pada parameter yag tidak diketahui Biaya Biaya diguaka utuk meetuka ukura sampel 9 Ditetuka dega Artiya : Level Cofidece P X Z 100( 1 α )% X + Z = 100(1 α / 2 µ α / 2 α Iterpretasi frekuesi relatif Dalam proses yag lama, 100( 1 α )% dari semua cofidece iterval yag dapat dibagu aka berisi parameter yag tidak diketahui Iterval tertetu baik yag berisi parameter maupu yag tidak berisi parameter Tidak ada probabilitas yag terlibat dalam iterval tertetu )% 10 5
Iterval da Level Cofidece Distribusi Samplig dari Mea _ µ Z α / 2 X Iterval dari X Z X s/d X+ Z X α / 2 1 α µ = µ X Cofidece Iterval X α / 2 X µ + Z α / 2 X ( α ) 100 1 % dari iterval terbetuk berisi µ; buka 100 α% 11 Faktor yag Mempegaruhi Besar Iterval (Presisi) Variasi Data Diukur dega Ukura sampel = X Level cofidece 100 1 α % ( ) Iterval dari X - Z x s/d X + Z x 1984-1994 T/Maker Co. 12 6
Nilai Cofidece Iterval Cofidece Iterval 99%, Z = ± 2.575 Cofidece Iterval 95%, Z = ± 1.96 Cofidece Iterval 90%, Z = ± 1.645 Cofidece Iterval 80%, Z = ± 1.28 Margi Error E = Z 13 Cotoh 1 Waktu servis drive-through restora Burger Kig dihitug secara radom dari 52 kosume. Waktu layaa rata-rata 181.3 detik da stadar deviasi 82.2 detik. Berapa estimasi mea populasi utuk tigkat kepercayaa 95%? Peyelesaia : X Z E = Z / 2 µ X + Zα / 82.2 = 1.96 = 22.34 52 α 2 181.3 22.34 µ 181.3 + 22.34 158.96 µ 203.64 14 7
Cotoh 2 Waktu servis drive-through restora Burger Kig dihitug secara radom dari 52 kosume. Waktu layaa rata-rata 181.3 detik da stadar deviasi 82.2 detik. Berapa estimasi mea populasi utuk tigkat kepercayaa 99%? Peyelesaia : X Z E = Z / 2 µ X + Zα / 82.2 = 2.575 = 29.35 52 α 2 181.3 29.35 µ 181.3 + 29.35 151.95 µ 210.65 15 Meetuka Ukura Sampel (Biaya) Terlalu Besar: Membutuhka terlalu bayak sumber daya Terlalu kecil: Tidak dapat megerjaka pekerjaa 16 8
Meetuka Ukura Sampel Utuk Mea Berapa ukura sampel diperluka mecapai kepercayaa 90% kebeara dalam ± 5? Misalya stadard deviasi 45. ( ) 2 2 2 2 Z 1.645 45 = = = 219.2 220 2 2 Error 5 Pembulata 17 Bila Stadar Deviasi Populasi Tidak Diketahui Jika stadar deviasi dari populasi diketahui atau 30, maka diguaka tabel ormal utuk membetuk cofidece iterval dari mea populasi Bila <30, guaka distribusi-t (atau t-table) utuk membetuk cofidece iterval dari mea populasi 18 9
Cofidece Iterval utuk µ ( Tidak diketahui) Asumsi Stadar deviasi populasi tidak diketahui Populasi berdistribusi ormal Jika populasi tidak ormal, guaka sampel besar Guaka distribusi Studet s t Estimasi Cofidece Iterval S X t µ X + t α / 2, 1 α / 2, 1 S 19 Distribusi Studet s t Normal Stadard Bell-Shaped Symmetric Fatter Tails t (df = 13) t (df = 5) 0 Z t 20 10
Tigkat Kebebasa (df ) Jumlah observasi yag berilai bebas setelah mea dihitug Cotoh Mea dari 3 ilai adalah 2 X X X 1 2 3 = 1 (atau sembarag) = 2 (atau sembarag) = 3 (tidak dapat berubah) Tigkat kebebasa = -1 = 3-1 = 2 21 Tabel Studet s t Area Atas belakag df.25.10.05 1 1.000 3.078 6.314 2 0.817 1.886 2.920 Mis: = 3 df = - 1 = 2 α =.10 α/2 =.05 α / 2 =.05 3 0.765 1.638 2.353 Nilai t 0 2.920 t 22 11
Cotoh 1 Sampel radom N =25 mempuyai X =50 da S =8. Tetuka estimasi cofidece iterval 95% utuk µ S S X tα / 2, 1 µ X + tα / 2, 1 8 8 50 2.0639 µ 50 + 2.0639 25 25 46.69 µ 53.30 Microsoft Excel Worksheet 23 Cotoh 2 Dalam peilaia mata kuliah statistik diambil 16 ilai mahasiswa dega rata-rata sampel 8.33 da stadar deviasi 2. Berapa estimasi mea populasi utuk tigkat kepercayaa 95% Peyelesaia : s s X tα / 2, 1 µ X + tα / 2, 1 S 2 E = t15 = (2.132) = 1.07 16 8.33 1.07 µ 8.33 + 1.07 7.26 µ 9.40 24 12
Estimasi Cofidece Iterval utuk Proporsi Asumsi Kemucula dua kategori Populasi megikuti distribusi biomial Perkiraa ormal dapat diguaka jika da ( 1 p) 5 Estimasi Cofidece iterval ( 1 ) ( 1 ) p p p p ps Z p p + Z Margi Error : ps (1 ps E = Zα / 2 S S S S α / 2 S α / 2 p 5 25 Cotoh 1 Hasil survey kelas 2 TI adalah sebagai berikut: Apakah ada megguaka iteret utuk membeli lagu CD? Ya=4, Tidak=34, Total=38 Apakah ada megguaka iteret utuk dowload musik? Ya=32, Tidak=6, Total=38 Apakah ada megguaka iteret utuk membeli buku? Ya=6, Tidak=32, Total=38 Berapa mea populasi utuk tigkat kepercayaa 95%? 26 13
95% proporsi mahasiswa yag megguaka iteret utuk membeli CD musik : Data : Ya=4, Tidak=34, Total=38 ( 1 ) ( 1 ) p p p p ps Z p p + Z S S S S α / 2 S α / 2 (4 / 38)(1 4 / 38) 0.105(0.895) E = 1.96 = 1.96 = 0.97 38 38 0.105 0.97 p 0.105 + 0.97 0.008 p 0.202 27 95% proporsi mahasiswa yag megguaka iteret utuk dowload musik : Data : Ya=32, Tidak=6, Total=38 (32 / 38)(1 32 / 38) 0.842(0.158) E = 1.96 = 1.96 = 0.116 38 38 0.84 0.116 p 0.84 + 0.116 0.726 p 0.958 28 14
95% proporsi mahasiswa yag megguaka iteret utuk membeli buku : Data : Ya=6, Tidak=32, Total=38 (6 / 38)(1 6 / 38) 0.158(0.842) E = 1.96 = 1.96 = 0.116 38 38 0.158 0.116 p 0.158 + 0.116 0.042 p 0.274 29 Cotoh 2 Sampel radom dari 400 pemilih meujukka 32 pemilih memilih Kadidat A. Tetuka estimasi cofidece iterval 95% utuk p. ( 1 ) ( 1 ) p p p p ps Z p p + Z s s s s α / 2 s α / 2 ( ) ( ).08 1.08.08 1.08.08 1.96 p.08 + 1.96 400 400.053 p.107 Microsoft Excel Worksheet 30 15
Meetuka Ukura Sampel utuk Proporsi Dari 1000 populasi, dipilih 100 secara radom yag rusak. Berapa ukura sampel yag dibutuhka utuk cofidece 90% dalam ± 5%? ( 1 p) 1.645 ( 0.3)( 0.7) Z 2 p 2 = = Error 0.05 = 227.3 228 2 2 Microsoft Excel Worksheet Pembulata 31 SOAL LATIHAN 1. 144 karyawa perusahaa yag dipilih secara acak ditaya megeai besarya pegeluara per hari utuk biaya hidup. Teryata rata rata pegeluara sebesar Rp. 20.000,- dega simpaga baku yag diketahui sebesar Rp. 6.000,-. Hituglah : a. Pedugaa iterval rata rata pegeluara dega tk keyakia 99% b. Pedugaa iterval rata rata pegeluara dega tk keyakia 90% c. Iterpretasika hasil yag didapat 2. Suatu biro riset igi megestimasi rata rata pegeluara utuk pembelia baha makaa per miggu dari ibu ibu rumah tagga. Sebuah sampel radom yag terdiri atas 100 ibu rumah tagga telah dipilih dari populasi ibu rumah tagga. Dari 100 sampel dikethaui bhawa rata rata pegeluaraya adalah Rp. 9.600,- dega deviasi stadar Rp. 160,-. Hituglah iterval keyakia 98 % dari kasus tersebut! 3. Selama pegamata triwula pertama 2003, stadar deviasi dari suku buga deposito utuk waktu 12 bula adalah 0,73%. Utuk melihat lebih lajut dari pergeraka suku buga, maka diambil sampel 60 bak dari 138 bak yag ada. Hasilya, teryata rata rata suku buga bak pada 60 bak adalah 7,72%. Buatlah selag kepercayaa utuk rata rata populasi dega tigkat kepercayaa 95%! 4. Kebijaka PLN utuk meaikka tarif 15% pertahu megakibatka dampak pada idustri kecil da meegah. Lembaga pegkajia CESS melakuka jajak pedapat megeai dampak tersebut. Respode yag ditayai ada 25 orag dari 930 orag aggota UKM yag dibia oleh CESS. Hasil kajia meujukka biaya produksi rata rata meigkat 20%. Apabila stadar deviasiya sebesar 8%, buatlah iterval dugaaya dega keyakia sebesar 99%! 16
Latiha 5. Seorag maajer bak igi meetuka rata-rata deposito bulaa per asabah di bak tersebut. Utuk megestimasiya megguaka tigkat kepercayaa (cofidece iterval). Berapa ukura sampel yag harus diambil bila ia igi yaki 99% da kesalahaya tidak lebih dari 200 juta rupiah. Diasumsika stadar deviasi utuk deposito bulaa semua asabah adalah 1 milyar rupiah 6. Seseorag igi meyelidiki berapa proporsi sekretaris di seluruh perkatora di Surabaya yag dilegkapi dega komputer di ruag kerjaya. Ia aka mejawab pertayaa ii dega melakuka survey acak. Berapa ukura sampel yag harus diambil apabila ia igi yaki 95% da error tidak lebih dari 0.05? Aggap bahwa proporsi aktual tidak diketahui sebelumya (asumsi p=0.5) 33 17