Pengantar OPTIMASI NO Li ier namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb).5 -.5-3 ole Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., P.D. Peneliti di Laboratorium Hidraulika Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Gadja Mada Mei 3
PRAKATA namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Dalam keidupan seari-ari, baik disadari maupun tidak, orang selalu melakukan optimasi untuk memenui kebutuannya. Optimasi yang dilakukan ole masyarakat awam lebi banyak dilandasi ole intuisi daripada teori optimasi. Dalam bidang kerekayasaan optimasi sangat dibutukan, sering kita diadapkan pada persoalan mencari penyelesaian termura dengan memenui segala kendala yang ada. Untuk memiliki teknologi optimasi, seorang perencana perlu mendalami teknik-teknik optimasi baik yang sederana untuk mendapatkan pengertian mendasar maupun yang canggi untuk menyelesaikan permasalaan nyata di lapangan. Topik mengenai optimasi di negara-negara berkembang merupakan bidang kealian tersendiri yang membutukan waktu yang tidak sedikit untuk mendalaminya. Riset-riset mengenai optimasi masi terus berlanjut sampai sekarang seingga banyak temuan teknik baru yang lebi canggi dan efisien. Baan penataran ini dimaksudkan untuk memberikan pengenalan dan penyegaran mengenai teknik optimasi, kususnya optimasi nonlinier. Pada kulia ini untuk topik optimasi nonlinier tersedia waktu tuju kali pertemuan masing-masing menit. Dalam waktu sesingkat itu penyusun berusaa untuk mengenalkan optimasi nonlinier secara garis besar seefisien mungkin, seingga ide dasar mengenai optimasi nonlinier dapat dipaami. Beberapa teknik numeris akan dijelaskan pula seingga berguna untuk penyelesaian permasalaan di lapangan. Baan kulia ini merupakan terjemaan bebas dari beberapa pustaka yang digunakan untuk menyusun baan kulia ini. Penyusun berarap baan penataran ini berguna. Kritik membangun sangatla diarapkan agar baan kulia makin sempurna. PRAKATA Yogyakarta, Mei Penyusun Djoko Luknanto al. ii
DAFTAR ISI alaman namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) HALAMAN JUDUL...i. METODE OPTIMASI ANALITIS... -. Satu Variabel tanpa Kendala... -. Multi Variabel Tanpa Kendala... -7.3 Multi Variabel dengan Kendala Persamaan... -.4 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan... -7. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI... -. Teknik Eliminasi... -.. Pencarian bebas... -... Dengan langka tetap.... -... Dengan percepatan langka.... -3.. Pencarian lengkap... -5..3 Pencarian Dikotomi... -7..4 Pencarian Fibonacci... -..5 Pencarian Rasio Emas... -. Teknik Pendekatan... -6.. Metode Newton (Kuadratik)... -6 3. PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI... 3-3. Subprogram: MNBRAK... 3-3. Subprogram: GOLDEN... 3-4 3.3 Subprogram: BRENT... 3-5 3.4 Subprogram: DBRENT... 3-8 3.5 Program Utama... 3-3.6 Subprogram F... 3-3 3.7 Subprogram DF... 3-3 3.8 Conto Hasil... 3-4 DAFTAR ISI al. iii
DAFTAR TABEL alaman Tabel.. Syarat untuk Maimum Lokal... -9 Tabel.. Syarat untuk Minimum Lokal... -9 Tabel.. Lebar Interval pada Pencarian Dikotomi... -8 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) DAFTAR TABEL al. iv
DAFTAR GAMBAR alaman Gambar.. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT UGM... -4 Gambar.. Grafik dari V(), V'(), dan V"()... -5 5 4 3 Gambar.3. Plot dari f ( ) = 45 + 4 + 5... -6 3 3 Gambar.4. Plot dari f (, ) = + + + 4 6... - + Gambar.. Bagan alir Pencarian Percepatan Langka... -4 Gambar.. Teknik Pencarian Bebas Lengkap... -6 Gambar.3. Pencarian Dikotomi... -8 Gambar.4. Pencarian Fibonacci... - Gambar.5. Pencarian Rasio Emas... -3 Gambar.6. Metode Newton... -7 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) DAFTAR GAMBAR al. v
. METODE OPTIMASI ANALITIS Suatu permasalaan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada sala satu atau keduanya, contonya adala sebagai berikut: Ma f (,, 3) = 4 + 9 + 3 3, 5 3 (.) kendala + + 4 3 + 4 + 3, 3, 3 Penyelesaian permasalaan optimasi nonlinier seperti conto di atas secara analitis akan dijelaskan secara rinci dalam bab berikut.. Satu Variabel tanpa Kendala namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Optimasi nonlinier ditinjau dari pandangan matematis adala topik lanjutan dan secara konsepsual sulit. Dibutukan pengetauan aktif mengenai kalkulus diferensial dan aljabar linier. Dalam optimasi nonlinier terdapat kemampuan untuk menangani masala sulit yaitu fungsi tujuan nonlinier yang tidak mempunyai nilai minimum yang unik serta mempunyai daera penyelesaian dengan batas nonlinier ataupun tidak konve. Secara umum tidak terdapat teknik penyelesaian yang terbaik, tetapi ada beberapa teknik yang mempunyai masa depan cera dibandingkan dengan yang lain. Banyak teknik penyelesaian optimasi nonlinier yang anya efisien untuk menyelesaikan masala yang mempunyai struktur matematis tertentu. Hampir semua teknik optimasi nonlinier modern mengandalkan pada algoritma numeris untuk mendapatkan jawabannya. Sangatla tidak mungkin untuk mendiskusikan teknik-teknik optimasi lanjutan dengan rinci karena diperlukannya pengetauan matematis canggi dalam waktu yang singkat. Pada penataran anya akan dikenalkan konsep-konsep dasar pembentuk algoritma-algoritma modern beserta penggunaannya secara sederana. Dalam kesederanaannya ini dimaksudkan agar konsep dasarnya lebi muda difaami. METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
Untuk memulai topik optimasi nonlinier akan dibaas teknik optimasi pada fungsi-funsi satu dimensi, karena teknik ini merupakan satu kesatuan dalam ampir setiap teknik optimasi nonlinier multi variabel. Dimisalkan adala variabel penentu dan f() adala fungsi tujuan dari suatu masala. Metode optimasi menyelesaikan masala Maimumkan f ( ) atau Minimumkan f ( ) (.) Untuk menyelesaikan permasalaan seperti tertera dalam Pers.(.) dapat dipakai kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti di bawa ini: Teorema: Misalkan f adala fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b). (i) Jika f () > untuk seluru dalam (a,b), maka f adala menanjak pada [a,b]. (ii) Jika f () < untuk seluru dalam (a,b), maka f adala menurun pada [a,b]. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Test derivasi pertama: Misalkan f adala fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di titik c yang berada didalam (a,b). (i) Jika f () > untuk a < < c dan f () < untuk c < < b, maka f(c) adala sebua maimum lokal dari f. (ii) Jika f () < untuk a < < c dan f () > untuk c < < b, maka f(c) adala sebua lokal minimum dari f. (iii) Jika f () < atau f () > untuk setiap dalam (a,b) kecuali = c, maka f(c) BUKAN sebua nilai ekstrim. METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
Test derivasi kedua: Misalkan f adala fungsi yang dapat diderivasikan pada interval terbuka yang berisi titik c dan f (c) =, (i) Jika f (c) <, maka f(c) adala sebua maimum lokal dari f. (ii) Jika f (c) >, maka f(c) adala sebua minimum lokal dari f. Agar terdapat gambaran yang lebi jelas bagaimana optimasi satu variabel/dimensi dilaksanakan, maka disajikan satu conto pemakaiannya. Conto. Sebua perusaaan catering (makanan ringan yang menyediakan konsumsi untuk suatu penataran di JTS FT UGM) berusaa mengurangi pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton seperti tampak pada Gambar.. Keempat pojoknya akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa seingga volumenya menjadi maksimum. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Penyelesaian: Sebagai peserta penataran yang baik, maka kita akan menyelesaikan tantangan di atas dengan metode kalkulus seperti yang tela dijelaskan di atas. Volume pembungkus dapat dinyatakan sebagai V = (6 )( ) = (68 37 + Persamaan di atas merupakan persamaan volume sebagai fungsi dari. Untuk mendapatkan nilai volume yang maksimum atau minimum, kita arus mengadakan beberapa peritungan. Derivasi V teradap mengasilkan dv d = (68 74 + 6 = 4(84 37 + 3 ) = 4(3 8)( 3) ) 3 ) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -3
L = cm - 6- L = 6 cm Gambar.. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT UGM namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Dari persamaan di atas nilai yang mungkin mengakibatkan volumenya menjadi ekstrim adala 8 3 dan 3. Nilai = 8 3 adala tidak mungkin (kenapa ya?), jadi nilai yang dipakai adala 3. Pada Gambar. disajikan plot dari volume sebagai fungsi dari beserta derivasi pertama dan keduanya. Untuk mengetaui apaka volume menjadi maksimum atau minimum kita gunakan Test Derivasi kedua sbb: d V d = ( 74 + ) = 4(6 37) Substitusi = 3 kedalam persamaan di atas mengasilkan d V d = 4(8 37) = 76 < jadi V mempunyai nilai maksimum untuk nilai = 3. Sekarang arus kita ceck apaka volume menjadi maksimum pada nilai ekstrim dari. Tampak dari Gambar., bawa 8, karena untuk nilai = maupun = 8 nilai V =, maka dapat ditarik kesimpulan bawa volume maksimum tidak terjadi pada daera batas. Jadi untuk METODE OPTIMASI ANALITIS al. -4
mengemat baan, maka pembungkus makanan ringan di atas arus dipotong berbentuk segi empat pada keempat pojoknya dengan sisisisinya adala 3 satuan. 4 3 y y=v() y=v () - y=v () 3 4 6 Gambar.. Grafik dari V(), V'(), dan V"() Secara formal dalam teknik optimasi persoalan di atas dapat ditulis sebagai berikut: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Maimumkan f 8 = (68 37 + Dari conto di atas tampak bawa dengan cara analitis kalkulus diferensial nilai yang memberikan nilai f maimum dapat dicari tanpa mengetaui nilai dari f itu sendiri. Untuk melengkapi teorema optimasi nonlinier satu variabel yang tela dijelaskan di atas disajikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan titik-titik ekstrem dari suatu fungsi satu variabel. Teorema: Misalkan f (c) = f (c) = = f (n-) (c) =, tetapi f (n) (c). Maka f(c) adala: (i) nilai minimum dari f(), jika f (n) (c) > dan n adala bilangan genap, 3 ) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -5
(ii) nilai maimum dari f(), jika f (n) (c) < dan n adala bilangan genap, (iii) bukan minimum dan maimum jika n adala bilangan gasal. Conto. Tentukan maimum dan minimum dari fungsi di bawa ini (liat Gambar.3): 5 4 3 f ( ) = 45 + 4 + 5 Penyelesaiannya: 4 3 Karena f ( ) = 6( 3 + ) = 6 ( )( ), maka f ( ) =, pada =, = dan =. 3 Derivasi kedua adala f ( ) = 6(4 9 + 4) 4 y namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) 3 Titik belok -,5,5,5 - Maimu Minimu y=f() 5 4 3 Gambar.3. Plot dari f ( ) = 45 + 4 + 5 Pada =, f () = -6, seingga = adala sebua maimum relatif yang memberikan nilai f ma = f(=) = Pada =, f () = 4, seingga = adala sebua minimum relatif yang memberikan nilai f min = f(=) = METODE OPTIMASI ANALITIS al. -6
Pada =, f () =, seingga arus diadakan penyelidikan pada derivasi berikutnya: f (3) = 6( 8+4) = 4 pada =. Karena f (3) pada =, maka = bukanla sebua maimum maupun minimum, = adala sebua titik belok.. Multi Variabel Tanpa Kendala Cara analitis yang diterapkan pada permasalaan optimasi satu variabel dapat pula diterapkan kepada permasalaan multi variabel. Secara umum teknik yang digunakan pada optimasi satu dimensi dapat digunakan dalam optimasi multi variabel. Untuk memberikan padanan dengan bab di atas dan untuk memberikan kemudaan dan kejelasan dalam penulisan persamaan, akan didefinisikan beberapa simbol yang akan dipakai selanjutnya. (i) f(,,, n ) akan ditulis sebagai f(x) dengan X = {,,, n } t (ii) f(x * ) = f( *, *,, n* ) * * (iii) f ( X ) = f (,,..., n ) untuk j =,,,n j namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) f f f (iv) f(x * ) = C setara dengan,,..., = { c, c,..., cn} n Teorema: Jika f(x) mempunyai sebua titik ekstrem (minimum maupun maimum) pada X = X * dan jika derivasi pertama dari f(x) mempunyai nilai pada titik X *, maka f(x * ) = PERHATIAN: Kebalikannya belum tentu benar yaitu jika f(x * ) = maka X * adala titik ekstrem. Teorema: Titik X * disebut titik maksimum lokal dari f(x) jika dan anya jika: (i) f(x * ) = METODE OPTIMASI ANALITIS al. -7
(ii) H(X * ) < definit negatif dengan H = matrik Hessian yang didefinisikan sebagai: H = n n nn dengan ij = f i j H adala definit negatif jika dan anya jika (-) j H j > untuk j =,,,n dengan H j = det j j jj, seingga 3 <, >, 3 < 3 3 33 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Teorema: 3 4 3 4 3 3 33 43 4 4 34 44 >, dst, (-) j H j > Titik X * disebut titik minimum lokal dari f(x) jika dan anya jika: (i) f(x * ) = (ii) H(X * ) > definit positif atau H j > untuk j =,,,n, seingga METODE OPTIMASI ANALITIS al. -8
3 >, >, 3 > 3 3 33 3 4 3 4 3 3 33 43 4 4 34 44 >, dst, H j > Tabel.. Syarat untuk Maimum Lokal Keadaan yang dipenui. f(x * ) =. H(X * ) < (definit negatif). f(x * ) =. H(X * ). f(x * ) =. H(X * ) tak tentu X * adala maimum lokal PASTI MUNGKIN MUSTAHIL namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Tabel.. Syarat untuk Minimum Lokal Keadaan yang dipenui. f(x * ) =. H(X * ) > (definit positif). f(x * ) =. H(X * ). f(x * ) =. H(X * ) tak tentu Conto.3 X * adala minimum lokal PASTI MUNGKIN MUSTAHIL Untuk mendemonstrasikan teknik umum untuk mendapatkan titiktitik ekstrem dari suatu fungsi dipakai sebua conto fungsi sebagai berikut: METODE OPTIMASI ANALITIS al. -9
6 4 ), ( 3 3 + + + + = f Titik-titik ekstrem arus memenui syarat: 4) (3 4 3 = + = + = f dan 8) (3 8 3 = + = + = f Persamaan di atas dipenui ole titik-titik (, ); (, 8/3); ( 4/3, ); dan ( 4/3, 8/3) Untuk mengetaui titik yang mana yang maimum dan yang mana yang minimum, arus diselidiki matrik Hessiannya. Derivasi kedua dari f adala: 4 6 + = f, 8 6 + = f, dan = f Jadi matrik Hessiannya menjadi + + = 8 6 4 6 H namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) seingga H = [6 +4] dan + + = 8 6 4 6 H Nilai matrik Hessian untuk masing-masing titik-titik ekstrem disajikan di bawa ini. (, ) Matri H H H Sifat H Sifat (, ) f(, ) (, ) 8 4 +4 +3 Definit positip Minimum 6 METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
(, 8/3) 4 8 ( 4/3, ) 4 8 ( 4/3, 8/3) 4 8 +4 3 Tak tentu Titik belok 48/7 4 3 Tak tentu Titik belok 94/7 4 +3 Definit negatif Maimum 5/3 Grafik f(x) dalam ruang tiga-dimensi disajikan dalam Gambar.4. Hasil itungan di atas diperkuat dengan visualisasi yang terliat pada Gambar.4. Titik belok (, 8/3) Maimum ( 4/3, 8/3) - - 5.5 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) ( ) Minimum (, ) -.5-7.5 ( ) 3 3 + Titik belok ( 4/3, ) Gambar.4. Plot dari f (, ) = + + + 4 6 METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
.3 Multi Variabel dengan Kendala Persamaan Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan f = f(x) (.3) kendala g j (X) =, dengan j =,,, m (.4) dengan X = {,,, n } t namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) disini m n, jika terjadi bawa m > n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan. Tidak seluru teknik optimasi yang terdapat dalam pustaka akan diterangkan disini, tetapi anya metode pengali Lagrange saja akan dibaas. Hal ini dipili dengan pertimbangan bawa penyelesaian optimasi secara analitis jarang dipakai pada permasalaan di lapangan yang sangat komplek. Biasanya metode yang digunakan pada saat sekarang adala metode numeris. Ole karena itu pada bab optimasi secara analitis ini anya dimaksudkan untuk memberikan dasar-dasar pengertian optimasi yang disertai dengan conto-conto sederana. Metode pengali Lagrange dipili karena prinsip kerjanya sederana dan muda dimengerti. Metode pengali Lagrange dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalaan optimasi yang dirumuskan dalam Pers.(.3) dan (.4). Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai: Teorema: L( X, λ) = f ( X) + λ ( X) m j= j g j Syarat perlu bagi sebua fungsi f(x) dengan kendala g j (X) =, dengan j =,,, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X * adala derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L = L(,,, n, (.5) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
λ, λ,, λ m )teradap setiap argumennya mempunyai nilai nol. Teorema: Syarat arus bagi sebua fungsi f(x) agar mempunyai minimum (atau maimum) relatif pada titik X * adala jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai Q = n n i= j= i L did j j dievaluasi pada X = X * arus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dx yang memenui semua kendala. (.6) Syarat perlu agar Q = n n i= j = i j L did j menjadi definit positif (atau negatif) untuk setiap variasi nilai dx adala setiap akar dari polinomial, z i, yang didapat dari determinan persamaan di bawa ini arus positif (atau negatif). namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) ( L L g g z) n m ( L z) n m 3 3 L g L L g g n3 dengan L ij g i L L L g g g j 3 3 m3 * L( X, λ) = L n g g g m Ln g g g n ( Lnn z) g m g m g mn g n g n g mn * gi ( X ) dan gij = j = (.7) Conto.4 Sebua perusaaan pelumas ingin membuat kaleng pelumas dari seng. Kaleng berbentuk silinder dengan baan yang terpakai seluas METODE OPTIMASI ANALITIS al. -3
A = 4π. Berapa maimum volume kaleng yang dapat dibuat dari baan yang tersedia? Penyelesaian: Jika r dan adala radius dan tinggi dari kaleng tersebut, maka permasalaan di atas dapat dinyatakan sebagai: Maimumkan f(r,) = πr dengan kendala πr +πr = A = 4π Fungsi Lagrange-nya adala L(r,,λ) = πr +λ(πr +πr-a ), dan syarat perlu untuk memaksimumkan f adala: L r L = π r + λ(4πr + π) = (E.) = π r + πλr = (E.) L = πr + πr A λ = (E.3) Dari Pers.(E.) dan (E.) didapat: r r λ = = atau r + r = (E.4) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) dan Pers.(E.3) dan (E.4) mengasilkan: * A r =, 6π * A = 3π dan λ = * A Nilai di atas memberikan nilai maimum dari 4π 3 * A f = Jika A = 4π, penyelesaian optimum mengasilkan r * =, * = 4, λ * =, dan f * = 6π. Untuk meliat apaka asil di atas memberikan nilai maimum dari f, kita ceck syarat pada Pers.(.7). L L = = π + 4πλ = 4π r ( X, λ ) 54π METODE OPTIMASI ANALITIS al. -4
L L = = L = πr + πλ = π r * * ( X, λ ) L = L ( X, λ ) = g g = = 4πr + π = 6π r ( X, λ ) g g = = πr * = 4π ( X, λ ) Seingga Pers.(.7) menjadi ( L L g z) ( L L g z) g g (4π z) π 6π = atau π ( z) 4π = 6π 4π menjadi ( z) 4π π 4π π ( z) ( 4π z ) π + 6π = 4π 6π 6π 4π (4π z)( 6π ) π ( 64π ) + 6π (8π + 6πz) = namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) 3 3 3 64π + 6π z + 8π + 8π + 56π z = atau 7 π z + 9 π 3 =, seingga z = 7 π Karena nilai z adala negatif, maka penyelesaian di atas yaitu r * =, * = 4, λ * = adala penyelesaian maimum dengan nilai f * = 6π. Arti dari pengali Lagrange. Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik untuk dibaas sebagai penutup dalam bab ini. Untuk membaas ini maka dimisalkan terdapat permasalaan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut: Minimumkan f = f(x) (.8) kendala g(x) = b (.9) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -5
Fungsi Lagrange-nya adala ( b g( )) L( X, λ ) = f ( X) + λ X (.) Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adala L i = untuk i =,,, n dan (.a) L = λ (.b) Pers.(.) dan (.) mengasilkan: f g λ = untuk i =,,, n (.a) i i b g(x) = atau b = g (.b) Dari Pers.(.a) didapat: f i d i g λ i d i = untuk i =,,, n n n f g atau di λ di = i= i i= i namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) atau atau n f d = λ n g d i i= i i= i n f di = i i df = i n g λ di (.3) i= i dg Pers.(.3) dan (.b) mengasilkan asil yang final yaitu df = λ db atau df * = λ db (.4) Dari Pers (.4) dapat ditarik kesimpulan bawa: pada penyelesaian optimum, perubaan fungsi tujuan, f, berbanding lurus dengan perubaan kendala, b dengan faktor sebesar pengali Lagrange, λ. METODE OPTIMASI ANALITIS al. -6
.4 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala pertidak-samaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan f = f(x) dengan X = {,,, n } t (.5) kendala g j (X), dengan j =,,, m Kunci dari penanganan permasalaan di atas adala meruba kendala pertidak-samaan menjadi persamaan dengan menamba variabel slack. Jadi permasalaan optimasi di atas dapat ditulis kembali sebagai: Minimumkan f = f(x) dengan X = {,,, n } t = j j = kendala G ( X, Y) g ( X) + y, dengan j =,,, m (.6) j dengan Y = { y, y,, y m } t adala vektor variabel slack. Permasalaan ini dapat diselesaikan metode pengali Lagrange. Untuk itu, dibentuk fungsi Lagrange sebagai berikut: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) m L X, Y, λ) = f ( X) + j= ( λ ( X, Y) j G j (.7) Syarat perlu untuk suatu penyelesaian optimum Pers.(.7) diperole dari penyelesaian sistem persamaan di bawa ini. m L f g j ( X, Y, λ) = ( X) + λ j ( X) =, i =,,, n (.8) i L ( X, Y, λ) = G λ j L y j i j j= ( X, Y, λ) = g j i ( X) + y j =, j =,,, m (.9) ( X, Y, λ) = λ y =, j =,,, m (.) j j METODE OPTIMASI ANALITIS al. -7
Teknik yang dijelaskan pada bab sebelumnya dapat dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan Pers.(.8) s/d (.). Syarat perlu agar persamaan optimasi, Pers.(.5), mencapai titik minimumnya dapat pula dicari dengan syarat Kun-Tucker. Syarat ini perlu tetapi secara umum bukan merupakan syarat cukup untuk mencapai minimum. Tetapi untuk problema jenis konve, syarat Kun- Tucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebua minimum global. Syarat Kun-Tucker untuk Pers.(.5): Minimumkan f = f(x) dengan X = {,,, n } t (.5) kendala g j (X), dengan j =,,, m dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut: f i + m j= g j λ j =, i =,,, n (.a) i λ j g j =, j =,,, m (.b) g j, j =,,, m (.c) λ j, j =,,, m (.d) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) PERHATIAN: Jika permasalaannya adala memaksimumkan {bukan meminimumkan seperti pada Pers.(.5)}, maka λ j dalam Pers.(.d). Jika kendalanya adala g j, maka λ j dalam Pers.(.d). Jika permasalaannya adala memaksimumkan dan jika kendalanya adala g j, maka λ j dalam Pers.(.d). Conto.5 Sebua perusaaan pembuat komputer mendapat kontrak untuk menyediakan 5 unit komputer pada akir bulan pertama, 5 unit komputer pada akir bulan kedua, dan 5 unit komputer pada akir bulan ketiga. Biaya produksi bua komputer tiap bulannya adala. Perusaaan ini dapat memproduksi komputer lebi dari yang dipesan METODE OPTIMASI ANALITIS al. -8
dan menyimpannya di gudang untuk diserakan pada bulan berikutnya. Biaya gudang adala sebesar satuan arga untuk tiap komputer yang disimpan dari bulan yang lalu kebulan berikutnya. Diandaikan bawa pada permulaan pesanan di gudang tidak terdapat persediaan komputer. Tentukan jumla produksi komputer tiap bulannya agar biaya pembuatannya minimum. Penyelesaian: Dimisalkan a, b, dan c adala produksi komputer selama tiga bulan berurutan, maka biaya total yang arus diminimumkan adala Biaya total = biaya produksi + biaya gudang atau f ( a, b, c) = a + b + c + ( a 5) + ( a + b ) dengan kendala: = a + b + c + 4a + b 3 g (a, b, c) = a 5 g (a, b, c) = a + b g 3 (a, b, c) = a + b + c 5 Syarat Kun-Tucker nya dapat dinyatakan sbb: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) f i g g g 3 + λ + λ + λ3 = i =,, 3 i i atau a + 4 + λ + λ + λ 3 = (E.) b + + λ + λ 3 = (E.) c + λ 3 = (E.3) λ j g j = j =,, 3 atau λ (a - 5) = (E.4) λ (a + b - ) = (E.5) λ 3 (a + b + c - 5) = (E.6) g j j =,, 3 atau a - 5 (E.7) a + b - (E.8) i METODE OPTIMASI ANALITIS al. -9
a + b + c - 5 (E.9) λ j j =,, 3 atau λ (E.) λ (E.) λ 3 (E.) Dari Pers.(E.4) tampak bawa λ = atau a = 5. Kasus (i): Jika λ = Pers.(E.) dan (E.3) memberikan c =,5λ3 b =,5λ,5λ3 c =,5λ,5λ3 (E.3) Substitusi Pers.(E.3) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6), didapat λ ( 3 λ λ3) = λ3( 8 λ,5λ 3) = (E.4) Empat kemungkinan penyelesaian Pers.(E.4) adala namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) () λ =, 8 λ,5λ 3 = atau λ =, λ 3 = Jadi a = 4, b = 5, c = 6 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.8). () 3 λ λ 3 =, λ 3 =, atau λ = 3, λ 3 = Jadi a = 45, b = 55, c = Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9). (3) λ =, λ 3 = Jadi a =, b =, c = Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9). METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
(4) 3 λ λ 3 =, 8 λ,5λ 3 = atau λ = 3, λ 3 = Jadi a = 45, b = 55, c = 5 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7). Kasus (ii): Jika a = 5 Pers.(E.) dan (E.3) memberikan λ3 = c λ = b λ3 = b + c λ = 4 a = a + b = + b λ λ3 (E.5) Substitusi Pers.(E.5) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6) mengasilkan ( b + c)( a + b ) = c( a + b + c 5) = (E.6) Dari Pers.(E.6) diperole empat kemungkinan penyelesaian () b + c =, a + b + c 5 = Jadi a = 5, b = 45, c = 55 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8). () b + c =, c = Jadi a = 5, b =, c = Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8) dan (E.9). (3) a + b =, c = Jadi a = 5, b = 5, c = Penyelesaian ini bertentangan dari (E.9). (4) a + b =, a + b + c 5 = Jadi a = 5, b = 5, c = 5 METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
Penyelesaian terakir inila yang memenui setiap persamaan. Nilai dari λ, λ, dan λ 3 sesuai dengan penyelesaian di atas adala λ =, λ =, λ 3 = namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI Tela kita liat dalam Bab, bawa untuk mencari nilai optimum suatu fungsi tujuan diitung terlebi daulu titik optimumnya. Setela titik optimum diketaui, maka nilai optimum fungsi tujuannya diitung dari nilai fungsi di titik optimum. Jadi nilai fungsi tujuan diitung terakir. Pada metode numeris langka itungan yang dilakukan justru kebalikan dari metode analitis. Pada metode ini letak titik optimum ditentukan dengan menyelidiki nilai fungsinya. Titik yang mempunyai nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi pada titik-titik yang lain itula titik optimumnya. Jadi letak titik optimum diitung terakir. Dalam bab ini akan dibaas metode numeris dalam optimasi satu variabel tanpa kendala, yang secara garis besar dibagi sebagai berikut. A. Teknik Eliminasi. Pencarian bebas (i) (ii) Dengan langka tetap Dengan percepatan langka. Pencarian lengkap 3. Pencarian dikotomi namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) 4. Pencarian Fibonacci 5. Pencarian Rasio Emas B. Teknik Pendekatan Newton (Kuadratik) Metode numeris yang akan dibaas disini anya berlaku untuk suatu fungsi unimodal. Fungsi unimodal yaitu suatu fungsi yang anya mempunyai satu puncak (maimum) atau satu lemba (minimum). Jika ternyata fungsi tujuan yang akan dioptimasikan bersifat multimodal (berpuncak banyak) pada interval yang menjadi peratian, maka interval tersebut arus dibagi menjadi interval-interval yang lebi kecil sedemikian rupa seingga pada interval-interval kecil tersebut fungsi tujuan bersifat unimodal. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -
. Teknik Eliminasi.. Pencarian bebas Teknik eliminasi pencarian bebas adala teknik yang paling sederana dan muda difaami, tetapi tidak efisien ditinjau dari segi numeris. Teknik ini dibagi menjadi dua metode yang berbeda dalam pemilian langka itungan.... Dengan langka tetap. Pendekatan paling dasar dari permasalaan optimasi adala penggunaan langka tetap berangkat dari titik tebakan pertama dan bergerak keara yang dikeendaki. Diandaikan permasalaan yang diadapi adala minimisasi suatu fungsi tujuan, maka teknik ini dapat dijabarkan sebagai berikut:. Mulai dengan tebakan titik pertama, misalkan.. Hitung f = f( ). 3. Pili sebua ukuran langka misalkan s, itung = + s. 4. Hitung f = f( ). namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) 5. Jika f < f, maka pencarian dapat diteruskan keara ini sepanjang titik-titik 3, 4, dengan melakukan tes pada setiap dua titik yang terakir. Cara ini ditempu terus sampai dicapai suatu keadaan dimana i = + (i )s memperliatkan kenaikan pada nilai fungsinya. 6. Pencarian dientikan pada i, dan i atau i dapat dianggap sebagai titik optimum. 7. Jika f > f, pencarian arus dilakukan keara yang berlawanan yaitu sepanjang titik-titik, 3, dengan j = (j )s. 8. Jika f = f, maka titik optimum terletak diantara titik-titik dan. 9. Jika ternyata f dan f mempunyai nilai lebi besar dari f, maka titik optimum terletak diantara titik-titik dan. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -
Conto. Cari maimum dari fungsi f ( ) = + 3 untuk untuk > dengan menggunakan teknik pencarian bebas dengan = dan s =.4. Penyelesaian: Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawa ini: i i f i f i f i namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb)..5.4.7 ya balik ara 3.6.3 tidak 4.. tidak 5.. tidak 6.6.3 tidak 7..5 tidak 8.4.7 tidak 9.8.9 tidak..8 y a Dari tabel di atas tampak pada i = terjadi pembalikan ara pencarian karena nilai fungsinya menurun. Pada ara yang sebaliknya nilai fungsi bertamba besar, sampai i =, nilainya menurun. Jadi nilai optimum terjadi diantara i = 9 dan i = atau dapat dianggap bawa nilai optimum adala 9 atau.... Dengan percepatan langka. Walaupun pencarian dengan langka tetap sangat sederana dan muda, tetapi sangat tidak efisien. Sebagai ilustrasi ketidak-efisienannya diandaikan suatu pencarian dimulai dari nilai = dan s =. sedangkan optimum mempunyai nilai 5., maka untuk dapat TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -3
menyelesaikannya dengan teknik pencarian langka tetap membutukan 5 kali itungan. Sala satu cara untuk mempercepat proses pencarian titik optimum tersebut adala dengan memperbesar langka pencarian sampai titik optimum terkurung. Pada permasala maimisasi fungsi tujuan, maka teknik pencarian percepatan langka dilakukan dengan memperbesar langka dua kali lipat sepanjang ara gerakan yang mengasilkan bertambanya nilai fungsi tujuan. Beberapa perbaikan dari teknik ini dapat dikembangkan dari ide yang serupa. Sala satunya adala dengan mengurangi besar langka pada saat titik optimum suda terkurung dalam ( i, i ). Dengan mulai lagi itungan dari titik i atau i- prosedur di atas dapat diulangi lagi dengan langka pencarian diperkecil sampai dicapai pengurungan titik optimum dalam suatu interval yang cukup kecil sesuai dengan kebutuan. Prosedur pencarian titik optimum dengan teknik ini dijelaskan dalam bagan alir dalam Gambar.. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) tidak Set i=i+, s=s i = +s f i =f( i ) f i f i-? STOP opt terletak antara i- dan i Conto. ya tidak Pili nilai awal dan langka awal s Hitung f =( ) Set i=, = +s, f =f( ) f f? ya Set i= - = -s f - =f( - ) tidak Gambar.. Bagan alir Pencarian Percepatan Langka STOP opt terletak antara - dan ya f - f? tidak Set i=i+, s=s - i= -s f - i=f( - i) f -i f -(i-)? ya STOP opt terletak antara -( i -) dan - i TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -4