Ruang Hasil Kali Dalam

Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam dan Norm Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 12

Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 12

Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Misalkan kita mempunyai titik x = (x 1, x 2 ) dan y = (y 1, y 2 ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 12

Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Misalkan kita mempunyai titik x = (x 1, x 2 ) dan y = (y 1, y 2 ) B(y 1, y 2 ) v A(x 1, x 2 ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 2 / 12

v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 12

v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA 2 + OB 2 2OA OB cos (AOB) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 12

v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA 2 + OB 2 2OA OB cos (AOB) (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x1 2 + x2 2 + y 1 2 + y 2 2 2 x y cos α Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 12

v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA 2 + OB 2 2OA OB cos (AOB) (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x1 2 + x2 2 + y 1 2 + y 2 2 2 x y cos α 2 x y cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 = x, y Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 3 / 12

Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V V C (x, y) x, y sehingga Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 12

Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V V C (x, y) x, y sehingga 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 12

Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 12

Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 12

Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x > 0 untuk x = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 12

Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x > 0 untuk x = 0. Perhatikan bahwa 0, y = 0 + 0, y = 0, y + 0, y = 2 0, y. Jadi... Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 12

Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x > 0 untuk x = 0. Perhatikan bahwa 0, y = 0 + 0, y = 0, y + 0, y = 2 0, y. Jadi... Untuk R, sifat (3) menjadi x, y = y, x. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 4 / 12

Example 1 Misalkan x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) F n, maka x, y = n a i b i i=1 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 5 / 12

Example 1 Misalkan x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) F n, maka x, y = n a i b i i=1 2 Misalkan V = C ([0, 1]) ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka 1 f, g = f (t) g (t) dt 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 5 / 12

Example 1 Misalkan x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) F n, maka x, y = n a i b i i=1 2 Misalkan V = C ([0, 1]) ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka 1 f, g = f (t) g (t) dt 0 3 Misalkan V = M n n (F) dan definisikan dengan B transpose konjuget. A, B = trace (B A) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 5 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Karena x, z = 0 untuk setiap z V, maka khususnya jika berlaku bagi z = x, atau x, x = 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Karena x, z = 0 untuk setiap z V, maka khususnya jika berlaku bagi z = x, atau x, x = 0 Berdasarkan sifat (4), maka x = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 6 / 12

Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Theorem Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 12

Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 12

Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 12

Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 12

Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. 2 x = 0 jika hanya jika x = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 12

Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. 2 x = 0 jika hanya jika x = 0. 3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 12

Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. 2 x = 0 jika hanya jika x = 0. 3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x, y V berlaku x + y x + y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 7 / 12

Proof. Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 8 / 12

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Proof. Misalkan x, y V dan α F definisika p (α) = x αy 2 0, maka Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 8 / 12

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Proof. Misalkan x, y V dan α F definisika p (α) = x αy 2 0, maka untuk setiap α. x αy 2 = x αy, x αy = x, x ᾱ x, y α y, x + α 2 y, y 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 8 / 12

Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Proof. Misalkan x, y V dan α F definisika p (α) = x αy 2 0, maka untuk setiap α. x αy 2 = x αy, x αy Khususnya jika α = x,y x,x, maka dan CS berlaku = x, x ᾱ x, y α y, x + α 2 y, y 0 0 x, x x, y 2 y, y Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 8 / 12

Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 12

Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Misalkan x, y V, maka x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y, x + x, y + y, y Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 12

Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Misalkan x, y V, maka Selanjutnya x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y, x + x, y + y, y x + y 2 = x 2 + 2 Re x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 12

Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Misalkan x, y V, maka Selanjutnya x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y, x + x, y + y, y x + y 2 = x 2 + 2 Re x, y + y 2 Jadi pertaksamaan segitiga berlaku. x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 9 / 12

Di F n, untuk x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 10 / 12

Di F n, untuk x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) Pertaksamaan CS x, y x y mempunyai bentuk n a i b i i=1 [ n ] 1/2 [ n a i 2 i=1 i=1 b i 2 ] 1/2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 10 / 12

Di F n, untuk x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) Pertaksamaan CS x, y x y mempunyai bentuk n a i b i i=1 [ n ] 1/2 [ n a i 2 i=1 i=1 b i 2 ] 1/2 Pertaksamaan segitiga x + y x + y mempunyai bentuk [ n ] 1/2 a i + b i 2 i=1 [ n ] 1/2 [ n a i 2 i=1 i=1 b i 2 ] 1/2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 10 / 12

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 12

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 12

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 12

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Misalkan V ruang hasil kali dalam. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 12

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jika x = 1 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 12

Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jika x = 1 Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 11 / 12

Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 12

Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x [0, 2π]} memenuhi 2π 2π ( 1 sin nx sin mxdx = 0 0 2 cos (mx nx) 1 ) cos (mx + nx) 2 = 0 jika m = n dx Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 12

Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x [0, 2π]} memenuhi 2π 2π ( 1 sin nx sin mxdx = 0 0 2 cos (mx nx) 1 ) cos (mx + nx) 2 = 0 jika m = n dan 2π 0 sin 2 nxdx = π dx Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 12

Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x [0, 2π]} memenuhi 2π 2π ( 1 sin nx sin mxdx = 0 0 2 cos (mx nx) 1 ) cos (mx + nx) 2 = 0 jika m = n dan 2π { } Himpunan S = π 1 sin nx : n N 0 sin 2 nxdx = π dx merupakan himpunan orthonormal. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 12 / 12