23 BAB III SPATIAL AUTOREGRESSIVE POISSON 3.1 Spatial Autoregressive (SAR) Spatial Autoregressive (SAR) merupaka model regresi liier pada data spasial dega pedekata area, dimaa terdapat depedesi ilai variabel terikat (Y) atar lokasi. Secara umum model autoregressive spasial diyataka sebagai berikut (Aseli, 1988, hlm. 34): y = ρw 1 y + Xβ + u (3.4) u = λw 2 u + ε (3.5) ε ~ N (0,σ 2 I) Dega ß adalah koefisie dega 1 vektor dari parameter yag terkait dega eksoge (yaitu, depedet) variabel X (N oleh K matriks), ρ adalah koefisie dari variabel tergatug spasial lag da λ adalah koefisie di struktur autoregressive utuk gaggua E (error). Model Spatial Autoregressive (SAR) adalah pegembaga dari model autoregressive order pertama, dimaa variabel respo selai dipegaruhi oleh lag variabel respo itu sediri juga dipegaruhi oleh variabel prediktor. Proses autoregressive juga memiliki kesamaa dega aalisis deret waktu seperti pada model spasial autoregressive order pertama (LeSage, 2009: 32) Spatial Autoregressive Model (SAR) di atas meurut Fotherigham da Regerso (2009) dapat direduksi mejadi: y = A 1 Xβ + ε (3.6) di maa A = 1 ρw, A 1 merupaka matrik kebalika A da ε = A 1 ε. Matrik A 1 diyataka sebagai berikut: a i a 11 a 1 [ ] = [ ] a a 1 a dega a i merupaka vector baris pada daerah ke-i yag berukura (1x).
24 3.2 Spatial Autoregressive (SAR) Poisso Pada umumya Model Spasial Autoregressive (SAR) diperguaka utuk megaalisis data dega variabel terikat Y berupa data kotiu seperti halya pada aalisis regresi sederhaa (Celik, dkk, 2006). Namu, pada kehidupa sehari-hari bayak kasus dimaa variabel terikat (Y) pada data yag diteliti berupa data diskrit. Meurut Koriasari,dkk (2011) utuk melakuka aalisis yag mempertimbagka usur spasial dega variabel terikat Y berupa data diskrit dapat dilakuka dega megguaka model Spasial Autoregressive (SAR) Poisso. Nilai harapa utuk distribusi Poisso diyataka sebagai berikut (Lambert, dkk, 2010): μ i = exp[α i Xβ] (3.7) dimaa α i adalah vektor baris daerah ke-i dega ukura (1x), X merupaka sebuah variabel bebas dari variabel bebas yag diguaka, da β merupaka 1 higga k vektor dari koefisie regresi. Estimasi model Spasial Autoregressive (SAR) Poisso dapat dilakuka dega megguaka Maximum Likelihood Estimatio Method, yag dapat meghasilka peduga stadar error yag kosiste. Berdasarka pegembaga dari pegaruh model ekspoesial utuk proses model Spasial Autoregressive (SAR) Poisso adalah: μ SAR N i = exp(ρ j i w ij y j + β x i ) (3.8) dimaa w ij merupaka eleme ij dari matrik pembobot spasial W. Model Spasial Autoregressive (SAR) Poisso ii memiliki fugsi massa peluag sebagai berikut: f(y i X, W ; β, ρ) = (μ i SAR ) y i exp ( μ i SAR ) (3.9) Dega demikia fugsi kemugkia utuk model Spasial Autoregressive Poisso adalah sebagai berikut: L(β, ρ X, W ; y 1, y 2,.., y ) = { (μ i SAR ) y i exp ( μ SAR i ) i=1 } (3.10) Fugsi log kemugkia utuk model Spasial Autoregressive (SAR) Poisso adalah sebagai berikut : l L(β, ρ X, W ; y 1, y 2,.., y ) = l { (μ i SAR ) y i exp( μ SAR i ) i=1 } (3.11)
25 atau dapat ditulis sebagai berikut : l L(β, ρ X, W ; y 1, y 2,.. y ) = y A 1 Xβ i=1 exp[α i Xβ] i=1 l () (3.12) 3.3 Estimasi Parameter Model Spatial Autoregressive (SAR) Poisso Maximum Likelihood Estimatio Method dapat diguaka utuk meaksir suatu model yag diketahui distribusiya. Saat betuk fugsioal sebara peluag dari termiologi error telah ditetapka, estimator dari parameter β 0, β 1, da σ 2 dapat diperoleh dega megguaka Maximum Likelihood Estimatio Method yaitu dega cara memaksimumka fugsi Likelihood. Estimasi parameter dega megguaka Maximum Likelihood Estimatio Method dapat dilakuka dega mecari ilai turua parsial pertama dari fugsi l-likelihood terhadap parameter yag diestimasi. Karea fugsi kemugkia maksimum pada persamaa 3.10 merupaka persamaa implisit, maka pedugaa parameter pada model Spatial Autoregressive (SAR) Poisso dapat diselesaika dega metode iterasi. Meurut Koriasari, dkk (2010), Peurua terhadap parameter tersebut dilakuka dega cara disamaka dega ol da dapat diselesaika dega metode iterasi umerik yaitu dega megguaka metode Newto-Raphso. Pada model Spatial Autoregressive (SAR) Poisso estimasi parameter dapat dilakuka dega megguaka Maximum Likelihood Estimatio Method, dega fugsi massa peluag dari distribusi Poisso yaitu : f(y x, W; β, ρ) = (μ i SAR ) yi exp( μ SAR ) (3.13) di maa μ i SAR = exp (A i 1 Xβ). Fugsi l- Maximum likelihood adalah : l L = y A 1 Xβ μ SAR l i=0 (3.14) Fugsi l- Maximum likelihood harus dituruka terhadap parameterya utuk memperoleh estimator parameter bagi ρ da β. Turua pertama utuk fugsi kemugkia maksimum adalah :
26 l L β = X A 1 (y μ SAR ) = 0 l L ρ = β X D[y μ SAR ] = 0 (3.15) (3.16) di maa D = A 1 WA 1. Turua kedua utuk fugsi l- Maximum likelihood adalah : dega Ω = diag[μ i SAR ] 2 l L β β = XA 1 ΩA 1 2 l L β ρ = β X DΩA 1 X [y μ SAR ]DX (3.17) (3.18) 2 l L ρ 2 = 2β X A 1 WD[y μ SAR ] β X DΩDXβ (3.19) Estimasi parameter pada model Spasial Autoregressive (SAR) Poisso yaitu parameter ρ da β dapat dilakuka dega megguaka metode iterasi Newto Raphso. Tahapa dari metode iterasi Newto Raphso pada model Spasial Autoregressive (SAR) Poisso adalah sebagai berikut: 1. Meetuka ilai β (0), dega ilai β (0) = [ρ 0β 00 β 10. β k0 ], iterasi dilakuka pada saat t=0. 2. Membetuk vektor gradie g t+1 = [ L(β ) ilai iterasi. 3. Membetuk matrik Hessia atau H : H (k+1)x(k+1) = [ ρ, L(β ) β 2 ll(β ) 2 ll(β ) ρ 2 β 0 ρ simetris 2 ll(β ) β 2 0 ], dega t merupaka 2 ll(β ) β k ρ 2 ll(β ) β 0 β k 2 ll(β ) β 2 k ] 4. Meetuka ilai vektor g (0) da H (0) dega cara memasukka ilai β (0) ke dalam eleme-eleme vektor g da matrik H.
27 5. Melakuka iterasi pada persamaa β (t+1) = β t H 1 t g, t, iterasi dilakuka mulai dari t = 0, da ilai β t adalah sekumpula dari estimator parameter yag koverge pada iterasi ke-t. 6. Jika estimator parameter yag didapatka belum koverge maka lagkah ke-2 harus diulagi kembali sampai medapatka ilai estimator parameter yag koverge. Parameter dapat dikataka koverge jika ilai dari β t+1 β m ε, dimaa ε merupaka bilaga yag sagat kecil. Meurut Lambert, dkk (2010) setelah dilakuka estimasi parameter harus dilakuka pegujia sigifikasi dari koefisie ρ da β. Pegujia sigifikasi tersebut meurut Fleiss, Levi, da Paik (2003) dapat dilakuka dega uji Wald. Pegujia hipotesis sebagai berikut : H0 : θ p = [ρ β 0 β k ] = 0 atau tidak ada korelasi spasial H1 : θ p 0 atau terdapat korelasi spasial Utuk melakuka pegujia hipotesis terhadap parameter θ p diguaka statistik uji berikut ii : 2 (3.20) θ p G ρ = { se (θ p) } Statistik uji ii megikuti distribusi chi square (χ 2 ) dega derajat bebas 1. Pegambila keputusa dilakuka dega megguaka kriteria sebagai berikut ii: H0 ditolak, jika statistik uji G ρ > χ 2 (α;1) H0 diterima, jika statistik uji G ρ χ 2 (α;1) Model persamaa regresi yag terbetuk dikataka baik, apabila dalam persamaa regresi tersebut megadug semua variabel yag bergua utuk tujua yag diigika oleh peeliti (Walpole ad Myers, 1995). Setelah estimasi parameter da pegujia sigifikasi model, selajutya melakuka pemiliha model terbaik. Pemiliha model terbaik ii dapat dilakuka dega megguaka koefisie determiasi R 2. Besara R 2 meujukka proporsi variasi total pada variabel terikat Y yag diteragka oleh model yag diguaka.
28 Semaki baik model yag diguaka, maka ilai koefisie determiasi R 2 aka semaki medekati ilai 1. Rumus utuk meetuka besarya ilai koefisie determiasi R 2 adalah sebagai berikut : R 2 = i=1 {y i log ( y i μ ) (y i μ i)} i i=1 y i log ( y i y ) (3.21)