Usula Metode Peyelesaia Pemrograma Liear Fuzzy Megguaka Iformasi Metode Zimmerma Fitriai Agustia*, Lukma, da Etit Puspita Departeme Pedidika Matematika FPMIPA UPI *Surel: fitriai_agustia@upi.edu ABSTRAK. Terdapat beberapa metode peyelesaia permasalaha pemrograma liear fuzzy yag diusulka da dikembagka oleh para peeliti. Artikel ii membahas megeai suatu usula metode baru utuk meyelesaika pemrograma liear fuzzy berdasarka iformasi dari metode Zimmerma. Peyelesaia pemrograma liear fuzzy megguaka metode Zimmerma ii mempuyai kelemaha utuk peyelesaia kasus pemrograma liear fuzzy tapa batas da tidak ada kasus solusi. Utuk megatasi kelemaha ii, peeliti megusulka metode alteratif utuk meyelesaika pemrograma liear fuzzy dega cara membagu fugsi keaggotaa da megguaka perigkat Thorai. Metode baru yag peeliti usulka ii diamaka metode Pegembaga Zimmerma. Hasil metode ii meujukka hasil yag lebih baik. Kata Kuci: Fuzzy Liear Programmig, Rakig Thorai, Zimmerma Method. Proposed Solvig Fuzzy Liear Programmig Usig Iformatio From Zimmerma Method ABSTRACT. There are several methods for solvig fuzzy liear programmig problems proposed ad developed by researchers. This article discusses a proposed ew method for solvig fuzzy liear programmig based o iformatio from the Zimmerma method. The completio of fuzzy liear programmig usig the Zimmerma method has the disadvatage of resolvig the case of boudless fuzzy liear programmig ad o case of solutio. To overcome this weakess, researchers propose a alterative method to solve fuzzy liear programmig by buildig membership fuctios ad usig Thorai ratigs. The ew method that the researchers propose is called Pegembaga Zimmerma method. The results of this method show better results. Key words: Fuzzy Liear Programmig, Rakig Thorai, Zimmerma Method. 95 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
1. PENDAHULUAN Studi tetag pemrograma liear fuzzy dega pemecahaya telah disaraka oleh bayak peeliti, seperti: R.E. Bellma da L. Zadeh dalam "Decisio Makig i a Fuzzy Iveroumet" [1], Taaka, Okada, da Asai dalam "O Fuzzy Mathematical Programmig" [2], Zimmerma Fuzzy Programmig ad Liear Programmig with Several Objective Fuctios [3]. Para peeliti ii adalah ilmuwa pertama yag memperkealka proses peyelesaia pemrograma liier fuzzy dega cara megubah pemrograma liear fuzzy ke dalam pemrograma liear crip. Maleki, Safi, da Zaemazad [4] meguji metode Zimmerma, Thorai da R. Shakar megguaka pedekata pemrograma liear fuzzy utuk meyelesaika masalah trasportasi fuzzy [5], Kumar da Bhatia [6] meguji aalisis sesitivitas model pemrograma fuzzy liear megguaka defiisi iterval-valued fuzzy. Megeai hal ii, Lukma da Sufyai lebih lajut meambahka lagkah ke peilaia Kumar da Bhatia megguaka metode simpleks yag direvisi da solusi megguaka peragkat luak Lido[7]. Berdasarka hasil peelitia sebelumya, diperoleh iformasi bahwa metode Zimmerma aka meghasilka solusi yag sagat baik utuk kasus pemrograma liear fuzzy dega area solusi terikat, tetapi aka meghasilka peyelesaia kurag baik dalam kasus pemrograma liear fuzzy dega solusi lokal tapa batas. Artikel ii membahas megeai usula pegembaga metode Zimmerma megguaka defiisi perigkat yag dirumuska oleh Thorai, Phai, da Rafi da diamai sebagai Metode Pegembaga Zimmerma. Proses selajutya, meguji optimasi Metode Pegembaga Zimerma ii megguaka metode yag sama yag diguaka oleh Maleki. Pada bagia ii beberapa defiisi dasar, operasi aritmatika da pedekata fugsi peragkiga utuk peragkiga bilaga fuzzy yag diusulka peeliti. Defiisi dasar Pada bagia ii beberapa defiisi dasar yag diperguaka. Defiisi 1.1 Bilaga Fuzzy Trapesium Bilaga fuzzy trapesium yag diperumum A = (a, b, c, d; w) disebut bilaga fuzzy yag diperumum dimaa w [0,1] da fugsi keaggotaa, x a w, a x b b a μ A (x) = w, b x c x d w, c x d { c d Operasi Aritmetika Bilaga Fuzzy Trapesium 96 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
Misalka A 1 = (a 1, b 1, c 1, d 1 ; w 1 ) da A 2 = (a 2, b 2, c 2, d 2 ; w 2 ), maka operasi aritmetik bilaga fuzzy trapesium tersebut adalah: (i) A 1 A 2 = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, c 1 + c 2, d 1 + d 2 ; mi (w 1 ; w 2 )) (ii) A 1 A 2 = (a 1 a 2, b 1 b 2, c 1 c 2, d 1 d 2 ; mi (w 1 ; w 2 )) (iii) ka 1 = (ka 1, kb 1, kc 1, kd 1 ; w 1 ), k > 0 ka 1 = (kd 1, kc 1, kb 1, ka 1 ; w 1 ), k < 0 Defiitio 1.2 (Kostruksi Bilaga Fuzzy Trapesium) Misalka b 0 da p 0 merupaka bilaga real positif berdasarka iformasi Zimmerma Method (ZM). Kostruksi betuk simetris bilaga fuzzy trapezium dega fugsi keaggotaa dari bilaga fuzzy Zimmerma, sehigga diperoleh spread(a ) = wp 0. Misalka A merupaka sebuah bilaga fuzzy trapezium simetris yag dibetuk dari koefisie bilaga real c, maka: 0, x (, c 1 p 2 0] [c + 1 p 2 0, + ) A (x) = { 3w w (c x) 1, x [c 1 p 6 p 0 2 0, c 1 p 3 0] w, x [c 1 p 3 0, c + 1 p 3 0] 4w w (x c) 1, x [c + 1 p 6 p 0 3 0, c + 1 p 2 0] dimaa w [0,1]. Defiitio 1.3. Misalka c da w [0,1], da bilaga fuzzy yag dikostruksi adalah: c = (c 1 2 p 0, c 1 3 p 0, c + 1 3 p 0, c + 1 2 p 0; w) Operasi Aritmetika Misalka A 1 = (a 1 1 2 p 0, a 1 1 3 p 0, a 1 + 1 3 p 0, a 1 + 1 2 p 0; w 1 ) da A 2 = (a 1 1 2 p 0, a 1 1 3 p 0, a 1 + 1 3 p 0, a 1 + 1 2 p 0; w 1 ), maka (i) A 1 A 2 = (a 1 + a 2 p 0, a 1 + a 2 2 3 p 0, a 1 + a 2 + 2 3 p 0, a 1 + a 2 + p 0 ; mi(w 1, w 2 )) (ii) ka 1 = (ka 1 1 2 kp 0, ka 1 1 3 kp 0, ka 1 + 1 3 kp 0, ka 1 + 1 2 kp 0; w 1 ) Fugsi Peragkiga. Beberapa pedekata telah diusulka utuk peragkiga bilaga fuzzy. Suatu metode peetua peragkiga yag mudah, kokret, da sederhaa diusulka oleh Thorai dkk [8]. Metode peragkiga ii dipadag lebih mudah dalam perhituga serta dapat memberika hasil yag sesuai utuk masalah yag 97 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
didefiisika, selai itu metode ii juga dipadag dapat memberika uruta peragkiga yag lebih baik dibadigka metode laiya. Misalka A = (a 1 2 p 0, a 1 3 p 0, a + 1 3 p 0, a + 1 2 p 0; w), a, p 0 > 0, da w [0. 1], maka peragkiga dari A adalah R(A ) = α β γ 2 dimaa, α = 1 54 30p 0(3a 7 6 p 0) + 1 3 p 0 + 1 18 2 3 p 0 2 + w 2 (3a + 7 6 p 0) β = 1 54 30p 0w + 1 6 p 0w + 1 18 w 2 3 p 0 2 + w 2 γ = 1 3 p 0( 1 6 30 + 1) + 1 6 2 3 p 0 2 + w 2 Misalka A 1 da A 2 merupaka dua bilaga fuzzy, maka (i) (ii) (iii) Jika R(A 1) > R(A 2), maka A 1> A 2 Jika R(A 1) = R(A 2), maka A 1 A 2 Jika R(A 1) R(A 2), maka A 1 A 2 Misalka A merupaka bilaga fuzzy trapezium yag dikotruksi dari suatu bilaga real a, maka mode, spread, left spread, ad right spread dari A adalah sebagai berikut: (i) m(a ) = wa (ii) s(a ) = wp 0 (iii) ls(a ) = 1 6 wp 0 (iv) rs(a ) = 1 6 wp 0 Misalka A = (a 1 2 p 0, a 1 3 p 0, a + 1 3 p 0, a + 1 2 p 0; w 1 ) da B = (b 1 2 p 0, b 1 3 p 0, b + 1 3 p 0, b + 1 2 p 0; w 2 ) merupaka dua bilaga fuzzy trapezium yag diperumum, maka prosedur perbadiga A da B adalah sebagai berikut: Atura 1: Tetuka R(A ) da R(B ) Jika R(A ) > R(B ), maka A > B Jika R(A ) < R(B ), maka A < B Jika R(A ) = R(B ), maka lajut pada tahap ke 2 Atura 2 : Tetuka mod(a ) da mod(b ) Jika mod(a ) > mod(b ), maka A > B Jika mod(a ) < mod(b ), maka A < B 98 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
Jika mod(a ) = mod(b ), maka lajut pada tahap ke 3 Atura 3: Tetuka w 1 ad w 2 Jika w 1 > w 2 s(a ) > s(b ), maka A > B Jika w 1 < w 2 s(a ) < s(b ), maka A < B Defiitio 3.1. Pemrograma Liear Fuzzy. Suatu himpua bilaga real {x j } dikataka Pemrograma Liear Fuzzy apabila memeuhi ketetua berikut: Ma x(mi ) z = c jx j j=1 j=1 a ij x j (,, )b i, i = 1,2,, m (1) x j 0, j = 1,2,, Defiitio 3.2. Pemrograma Liear crips. Suatu himpua bilaga real {x j } dikataka Pemrograma Liear Fuzzy apabila memeuhi ketetua berikut: Max(Mi) z = R(c j)x j j=1 dimaa R(c j), R(a ij ), R(b i) R j=1 R(a ij )x j (, =, )R(b i), i = 1,2,, m (2) x j 0, j = 1,2,, Defiitio 3.3 Solusi Optimal Pemrograma Liear Fuzzy. Suatu himpua bilaga real {x j } dikataka solusi optimal pemrograma liear fuzzy apabila memeuhi ketetua-ketetua berikut: (i) j=1 a ij x j (,, )b i, i = 1, 2,..., m (ii) x j 0 (iii) Apabila terdapat suatu himpua bilaga real {x j } demikia sehigga j=1 a ij x j (,, )b i ad x j 0, j = 1, 2,..., maka j=1 c jx j j=1 c jx j (permasalaha miimasi) ad j=1 c jx j j=1 c jx j (permasalaha maksimasi) Defiitio 3.4. Solusi Tak Terbatas Pemrograma Liear Fuzzy Suatu himpua bilaga real {x j } dikataka solusi fuzzy tak terbatas pemrograma liear fuzzy apabila memeuhi ketetua-ketetua sebagai berikut: (i) j=1 a ij x j (,, )b i, i = 1, 2,..., m (ii) x j 0 (iii) Apabila terdapat suatu bilaga fuzzy A demikia sehigga 99 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
j=1 a ij x j (,, )b i ad x j 0, j = 1, 2,..., maka j=1 c jx j > A, j = 1, 2,..., Defiitio 3.5. Tidak ada solusi fuzzy Pemrograma Liear Fuzzy Suatu himpua bilaga real {x j } dikataka tidak ada solusi fuzzy pemrograma liear fuzzy apabila tidak terdapat {x j } yag memeuhi j=1 a ij x j (,, )b i, i = 1, 2,..., m Teorema 3.6. Solusi Optimal Pemrograma Liear Fuzzy. Misalka suatu himpua bilaga real {x j } merupaka solusi optimal dari pemrograma liear (2). Apabila {x j } solusi optimal maka {x j } juga merupaka solusi optimal utuk pemrograma liear fuzzy (1). Teorema 3.7 Solusi Tak Terbatas Pemrograma Liear Fuzzy Misalka suatu himpua bilaga real {x j } merupaka solusi utuk pemrograma liear crips (2). Apabila z(x j ) solusi tak terbatas utuk pemrograma liear crips (2), maka z (x j ) solusi tak terbatas utuk pemrograma liear fuzzy (1). Teorema 3.8 (Tidak ada solusi) Misalka suatu himpua bilaga real {x j } merupaka solusi dari pemrograma liear crips (2). Apabila z(x j ) buka solusi utuk pemrograma liear crips (2), maka tidak ada solusi utuk pemrograma liear fuzzy (1). 2. METODOLOGI Metode Zimmerma (Zimmerma Method (ZM)) Misalka diketahui permasalaha pemrograma liear fuzzy model Zimmerma. Fugsi Objektif: Max z = cx s.t. Ax b, x 0 (3) da Fugsi Objektif: Max z = cx s.t. Ax b + p, x 0 (4) dimaa p = (p 1, p 2, ) merupaka ilai-ilai yag ditetuka oleh pegambil keputusa[1]. Misalka secara beruruta solusi optimal dari (3) da (4) adalah z 1 100 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
da z 2, selajutya pilih b 0 = z 2 da p 0 = b 0 z 1. Berdasarka iformasi tersebut maka model (4) dapat ditrasformasi mejadi: Fugsi Objektif: Maks λ s.t. cx b 0 (1 λ)p 0 ; A(x) i b i + (1 λ)p i, i = 1,2,3,, m; (5) x 0; λ [0,1] Solusi optimal model (6) aka sama dega solusi optimal model (4). Tahapa peelesaia dega metode Zimmerma (Zimmerma Method (ZM)) adalah sebagai berikut: Fugsi Objektif: Maks λ s.t. 1 A i (x) λ 0, i = 0,1,2,, m; x 0 (6) Misalka (x, λ ) merupaka solusi optimal model (5). Tahap selajutya yaitu meetuka solusi optimal permaalaha pemrograma liear fuzzy sebagai berikut: m Fugsi Objektif: Max i=0 i s.t. 1 A i (x) λ i A i (x ), i = 1,2,, m; x 0 (7) Metode IZM Maleki[7] memperbaiki prosedur metode Zimmerma dega algoritma berikut. Misalka diketahui suatu permasalaha pemrograma liear fuzzy seperti pada model (1), lagkah selajutya yaitu memilih ilai b 0 R da p i > 0, i = 1, 2,, m dari variabel keputusa. Berdasarka iformasi tersebut aka diperoleh permasalaha pemrograma liear fuzzy model Zimmerma (5). Jika model (5) tidak mempuyai solusi yag fisibel, maka proses peyelesaia dihetika. Jika model (3) mempuyai solusi optimal alteratif da misalka (x*, λ*) merupaka solusi optimal model (1), maka permaalaha pemrograma liear fuzzyya mejadi: Fugsi Objektif: Maks λ s.t. cx b 0 (1 λ)p 0 ; A(x) i b i + (1 λ)p i, i = 1,2,3,, m; (8) x 0; λ [0,1] Apabila model (1) tidak mempuyai solusi optimal, maka misalka (x, λ ) merupaka satu-satuya solusi optimal maka z = cx merupaka ilai z terbaik dega tigkat kepuasa A 0 = 1 b 0 cx ad tigkat kepuasa utuk fugsi p 0 kedala atau costrai adalah A i = 1 (Ax ) i b i, i = 1,2,, m. Apabila solusi model (4) adalah tidak terbatas, maka model (3) tidak mempuyai solusi optimal terbatas, dega demikia proses peyelesaia berheti. Apabila tidak, misalka λ** merupaka solusi optimal model (8), maka the z = cx merupaka ilai p 0 101 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
z terbaik dega tigkat kepuasa utuk fugsi objektif adalah A 0 = 1 b 0 cx p 0 da tigkat kepuasa utuk fugsi kedala/costrai A i = 1 (Ax ) i b i, i = p 0 1,2,, m. Metode Pegembaga Zimmerma Metode Pegembaga Zimmerma merupaka suatu usula peyelesaia permasalaha pemrograma liear fuzzy dega prosedur sebagai berikut: Lagkah 1 Misalka p 0 merupaka suatu bilaga real yag diperoleh berdasarka iformasi metode Zimmerma, selajutya Lagkah 2 Dega megguaka defiisi 2.3 model permasalaha pemrograma liear fuzzy ditrasformasi mejadi: Fugsi objektif: Ma x(mi ) Z c 1x 1 c 2x 2 c x (9) s.t. Where a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1 x (,, ) b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2 x (,, ) b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a m x (,, ) b m x 0 c j = (c j 1 2 p 0, c j 1 3 p 0, c j + 1 3 p 0, c j + 1 2 p 0) a ij = (a ij 1 2 p 0, a ij 1 3 p 0, a ij + 1 3 p 0, a ij + 1 2 p 0) b i = (b i 1 2 p 0, b i 1 3 p 0, b i + 1 3 p 0, b i + 1 2 p 0) Lagkah 3 Guaka fugsi peragkiga utuk megkoversi permasalaha pemrograma liear fuzzy (9) ke dalam permasalaha pemrograma liear crips (3). Fugsi Objektif: Maks/Mi Z = R(c 1)x 1 + R(c 2)x 2 + + R(c )x s.t R(a 11 )x 1 + R(a 12 )x 2 + + R(a 1 )x (, =, ) R(b 1) R(a 21 )x 1 + R(a 22 )x 2 + + R(a 2 )x (, =, ) R(b 2) R(a m1 )x 1 + R(a m2 )x 2 + + R(a m )x (, =, ) R(b m) (10) 102 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
x 0 Apabila permasalaha pemrograma liear crips (10) mempuyai solusi tidak terbatas, maka permasalaha pemrograma liear fuzzy (9) juga mempuyai solusi yag tidak terbatas. Sedagka apabila permasalaha pemrograma liear crips (10) tidak mempuyai solusi, maka permasalaha pemrograma liear fuzzy (9) juga tidak mempuyai solusi da apabila kodisi laiya terjadi berlajut pada lagkah 4. Lagkah 4 Misalka x* = (x 1, x 2,, x ) merupaka solusi optimal dari permasalaha pemrograma liear crips (10), maka Z max (x ) merupaka solusi optimal utuk permasalaha pemrograma liear fuzzy (9). 3. HASIL/TEMUAN DAN PEMBAHASAN Kasus 1 Misalka diketahui suatu model pemrograma liear fuzzy sebagai berikut: Fugsi Objektif: Ma x z = x 1 + x 2 x 1 + 2x 2 10 s.t. 2x 1 + x 2 3, x 1, x 2 0 (11) 2x 1 + x 2 12 Kasus 2 (Kasus Tidak ada solusi) Misalka diketahui suatu model pemrograma liear fuzzy sebagai berikut: Fugsi Objektif: Ma x z = x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 6x 1 2x 2 30 s.t. x 1 + 10x 2 10, x 1, x 2 0 (12) x 1 + 3x 2 15 3x 1 + x 2 17 Kasus 3 (Kasus Tidak terbatas) Misalka diketahui suatu model pemrograma liear fuzzy sebagai berikut: Fugsi Objektif: Ma x z = x 1 + 2x 2 2x 1 + x 2 10 s.t. x 1 + 2x 2 8, x 1, x 2 0 (13) x 2 15 Solusi dari tiga kasus yag diselesaika dega ZM (Zimmerma Method), IZM, da metode Pegembaga Zimmerma tersaji pada Tabel 1. Berdasarka Tabel 1 diperoleh iformasi bahwa utuk kasus tidak ada solusi hasil peyelesaia 103 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
dega ZM (Zimmerma Method) dapat diperbaiki atau ditigkatka oleh hasil peyelesaia dega IZM yag dikembagka oleh Maleki. Sedagka utuk kasus-kasus solusi tidak terbatas lokal hasil peyelesaia dega ZM da IZM daat diperbaiki atau ditigkatka oleh hasil peyelesaia dega metode Pegembaga Zimmerma. Tabel 1. Perbadiga Hasil Peyelesaia dega Metode Zimmerma, IZM, da Pegembaga Zimmerma Kasu s 1 2 3 Metode Miimal Z op Rata-rata Z op Maksimal Z op ZM 3-7 1 3 IZM 3-8 2 3 Pegembag a Zimmerma 3 4 s.d. 8 9 ZM 7 2 3-7 2 3 IZM Tidak ada - Tidak ada solusi solusi Pegembag a Zimmerma Pegembag a Zimmerma Tidak ada solusi Tidak ada solusi Tidak ada solusi ZM 4-8 IZM - - 8 Tidak Tidak terbatas terbatas Tidak terbatas 4. KESIMPULAN Algoritma peyelesaia yag diusulka dalam artikel ii mudah da sederhaa. Beberapa ilustrasi di atas meujukka bahwa apabila usula ilai p 0 berdasarka iformasi metode Zimmerma, hal ii memugkika bahwa hasil peyelesaia ZM da IZM tidak memberika ilai terbaik utuk fugsi tujuaya. Selai itu, jika fugsi tujuaya memiliki solusi tidak terbatas maka solusi dega ZM da IZM tidak meemukaya. 104 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8
5. DAFTAR PUSTAKA [1]. R. E., Bellma ad L. A., Zadeh, Decisio Makig i a Fuzzy Evromet (Maagemet Sciece, vol. 17, New York City, 1970), pp. 141-164. (Joural) [2]. H. Taaka, Okuda ad K. Asai, O fuzzy mathematical programmig, Joural of Cyberetics, 3(4) (1974), 37-46. (Joural) [3]. Zimmerma H. J., Fuzzy Programmig ad Liear Programmig with Several Objective Fuctios, Fuzzy Sets ad Systems, 1 (1978) 45-55. (Joural) [4]. M. R. Safi, H.R. Maleki ad E. Zaeimazad, A ote o the Zimmerma Method for solvig fuzzy liear programmig problems, Iraia Joural of Fuzzy System Vol. 4, No. 2, (2007) pp. 31-45. (Joural) [5]. Y.I.P. Thorai ad R. Shakar, Fuzzy assigmet problem with geeralized fuzzy umbers, Applied Mathematical Scieces, Vol. 7, 2013, o. 71, 3511-3537. (Joural) [6]. A. Kumar ad N. Bhatia, Sesitivity Aalysis for Iterval-Valued Fully Fuzzy Liear Programmig Problems, (Joural of Applied ad Techology, vol. 10, Mexico, 2012), pp. 871-883. (Joural) [7]. Lukma, ad Sufyai P., Sesitivity Aalysis Of Liear Programmig Model With Parameter Coefficiets Of The Objective Fuctio I The Form Of Triagular Fuzzy Numbers, i MSCEIS 2013 Proceedig, edited by Hertie, et.al. (Faculty of Mathematics ad Sciece Educatio, Badug, 2013), pp 45 50. (Proceedig) [8]. Thorai Y.I.P., Phai, ad Ravi S., Orderig Geeralized Trapezoidal Fuzzy Number, (It. Math Scieces, vol.7, o 12, ----, 2012), pp. 555-573. (Joural) 105 E u r e k a M a t i k a, V o l. 6, N o. 2, 2 0 1 8