Bab 1 Fungsi, Grafik, dan Limit MA1103 Matematika Bisnis I Semester I Tahun 2018/2019 SBM K- Dosen: Dr. Rinovia Simanjuntak rino@math.itb.ac.id CAS Lt. 3
1.1 Fungsi 2
Fungsi Fungsi adalah aturan yang mengaitkan setiap obyek di himpunan A ke tepat satu obyek di himpunan B. Himpunan A disebut domain fungsi, dan himpunan obyek hasil pengaitan di B disebut daerah hasil range). 3
Pengaitan mana yang merupakan suatu fungsi? f A B A f B A f B 4
Relasi dalam fungsi dinotasikan dengan y = f), di mana dan y disebut variabel: y adalah variabel tak bebas dan adalah variabel bebas. Contoh. y = f ) = 2 + 4 Perhatikan bahwa dan y dapat diganti dengan huruf lain. Sebagai contoh, fungsi di atas dapat ditulis sebagai s = t 2 + 4 5
Fungsi dalam Tabel Data Tabel 1.1 Rata-rata Tuition and Fees untuk Universitas Swasta di Amerika Serikat Tahun akademik n 1973 1 $1,898 1978 2 $2,700 1983 3 $4,639 1988 4 $7,048 Tuition and Fees 1993 5 $10,448 1998 6 $13,785 2003 7 $18,273 6
Data dapat dinyatakan sebagai fungsi fn)= [rata-rata tuition and fees pada awal periode 5 tahunan ke-n] Dengan demikian, f 1) = 1,898, f 2) = 2,700,, f 7) = 18,273 Domain dari f adalah himpunan bilangan bulat A ={1,2,...,7} 7
Kadangkala suatu fungsi didefinisikan melalui lebih dari satu formula, di mana setiap formula mendeskripsikan fungsi pada suatu subhimpunan dari domain. Contoh. f ) = 1 1 2 3 + 1 if if 1 1 Tentukan f-1/2), f1), dan f2). 8
Domain Alami Domain alami dari fungsi f adalah himpunan semua bilangan real di mana f) terdefinisi dengan baik. Terdapat 2 hal yang sering dipertimbangkan: 1) pembagian dengan 0 2) akar genap dari bilangan negatif Contoh. Tentukan domain alami dan daerah hasil fungsi berikut. 1. 1 f ) = 1 2 4 2. g u) = u + 2 9
Fungsi yang digunakan di Ekonomi Fungsi permintaan demand function) p = D) adalah fungsi yang menghubungkan harga satuan p dari suatu komoditas terhadap banyaknya permintaan konsumer ). Fungsi penghasilan total revenue function) adalah R = banyak unit terjual harga satuan = p = D) Jika C) adalah biaya produksi unit, maka fungsi keuntungan profit function) adalah P) = R) C) = D) C) 10
Contoh Hasil penelitian menunjukkan bahwa consumer akan membeli ribu unit mesin kopi tertentu pada saat harga satuan adalah p = 0.27 + 51 dolar. Ongkos produksi dari ribu unit adalah C = 2.23 2 + 3.5 + 85 ribu dollar. a. Tentukan fungsi penghasilan dan keuntungan, R) and P), untuk proses produksi ini? b. Nilai manakah yang memberikan keuntungan bagi proses produksi ini? 11
Fungsi Komposisi Diberikan dua fungsi fu) dan g), fungsi komposisi fg)) adalah fungsi dari yang diperoleh dengan mensubstitusi u = g) dalam formula fu). Contoh. Tentukan fungsi komposisi fg)), dengan f u = u 3 + 1 dan g) = + 1. Bagaimana dengan gf))? Secara umum, fg)) dan gf)) tidak sama. 12
1.2 Grafik Fungsi 13
Grafik Grafik fungsi f memuat semua titik, y) dengan merupakan anggota domain f dan y = f). Sistem koordinat, sumbu horisontal, sumbu vertikal. f ) 2 = + + 2-3 -2-1 0 1 2 3 4 f) -10-4 0 2 2 0-4 -10 14
Titik potong Titik potong terhadap sumbu : y = 0 Titik potong terhadap sumbu y: y 0 = f 0. Contoh. Tentukan titik potong terhadap sumbu dan y untuk fungsi f ) 2 = + + 2 15
Uji Garis Vertikal Suatu kurva adalah grafik dari fungsi jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari satu kali. 16
Parabola Merupakan grafik dari persamaan kuadrat y = A 2 + B + C, dengan A 0. Parabola berbentuk U dan membuka ke atas jika A > 0 dan ke bawah jika A < 0. Titik maksimum atau minimum dari parabola disebut verteks, dan terjadi pada = B 2A. 17
Contoh. Pada suatu pabrik, suatu komoditas dapat dijual seharga p = 60 dollar jika komoditas terebut diproduksi sebanyak ratus unit. Kapankah perhasilan akan mencapai nilai maksimum? Dan berapakah penghasilan maksimum tersebut? 18
Fungsi Pangkat, Polinom, dan Rasional Fungsi pangkat: f = n, di mana n bilangan real. Fungsi polinom: p = a n n + a n 1 n 2 + + a 1 + a 0, di mana n adalah bilangan tak negative dan a 0, a 1,, a n konstanta. Jika a n 0, n disebut derajat dari polinom. Fungsi rasional: Hasil bagi p) q) dari dua polinom p) dan q). 19
Perpotongan Dua Grafik Kadangkala perlu ditentukan kapan dua fungsi memiliki nilai yang sama. Sebagai contoh, seorang ekonom mungkin ingin menghitung harga pasar pada saat banyaknya permintaan demand) konsumen sama dengan banyaknya penawaran supply). 20
1.3 Fungsi Linear 21
Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi yang berubah dengan laju konstan terhadap variabel bebasnya. Grafik dari fungsi linear adalah suatu garis lurus. Fungsi linear dapat dituliskan dalam persamaan y = m + b, dengan m dan b konstanta. 22
Kemiringan Garis Kemiringan dari garis bukan garis vertical) yang melalui titik 1, y 1 ) dan 2, y 2 ) adalah perubahan dalam y = y = y 2 y 1 perubahan dalam 2 1 23
Persamaan Garis Bentuk kemiringan titik potong: Persamaan y = m + b adalah persamaan garis dengan kemiringan m dan perpotongan dengan sumbu-y adalah 0, b). Bentuk titik kemiringan: Persamaan y y 0 = m 0 ) adalah persamaan garis yang melalui titik 0, y 0 dengan kemiringan m. m = 0 + 0.5) 1.5 0) = 1 3 Bentuk kemiringan titik potong y 1 = 3 1 2 Bentuk titik kemiringan yang melalui titik 1.5,0) 1 y 0 = + 1.5) 3 24
Tabel berikut memberikan prosentase dari pengangguran selama dekade 1991-2000. Gambarkan grafik dengan tahun setelah tahun 1991) pada sumbu- dan prosentase pengangguran pada sumbu-y. Apakah titik-titik tersebut memiliki pola? Berdasarkan data ini, dapatkah prosentase pengangguran di tahun 2005 diperkirakan? Number of Years Percentage of Year from 1991 Unemployed 1991 0 6.8 1992 1 7.5 1993 2 6.9 1994 3 6.1 1995 4 5.6 1996 5 5.4 1997 6 4.9 1998 7 4.5 1999 8 4.2 2000 9 4.0 25
Garis Paralel dan Tegak Lurus Misalkan m 1 dan m 2 adalah kemiringan dari dua garis tak vertical L 1 dan L 2. L 1 dan L 2 sejajar jika dan hanya jika m 1 = m 2. L 1 dan L 2 tegak lurus jika dan hanya jika m 1 m 2 = 1. 26
Contoh. Misalkan L adalah garis 4 + 3y = 3. a. Tentukan persamaan garis L 1 yang sejajar dengan garis L dan melalui titik P 1,4). b. Tentukan persamaan garis L 2 yang tegak lurus dengan garis L dan melalui titik Q2, 3). 27
1.4 Model Fungsional 28
Model Fungsional Untuk menganalisa masalah dunia nyata, prosedur yang sering dilakukan adalah membuat asumsi yang menyederhanakan masalah sehingga diperoleh deskripsi matematika. Proses ini disebut pemodelan matematika dan masalah yang telah dimodifikasi berdasarkan asumsi yang menyederhanakan disebut model matematika. adjustments Testing Prediction Real-world problem Interpretation Formulation Mathematical model Analysis 29
Einasi Variabel Kadang fungsi dapat disederhanakan dengan mengeinasi suatu variabel. Jika fungsi pada awalnya merupakan fungsi dengan 2 variabel, setelah dieinasi akan menjadi fungsi dengan 1 variabel. Contoh. Suatu rest area akan dibangun di suatu jalan tol. Area tersebut berbentuk persegi panjang dengan luas 5,000 meter persegi dan akan dipagari pada 3 sisi yang tidak terletak pada jalan tol. Ekspresikan panjang pagar yang diperlukan sebagai fungsi dari panjang sisi yang tidak dipagari. 30
31
Pemodelan dalam Bisnis dan Ekonomi Suatu pabrik memproduksi CD kosong dengan biaya produksi $2 per CD. CD tersebut telah terjual dengan harga $5 per buah, pada saat konsumen membeli 4000 CD setiap bulan. Pabrik tersebut merencanakan untuk menaikkan harga CD dan memperkirakan bahwa setiap kenaikan harga $1 akan mengurangi penjualan sebanyak 400 CD per bulan. a. Ekspresikan keuntungan bulanan dari pabrik sebagai fungsi dari harga jual CD. b. Sketsa grafik fungsi keuntungan. Berapakah harga yang berkorespondensi dengan keuntungan maksimum? Berapakah keuntungan maksimum? 32
33
Kesetimbangan Equilibrium) Pasar Hukum Permintaan Demand) dan Penawaran Supply) Dalam pasar bebas, penawaran biasanya akan menyamai permintaan, dan pada saat hal tersebut terjadi, pasar dikatakan berada dalam keadaan setimbang equilibrium). Fungsi permintaan: p = D) Fungsi penawaran: p = S) Harga kesetimbangan: p e = D e) = S e) Kekurangan Shortage): D) > S) KelebihanSurplus): S) > D)
Contoh. Suatu riset pasar menemukan bahwa pabrik akan menawarkan unit dari suatu komoditas ke pasar ketika harga komoditas tersebut adalah p = S) dolar per unit. Sebanyak unit yang sama akan diminta konsumen ketika harganya adalah p = D) dolar per unit, dengan fungsi permintaan dan penawaran sebagai berikut. S = 2 + 14 D = 174 6 a. Pada level produksi dan harga satuan p berapakah titik kesetimbangan terjadi? b. Sketsa grafik penawaran dan permintaan, p = S) dan p = D), dan berikan interpretasi Anda. 35
36
Analisa Impas Break-Even) Pada tingkat produksi yang rendah, produsen biasanya merugi, namun pada tingkat produksi yang lebih tinggi, produsen bias meraup keuntungan. Titik impas break-even point): Titik pada saat penghasilan total revenue) sama dengan biaya produksi total cost). 37
Contoh 1. Suatu produsen menjual produk dengan harga $110 per unit. Biaya produksi terdiri dari overhead seharga $7500 ditambah biaya produksi $60 per unit. a. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai titik impas? b. Berapakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh jika dijual 100 unit. c. Berapa unit yang harus dijual agar tercapai keuntungan $1250? 38
Contoh 2. Suatu perusahaan penyewaan mobil memberikan harga $25 ditambah 60 sen setiap mil yang ditempuh. Sedangkan perusahaan kedua memberikan harga $30 ditambah 50 sen per mil. Perusahaan manakah yang memberikan penawaran terbaik? 39
1.5 Limit 40
Limit Apa yang terjadi pada f) pada saat mendekati suatu bilangan c yang bisa jadi tidak terletak pada domain f? Ilustrasi. Pada suatu pabrik, jika persen dari kapasitas digunakan, maka biaya produksi adalah C = 82 636 320 ratus ribu dolar. 2 68 960 Agar dapat dilakukan perawatan, perusahaan pemilik pabrik tersebut memiliki kebijakan agar tidak lebih dari 80% kapasitas pabrik digunakan pada waktu tertentu. Berapakah biaya produksi yang akan terjadi jika pabrik tersebut digunakan kapasitasnya secara penuh dalam batas yang diperbolehkan? 41
Apakah jawaban pertanyaan ini adalah dengan memberikan nilai C80)? Namun demikian, dapat dievaluasi nilai C) untuk yang mendekati 80 dari sebelah kiri < 80) dan kanan > 80): approaches 80 from the left approaches 80 from the right 79.8 79.99 79.999 80 80.0001 80.001 80.04 C) 6.99782 6.99989 6.99999 7.000001 7.00001 7.00043 Terlihat bahwa C) akan semakin dekat ke 7 pada saat semakin dekat ke 80. Ini dapat dituliskan sebagai C = 7. 80 42
Limit Jika f) mendekati bilangan L pada saat semakin mendekati c dari kedua arah, maka L adalah it dari f) pada saat mendekati c. Ini dinotasikan dengan c f = L 43
Contoh Gunakan tabel untuk menduga nilai 1 1 1. 1 Misalkan f = dan akan dihitung nilai f) untuk beberapa 1 nilai yang mendekati 1 dari kiri maupun kanan. 1 0.99 0.999 0.9999 1 1.00001 1.0001 1.001 f) 0.50126 0.50013 0.50001 0.499999 0.49999 0.49988 Dari tabel, terlihat bahwa f) mendekati 0.5 pada saat mendekati 1. Atau, 1 1 1 = 0.5 44
Perlu diingat bahwa it memberikan sifat fungsi di sekitar titik tertentu, namun belum tentu pada titik itu sendiri. Tiga fungsi dengan 3 f = 4. 45
Apa yang terjadi pada fungsi berikut pada saat mendekati 2? Gambar a): Fungsi tidak memiliki it pada saat mendekati 2. Gambar b): Fungsi tidak memiliki it yang hingga pada saat mendekati 2. Ini dinamakan it tak hingga. 46
Sifat Limit ) ) )] ) [ g f g f c c c + = + ) ) )] ) [ g f g f c c c = for any constant ) ) k f k kf c c = 47 )] )][ [ )] ) [ g f g f c c c = 0 ) if ) ) ] ) ) [ = g g f g f c c c c eists )] [ if )] [ )] [ p c p c p c f f f = Jika c f dan c g ada, maka
Untuk sebarang konstanta k, c k = k. = c. c 48
Contoh Tentukan a) 3 3 1 4 + 8) b) 3 3 0 8 2 49
Limit Fungsi Polinom dan Rasional 50 Jika p) dan q) adalah fungsi polinom, maka dan ) ) c p p c = 0 ) if ) ) ) ) = c q c q c p q p c Contoh. Tentukan 2 1 2 +
Bentuk Tak Tentu Jika f) = 0 dan g) = 0, maka dikatakan c c g) memiliki bentuk tak tentu. c f) Contoh. Tentukan a. b. 2 1 1 2 3 + 1 1 1 2 51
Limit yang Melibatkan Ketakhinggaan Limit di Tak Hingga Jika f) makin mendekati L pada saat membesar tanpa batas, kita tulis f = L. Jika f) makin mendekati L pada saat mengecil tanpa batas, kita tulis f = L. 52
Untuk konstanta A dan k, dengan k > 0, A A = 0 and = 0 + k k Contoh. 1. Tentukan 2 + 1+ + 2 2 2. Tentukan 4 2 3 8 + 2 + 4 5 + 1 53
Limit Tak Hingga Jika f) membesar atau mengecil tanpa batas pada saat mendekati c, maka kita tulis f ) = + c or f ) = c Contoh. Tentukan 2 ) 2 2 54
1.6 Limit Sepihak dan Kekontinuan 55
Limit Sepihak Jika f) mendekati L pada saat mendekati c dari kiri < c), kita tulis f) = L c dan L disebut it kiri. Jika f) mendekati M pada saat mendekati c dari kanan > c), kita tulis f) = M c dan M disebut it kanan. 56
Contoh. Untuk fungsi evaluasi it sepihak dan 57 + = 2 if 1 2 2 if 1 ) 2 f ) 2 f ) 2 f +
Eksistensi Limit Limit c + f ) c dan f ) ada jika dan hanya jika kedua it sepihak c f ) ada dan bernilai sama, sehingga f ) = f ) = c + c c f ) Contoh. Tentukan + 1 2 2 58
1 f ) tidak ada! Pada = 1: f ) = 0 1 1 ) f = 1 + f 1) = 1 it kiri it kanan nilai fungsi 59
2 f ) ada! Tapi tidak sama dengan f2)! Pada = 2: 2 ) f = 1 2 ) f = 1 + f 2) = 2 it kiri it kanan nilai fungsi 60
3 f ) ada! Pada = 3: 3 ) f = 2 3 ) f = 2 + f 3) = 2 it kiri it kanan it fungsi 61
Ketidakadaan Limit Sepihak Pandang fungsi f ) = sin1/ ) Pada saat mendekati 0 dari kiri atau kanan, f) berosilasi di antara 1 dan 1. Akibatnya kedua it sepihak di sekitar 0 tidak ada. 62
Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu jika grafiknya dapat digambarkan dalam satu tarikan tidak ada lubang atau loncatan). 63
Lubang pada = c 64
Lompatan pada = c 65
Fungsi f kontinu di c jika ketiga kondisi berikut terpenuhi: a. fc) terdefinisi b. c f) ada c. c f) = fc) Jika f tidak kontinu di c, maka f diskontinu di titik tersebut. 66
f kontinu pada = 3. Pada = 1: 1 + f ) 1 f ) diskontinu Pada = 2: 2 + f ) = 2 f ) f 2) diskontinu Pada = 3: 3 + f ) = 3 f ) = f 3) kontinu 67
68 Kekontinuan Fungsi Polinom dan Rasional Jika p) dan q) polinom, maka ) ) c p p c = 0 ) if ) ) ) ) = c q c q c p q p c Fungsi polinom dan rasional kontinu pada daerah definisinya.
Contoh. + 1 = 1. Tunjukkan bahwaf ) kontinu pada 2 = 3. 2. Tentukan di mana fungsi berikut tidak kontinu. 69
70 Contoh. Diskusikan kekontinuan dari fungsi-fungsi berikut. + = + = = 1 if 2 1 if 1 ). 1 1 ). 1 ). 2 h c g b f a
Contoh. 1. Untuk nilai A berapa saja, fungsi berikut akan kontinu untuk semua bilangan real? A + 5 if 1 f ) = 2 3 + 4 if 1 2. Tentukan nilai a dan b sehingga fungsi berikut kontinu di mana-mana. a if -1 2 f ) = + a b if 1 1 b if 1 71
Kekontinuan pada Selang Fungsi f dikatakan kontinu pada selang buka a < < b jika f kontinu pada setiap titik = c dalam selang tersebut. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutup a b, jika f kontinu pada selang buka a < < b, a + f = fa) dan f = fb). b Contoh. f = 1 2 kontinu pada 1,1. 72
Contoh. Diskusikan kekontinuan fungsi f ) pada selang buka 2 < < 3dan pada selang tutup 2 3. + = 2 3 73