Kalkulus 1 MA1104 Sistem Bilangan Riil Dr. I W. Sudarsana Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako
Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional R : bilangan real Contoh bilangan irasional:,,π
Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(riil) - 0 1 π Selang Himpunan bagian dari garis bilangan riil disebut selang
Selang Jenis-jenis selang Himpunan selang < a (,a) { } { } a (,a] { } < ( ) a < b { } a b a,b [ ] { } a,b > b ( b, ) { } b [ b, ) { R} (, ) Grafik a a a a b b b b 4
Sifat sifat bilangan real Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz 5
Pertidaksamaan Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A B ( ) ( ) < D( ) E( ) dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 6
Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) Q( ) < 0, dengan cara : 7
Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul 8
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 1 5 1 5 16 8 4 8 4 8 Hp = [ 4,8] 4 8 9
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian < 6 4 8 < 4 8 > 4 4 < 8 1 < 8 Hp 1 =, 1 10
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5 < 0 ( 1)( ) < 0 Titik Pemecah (TP) : 1 = dan = -- Hp = 1 1, 11
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4 4 6 7 6 4 6 7 dan 6 7 6 7 6 4 dan 7 6 6 9 10 dan 10 0 10 9 dan 10 0 10 9 dan 0 1
10 9 Hp =, [ 0, ) 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 1
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5. 1 < 1 1 1 < 0 1 1 ( 1) ( ) ( 1)( 1) ( 1)( 1) TP : -1, 1, < 0 < 0 -- -1 -- 1 Hp = ( ) 1, 1, 14
15 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1 0 1 ( )( ) ( ) ( )( ) 0 1 ( )( ) 0 6.
Untuk pembilang mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. -- -- - Hp = (, ) (, ) 16
Pertidaksamaan nilai mutlak Nilai mutlak ( ) didefinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak : =,, < 0 0 17
18 Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: y y = = a a a a 0, a a a 0, atau a y y 6. Ketaksamaan segitiga y y 1 4 5 y y
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 5 < Kita bisa menggunakan sifat ke-. < 5 < 5 < < 5 < < 8 1 < < 4 1,4 Hp = ( ) 1 4 19
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian. 5 < Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. ( 5) < 9 4 0 16 < 0 4 0 5 < 9 10 8 < 0 ( )( 4) < 0 TP : 1, 4 Hp = ( 1,4 ) -- 1 4 0
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi. 4 Kita bisa menggunakan sifat 4 5 ( ) ( 4 5) 4 1 9 16 1 8 16 7 4 0 4 TP :, -1 0 40 5 1
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : 4 -- -1 4 Hp =, (, 1]
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4. 7 7 atau 7 5 atau 9 10 18 Hp = atau [ 10, ) (, 18] -18-10
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 1 Kita definisikan dahulu : = < 1 = 1 1 1 < 1 Jadi kita mempunyai interval : I II III,1 ( ) [ 1,) [, ) -1 4
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian < 1 (,1) 1 I. Untuk interval atau ( ) ( 1) 6 1 7 9 9 9 atau, 9 5
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp1 = 9, (, 1) -1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (,1) sehingga Hp1 = (,1) 6
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval 1 < atau [ 1,) 1 ( ) ( 1) 6 1 5 4 4 7 4 7 7 4 atau, 7 4 7
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 4 Jadi Hp =, [ 1, ) -1 7 4 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7 1, 7 4 sehingga Hp = 1, 4 8
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval 1 ( ) ( 1) 6 1 7 5 5 atau atau [, ) 5, 9
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5 Jadi Hp =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp = 5, 0
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp Hp 7 5 Hp =, 4 ( ), 1 1, Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan 1
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1 7 4 5-1 7 5 4-1 7 4 5 Jadi Hp = 7 5,, 4
Soal Latihan 5 4 1 Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 1 4 4 1 5 6