Pembahasan Soal-Soal Latihan 1.1

Transkripsi

1 Pembahasan Soal-Soal Latihan. Oleh : Fendi Alfi Fauzi Anda pasti masih ingat bagaimana memanipulasi bilangan, tetapi tidak ada salahnya untuk mengulang kembali sejenak. Dalam Soal-soal 0, sederhanakanlah sebanyak mungkin. Pastikan untuk menghilangkan semua tanda kurung dan memudahkan semua pecahan.. ) ) + 0. [ )] [ )] [ + ] ). [ + ) 9)] [7) )] [ + ] 9). [ 7 + ) + ] + [ + ] + ) ) 0 7 ) 9 ) 7 7 [ + ) ] [ ) + ] [ ) + ] [ ) ] [ + ] + [ ] [ )]. [ )] )] [ )] [ [ ] [ ] [ ] 9

2 9. ) 7 ) ) / + 9) ) + 9 ) / + 9 ) ) ) ) / 9 9 ) ) ) ) ) + ) ). [ + ] [ + ] [ ] + ) [ + ) ] [ ] + [ ] ) + ) ) ) 9 0. ) ) ) ) ) 9 9 Sedikit latihan aljabar akan baik untuk mahasiswa kalkulus. Dalam Soal-soal -, lakukan operasi yang diminta dan sederhanakan.

3 . x ) x + ) x 9. x ) x x + 9. x 9) x + ) x + x x 9 x + x 9. x + ) x ) x x + x x + 0x. t t + ) t t + ) t t + ) t t + ) 9t t + t t + t t + t t + 9t t + 7t t +. t ) t )t )t ) t t + )t ) t t + t 7. x x x )x + ) x ) x +. x x x x )x + ) x ) x + 9. x x...? ingat kembali bahwa x a) x x a + xa a maka x a ) x a) + x a xa sehingga x x x ) + x x x x ) + xx ) x ) x ) + x x x + + x x + x x x x x + x x + x x + x + x x) xx x + ) x) x )x + ) x ) x )x + ) x + x + x x + x + x + ) + x x + x

4 x + x x + x + x xx + ) x + ) xx + ) x. y + y 9y y + y y + y 9y y + y y ) + y 9y y + y ) y ) + y y )y + ) + y + y ) y + ) + y + y + )y + ) y + )y ) y + ) + y + y + y + y + )y ) y + 9y + y + )y ).. x + x x x x x x+ + x x x + x x + x + x + ) x ) x + ) x ) x + ) x ) x + ) x + ) x ) x + ) x x x x+ + x x x x x )x ) + x x x x ) x ) x ) x x ) x ) x ) x x ) x ) x ) x x x + x ) x + ) 0x 0 x ) x + ) 0 x ) x + 0 : x ) + x ) x ) x ) x ) x ) x ) + x )

5 . Carilah nilai masing-masing yang berikut; jika tak terdenisi, katakan demikian a) dikalikan dengan bilangan apapun akan bernilai 0 b). 0 tak terdefenisi 0 c). 0 0 d). tak terdefenisi 0 e). 0 f) Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah tanpa arti sebagai berikut: Andaikan a 0. Jika a 0 Sekarang cari alasan mengapa 0 0 b, maka a b 0 0 yang merupakan kontradiksi. juga tanpa arti. 0 0 tak terdenisi. Jika kita misalkan x adalah hasil bagi dari 0 0 maka 0 x 0 sehingga 0 x 0. Maka berapapun nilai x pada himpunan bilangan Real akan memenuhi persamaan diatas mulai dari sampai + sehingga sangat banyak nilai x yang memenuhi. satu. Jadi 0 0 tak terdefenisi Tidak mungkin suatu pembagian punya hasil lebih dari 7. Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah. a). < 0 salah) b). > 9 benar) c). < 9 benar) d). > benar) e). 7 < 9 benar) f). 7 < 9 salah). Buktikan masing-masing jika a > 0, b > 0 a). a < b a < b a < b a < ab a < b ab < b Sehingga a < b b). a < b a > b a < b a b < sehingga b < a maka kita dapatkan a > b 9. Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu, artinya, buktikan bahwa: a < b a < a + b < b a < b a < a + b dan a < b a + b < b maka a < a + b < b sehingga a < a+b < b 0. Mana diantara yang berikut selalu benar jika a b? a). a b benar)

6 a b Pertaksamaan bernilai benar jika masing-masing dikurangi dengan sehingga) a b b). a b salah) a b Pertaksamaan dikalikan dengan ) sehingga a b c). a ab salah) a b pertaksamaan dikalikan dengan a dengan a < 0) a ab d). a a b a b pertaksamaan dikalikan dengan a baik a < 0 maupun a > 0 tetapi a akan selalu bernilai > 0 dan tanda ketaksamaan tidak akan berubah) a a b. Bilangan prima adalah bilangan asli bilangan bulat positif) yang hanya mempunyai dua bilangan asli pembagi, bilangan itu sendiri dan. Beberapa bilangan prima yang pertama adalah,,, 7,,, 7. Menurut Teorema Dasar Hitungan, setiap bilangan asli selain ) dapat kita tulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima. Misalnya,... Tuliskan masing-masing yang berikut sebagai suatu hasil kali bilangan-bilangan prima. Catatan: Hasil kali tersebut adalah trivial jika bilangan itu adalah prima yaitu, ia hanya mempunyai satu faktor a) 0... b) 0.. c) d) Gunakan Teorema Dasar Hitungan Soal ) untuk membuktikan bahwa kuadrat sebarang bilangan asli selain ) dapat kita tulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima, dengan masing-masing bilangan prima ini muncul sebanyak bilangan genap. Misaalnya, )... a b.b.c.d.d.d dimana b, c, dan d adalah bilangan prima a b.b.c.d.d.d) a b b c d d d ) b b b b b c c d d d d d d ) dari uraian di atas nampak bahwa kuadrat bilangan asli selain ) dapat kita tulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima dengan masing-masing bilangan prima mucul sebanyak bilangan genap

7 . Buktikan bahwa adalah tak tasional! Petunjuk : Andaikan p di mana p dan q adalah bilangan-bilangan asli bukan q ). Maka p sehingga q p. Sekarang gunakan Soal untuk menemukan q suatu kontradiksi. Andaikan p q p q sehingga p q p q q Sementara pada soal no. disampaikan bahwa bilangan asli selain ) dapat ditulis sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima, dengan masing-masing bilangan pima mucul sebanyak bilangan genap, sedangkan pada uraian di atas, angka hanya muncul sebanyak kali bukan sebanyak bilangan genap, sudah jelas bertentangan dengan Soal.. Buktikan bahwa adalah tak rasional lihat soal ) Andaikan adalah rasional maka dapat kita tuliskan menjadi p q dimana p dan q adalah bilangan-bilangan asli bukan ). p p q p q q q Terlihat bahwa angka hanya muncul sebanyak kali, bertentangan dengan pernyataan pada Soal. Terbukti bahwa takrasional.. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional. Pembahasan: Misalkan a dan b adalah bilangan rasional, maka dapat kita misalkan a m n dan b p dimana m, n, p, q adalah bilangan bulat. q a + b m + p mq+np n q nq Dari uraian diatas terbukti bahwa a + b dapat ditulis dalam bentuk x y dengan x mq + np dan y nq dimana x dan y adalah bilangan bulat. Jadi terbukti bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional. Buktikan bahwa hasilkali sebuah bilangan rasional selain 0) dengan sebuah bilangan takrasional adalah takrasional. Petunjuk: Coba buktikan melalui dengan kontradiksi misalkan: a bilangan rasional selain 0), dengan demikian a m, di mana m dan n n adalah bilangan bulat. b bilangan takrasional, Andaikan a.b rasional, dan dengan demikian a.b p p, di mana p dan q adalah bilangan bulat. Maka b pn q qa qm dari uraian di atas didapat bahwa b rasional bertentangan dengan hipotesis. Maka terbukti bahwa hasilkali bilangan rasional selain 0) dengan sebuah bilangan tak rasional adalah tak rasional 7. Mana di antara yang berikut rasional dan mana yang tak rasional? 7