BAB Sistem Bilangan Riil
Bilangan Riil Himpunan bilangan riil adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional Himpunan bilangan rasional, Q = { =, p dan q q Z, dengan q 0} contoh : 1 4 57,, 9 1 Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan bilangan rasional : * Himpunan bilangan asli, N = {1,,,.} * Himpunan bilangan bulat, Z = { -,-1,0,1,, } p
Himpunan bilangan irasional, p ir = { tidak dapat dinyatakan dalam bentuk } q contoh :, e, log 5, Teorema : Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama : contohnya : /8 = 0.75, atau 0.750000000. 1/11 =1.1818181818 Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya contoh : = 0.161616. y = 0.717171.. Buktikan dan y merepresentasikan bilangan rasional Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya, contoh : 0.101001000100001.
Bilangan Riil
Gambar N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b 0 Q Irasional Contoh Bil Irasional,,
Sifat-Sifat Bilangan Riil Untuk sebarang R berlaku sifatsifatnsebagai berikut: 1. Sifat komutatif. Sifat asosiatif. Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan 4. (i). (ii). (i). a b b a (iii). (ii). a. b b. a (i). a (ii). a. b c a b b. c a. b. c a. b. c c a b c a.( b c) ( a. b) ( a. c) a 1 a., b 0 b b a c ( a. d) ( b. c), b d b. d b 0, a c a. c., b 0, d 0 b d b. d d 0 5. (i). (ii). (iii). 6. (i)., untuk setiap bilangan (ii). (iii). a.( b) ( a). b ( a. b) ( a ).( b) a. b ( a) a 0 0 a a 0 a 1 a tak terdefinisikan untuk setiap bilangan 7. Hukum Kanselasi (i). Jika a. c b. c dan c 0 maka a b (ii). Jika b, c 0 maka a. c a b. c 8. Sifat pembagi nol jika a. b 0 maka a 0 atau b 0 b a a 0 0
Sifat-Sifat Bilangan Riil Sifat-sifat urutan : Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y Ketransitifan Jika < y dan y < z < z Penambahan Jika < y + z < y + z Perkalian Misalkan z bilangan positif, < y z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, < y z > yz
Latihan 1 Ubahlah masing-masing desimal berulang menjadi hasil bagi dua bilangan bulat. a. 0,111... b.,56565656...
Selang (Interval) Selang adalah himpunan bagian dari bilangan riil yang mempunyai sifat relasi tertentu.
Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah salah satu bentuk pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tandatanda <, >, atau. Contoh Pertidaksamaan: 1. 7 < 4. 5 + 6 < 4. 6 < 0 4. > 0
Pertidaksamaan Bentuk umum pertidaksamaan : A B D E dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0
Pertidaksamaan Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) 0, dengan cara : Q( )
Pertidaksamaan Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya. Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P() dan Q() diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 1. 1 5 1 5 16 8 4 4 8 8 Hp = 4,8 4 8
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian. 6 4 8 4 8 4 4 8 1 8 Hp 1, 1
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian. 5 0 1 0 Titik Pemecah (TP) : 1 dan ++ -- ++ Hp = 1 1,
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 4. 4 6 7 6 4 67 dan 6 7 6 7 6 4 dan 7 6 6 9 10 dan 10 0 10 9 dan 10 0 10 9 dan 0
10 9 Hp =, 0, 0 10 9 Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9
Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5. 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 -- -1 ++ -- ++ 1 Hp =, 1, 1 1 1 0 TP : -1, 1,
1 0 1 0 1 0 6. Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian
Untuk pembilang mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. -- ++ -- - Hp =,,
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Nilai mutlak ( ) didefinisikan sebagai jarak dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :,, 0 0
Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak: 1... 4. 5. y a, a 0 y a a a, a 0 a atau a y y
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 5 Kita bisa menggunakan sifat ke-. 5 5 5 8 1 4 Hp = 1,4 1 4
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian. 5 Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. 5 9 4 0 5 9 4 0 16 0 10 8 0 4 0 TP : 1, 4 ++ Hp = -- 1 4 1,4 ++
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian. 4 5 Kita bisa menggunakan sifat 4 4 5 4 1 9 16 1 8 16 7 4 0 4 TP :, -1 0 40 5
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++ 4 -- -1 ++ Hp = [ 4/, 1]
Contoh: Menentukan Himpunan Penyelesaian 4. 7 7 atau 7 5 atau 9 10 18 Hp = atau 10,, 18-18 -10
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. 1.. 7 4 5 6 4. 5 4. 5. 7 7