Sistem Bilangan Real. 8. Memenuhi hukum distributif kiri dan kanan :

Sistem Bilangan Real Di dalam kajian bilangan dalam matematika, sistem bilangan pertama yang dikenal manusia adalah sistem bilangan Asli yang disingkat dengan N (Natural). Selanjutnya manusia mengenal bilangan 0 dan bilangan negatif, sehingga sistem bilangan asli menjadi sistem bilangan bulat (Z). Pada sistem bilangan bulat yang dilengkapi operasi tambah (+) dan operasi kali (. atau ) akan membentuk suatu ring (gelanggang) yang memenuhi sifat: Aksioma 1. Aksioma pada Ring, di mana a, b, c Z : 1. Tertutup terhadap penjumlahan (a + b Z) 2. Memenuhi sifat asosisatif penjumlahan (a + (b + c) = (a + b) + c) 3. Memiliki elemen identitas penjumlahan (0 Z ) 4. Memiliki invers penjumlahan ( a Z ) 5. Komutatif terhadap penjumlahan (a + b = b + a) 6. Tertutup terhadap perkalian (a. b Z) 7. Asosiatif terhadap perkalian (a. (b. c) = (a. b). c) 8. Memenuhi hukum distributif kiri dan kanan : Distributif kiri : a. (b + c) = a. b + a. c Distributif kanan : (a + b). c = a. c + b. c Selanjutnya manusia berkembang dan membutuhkan adanya bilangan yang tidak utuh, yaitu bilangan pecah, kemudian setelah diolah lebih lanjut, muncullah sistem pada bilangan Rasional (Q), sehingga bilangan Rasional dapat didefinisikan sebagai definisi berikut: Definisi 2. Bilangan Rasional didefinisikan sebagai Q = 0 : a, b di Z dan b 0. 1 Perkembangan selanjutnya menusia membutuhkan bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk rasio 0, ataupun dituliskan dalam bentuk desimal yang 1

berulang. Bilangan ini disebut bilangan irasional. Dari bilangan rasional dan bilangan irasional setelah digabung menjadi bilangan baru yaitu Real (R). Pada sistem Bilangan Real R, dengan operasi tambah dan operasi kali akan membentuk sifat Lapangan (field) yang terumuskan dalam aksioma berikut. Aksioma 3. Pada himpunan bilangan riil R terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan. dan berturut-turut disebut penambahan dan perkalian. Operasi tersebut mempunyai sifat : 1. a + b = b + a, a, b di R (sifat komutatif penjumlahan), 2. (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c di R (sifat asosiatif penjumlahan), 3. Terdapat unsur 0 di R sehingga 0 + a = a, a R (eksistensi unsur nol), 4. Untuk setiap a R, terdapat unsur a R sehingga a + ( a) = 0. (eksistensi unsur negatif), 5. a. b = b. a, a, b di R (sifat komutatif perkalian), 6. (a. b). c = a. (b. c), a, b, c di R (sifat asosiatif perkalian), 7. Terdapat unsur 1 di R yang berbeda dengan 0 sehingga 1. a = a, a R (eksistensi unsur satuan di R), 8. Untuk setiap a 0 di R terdapat unsur A di R sehingga a. A = 1 (eksistensi 0 0 unsur kebalikan), 9. a. (b + c) = (a. b) + (a. c) dan (b + c). a = (b. a) + (c. a) a, b, c di R (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan). Dengan Aksioma 3, dapat ditunjukkan beberapa sifat yang dikembangkan dari aksioma tersebut diantaranya sifat ketunggalan identitas, invers terhadap operasi tambah maupun operasi kali. Teorema 4. (Ketunggalan unsur identitas) (a). Jika z dan a unsur di R sehingga z + a = a, maka z = 0. (b). Jika u dan b 0, unsur di R sehingga u. b = b, maka u = 1. Bukti dari teorema ini diserahkan kepada pembaca.

Selanjutnya unsur invers itu juga tunggal yang terlihat seperti teorema berikut. Teorema 5. a. Jika a dan b unsur-unsur di R sehingga a + b = 0, maka b = a b. Jika a 0 dan b unsur-unsur di R sehingga a. b = 1, maka b = A. 0 a. a + b = 0 Jadi ( a) + ( a + b ) = ( a) + 0 (Tambahkan a pada kedua ruas) ( a + a ) + b = a sifat 2 dan sifat 3 0 + b = a sifat 4 b = a sifat 3. b. a. b = 1 Karena a 0, maka terdapat A di R selanjutnya kedua ruas kita kalikan 0 dengan A 0 A 0. a. b = A 0. 1 A 0. a. b = A 0 1. b = A 0 b = A 0 (sifat 6 dan sifat 7) (sifat 8) (sifat 7) Untuk mengkaji lebih dalam mengenai bilangan real, kita kalami bagian bilangan real yaitu bilangan rasional. Bilangan Rasional Bilangan rasional adalah bagian bilangan real yang memenuhi sifat Q = 0 : a, b di Z dan b 0. Himpunan bilangan rasional adalah himpunan 1 bagian murni dari himpunan bilangan real, artinya terdapat bilangan real yang bukan bilangan rasional. Bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irasional. Eksistensi bilangan irasional ini dijamin oleh teorema berikut.

Teorema 6. Tak ada bilangan rasional t sedemikian hingga t 2 = 2. Andaikan ada t di Q sedemikian hingga t 2 = 2, maka dapat dipilih p, q di Z sehingga E F G = 2 dan FPB p dan q = 1 atau ditulis (p, q) = 1. Oleh karena itu p G = 2q G, dengan kata lain, p G adalah bilangan genap. Akibatnya p juga bilangan genap sehingga dapat dituliskan sebagai p = 2m untuk suatu m bilangan bulat. Dari p G = 2q G dan p = 2m di peroleh 4m G = 2q G atau 2m G = q G. Jadi q 2 adalah bilangan genap yang berakibat bahwa q juga bilangan genap. Karena p, q keduanya bilangan genap, maka (p, q) > 1. Ini bertentangan dengan (p, q) = 1, jadi haruslah tak ada bilangan rasional t sedemikian hingga t G = 2 bilangan t ini sering dituliskan dengan t = 2. Ciri bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan dengan desimal tidak berhenti dan tidak berulang. Contoh 2 = 1,4142135623... dan 3 = 1,732050807568... yang tidak berakhir dan tidak berulang, sedangkan bilangan desimal yang berakhir atau berulang adalah bilangan rasional, misalnya, Tunjukkan bahwa 7,345 yang artinya bahwa angka 345 berulang dan tidak berhenti. Bukti Misalkan x = 7,345 maka 1000 x = 7345,345345 x = 7,345345... 999 x = 7338 Jadi x = OPPQ RRR yang merupakan bilangan rasional. Sifat Urutan pada R Pada himpunan bilangan real R, terdapat himpunan tak kosong P dari R yang memenuhi sifat: (1). Jika a, b di P, maka a + b di P

(2). Jika a, b di P, maka ab di P (3). Jika a di R, maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi: a P, a = 0, a P sifat ini disebut sifat trikotomi. Definisi 7. (Bilangan positif). Jika a P, kita katakan bahwa a bilangan real positif dan ditulis a > 0. Jika a P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonnegatif dan kita tulis a 0. Jika a P, kita katakan bahwa a bilangan real negatif dan ditulis a < 0. Jika a P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonpositif dan kita tulis a 0. Definisi 8. (Membandingkan dua bilangan real) Misalkan a, b, c unsur-unsur di R. (1). Jika a b di P, maka kita tulis a > b atau b < a. (2). Jika a b P {0}, maka kita tulis a b atau b a. Selanjutnya kita tulis a < b < c yang berarti a < b dan b < c. Dengan cara sama, jika a b dan b c kita tulis a b c, selanjutnya jika a b dan b < c kita tulis a b < c. Teorema 9. (Sifat transitif pada R) Misalkan a, b, c unsur-unsur di R. (1). Jika a > b dan dan b > c, maka a > c. (2). Terdapat tepat satu hubungan a < b, a = b, a > b. Jika a b dan a b, maka a = b. (1). a > b dan b > c, ini berarti a b dan b c di P. Jadi menurut sifat bilangan positif, maka (a b) + (b c) di P atau (a c) di P. Dengan kata lain a > c.

(2). Dengan sifat trikotomi, maka terdapat tepat satu hubungan a b P, a b = 0, atau (a b) P, sehingga terdapat tepat satu hubungan a < b, a = b, a > b. (3). Andaikan a b, maka a b 0 yang berarti a b P atau (a b) P. Jadi, a > b atau a < b. Ini bertentangan dengan hipotesis a b dan a b. Jadi haruslah a = b. Teorema 10 (Kuadrat bilangan tak nol selalu positif) Jika a unsur di R dan a 0, maka a 2 > 0. Dengan sifat trikotomi, maka a P atau -a P. Jika a P, maka a 2 = a. a P dan jika -a P, maka a 2 = -a.- a P. Jadi a 2 P atau a 2 > 0. Teorema 11 (Sifat penambahan pada ketidaksamaan) Misalkan a, b, c, d unsur-unsur di R. (1). Jika a > b, maka a + c > b + c (2). Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d (3). Jika a > b dan c > 0, maka a.c > b.c Jika a > b dan c < 0, maka a.c < b.c (4). Jika a > 0, maka A > 0 dan Jika a < 0, maka A < 0. 0 0 (1). (a + c) (b + c) = (a b) > 0, Jadi (a + c) (b + c) P, dengan perkataan lain a + c > b + c. (2). a > b, berarti a b P, dan c > d, berarti c d P. Menurut sifat bilangan positif, maka a b + (c d) P atau a + c (b + d) P. Jadi a + c > b + d (3). a > b berarti a b P, dan c > 0 berarti c P.

Menurut sifat bilangan positif, maka (a b). c P atau (ac bc) P. Jadi a.c > b.c. Selanjutnya a > b berarti a b P, dan c < 0 berarti -c P. Menurut sifat bilangan positif, maka (a b). ( c) P atau ( ac + bc) P. Jadi a.c < b.c. Jika a > 0, maka A 0. Andaikan A < 0, maka A > 0 sehingga 0 0 0 a. A 0 = 1 P. Ini suatu pertentangan, jadi haruslah haruslah A 0 > 0. Selanjutnya jika a < 0, maka a >0, sehingga A 0 0. Andaikan A 0 > 0, sehingga a. A 0 < 0. A 0 = 1 P. Ini suatu kontradiksi, jadi haruslah haruslah Teorema 12. (Sifat eksistensi bilangan real diantara dua bilangan real yang berbeda) Jika a, b unsur-unsur di R dan a > b, maka a > A G a + b > b Karena a > b, maka 2a = a + a > a + b dan a + b > b + b = 2b. Jadi 2a > a + b > 2b. Selanjutnya karena 2 > 0, maka A > 0, sehingga menurut G Teorema 9.(3). kita peroleh a = A G 2a > A G a + b > A G 2b =. Jadi a > A G a + b > b. Akibat 13 (Tidak ada bilangan positif yang terkecil) Jika a R, a > 0, maka a > A a > 0. G Dari Teorema 10 dengan mengambil b = 0, maka diperoleh a > A a > 0. G

Teorema 14 Jika a R sehingga 0 a < ε untuk setiap ε positif, maka a = 0. Andaikan a 0, maka a > 0 dan menurut Akibat 11, maka a > A a > 0. Ambil G ε \ = A G a > 0, maka diperoleha > ε \ > 0. Ini bertentangan dengan hipotesis yaitu 0 a < ε untuk setiap ε positif. Jadi haruslah a = 0. Teorema 15. Jika ab > 0, maka a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0. Karena ab > 0, maka a 0 dan b 0. Dari sifat trikotomi, a > 0 atau a < 0. Kasus a > 0: Menurut Teorema 9 (4), A 0 > 0 dan oleh karena itu b = A 0. a. b = A 0 a. b > 0. Kasus a < 0: Menurut Teorema 9 (4), A 0 < 0 dan oleh karena itu b = A 0. a. b = A 0 a. b < 0. Akibat 16. Jika ab < 0, maka a > 0 dan b < 0 atau a < 0 dan b > 0. Bukti Akibat 14 ini diserahkan kepada pembaca. Nilai Mutlak Misalkan a R, nilai mutlak dari a adalah bilangan nonnegatif yang besarnya a atau a. Definisi 17. Jika a R, nilai mutlak dari a, dilambangkan dengan a, didefinisikan dengan a = a jika a 0, a = a jika a < 0.

Contoh: 4 := 4, -7 := 7. Teorema 18. (1). a = a untuk semua a R. (2). ab = a. b untuk semua a,b di R. (3). Jika c > 0, maka a c jika dan hanya jika c a c. (4). a a a (1). Jika a = 0, maka 0 = 0 = 0 Jika a > 0, maka a < 0 sehingga a = a = ( a) = a Jika a < 0, maka a > 0 sehingga a = a = a Jadi a = a untuk semua a R. (2). Jika salah satu a atau b atau keduanya nol, maka ab = 0 dan a b = 0.Jadi ab = a. b Jika a > 0, b > 0, maka ab > 0 dan ab = ab = a. b Jika a > 0, b < 0, maka ab < 0 dan ab = ab = a. b = a. b Jika a < 0, b > 0, maka ab < 0 dan ab = ab = a. b = a. b Jika a <0, b < 0, maka ab > 0 dan ab = a. b = a. b = a. b Jadi ab = a. b untuk semua a,b di R (3). Misalkan c > 0, ( ) a c Ini berakibat a c dan a c (mengapa?) Atau c a dan a c Jadi c a c ( ) c a c Ini berakibat a c dan a c Jadi a c

(4). Ambil c = a, maka dari Teorema 18. (3) diperoleh a a a. Teorema 19. (Ketidaksamaan segitiga) Untuk setiap a,b di R, maka a + b a + b Dengan Teorema 18. (4). Kita peroleh a a a dan b b b. Dengan Teorema 18. (2). Kita peroleh a + b = a + b a + b a + b. Selanjutnya dengan Teorema 18. (3) kita peroleh a + b a + b. Akibat 20. Untuk sebarang a,b di R. (1). a b a b. (2). a b a + b. (1). a = a b + b a b + b, jadi a b a b (*) b = b a + a b a + a, jadi b a a b (**) Dari (*),(**) dan 16.(3) kita peroleh a b a b. (2). Dengan ketidaksamaan segitiga kita peroleh: a b = a + b a + b Jadi a b a + b. Akibat 21 (Perluasan Ketidaksamaan Segitiga) Untuk sebarang a 1, a 2, a 3,..., a n unsur-unsur di R, a 1 + a 2 + a 3 +... + a n a 1 + a 2 + a 3 +... + a n Gunakan induksi matematika untuk memperluas ketidaksamaan segitiga.

Bukti selengkapnya diserahkan kepada pembaca. Garis Real Definisi 22. (Lingkungan dan Lingkungan-ε) Misalkan a di R (1) Untuk ε > 0, lingkungan- ε dari a adalah himpunan L b a = x R: a ε < x < a + ε (2) Lingkungan dari a adalah himpunan yang memuat lingkungan- ε dari a untuk suatu ε > 0. Teorema 23. Misalkan a R. Jika x R sehingga x anggota setiap lingkungan dari a, maka a = x. x anggota setiap lingkungan dari a, akibatnya x L ε(a) untuk setiap ε > 0. Menurut Teorema 14. Maka x - a = 0. Ini berarti x - a = 0 atau x = a. Kelengkapan pada R Suprimum dan Infimum Definisi 24 (Definisi batas atas dan batas bawah). Misalkan S himpunan bagian dari R. (1) Unsur u R, dikatakan batas atas dari S jika s u untuk semua s S. (2) Unsur w R, dikatakan batas bawah dari S, jika s w untuk semua s S. Catatan: Jika S R ada kemungkinan bahwa S tidak mempunyai batas atas maupun batas bawah (misalnya S adalah himpunan bilangan bulat).

Namun demikian jika S mempunyai sebuah (1 nilai) batas atas, maka S mempunyai takberhingga banyaknya batas atas, karena apabila v batas atas dari S, maka terdapat r R sehingga r > v juga batas atas dari S. S v r Juga terdapat himpunan yang mempunyai batas atas tetapi tidak mempunyai batas bawah, demikian pula sebaliknya yaitu himpunan yang tidak mempunyai batas atas tetapi mempunyai batas bawah. Contoh: S 1 = { x R : x <10} dan S 2 = { x R : x >15} Pada S 1, 15 adalah batas atas, tetapi S 1 tidak mempunyai batas bawah, sedangkan S 2 tidak mempunyai batas atas, tetapi mempunyai batas bawah, misalnya 0, 1, 15, dsb. Himpunan bagian dari R yang mempunyai batas atas disebut himpunan terbatas di atas, Himpunan bagian dari R yang mempunyai batas bawah disebut himpunan terbatas di bawah. Himpunan bagian dari R yang terbatas di atas dan terbatas di bawah disebut terbatas. Definisi 25 (Definisi Suprimum dan Infimum) Misalkan S R. (1) Jika S terbatas di atas, maka suatu batas atas dikatakan suprimum (batas atas terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari S. (2) Jika S terbatas di bawah, maka suatu batas bawah dikatakan infimum (batas bawah terbesar) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas bawah yang lain dari S. Definisi ini dapat dinyatakan dengan cara lain berikut ini: (1). u R suprimum dari S, jika memenuhi dua sifat:

a. s u untuk semua s S. b. jika s v untuk semua s S, maka u v. (2). t R infimum dari S, jika memenuhi dua sifat: a. s t untuk semua s S. b. jika s r untuk semua s S, maka t r. S Inf S Sup S # $!#!" ####### # $! ############!! #!!! " Batas bawah dari S Batas atas dari S Kita lambangkan sup S atau sup(s) untuk suprimum dari S dan inf S atau inf(s) untuk infimum dari S. Teorema 26 (Aplikasi Suprimum) Suatu batas atas u dari himpunan tak-kosong S di R ádalah suprimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat s S sehingga u < s. ( ) Misalkan u batas atas sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat sε S sehingga u - ε < sε. Akan ditunjukkan bahwa u = sup S. Misalkan v batas atas dan v u. Andaikan v < u, ambil ε = u - v > 0, menurut hipótesis, maka terdapat sε S sehingga u - ε < s ε. Akibatnya u (u v) = v < s ε. Ini suatu kontradiksi bahwa v batas atas, jadi haruslah v > u, yang berarti u batas atas terkecil dari S. Jadi u = sup S. ( ) Misalkan u = sup S dan ambil ε > 0 sebarang. Karena u - ε < u, maka u - ε bukan batas atas dari S. Oleh karena itu terdapat s ε S yang lebih besar dari u - ε. Jadi u - ε < s ε untuk suatu s ε S.

Contoh 1. 1. Jika S 1 hanya memiliki berhingga unsur, maka dapat ditunjukkan bahwa S 1 mempunyai unsur terbesar u dan unsur terkecil v. Maka u = sup S 1 dan v = inf S 1 dimana u dan v unsur-unsur di S 1. 2. Himpunan S 2 = {x R: 0 x 1}. Himpunan ini mempunyai batas atas terkecil 1 dan batas bawah terbesar 0 yang keduanya terletak pada S 2. 3. Himpunan S 3 = {x R: 0 < x < 1}. Himpunan ini mempunyai batas atas terkecil 1 dan batas bawah terbesar 0 yang keduanya tidak terletak pada S 2. 4. Setiap unsur di R merupakan batas atas dan sekaligus batas bawah dari himpunan kosong Φ. Jadi himpuna Kosong tidak mempunyai suprimim maupun infimum. Sebagai catatan bahwa pada contoh di atas, S 1 dan S 2 memuat suprimum dan infimum. Suprimum yang dimuat di suatu himpunan sering disebut maksimum dan infimum yang dimuat di suatu himpunan disebut minimum. Sifat Suprimum dan Infimum pada R Untuk mempelajari lebih lanjut sifat-sifat suprimum dan infimum suatu himpunan pada R, berikut ini akan dituliskan suatu teorema yang pembuktiannya ditangguhkan dan tidak dibuktikan pada buku ini. Teorema 27. (Teorema Suprimum) Setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas atas, mempunyai suprimum. Dengan cara sama, maka setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas bawah, mempunyai infimum. Contoh 2. Misalkan S himpunan bagian tak-kosong dari R yang terbatas di atas, dan misalkan a R. Definisikan himpuna a + S = {a + s : s S}, maka sup (a + S) = a + sup S.

Misalkan u = sup S, maka x u untuk setiap x S. Jadi a + x a + u, x S. Ini berarti a + u batas atas dari a + S, oleh karena itu sup (a + S) a + u. Selanjutnya misalkan v batas atas dari a + S, maka a + x v untuk setiap x S, akibatnya x v - a x S. Karena u = sup S, maka u v - a. Jadi a + u suprimum dari a + S. Dengan cara serupa kita peroleh hubungan inf (a + S) = a + inf S. Sifat Archimedes pada R Sekarang kita akan mempelajari dan mendalami sifat-sifat bilangan real melalui bilangan Asli. Kita perhatikan pada bilangan asli N, bilangan asli ini terbatas dibawah oleh 1, tetapi tidak terbatas di atas oleh R. Ini berarti bahwa jika diberikan sebarang bilangan real x, maka terdapat n N sehingga x < n. Teorema 28 (Teorema Archimedes) Jika x R maka terdapat n g N sehingga x < n g. Andaikan tidak demikian, maka terdapat x R, x batas atas dari N. Menurut sifat suprimum, N mempunyai suprimum u R. Karena u 1 < u, maka menurut Teorema 26 terdapat m N sehingga u 1 < m, jadi u < m + 1. Karena m N maka m + 1 N. Ini bertentangan dengan u batas atas dari N, jadi pengandaian salah. Dengan kata lain N tidak mempunyai batas atas, akibatnya jika x R, maka terdapat n x N sehingga x < n x.

Akibat 29. Misalkan y dan z bilangan real positif maka: (1). Terdapat n N sehingga z < ny. (2). Terdapat n N sehingga 0 < A < y j Terdapat n N sehingga n 1 < z < n. z z (1). Sebut x = > 0, maka terdapat n N sehingga = x < n. Oleh karena itu y y z < ny. 1 (2). Dari bukti (1) Ambil z = 1, maka 1 < ny untuk suatu n N. Akibatnya y n <. Jadi 0 < 1 y n <. (3). Ambil z R. Sebut K= {m N : z < m}. Jelas K Φ. Pilih n = min K, maka n 1 z < n. Eksistensi 2 Pada kajian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa tidak ada bilangan rasional yang jika dikuadratkan menjadi 2. Ini mengandung arti bahwa 2 bukan bilangan rasional. Dalam kajian ini akan ditunjukkan bahwa 2 adalah bilangan real, dengan demikian bilangan 2 ini adalah bilangan irasional. Pembuktian ini dilakukan dengan membuktikan bahwa 2 adalah suprimum suatu himpunan tak kosong. Sementara suprimum suatu himpunan adalah suatu batas atas dan batas atas adalah suatu unsur di R. Teorema 30 (eksistensi 2). Terdapat bilangan real positif x sehingga x 2 = 2.

Misalkan S = {s R: 0 < s, x 2 < 2} 1 S, jadi S tidak kosong. S terbatas di atas oleh 2, karena jika t > 2, maka t 2 > 4, sehingga t S. Menurut Teorema 27, S mempunyai suprimum. Misalkan x = sup S. Akan ditunjukkan bahwa x 2 = 2. Jika tidak demikian, maka x 2 < 2 atau x 2 > 2. Andaikan x 2 < 2. Glg m GgnA > 0, menurut Akibat 29, maka terdapat n N sehingga 0 < A j < Glgm GgnA atau A j 2x + 1 < 2 xg. Karena x + A j G = x G + Gg j + A j m xg + A j 2x + 1 < xg + 2 x G = 2. Jadi x < x + A S, ini bertentangan dengan x = sup S, denga kata lain tidak j mungkin x 2 < 2. Andaikan x 2 > 2. Kita miliki gm lg Gg > 0. Sehingga menurut Akibat 29, terdapat n N sehingga A j < g m lg Gg atau Gg j < xg 2. x 1 n G = x G 2x n + 1 n G > xg 2x n > xg x G 2 = 2 Jadi x A > s untuk setiap s S, yang berarti x A batas atas dari S. j j Ini bertentangan dengan x = sup S. Jadi tidak mungkin x 2 > 2. Akibatnya x 2 = 2. Selanjutnya jika a > 0, a R, maka terdapat secara tunggal bilangan positif b R sehingga b G = a. Kita sebut b sebagai akar kuadrat dari a dan dilambangkan b = a.

Kerapatan Bilangan Rasional. Telah ditunjukkan bahwa 2 R dan 2 bukanlah bilangan rasional, tetapi bilangan irasional. Perlu diketahui bahwa bilangan irasional itu lebih banyak dari pada bilangan rasional. Bilangan irasional ini jauh lebih banyak dari pada bilangan rasional. Ini dapat dipahami dengan memahami bahwa setiap satu bilangan irasional jika dikalikan bilangan rasional tak nol akan menghasilkan bilangan irasional, ini menunjukkan setiap diberikan satu bilangan irasional kemudian kita kalikan dengan semua bilangan rasional tak nol, akan memperoleh korespondensi satu-satu pada dengan seluruh bilangan rasional tak nol. Teorema 31. (Eksistensi bilangan rasional diantara dua bilangan real) Jika x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r sehingga x < r < y. Tanpa mengurangi sifat umum, misalkan x > 0. Menurut sifat Archimedes, terdapat bilangan asli n sehinggan > A olg Karena nx > 0, maka menurut Akibat 29,. Jadi nx ny > 1. terdapat m N, sehingga m 1 nx < m (karena m nx 1 < ny nx atau m < ny). Jadi kita peroleh nx < m < ny atau x < p j < y. Pilih r = p, jadi r bilangan rasional dan memenuhi x < r < y. j Akibat 32. (Eksistensi bilangan irasional diantara dua bilangan real) Jika x dan y bilangan real sehingga x < y, maka terdapat bilangan irasional z sehingga x < z < y.

Karena x < y, maka x y < yang keduanya di R. 2 2 Menurut Teorema 29, terdapat bilangan rasional r sehingga: x 2 < r < akibatnya x < r 2 < y. Sebut z = r 2, r R, z bilangan irasional sehingga x< z < y. y 2

RINGKASAN Aksioma 3 Pada himpunan bilangan riil R terdapat dua operasi biner yang dilambangkan dengan + dan. dan berturut-turut disebut penambahan dan perkalian. Operasi tersebut mempunyai sifat : 1. a + b = b + a, a, b di R (sifat komutatif penjumlahan), 2. (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c di R (sifat assosiatif penjumlahan), 3. Terdapat unsur 0 di R sehingga 0 + a = a, a R (eksistensi unsur nol), 4. Untuk setiap a R, terdapat unsur a R sehingga a + ( a) = 0. (eksistensi unsur negatif), 5. a. b = b. a, a, b di R (sifat komutatif perkalian), 6. (a. b). c = a. (b. c), a, b, c di R (sifat assosiatif perkalian), 7. Terdapat unsur 1 di R yang berbeda dengan 0 sehingga 1. a = a, a R (eksistensi unsur satuan di R), 8. Untuk setiap a 0 di R terdapat unsur A di R sehingga a. A = 1 (eksistensi 0 0 unsur kebalikan), 9. a. (b + c) = (a. b) + (a. c) dan (b + c). a = (b. a) + (c. a) a, b, c di R (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan). Definisi 2. Bilangan Rasional didefinisikan sebagai Q = 0 : a, b di Z dan b 0. 1 Teorema 6. Tak ada bilangan rasional t sedemikian hingga t 2 = 2. Sifat Urutan pada R Pada himpunan bilangan real R, terdapat himpunan takkosong P dari R yang memenuhi sifat: (1). Jika a, b di P, maka a + b di P (2). Jika a, b di P, maka ab di P

(3). Jika a di R, maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi: a P, a = 0, a P sifat ini disebut sifat trikotomi. Definisi 7 (Bilangan positif). Jika a P, kita katakan bahwa a bilangan real positif dan ditulis a > 0. Jika a P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonnegatif dan kita tulis a 0. Jika a P, kita katakan bahwa a bilangan real negatif dan ditulis a < 0. Jika a P atau a = 0, kita katakan bahwa a bilangan real nonpositif dan kita tulis a 0. Teorema 9 (Sifat penambahan pada ketidaksamaan) Misalkan a, b, c, d unsur-unsur di R. (1). Jika a > b, maka a + c > b + c (2). Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d (3). Jika a > b dan c > 0, maka a.c > b.c Jika a > b dan c < 0, maka a.c < b.c 1 1 (4). Jika a > 0, maka > 0 dan Jika a < 0, maka < 0. a a Akibat 11 (Tidak ada bilangan positif yang terkecil) Jika a R, a > 0, maka a > 2 1 a > 0. Nilai Mutlak Misalkan a R, nilai mutlak dari a adalah bilangan nonnegatif yang besarnya a atau a. Definisi 15. Jika a R, nilai mutlak dari a, dilambangkan dengan a, didefinisikan dengan a := a jika a 0, a := -a jika a < 0.

Contoh: 4 := 4, -7 := 7. Teorema 16. (1). a = a untuk semua a R. (2). ab = a. b untuk semua a,b di R. (3). Jika c > 0, maka a c jika dan hanya jika c a c. (4). a a a Teorema 17. (Ketidaksamaan segitiga) Untuk setiap a,b di R, maka a + b a + b. Akibat 19 (Perluasan Ketidaksamaan Segitiga) Untuk sebarang a 1, a 2, a 3,..., a n unsur-unsur di R, a 1 + a 2 + a 3 +... + a n a 1 + a 2 + a 3 +... + a n Kelengkapan pada R Suprimum dan Infimum Definisi 22 (Definisi batas atas dan batas bawah). Misalkan S himpunan bagian dari R. (1). Unsur u R, dikatakan batas atas dari S jika s u untuk semua s S. (2). Unsur w R, dikatakan batas bawah dari S, jika s w untuk semua s S. Definisi 23 (Definisi Suprimum dan Infimum). Misalkan S R. (1). Jika S terbatas di atas, maka suatu batas atas dikatakan suprimum (batas atas terkecil) dari S, jika ia lebih kecil dari setiap batas atas yang lain dari S. (2). Jika S terbatas di bawah, maka suatu batas bawah dikatakan infimum (batas bawah terbesar) dari S, jika ia lebih besar dari setiap batas bawah yang lain dari S. Definisi ini dapat dinyatakan dengan cara lain berikut ini: (1). u R suprimum dari S, jika memenuhi dua sifat:

a. s u untuk semua s S. b. jika s v untuk semua s S, maka u v. (2). t R infimum dari S, jika memenuhi dua sifat: a. s t untuk semua s S. b. jika s r untuk semua s S, maka t r. S Inf S Sup S # $!#!" ####### # $! ############!! #!!! " Batas bawah dari S Batas atas dari S Teorema 25. (Teorema Suprimum) Setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas atas, mempunyai suprimum. Dengan cara sama, maka setiap himpunan tak-kosong dari bilangan real yang mempunyai batas bawah, mempunyai infimum. Teorema 26 (Teorema Archimedes) Jika x R maka terdapat n x N sehingga x < n x. Akibat 27. Misalkan y dan z bilangan real positif maka: (1). Terdapat n N sehingga z < ny. (2). Terdapat n N sehingga 0 < 1 y n < (3). Terdapat n N sehingga n 1 < z < n. Teorema 28 (eksistensi 2 ). Terdapat bilangan real positif x sehingga x 2 = 2.

Kerapatan Bilangan Rasional Teorema 29. (Eksistensi bilangan rasional diantara dua bilangan real) Jika x dan y bilangan real dengan x < y, maka terdapat bilangan rasional r sehingga x < r < y. Akibat 30. (Eksistensi bilangan irasional diantara dua bilangan real) Jika x dan y bilangan real sehingga x < y, maka terdapat bilangan irasional z sehingga x < z < y.