BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada metode numerik, dikenal suatu metode untuk menaksir atau mencari solusi pendekatan nilai eksak dari suatu ordinat y n+1 dengan diketahui nilai dari y n, yang disebut metode satu langkah. Salah satu metode satu langkah yang dapat mengestimasi nilai taksiran tersebut secara lebih akurat adalah metode Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta sering digunakan dalam penaksiran solusi eksak dari suatu masalah nilai awal atau suatu persamaan diferensial dengan diberikan kondisi awal. Dalam hal ini, persamaan diferensial bersifat autonomous dy = f(y(x)), yaitu tidak bergantung pada suatu variabel bebas dan nilai awal dituliskan sebagai y(x 0 ) = y 0. dx Jika y(x) adalah solusi analitik dari masalah nilai awal tersebut, maka fungsi y(x) dapat dideretkan dengan ekspansi Taylor pada titik x = x 0. Untuk kasus autonomous, metode Runge-Kutta sendiri memiliki bentuk umum Y i = y n + h y n+1 = y n + h s a ij f(y j ), j=1 i, j = 1, 2,..., s s b i f(y i ), n = 0, 1,... i=1 dengan a ij dan b i adalah konstanta metode Runge-Kutta yang belum diketahui nilainya. Pada dasarnya, metode ini dapat membantu untuk mencari pendekatan penyelesaian eksak dari suatu masalah nilai awal dengan cara menentukan ekspansi Taylor dari y(x) yang dituliskan sebagai y n (x 0 + hξ) disekitar x 0, kemudian ekspansi Taylor disamakan dengan ekspansi Taylor dari ruas kanan persamaan umum metode Runge- Kutta, yaitu y n + h s i=1 b if(y i ), n = 0, 1,.... Penyamaan ekspansi ini bertujuan untuk memperoleh nilai dari konstanta-konstanta pada metode Runge-Kutta. Namun oleh Butcher (1964), ekspansi Taylor yang akan diterapkan pada kedua persamaan tersebut kemudian dikaitkan dengan teori Graf, khususnya mengenai rooted trees. Tujuan dari pengkaitan ini adalah bahwasanya ekspansi Taylor sangat rumit diterapkan pada saat mencapai turunan tingkat tinggi, sehingga perlu diseder- 1

2 2 hanakan dengan mengikuti pelabelan pada rooted trees. Artinya, untuk menentukan konstanta-konstanta metode Runge-Kutta nantinya cukup dengan mengikuti pelabelan pada rooted trees, tanpa harus melakukan ekspansi Taylor lagi. Apabila dihubungkan dengan rooted trees, ekspansi Taylor untuk y n (x 0 + hξ) di sekitar x 0, yang selanjutnya disebut ekspansi Taylor untuk solusi eksak, akan memuat suatu fungsi, katakan γ(t), yang berupa bilangan bulat. Sedangkan ekspansi Taylor ruas kanan persamaan umum metode Runge-Kutta y n + h s i=1 b if(y i ), n = 0, 1,..., yang selanjutnya disebut ekspansi Taylor untuk solusi pendekatan, akan memuat suatu fungsi, katakan Φ(t), berupa penjumlahan dan perkalian dari konstantakonstanta metode Runge-Kutta. Ekspansi Taylor dari solusi eksak dengan solusi pendekatan tersebut kemudian disamakan dan memberikan suatu hubungan dalam bentuk Φ(t) = 1. Hubungan inilah yang akan digunakan sebagai alat untuk mencari nilai γ(t) dari konstanta-konstanta metode Runge-Kutta. 1.2 Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah : 1. Bagaimana perumusan ekspansi Taylor untuk solusi eksak dan ekspansi Taylor untuk solusi pendekatan hingga turunan tingkat empat? 2. Bagaimana pengertian dari rooted trees terkait sifat-sifatnya yang merujuk pada pelabelan rooted trees itu sendiri? 3. Bagaimana menyederhanakan ekspansi Taylor untuk solusi eksak dan ekspansi Taylor untuk solusi pendekatan dengan pelabelan pada rooted trees? 4. Bagaimana mencari nilai konstanta-konstanta metode Runge-Kutta hingga orde 4 menggunakan pelabelan pada rooted trees? 1.3 Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada aturan pelabelan dari rooted trees yang dikaitkan dengan ekspansi Taylor persamaan metode Runge- Kutta. Metode Runge-Kutta yang dibahas terbatas pada orde 1 hingga orde 4.

3 3 1.4 Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk 1. Mengetahui perumusan ekspansi Taylor untuk solusi eksak dan ekspansi Taylor untuk solusi pendekatan yang digunakan untuk mencari nilai konstantakonstanta pada persamaan umum metode Runge-Kutta. 2. Mengetahui penerapan dari pelabelan rooted trees pada ekspansi Taylor solusi eksak dan ekspansi Taylor solusi pendekatan, untuk mencari nilai konstantakonstanta pada persamaan umum metode Runge-Kutta secara lebih mudah. Penyusunan skripsi juga dapat dijadikan pengantar untuk melakukan penelitian lebih lanjut mengenai metode Runge-Kutta untuk orde lebih dari Tinjauan Pustaka Sebagian besar dasar teori dan pembahasan mengacu pada buku Numerical Methods for Ordinary Differential Equation yang ditulis oleh J.C Butcher (1964). Di dalamnya terdapat satu bab mengenai penentuan konstanta-konstanta persamaan umum metode Runge-Kutta dengan aturan pelabelan pada rooted trees, yaitu dengan mengkaitkan ekspansi Taylor terkait solusi eksak suatu persamaan diferensial yang diberikan nilai awal dan solusi pendekatannya dengan aturan pelabelan pada rooted trees. Sebagai acuan pendukung, diberikan referensi yang masih berkaitan dengan aplikasi rooted trees pada metode Runge-Kutta. Penulis mempelajari beberapa definisi dasar dari graf dan tree. Dasar teori mengenai Graf dan Tree mengacu pada buku Graphs : An Introductory Approach yang ditulis oleh Robin J WIlson (1990), Graph Teory karya Harary Frank (1972), dan Diktat Pengantar Teori Graf yang ditulis oleh Prof. Setiadji. Kemudian ada beberapa definisi mendasar yang merujuk kepada pembahasan mengenai deret Taylor dari dua buku berjudul sama yaitu Introduction to Real Analysis, masing-masing ditulis oleh dari William F. Trench (2003) dan Robert G. Bartle (1999), dan buku berjudul Advanced Calculus yang ditulis oleh Angus E. Taylor. Definisi mendasar pada aljabar yang berhubungan dengan graf diambil dari buku Introduction to The Theory of Finite Groups yang ditulis oleh Walter Ledermann (1964) dan First Course In Abstract Algebra yang ditulis oleh J. B. Fraleigh (2002).

4 4 Dasar dari pembahasan mengenai persamaan diferensial, khusunya mengenai penyelesaian sistem persamaan diferensial mengacu pada buku Differential Equations karya Shepley L. Ross (1984). Kemudian diberikan contoh penyelesaian eksak secara analitik dan pendekatannya dari masalah persamaan diferensial autonomous dan sistem persamaan diferensial linear homogen yang diberikan nilai awal. Penentuan solusi analitik dan solusi pendekatan tersebut dituangkan dalam bentuk tabel dan grafik menggunakan software Scilab dan Matlab. 1.6 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu melakukan studi literatur, yaitu mempelajari semua hal yang terkait dengan metode Runge-Kutta berdasarkan literatur. Pertama kali, penulis mempelajari persamaan diferensial biasa dan sistem persamaan diferensial yang tidak bergantung pada variabel independen. Kemudian, penulis mempelajari tentang persamaan umum metode Runge-Kutta. Dalam rumus metode Runge-Kutta, terdapat konstantakonstanta yang harus dicari menggunakan ekspansi Taylor yang kemudian ekspansi Taylor tersebut dikaitkan dengan pelabelan-pelabelan pada rooted trees agar penentuan konstanta-konstanta lebih mudah dilakukan. Oleh karena itu, penulis mempelajari tentang rooted trees yang kemudian dihubungkan dengan deret Taylor. Dalam penulisan skripsi ini, penulis juga berkonsultasi dan berdiskusi tentang materi skripsi bersama dosen pembimbing agar diperoleh bahasan yang terarah. 1.7 Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, metodologi penelitian, serta sistematika penulisan dari skripsi ini. Bab ini memberikan gambaran secara umum mengenai hal-hal yang dibahas dalam skripsi ini. BAB II DASAR TEORI Bab ini membahas mengenai teori yang mendasari pembahasan dari skripsi ini. Dasar teori meliputi persamaan diferensial biasa autonomous, sistem persamaan diferensi-

5 5 al linear homogen, struktur R m, limit dan kontinuitas, teorema Taylor, pendekatan Taylor untuk persamaan diferensial biasa, grup permutasi, graf, dan tree. BAB III HUBUNGAN DERET TAYLOR DENGAN ROOTED TREES Bab ini berisi tentang ekspansi Taylor yang dihubungkan dengan pelabelan dari rooted trees sehingga diperoleh persamaan metode Runge-Kutta hingga orde 4 beserta nilai konstanta-konstantanya. BAB IV APLIKASI ROOTED TREES PADA METODE RUNGE-KUTTA Bab ini memuat contoh-contoh penyelesaian numerik dari beberapa persamaan diferensial autonomous dan sistem persamaan diferensial linear homogen menggunakan metode Runge-Kutta, dan perbandingan solusi yang bersifat analitik dengan solusi pendekatannya. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran terkait isi keseluruhan dari skripsi