KONTRAK ASURANSI JIWA TERKAIT DENGAN EKUITAS

Transkripsi

1 6 ξ 7 C C Karea oroolio iak iegaruhi oleh arus keluar masukya moal seaag erioe, maka biaya awal yag ikeluarka ersis sama ega umlah yag iivesasika aa waku Dega emikia ilai isko aa waku meai ξ 8 KONRAK AURANI JIWA RKAI DNGAN KUIA euru aciello 6 erusahaa asurasi melakuka hegig iak secara erisah uuk seia korak olis melaika uuk keseluruha oroolio asalah uama yag ihaaiya aalah bagaimaa meeuka harga aau bagaimaa meghege korak ika megeluarka korak asurasi yag komleks Paa korak asurasi iwa yag erkai ega ekuias, keuuga yag iaaka oleh emegag olis aa akhir erioe erkai ega oroolio yag irekomeasika Dalam hal ii oroolio erbeuk ari kesaua ase berua saham isalka aau melambagka erkembaga ari harga saham aa waku, maka embayara yag ilakuka oleh erusahaa asurasi aalah sebesar, ika emegag olis ea hiu aa waku Fugsi meruaka ugsi yag bergaug aa erkembaga harga saham, sebagai cooh, korak equiylike muri haya memiliki ugsi ari ilai ermial ari harga saham saa, yaiu, seagka equiy-like ega garasi aau amia ika erai eurua harga saham, memiliki ugsi sebagai beriku: ma, K 9 ega K meruaka garasi elai iu, masih bayak lagi keergauga yag komleks aa korak seeri ii, coohya eraa reur garasi ahua isalka aalah reur aa ahu ke- aa ase a δ aalah garasi aa ahu ke-, maka embayara yag ilakuka oleh egasurasi meai K ma, δ ebelumya aka iaalisis erlebih ahulu kerugia yag aka ihaai oleh egasurasi Noasika sebagai agka beraha hiu aa waku a oroolio megaug emegag saham yag membeli korak ega beuk yag sama yaiu eowme muri yag erkai ega saham aa waku Jika seia korak iiviu ibayarka ega remi uggal aa waku seilai κ, maka ilai saa ii ari kerugia egasurasi aalah ilai saa ii ari korak ikuragi oleh bayakya remi asurasi yag elah ibayarka aa waku, yaiu δ e κ ega e δ aalah akor isko Peubah acak a ieiisika aa ruag ukura eluag Ω,, P i maa P meruaka ukura eluag ari sebara bersama, Karea agka beraha hiu a erkembaga saham aalah bebas sokasik, maka ilai haraa a varia ari kerugia egasurasi aalah sebagai beriku: δ e κ δ e κ a ar ar ar e δ ar δ e ar Peurua rumus uuk ersamaa ii aa iliha aa amira 3 Kemuia oasika ugsi beraha hiu bagi seseorag yag berumur samai ahu alam oasi akuaria saar sebagai beriku : P > 3 Asumsika bahwa sisa waku hiu,, bsi a { },, > { > } bsi eroulli yag aa mecaai ilai ega eluag Dega asumsi ersebu a berasarka Deiisi 7 eag bsi, maka ersamaa aa ibua seeri i bawah ii:

2 7 a i { > } { > } i i P > 4 ar ar { } i > i 5 Dega mesubiusika 4 a 5 ke alam ersamaa a, beruru-uru, aka iaaka hasil sebagai beriku: δ e κ 6 δ e κ a δ ar e 7 δ e ar Nilai haraa ari rese value kerugia aka sama ega ika a haya ika δ κ e Karea klaim aa korak asurasi iwa ii iak aa irelikasi seluruhya, maka uuk sraegi yag erama iguaka sraegi suerrelikasi raegi ii aa asarya meeuka bagaimaa meaaka sraegi sel-iacig ' ega C a ' ' Di maa C meruaka biaya awal a meruaka ivesasi awal iiial value eagka meruaka rese value ari korak eowme muri yag erkai ega ekuias yaiu /, i maa harga saham berasarka moel Co, Ross, Rubisei yag ieiisika oleh ρ, ega ρ,, ρ aalah barisa ari eubah acak bsi ega ρ { a, b} a < P ρ b < ; ρ aalah reur saham er ui selama ierval waku, meruaka ilai isko ari saham aa waku ega roses harga isko / i maa r ehigga ilai isko ari saham aa waku aa iuliska alam beuk sebagai beriku ρ ρ r r r yara alami alam arameer a, b, a r aalah < a < r < b, yaiu reur saham aa seia erioe harus melebihi reur aa abuga ega kemugkia osii a sebalikya oller, euru Argesau 4, suau asar aa ikaaka iak memiliki kemugkia arbirage ika a haya ika eraa ukura eluag P yag ekuivale ega P i maa roses harga isko aalah P - marigale Aka ibukika bahwa aalah marigale Deiisika ilrasi {,,, } ega σ{,, } i maa meruaka ilrasi yag erkai ega erkembaga saham aa asar a iierreasika sebagai iormasi yag ihasilka ari observasi saham samai aa waku Da ilrasi {,,, } ega σ{,, } Filrasi meruaka ilrasi yag megaug iormasi eag emegag olis, seagka megierreasika agka kemaia yag ialami samai aa waku Deiisika {,,, } sebagai ilrasi ambaha ega σ yag megarika bahwa meliui semua iormasi yag erseia Proses harga isko ieiisika alam ruag ukura eluag Ω,, P ilegkai ega ilrasi Diasumsika roses harga, iaaasi, uuk seia, erukur alam - measurable; eermiisik Diasumsika eraa ukura eluag P r a ega P ρ b a b a ρ,, ρ aalah bsi ibawah P Asumsi a < r < b meami < <, sehigga aalah ukura eluag yag ekuivale ega P Ukura P isebu ukura marigale ekuivale Aka ibukika bahwa roses harga saham yag elah iisko,, aalah, P -marigale r a ρ ρ b a b a r aka, ρ r

3 8 euru Deiisi megeai marigale erbuki bahwa meruaka, P - marigale eorema megeai rereseasi marigale beriku erkai ega moel CRR yag iguaka eorema isalka sebagai eubah acak - measurable P -iegrable Kemuia,,P - marigale N yag ieiisika oleh N memberika rereseasi khas beriku: N N α i maa α aalah - -measurable uuk seia uki eorema aa iliha aa Williams 99 Pembeuka harga aa sraegi hegig yag aka ibahas selauya megikui eorema i aas Dalam sraegi sel-iacig yag memiliki ilai ermial, ilai awal meruaka sau-sauya harga yag layak uuk, a isebu sebagai harga o-arbirage ari Dalam sraegi suerrelikasi, aka icari klaim ' i maa klaim ersebu lebih besar ibaigka ega klaim yag sebearya isal, klaim ' yag ieroleh ega meggai seumlah agka beraha hiu aa waku meai korak emegag olis yag masuk aa waku, yaiu ' / Klaim ii elas lebih besar ibaigka ega klaim asli selama ehigga sraegi ' yag merelikasi klaim ' yag uga memeuhi ' ' meruaka sraegi suerrelikasi uuk erasarka eorema, ilai isko ari oroolio ersebu aa iuliska alam beuk: 8 meruaka sraegi suerrelikasi ermurah, karea semua sraegi suerrelikasi yag lai membuuhka ivesasi awal yag melebihi ehigga harga remi yag iawarka erlalu iggi a ika iaksaka uuk megguaka sraegi ii, maka masih eraa risiko yag belum erelimiasi, selai iu harga sraegi suerrelikasi yag sama ega harga o-arbirage uuk ii elas auh lebih iggi ibaigka ega harga klaim asli, sehigga sraegi ii iak erliha sebagai ala yag ea uuk meghege klaim asurasi iwa yag erkai ega saham i maa klaim bergaug aa ambaha sumber risiko yag bebas sokasik ega asar iasial raegi yag keua aalah eekaa rea-chwarz yag meyaraka uuk meggai klaim asli ega klaim " /, yaiu meggai umlah ari kemugkia beraha hiu yag iak ikeahui ega umlah yag ikeahui " i sii meruaka osi ie roa ega waku kosa, oleh karea iu ilaiya aa icaai a i-hege sera aa ihargai uik erasarka eorema a ega roses yag sama ega sraegi sebelumya, iaaka harga o-arbirage uuk " yaiu / Nyaaka masalah harga ari " bergaug aa, yaiu calo harga a calo sraegi hegig sel-iacig uuk aa megguaka harga a sraegi sel-iacig ari " Proses embeukka harga klaim aa " saga rumi karea korak yag erkai ega ekuias alam rakekya serig kali melibaka keergauga yag saga komleks aa saham aau ieks saham yag aa elai iu, eekaa ii uga masih meiggalka risiko bagi egasurasi raegi erakhir aalah sraegi hegig miimisasi risiko Deiisika ua roses ilai, yaiu roses yag erkai ega asar iasial a roses yag erkai ega oroolio ari asurasi iwa Dega megguaka eorema iaaka harga isko ari embayara aa waku sebesar 9 α a roses ieiisika oleh:

4 9 yaiu ilai haraa bersyara ari orag yag beraha hiu aa waku ; aalah eluag bersyara ari kemugkia beraha hiu samai waku Caa bahwa berlukuasi secara khas a erasarka kebebasa aara a, maka roses harga aa iulis sebagai beriku: ehigga Da ega megguaka ersamaa 9 iaaka α Proses ika ihubugka ega P -marigale aka memuyai ekomosisi yag uik yaiu ξ uki aa iliha aa William 99 Di maa ξ aa ierkiraka yaiu ξ aalah -measurable a aalah P -marigale yag orogoal ega, Oleh karea iu, uga P - marigale Caa bahwa α aalah ukura - a roses ξ ieiisika oleh α ξ Jika aa iuukka bahwa aalah marigale, maka ekomosisi elah ereuhi a aka iaaka beuk: Uuk meuukka bahwa aalah marigale, berasarka kebebasa aar a, iaaka karea aalah marigale a bebas sokasik ari ilrasi Dega erhiuga yag sama, aa iuukka bahwa uga marigale, karea maka, aa iuukka bahwa erasarka roses biaya yag elah ieiisika sebelumya, yaaka masalah miimisasi sebagai ugsi ari, η ξ yaiu roses memiimumka ilai haraa bersyara i bawah ukura marigale ari kuara biaya yag mucul selama ierval waku selauya C C r 3 Karea iasumsika -measurable maka ξ Nilai miimum uuk r iaaka ega memilih sraegi ξ a η sehigga C aalah marigale, yaiu C C al ii megakibaka roses uga marigale Karea maka ξ 4 erasarka ersamaa 4 maka iaaka ξ η elauya masukka ersamaa 6 a 4 ke alam ersamaa 3 uuk meaaka r ξ ξ 5 α

5 Karea ξ a ξ aalah measurable a, sera berasarka keorogoala ari a, ersamaa 5 aa iuliska ke alam beuk ξ r ξ Di maa aka miimal ika η ξ ξ ξ a erasarka erhiuga ersebu maka iaaka sraegi miimisasi risiko uuk korak asurasi iwa yag erkai ega ekuias aalah ξ α η ξ α 6 α α Dega meuliska kembali eluag sebagai, maka kerugia selama -, aalah 7 Persamaa ersebu meelaska bahwa kerugia egasurasi aalah roorsioal ega akor yag meruaka harga isko osi aa waku ikali ega eluag beraha hiu Jumlah ersebu merereseasika caaga yag layak aa waku uuk seorag emegag olis yag hiu aa waku Fakor keua meruaka selisih ilai sebearya ari yag beraha hiu ega ilai haraa bersyara yag ihiug aa - euru oller sraegi miimisasi risiko ii aa meaksir besarya risiko ari egasurasi Kebebasa aara a i bawah P a aka bahwa erubaha ukura ari P ke P iak memegaruhi isribusi ari sisa waku hiu, memberika varia ari biaya sebagai beriku : ar C 8 aa ikaaka berkaia ega eluag beraha hiu al ii aa erliha ari erhiuga beriku ar F ar ar F F i maa aa ersamaa erakhir iguaka - biomial, aria 8 sebaikya ibaigka ega oal varia ari klaim yag meruaka varia ari kerugia egasurasi ega iak melakuka rasaksi yag iberika oleh ersamaa beriku : ar / ar 9 Cooh Nyaaka bahwa alam sau ahu erai lima kali waku eragaga, misalka k,,,3,4, sehigga 4 Noasika selag waku aar eragaga ega, yaiu alam sau ahu erbagi 4 meai 4 erioe ega selag waku aar erioe aalah iga bula Uuk memuahka erhiuga, asumsika bahwa sisa waku beraha hiu ari emegag olis aalah bebas a meyebar eksoe ega igka hazar bahaya μ yag berbea-bea ehigga eluag beraha hiu ari emegag olis aalah k e μ k uuk semua k a isalka ilai garasi ari korak aalah K r ega Peluag aalah ilai eluag yag ekuivale ega eluag Dega megguaka ersamaa kemugkia risiko eral risk eural robabiliies aka iaaka ilai ari r a b a 5 5 Parameer yag iguaka alam kasus ii aalah : ¼ 4 K 3

6 a - b 5 r a ega megguaka moel CRR, iaaka erkembaga harga saham a roses harga o-arbirage risk eural valuaio Gambar Perkembaga harga saham aas megguaka ersamaa yag elah ieiisika sebelumya yaiu ρ Paa waku k, harga saham megalami keaika meai u b k 5 5 a aka uru meai a k 9 Dega meeruska erhiuga iaas, aka iaaka oho biomial uuk erkembaga harga saham gambar eagka roses harga o-arbirage megguaka risi aa ersamaa ega meggai harga osi ega ma, K Prisi alam erhiuga harga o-arbirage aalah meghiug ari belakag ega megguaka oho Gambar Poho iomial uuk erkembaga harga saham aas a roses harga oarbirage uuk korak bawah Gambar 3 ege uuk ma, K aas a sraegi hegig miimisasi risiko uuk korak eowme muri uuk kasus sau orag emegag olis yag beraha hiu, imaa μ bawah

7 biomial yag elah ibeuk sebelumya workig backwar hrough he ree Uuk k, harga o-arbirage iaaka ari r Uuk mecari sraegi hegig bagi osi beli, guaka roses harga o-arbirage yag elah ihiug sebelumya isalka sebagai bayakya ase bebas risiko aa waku k a sebagai bayakya saham yag imiliki aa waku k a ega megguaka roses harga sebelum iisko, aka iaaka roses harga Peyelesaia ersamaa iaas, aka meghasilka 595 a 487 Dega melauka roses ersebu, aka ihasilka roses hegig α uuk ma, K Gambar 3 erasarka ersamaa 6 a 7 maka aka iaaka roses hegig uuk livig beei Uuk sau orag emegag olis aka iaaka ξ α e yaiu aa waku k oroolio megaug 9 saham a η ξ 8 e 9 79 memiliki ilai aa abuga sebesar 79 Paa waku k ilai ersebu aka berubah sesuai ega ilai saham a bergaug aa kemugkia emegag olis ea hiu aa waku ersebu Jika emegag olis iak aa beraha samai ega k, maka ξ a η Jika ia ea hiu aa waku k, a ilai saham meigka meai 5, maka ξ 383 3/4 a η e μ Cara yag sama ilakuka uuk meaaka roses hege selauya Dalam kasus korak seeri ii, ersamaa 8 a 9 aa iseerhaaka meai k k μ μk μ ar C e e 3 a, ega /, μ μ ar e e 3 μ ar e Uuk meghiug ar C iguaka harga o-arbirage yag elah iisko Dega megguaka risi uuk mecari ersamaa 3 sebelumya a ega meggai ayo osi ega harga oarbirage aka iaaka harga o-arbirage yag elah iisko aa waku,, 3 a 4 sebagai beriku: Paa waku : r/ e 4 u 3 Paa waku : r/ 4 e u 33 u Paa waku 3: r/ e u u 3 3 Paa waku 4: 4r/ e u u u Karea harga saham meruaka marigale, maka: k k ehigga aa waku 4 aka iguaka harga o-arbirage aa waku 3 eriku meruaka hasil erhiuga ar C uuk beberaa ilai hazar yag berbea a ega umlah emegag osi yag berbea: u u abel asil erhiuga ar C μ ar C abel beriku memerlihaka hasil erhiuga ar

8 3 abel asil erhiuga μ ar ar,,53,5,93,833,,64,5,94,834,,85,5,965,855 abel 3 Rasio aara ar C a ar μ ar C ar Rasio,,3,53,973,5,843,93,978,783,833,983,,4,64,96,5,844,94,977,784,834,98,,5,85,86,5,845,965,958,785,855,975 Daa erliha ari abel 3 iaas bahwa rasio ari ar C a ar bergaug aa umlah emegag olis a ilai hazar μ Jika umlah emegag olis berambah maka rasio aka berkurag, a sebalikya ika ilai hazar berambah maka rasio uga aka berambah Keergauga erhaa μ aa iierreasika meai, ika μ meigka, keiakasia erhaa agka emegag olis yag aa beraha hiu berambah besar ibaigka ega keiakasia iasial ama halya ega aa saa umlah emegag olis meigka, bagia yag mucul alam ar yag roorsioal erhaa meai lebih omia, oleh karea iu rasio meuru KIPUAN elai melakuka eekaa iasial, erusahaa asurasi uga melakuka eekaa isik uuk meguragi risiko yag aa, yaiu ega mecari harga oimal ari korak yag ierbika eraa iga sraegi yag biasa iguaka alam mecari harga ari suau korak asurasi iwa yag erkai ega ekuias, alam hal ii saham, yaiu suerrelikasi, eekaa rea- chwarz a miimisasi risiko Dari keiga sraegi ersebu, sraegi suerrelikasi a eekaa rea-chwarz bukalah sraegi yag ea uuk iguaka karea harga yag erbeuk erlalu iggi, selai iu roses alam ecaria harga ersebu aa erbilag rumi raegi hegig yag aa memberika harga oimal bagi korak ersebu aalah sraegi hegig miimisasi risiko raegi miimisasi risiko memberika ua roses ilai, yaiu ilai yag erkai ega asar iasial yag meruaka erkalia ari roses hegig yag elah ilakuka ega ilai haraa bersyara ari orag yag