Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi. Metode Newton Metode Spline

Transkripsi

1 Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi Metode Newton Metode Spline

2 Pertemuan 9 : Interpolasi 2 Interpolasi Newton Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x 0 untuk menghampiri suatu fungsi f(x). Bila lebih dari satu titik pusat yang digunakan, misalnya : x 0, x 1,, x n, maka hasilnya disebut polinomial Newton.

3 Pertemuan 9 : Interpolasi 3 Teorema Polinomial Newton : Andaikan dan untuk k = 0, 1,, n mempunyai nilai-nilai yang berbeda, maka dengan adalah polinomial yang dapat dipakai untuk mendekati f(x) :

4 Pertemuan 9 : Interpolasi 4 Polinomial Newton melalui (n+1) titik yaitu untuk k = 0, 1,, n. Sisaan berbentuk : untuk beberapa c yang terletak pada interval [a,b]. Koefisien a i dikonstruksi menggunakan beda bagi (divided difference).

5 Pertemuan 9 : Interpolasi 5 Kurva berikut memberikan ilustrasi suatu polinomial Newton derajat 3.

6 Pertemuan 9 : Interpolasi 6 Beda bagi (Divided Difference) Orde I. Bila diberikan sembarang fungsi f(x) dan 2 titik, x 0 dan x 1, Beda bagi orde pertama dari suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut : Menggunakan teorema nilai antara : untuk nilai c antara x 0 dan x 1,

7 Pertemuan 9 : Interpolasi 7 Lebih jauh dapat ditunjukkan bahwa Beda bagi orde dua untuk tiga titik yang berbeda, x 0, x 1 dan x 2 didefinisikan sebagai :

8 Pertemuan 9 : Interpolasi 8 Dari sini dapat ditunjukkan bahwa untuk nilai c antara x 0 dan x 2, Bila maka

9 Pertemuan 9 : Interpolasi 9 Contoh: Bila x 0 =1.0, x 1 =1.1 dan x 2 =1.2, maka:

10 Pertemuan 9 : Interpolasi 10 Sebagai perbandingan: Contoh: maka tabel beda bagi dapat dikonstruksi sbb:

11 Pertemuan 9 : Interpolasi 11 dengan:

12 Pertemuan 9 : Interpolasi 12 Menggunakan pendekatan polinomial Newton, contoh di atas menghasilkan

13 Pertemuan 9 : Interpolasi 13 Contoh: Buat polinomial Newton derajat n = 1, 2, 3, 4, 5 untuk menghampiri fungsi f(x) = cos(x) pada interval [x 0, x n ] = [0, 1], dengan partisi yang sama. 5 x, y 0, f (0), 0.2, f (0.2), 0.4, f (0.4) k k k 0 0.6, f (0.6), 0.8, f (0.8), 1, f (1),

14 Pertemuan 9 : Interpolasi 14 Jawab: Gunakan {{0, 1},{0.2, }} untuk mengonstruksi polinomial interpolasi Newton derajat 1,

15 Pertemuan 9 : Interpolasi 15 Bila digunakan {{0,1},{0.2, },{0.4, }} pada interval [0, 0.4]. Hasilnya adalah:

16 Pertemuan 9 : Interpolasi 16 Bila digunakan 4 titik, {{0, 1},{0.2, }, {0.4, },{0.6, }} pada interval [0, 0.6] diperoleh polinomial derajat 3 berikut :

17 Pertemuan 9 : Interpolasi 17 Bila digunakan 5 titik, {{0, 1},{0.2, }, {0.4, },{0.6, }, {0.8, } } pada interval [0, 0.8] diperoleh polinomial derajat 4 berikut :

18 Pertemuan 9 : Interpolasi 18

19 Pertemuan 9 : Interpolasi 19 Lagrange vs. Newton (n=5) melibatkan 30 perkalian, dan sampai 35 penjumlahan atau pengurangan melibatkan 15 perkalian, dan sampai 20 penjumlahan atau pengurangan

20 Pertemuan 9 : Interpolasi 20 Secara umum, polinomial Lagrange derajat n memerlukan n(n+1) perkalian serta n(n+2) penjumlahan dan pengurangan, sedangkan polinomial Newton derajat n memerlukan n(n+1)/2 perkalian serta n(n+3)/2 penjumlahan dan pengurangan. Jadi mana yang lebih efisien?

21 Pertemuan 9 : Interpolasi 21 Teorema Batas Kesalahan Andaikan f(x) didefinisikan pada [a, b] yang memuat partisi yang sama Andaikan pula f dan turunan f sampai orde (n+1) kontinyu serta terbatas pada subinterval [x 0, x 1 ], [x 0, x 2 ], [x 0, x 3 ], [x 0, x 4 ], dan [x 0, x 5 ], yaitu f (n+1) (x) M (n+1) untuk x 0 < x < x n dengan n = 1, 2, 3, 4, 5.

22 Pertemuan 9 : Interpolasi 22 Faktor kesalahan yang bersesuaian dengan kasus-kasus tersebut memiliki batas atas berikut utk utk utk

23 Pertemuan 9 : Interpolasi 23 untuk untuk

24 Pertemuan 9 : Interpolasi 24 Contoh: Selidiki kesalahan yang timbul akibat penggunaan metode hampiran Newton orde n = 1, 2, 3, 4, dan 5 pada contoh di atas. Jawab: untuk n=1, gunakan [0,0.2 ] Kesalahan yang terjadi : e 1 (x) = f(x) P 1 (x),

25 Pertemuan 9 : Interpolasi 25

26 Pertemuan 9 : Interpolasi 26 Jawab: untuk n=2, gunakan [0,0.4 ] Kesalahan yang terjadi : e 2 (x) = f(x) P 2 (x),

27 Pertemuan 9 : Interpolasi 27

28 Pertemuan 9 : Interpolasi 28 Jawab: untuk n=3, gunakan [0,0.6 ] Kesalahan yang terjadi : e 3 (x) = f(x) P 3 (x),

29 Pertemuan 9 : Interpolasi 29

30 Pertemuan 9 : Interpolasi 30 Jawab: untuk n=4, gunakan [0,0.8] Kesalahan yang terjadi : e 4 (x) = f(x) P 4 (x),

31 Pertemuan 9 : Interpolasi 31

32 Pertemuan 9 : Interpolasi 32 Jawab: untuk n=5, gunakan [0,1] Kesalahan yang terjadi : e 5 (x) = f(x) P 5 (x),

33 Pertemuan 9 : Interpolasi 33

34 Pertemuan 9 : Interpolasi 34 Interpolasi Spline: Apabila ingin dilakukan interpolasi pada data dalam tabel berikut :

35 Pertemuan 9 : Interpolasi 35 Salah satu cara adalah dengan membuat interpolasi linear pada setiap segmen data seperti berikut : Namun cara ini akan menimbulkan sudut pada setiap segmen garis, yang kurang dikehendaki.

36 Pertemuan 9 : Interpolasi 36 Cara lain adalah dengan pendekatan interpolasi kuadratik pada setiap segmen

37 Pertemuan 9 : Interpolasi 37 Atau dengan menggunakan interpolasi polinomial seperti berikut :

38 Pertemuan 9 : Interpolasi 38 Interpolasi menggunakan Piecewise Polynomial untuk fitting jumlah data yang banyak. untuk menghindari penggunaan polinomial derajat tinggi bermanfaat, al. fitting data dapat dilakukan dengan polinomial derajat rendah. Menggunakan fungsi interpolant berbeda pada setiap sub-interval Titik disebut knots atau breakpoints Contoh: piecewise linear, Hermite interpolation

39 Pertemuan 9 : Interpolasi 39 Contoh: Agar diperoleh solusi yang unik, jumlah parameter harus sama dengan jumlah persamaan. dengan n knots mempunyai 4(n-1) parameter yang harus ditentukan

40 Pertemuan 9 : Interpolasi 40 2(n-1) persamaan dari plot data (n-2) persamaan dari syarat kekontinuan turunan pertama n persamaan lainnya bisa untuk persyaratan tambahan 3(n-4) persamaan spt pada Interpolasi Hermite (n-2) persamaan dari syarat kekontinuan turunan kedua 2 persamaan lainnya bebas

41 Pertemuan 9 : Interpolasi 41 Contoh Tentukan interpolasi cubic spline dari titik Delapan parameter yang akan ditentukan: di di Delapan persamaan yang akan digunakan:

42 Pertemuan 9 : Interpolasi 42

43 Pertemuan 9 : Interpolasi 43 Hermite Cubic mengutamakan kemonotonan

44 Pertemuan 9 : Interpolasi 44 Cubic Spline mengutamakan kemulusan

45 Pertemuan 9 : Interpolasi 45 : Piecewise constant : Piecewise linear : Piecewise quadratic : Piecewise polinomial derajat k

46 Pertemuan 9 : Interpolasi 46

47 Pertemuan 9 : Interpolasi 47

48 Pertemuan 9 : Interpolasi 48