SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN POISSON MENGGUNAKAN JARINGAN FUNGSI RADIAL BASIS PADA KOORDINAT POLAR

Transkripsi

1 SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN POISSON MENGGUNAKAN JARINGAN FUNGSI RADIAL BASIS PADA KOORDINAT POLAR Fata Mufidah, Mohaad Jahuri Jurusan Mateatika UIN Maulana Malik Ibrahi Malang e-ail: ABSTRAK Persaaan Poisson dala koordinat polar atau lingkaran erupakan persaaan diferensial parsial linier orde dua tipe eliptis. Persaaan ini erupakan bentuk non hoogen dari persaaan Laplace. Persaaan Poisson pada koordinat polar disini enggabarkan distribusi panas dala ruang, yang dala hal ini berbentuk lingkaran. Solusi nuerik persaaan Poisson diperoleh dengan etode jaringan fungsi radial basis. Dengan etode ini, setiap fungsi dan turunannya dapat didekati secara langsung dengan sebuah fungsi basis. Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis jenis ultiquadrics. Solusi nuerik enggunakan etode jaringan fungsi radial basis khususnya etode langsung yang diperoleh dari penelitian ini enunjukkan keakuratan yang tinggi dengan diperolehnya galat yang relatif kecil. Dengan galat utlak aksiu terkecil yaitu 0,00088, dengan peilihan r = 0,1 dan θ = π. Ini enunjukkan bahwa etode jaringan fungsi radial basis cukup efektif dala 45 engaproksiasi persaaan Poisson dengan doain lingkaran. Kata kunci: Solusi Nuerik, Persaaan Poisson, Jaringan Fungsi Radial Basis, Koordinat Polar. ABSTRACT Poisson equation on the polar coordinate is one of the second order partial differential equations of elliptic type. This equation is also a special case of Laplace equation and inhoogeneous version of Laplace equation. Poisson equation here describes heat conduction on the polar region. Here, we solve Poisson equation using radial basis function networks with ultiquadrics as a basis function. Nuerical experients show that radial basis function network achieves great accuracy. The sallest axiu absolute errors is 0,00088 with r = 0,1 and θ = π. Fro this result, it can be concluded that radial basis function networks ethod is effective 45 to approxiate Poisson equation on the polar coordinate. Keywords: Nuerical Solution, Poisson Equation, Radial Basis Function Networks, Polar Coordinate. PENDAHULUAN Persaaan Poisson erupakan persaaan diferensial parsial orde dua tipe eliptis yang ipleentasinya banyak digunakan dala teknik elektro, teknik esin, dan fisika teori. Dinaai dari naa belakang seorang ateatikawan Perancis yang juga seorang ahli fisika dan geoetri Sie on Denis Poisson. Dala fisika teori, persaaan Poisson enggabarkan distribusi panas dala ruang. Salah satu etode nuerik yang digunakan dala enyelesaikan asalah persaaan diferensial adalah jaringan fungsi radial basis (Radial Basis Function Networks). Dengan etode ini, setiap fungsi dan turunannya dapat didekati secara langsung dengan sebuah fungsi basis. Jaringan fungsi radial basis telah laa dikenal dala bidang rekayasa dan teknik sebagai jaringan syaraf tiruan yang enggunakan fungsi basis sebagai fungsi pengaktif. Gagasan jaringan fungsi radial basis diperoleh dari teori aproksiasi fungsi. Mengaproksiasi suatu fungsi adalah enghapiri fungsi tersebut dengan fungsi lainnya. Jaringan fungsi radial basis erupakan peetaan dari suatu vektor input dengan p-diensi ke vektor output yang hanya 1 diensi. Secara aljabar disibolkan dengan f:r p R 1. Fungsi f terdiri dari hipunan bobot {w j } dan hipunan fungsi basis {ϕ(x i, c j )}, dengan {xi } n i=1. Secara uu, fungsi basis dapat ditulis dengan ϕ(x i, c j ) = (x i c j ) α, α = var(x). x i adalah vektor input dan c j adalah titik center dari x ke-i [3]. Koordinat Cartesius bukan erupakan satusatunya jalan untuk enunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Karena bentuk geoetris di ala tidak selalu berupa kotak-kotak atau persegi panjang, naun adakalanya berbentuk lingkaran. Sehingga siste koordinat Cartesius enjadi terbatas penggunaannya. Cara lain ialah enggunakan siste koordinat polar.

2 Fata Mufidah, Mohaad Jahuri KAJIAN PUSTAKA 1. Persaaan Poisson Strauss [6] enyatakan bahwa jika sebuah persaaan difusi atau persaaan gelobang tidak bergantung pada waktu (t), yaitu u t = 0 dan u tt = 0, aka persaaan difusi dan persaaan gelobang tersebut enghasilkan persaaan Laplace. Persaaan Poisson erupakan bentuk non hoogen dari persaaan Laplace. u = f (1) Dengan f adalah sebuah fungsi yang diberikan, aka disebut persaaan Poisson. Bentuk uu persaaan Poisson dala dua diensi dala koordinat Cartesius yaitu: u(x,y) u(x,y) = f(x, y) () x y Pada doain x a < x < x b, y a < y < y b. Boyce dan DiPria [1] enyatakan bahwa asalah kondisi batas untuk persaaan Poisson diensi (x, y) dala siste koordinat Cartesius adalah: u(x a, y) = f 1 (y) u(x b, y) = f (y) (3) u(x, y a ) = f 3 (x) u(x, y b ) = f 4 (x) Dengan f 1 (y), f (y), f 3 (x), f 4 (x) adalah fungsifungsi yang enyatakan kondisi pada batas-batas tersebut. Persaaan Poisson pada siste koordinat polar (r, θ), dengan u(r, θ) adalah: u(r,θ) 1 r r u(r,θ) r 1 r u(r,θ) θ (4) Dengan doain 0 < r < a dan 0 θ b. Masalah kondisi batas untuk persaaan Poisson yang doainnya berupa lingkaran (r, θ), kondisi batas harus berupa kondisi pada tepi dan pusat lingkaran yaitu: u(a, θ) = f(θ) (5) u(0, θ) = f(θ) Dengan a adalah jari-jari lingkaran dan f(θ) adalah fungsi yang enyatakan kondisi pada batas tersebut.. Siste Koordinat Polar Pada siste koordinat polar, sepasang koordinat polar suatu titik ditulis dengan (r, θ). Sebagai ilustrasi siste koordinat polar, kita ulai dengan enggabar sebuah setengah garis tetap yang dinaakan subu polar yang berpangkal pada sebuah titik pusat O. Titik ini disebut polar atau titik asal. Biasanya subu polar ini kita gabar endatar dan engarah ke kanan dan oleh sebab itu subu ini dapat disaakan dengan subu x positif pada siste koordinat Cartesius. Setiap titik P adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di O dan sebuah sinar tunggal yang eancar dari O. Jika r adalah jari- jari ingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan subu polar. Maka yang dinaakan sepasang koordinat polar dari titik P dan ditulis dengan P (r, θ) adalah (r, θ) [7]. Gabar Siste Koordinat Polar Purcell dan Varberg [7] enyatakan bahwa andaikan subu polar beripit dengan subu x positif pada siste koordinat Cartesius. Maka koordinat polar (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persaaan: x = r cos θ (6) y = r sin θ (7 r = x y (8) tan θ = y x θ = arc tan y x (9) Gabar 1 Kondisi Batas pada Koordinat Polar 3. Jaringan Fungsi Radial Basis Jaringan fungsi radial basis ulai dikenal pertaa kali sejak D. S. Broohead dan David Lowe enyapaikan akalahnya yang berjudul Radial basis functions, Multi-variable functional interpolation and adaptive networks pada tahun 1988 []. Jaringan fungsi radial basis erepresentasikan sebuah peetaan dari vektor input dengan p-diensi ke vektor output yang hanya 1-diensi. Secara ateatis jaringan fungsi radial basis ditulis dengan f:r p R 1 [5]. Fungsi f pada f:r p R 1 terdiri dari hipunan bobot {w j } dan hipunan fungsi basis 46 Volue 3 No. 4 Mei 015

3 Solusi Nuerik Persaaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar {ϕ(r i, θ i )} n i=1, dengan {r i } n i=1 dan {θ i } n i=1. Secara uu, fungsi basis dapat ditulis dengan ϕ(r i, c j ) = (r i c j ) α, α = var(r i ). r i adalah vektor input danc j adalah titik center dari r ke-i [3]. Fungsi basis untuk variabel (r, θ): φ(r i, θ i, c j, d j ) = (r i c j ) (θ i d j ) (10) β β = var(r i) var(θ i ) r i = vektor input ke-i θ i = vektor input ke-i c j = titik center dari r ke-i d j = titik center dari θ ke-i α = nilai paraeter width untuk 1 variabel β = nilai paraeter width untuk variabel METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dala enyelesaikan secara nuerik persaaan Poisson pada koordinat polar adalah enggunakan pendekatan studi literatur atau library research. Adapun langkah-langkah dala penelitian ini adalah sebagai berikut: a) Mentransforasi persaaan Poisson beserta kondisi batasnya dari koordinat Cartesius ke koordinat polar. b) Menurunkan fungsi basis ultiquadrics terhadap variabel-variabel bebasnya (r, θ) hingga turunan kedua. c) Mendiskritisasi persaaan Poisson pada koordinat polar enggunakan jaringan fungsi radial basis serta kondisi batasnya. d) Mensubstitukan nilai-nilai input (r i, θ i ) dan f(r i, θ i ) ke dala persaaan Poisson dala bentuk persaaan jaringan fungsi radial basis yang telah diperoleh. e) Menghitung nilai bobot w j. f) Menghitung solusi persaaan Poisson pada koordinat polar dengan engalikan nilai bobot w j yang telah diperoleh dan fungsi basis ultiquadrics yang tanpa diturunkan. g) Melakukan siulasi, enggabarkan grafik, serta enganalisis galat. h) Meberikan kesipulan atas hasil penelitian yang telah diperoleh serta saran untuk penelitian selanjutnya. PEMBAHASAN 1. Transforasi Persaaan Poisson Transforasi persaaan Poisson dari koordinat Cartesius ke koordinat polar, dengan kaidah rantai (chain rule) diperoleh turunan pertaa u(x, y) persaaan () terhadap x dan y. u = u r u θ x r x θ x u = u r u θ y r y θ y (11) (1) Keudian turunan kedua u(x, y) persaaan () terhadap x dan y diperoleh: u x x = u xy r r u y u r 3 θ r r 3 r y 4 u xy u r 4 θ r 4 θ u y y = u xy r r u x u r 3 θ r r 3 r x 4 u xy u r 4 θ r 4 θ (13) (14) Substitusi persaaan (13) dan (14) ke dala persaaan (): u(x,y) u(x,y) = f(x, y) x y x u u r r xy r 3 θ r y u r 3 r y u u r 4 θ xy r 4 θ y u u r r xy r 3 θ r x u r 3 r x u u r 4 θ xy r 4 θ x u y u r r y u y r 3 r r 4 θ u x u r r x u r 3 r r 4 θ = f(r, θ) ( x r y r ) u r (y ( x y ) u r ( r r ) u x u r 3 r3) r (x y r 4 y r (x ) u y r 3 r (x ) u r 4 u r (r r3) r (r r 4) u θ u r (1) u ( 1 r r r ) u θ r 4) u θ θ Sehingga, persaaan Poisson dala koordinat polar diperoleh persaaan (4). Dengan doain 0 < r < a dan 0 θ b. Dan kondisi batas persaaan (5).. Solusi Nuerik Persaaan Poisson Langkah pertaa untuk enghitung solusi nuerik persaaan Poisson (4) enggunakan jaringan fungsi radial basis adalah endiskritisasi persaaan Poisson (4). Karena persaaan Poisson (4) elibatkan turunan kedua u(r, θ) terhadap r dan θ, aka untuk enghapiri fungsi u(r, θ) pada persaaan Poisson (4), fungsi basisnya diturunkan dua kali terhadap r dan θ. Karena enggunakan etode langsung, sehingga fungsi basisnya diturunkan terhadap variabel bebasnya. u r (r, θ), u rr (r, θ), dan u θθ (r, θ) digunakan untuk enghapiri fungsi u(r, θ) pada persaaan Poisson (4). Fungsi basis yang digunakan adalah jenis ultiquadrics. CAUCHY ISSN:

4 Fata Mufidah, Mohaad Jahuri u(r, θ) = w j ϕ(r, θ, c j, d j ) (15) u r (r, θ) = w j φ r (r, θ, c j, d j ) (16) u rr (r, θ) = w j φ rr (r, θ, c j, d j ) (17) u θ (r, θ) = w j φ θ (r, θ, c j, d j ) (18) u θθ (r, θ) = w j φ θθ (r, θ, c j, d j ) (19) Dengan ϕ(r, θ, c j, d j ) diketahui pada persaaan (10), aka ϕ r (r, θ, c j, d j ), ϕ rr (r, θ, c j, d j ), ϕ θ (r, θ, c j, d j ) dan ϕ θθ (r, θ, c j, d j ) diperoleh: ϕ r (r, θ, c j, d j ) = ϕ rr (r, θ, c j, d j ) = ϕ θ (r, θ, c j, d j ) = ϕ θθ (r, θ, c j, d j ) = r c j (r c j ) (θ d j ) β (θ d j ) β ((r c j ) (θ d j ) 3 β) θ d j (r c j ) (θ d j ) β (r c j ) β ((r c j ) (θ d j ) 3 β) (0) (1) () (3) Untuk engaproksiasi persaaan Poisson dala koordinat polar enggunakan jaringan fungsi radial basis digunakan persaaan Poisson dala bentuk persaaan jaringan fungsi radial basis. Dengan substitusi persaaan (16), (17), dan (18) ke dala persaaan (4), aka: u(r,θ) 1 u(r,θ) 1 u(r,θ) r r r r θ w j ϕ rr (r, θ, c j, d j ) 1 r w j ϕ r (r, θ, c j, d j ) 1 r w j ϕ θθ (r, θ, c j, d j ) w j [ϕ rr (r i, θ i, c j, d j ) 1 ϕ r r (r i, θ i, c j, d j ) i 1 ϕ r i θθ(r i, θ i, c j, d j )] = f(r i, θ i ) Dengan ensubstitusi persaaan (0), (1), (3) aka diperoleh persaaan Poisson dala bentuk persaaan jaringan fungsi radial basis yaitu persaaan (4). (θ i d j ) β w j [ ((r i c j ) (θ i d j ) β) 1 r i r i c j (r i c j ) (θ i d j ) β 3 (4) 1 r i (r i c j ) β ((r i c j ) (θ i d j ) β) = f(r i, θ i ) Pada doain 0 < r < a dan 0 θ b. Dengan kondisi batas pada persaaan (5). Diana i = 1,,, n dan β = var(r i )var(θ i). Langkah selanjutnya yaitu enghitung niai bobot w j. Persaaan (4) akan digunakan untuk enghitung nilai bobot w j. Misal A(r i, θ i, c j, d j ) = 1 3 (θ i d j ) β ((r i c j ) (θ i d j ) 3 β) r i c j r i (r i c j ) (θ i d j ) β 1 (r i c j ) β r i ((r i c j ) (θ i d j ) 3 β) Maka persaaan (4) enjadi: ] w j A(r i, θ i, c j, d j ) = f(r i, θ i ) Sehingga, nilai bobot w j dapat diperoleh dengan perhitungan: w j = A(r i, θ i, c j, d j ) 1 f(r i, θ i ) (5) Dengan ensubstitusi nilai-nilai input (r i, θ i ) ke persaaan (5) dan f(r i, θ i ) yang didefinisikan dari persaaan Poisson pada koordinat polar yang diaproksiasi, dapat dihitung nilai bobot w j. Langkah selanjutnya yaitu enghitung solusi nuerik persaaan Poisson dengan cara engalikan nilai bobot w j dengan fungsi basis ultiquadrics variabel yang tanpa diturunkan. Fungsi basis yang digunakan adalah fungsi basis pada persaaan (10). Sehingga, solusi nuerik persaaan Poisson (4) adalah: u (r i, θ i ) = w j ϕ(r i, θ i, c j, d j ) (6) Perhitungan galat ε i diperoleh dengan: ε 1 u(r 1, θ 1 ) u (r 1, θ 1 ) ε u(r [ ] =, θ ) u (r, θ ) (7) ε n u(r n, θ n ) u (r n, θ n ) Besarnya galat enunjukkan seberapa dekat solusi eksak dengan solusi nueriknya. 48 Volue 3 No. 4 Mei 015

5 Solusi Nuerik Persaaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar 3. Siulasi Untuk lebih eahai cara kerja etode jaringan fungsi radial basis, akan ditunjukkan siulasi solusi nuerik persaaan Poisson pada koordinat polar. Persaaan Poisson pada koordinat polar yang akan diselesaikan adalah: u(r,θ) 1 r r u(r,θ) r 1 r u(r,θ) θ = 3 cos θ, 0 < r < 1 dan 0 θ π Dengan kondisi batas u(1, θ) = 0 u(0, θ) = 0 (8) (9) Doain pada persaaan (8) keudian dipartisi enjadi beberapa data diskrit, dengan r = 0,05 dan θ = π 1. Langkah pertaa untuk enghitung solusi nuerik persaaan Poisson (8) dengan kondisi batas (9) enggunakan jaringan fungsi radial basis adalah diskritisasi doain. Doain persaaan Poisson keudian dipartisi dengan r = 0,05 dan θ = π 1. θ i tersebut asih dala satuan derajat ( ), sehingga dirubah terlebih dahulu ke dala satuan radian supaya dapat dioperasikan dengan r i. Setelah eperoleh r i dan θ i yang telah saa penyebutnya, aka doain pada persaaan Poisson dapat digabarkan dengan gabar 3 berikut: (30) saa dengan 0 atau f(0, θ i ) = 0 dan f(1, θ i ) = 0. Langkah selanjutnya, yaitu enghitung nilai bobot w j. Nilai bobot w j dihitung dengan persaaan (5): w j = A(r i, θ i, c j, d j ) 1 f(r i, θ i ) Dengan i = 1,,, 55 dan j = 1,,, 55. Hipunan fungsi basis A(r i, θ i, c j, d j ) yang berbentuk atriks dan hipunan f(r i, θ i ) yang berbentuk atriks 55 1 diperoleh dengan ensubstitusikan nilai-nilai input r i, θ i, c j, d j ke dala persaaan (5). Keudian diperoleh nilainilai bobot w j yang berbentuk atriks Solusi nuerik persaaan Poisson (8) dapat dihitung dengan persaaan (31) berikut: 55 u (r i, θ i ) = w j φ(r i, θ i, c j, d j ) (31) Hasil siulasi solusi nuerik persaaan (8) dengan kondisi batas (9) keudian diperoleh u (r i, θ i ) seperti dala gabar 4 berikut: Gabar 4 Solusi Nuerik Persaaan Poisson dengan dengan r = 0,05 dan θ = π 1 Gabar 3 Diskritisasi Doain Persaaan Poisson Setelah ebagi doain enjadi beberapa titik diskrit, keudian persaaan Poisson (8) akan dirubah enjadi persaaan jaringan fungsi radial basis, yaitu pada persaaan (30): 55 w j [ (θ i d j ) β ((r i c j ) (θ i d j ) 3 β) 1 r i r i c j (r i c j ) (θ i d j ) β (30) 1 (r i c j ) β r i ((r i c j ) (θ i d j ) 3 β) ] = 3 cos θ i Dengan kondisi batas pada persaaan (9) yaitu u(1, θ) = 0 dan u(0, θ) = 0. Artinya, ketika r i = 0,00 dan r i = 1,00 aka ruas kanan pada persaaan Siulasi solusi nuerik persaaan Poisson tersebut dilakukan dengan progra Matlab 008R. Persaaan Poisson pada koordinat polar (r, θ), doainnya berbentuk lingkaran. Persaaan ini enggabarkan distribusi panas atau penyebaran panas dala suatu ruang dengan keadaan steady state atau tetap. Panas dala suatu ruang yang berbentuk lingkaran enyebar tanpa ada pengaruh waktu, atau dapat dikatakan waktu=konstan. Gabar 4 endeskripsikan bahwa panas enyebar pada seluruh ruang/ doain yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 1. Kondisi pada batas persaaan ini adalah untuk u(1, θ) = 0 dan untuk u(0, θ) = 0. Artinya, pada saat r i = 1 dan r i = 0, suhu/ panas ruang adalah sebesar 1 satuan panas. Gabar 4 juga enjelaskan bahwa panas enyebar dari r = 0 ke r = 1. Dan pada saat tertentu, panas dala keadaan eningkat/ suhu naik yaitu pada saat r = 0,3 sapai r = 0,7. Dari gabar tersebut terlihat bahwa suhu tertinggi ketika grafik berwarna coklat tua yaitu pada r = 0,3. Suhu terendah terlihat ketika grafik berwarna biru tua yaitu r = 0,3 sapai r = 0,7. Dengan kondisi batas yang diketahui adalah u(1, θ) = 0 dan u(0, θ) = 0, CAUCHY ISSN:

6 Fata Mufidah, Mohaad Jahuri artinya suhu di pusat lingkaran/ pusat ruang saa dengan suhu di batas/ tepi ruang yang pada kasus ini berbentuk lingkaran. Perhitungan galat dilakukan untuk engetahui seberapa dekat solusi analitik atau solusi eksak dengan solusi nueriknya. Galat diperoleh dari selisih antara solusi eksak dan solusi nueriknya. Solusi eksak dari persaaan Poisson pada koordinat polar u(r,θ) 1 r r u(r,θ) r 1 r u(r,θ) θ = 3 cos θ dengan doain 0 < r < 1 dan 0 θ π pada kondisi batas u(1, θ) = 0 dan u(0, θ) = 0 tersebut diketahui dala artikel yang ditulis oleh R. C. Mittal dan S. Gahlaut [4]: u(r, θ) = r(1 r) cos θ = (r r ) cos θ = (r cos θ r cos θ) u(r, θ) = r cos θ r cos θ (3) Solusi eksak persaaan Poisson (8) dengan kondisi batas (9) dapat dilihat pada gabar 5 berikut: Galat utlak aksiu diketahui dari progra atlab yaitu 0,001. Menganalisis galat etode jaringan fungsi radial basis pada solusi nuerik persaaan Poisson pada doain lingkaran (8) dilakukan beberapa siulasi lagi dengan eperbesar dan eperkecil r serta θ. Siulasi kedua dilakukan dengan eperbesar r dan θ. Solusi nuerik persaaan Poisson (8) dengan kondisi batas (9) untuk r = 0,1 dan θ = π dilakukan dengan progra Matlab. 6 Gabar solusi nuerik, solusi eksak, dan galatnya dapat dilihat pada gabar 7, 8, dan 9 berikut: Gabar 7 Solusi Nuerik Persaaan Poisson Persaaan Poisson dengan dengan r = 0,1 dan θ = π 6 Gabar 5 Solusi Eksak Persaaan Poisson Persaaan Poisson dengan dengan r = 0,05 dan θ = π 1 Galat solusi nuerik persaaan Poisson (3.37) enggunakan etode jaringan fungsi radial basis dihitung dari persaaan (3.43) berikut: ε 1 u(r 1, θ 1 ) ε [ u(r ] =, θ ) ε 55 u(r 55, θ 55 ) u (r 1, θ 1 ) (3.43) u (r, θ ) u (r 55, θ 55 ) Dan hasil perhitungannya dapat dilihat pada gabar 6 berikut: Gabar 8 Solusi Eksak Persaaan Poisson Persaaan Poisson dengan dengan r = 0,1 dan θ = π 6 Gabar 9 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika r = 0,1 dan θ = π 6 Gabar 6 Galat Jaringan Fungsi Radial Basis ketika r = 0,05 dan θ = π 1 Galat utlak aksiu diketahui dari progra atlab yaitu 0,019. Siulasi ketiga dilakukan dengan eperkecil θ. Solusi nuerik persaaan Poisson 50 Volue 3 No. 4 Mei 015

7 Solusi Nuerik Persaaan Poisson Menggunakan Jaringan Fungsi Radial Basis pada Koordinat Polar (8) dengan kondisi batas (9) untuk r = 0,05 dan θ = π dilakukan dengan progra Matlab. Gabar 45 solusi nuerik, solusi eksak, dan galatnya dapat dilihat pada gabar 10, 11, dan1 berikut: Gabar 10 Solusi Nuerik Persaaan Poisson dengan r = 0,1 dan θ = π 45 Galat utlak aksiu diketahui dari progra atlab yaitu 0, Keudian dilakukan beberapa siulasi lagi untuk engetahui hasil galat yang diperoleh. Dengan peilihan r = 0,1 dan θ yang berbeda-beda, diperoleh hasil trial error dari beberapa siulasi yang telah dilakukan pada gabar 13 diatas. Hasil-hasil trial error tersebut, enunjukkan bahwa besarnya galat utlak aksiu belu tentu dipengaruhi oleh banyaknya iterasi yang dilakukan. Seakin banyak iterasi yang disebabkan oleh dengan r dan θ yang kecil, belu tentu enghasilkan galat utlak aksiu yang kecil. Begitu pula sebaliknya. Naun dari siulasi yang telah dilakukan, dapat disipulkan bahwa etode jaringan fungsi radial basis cukup efektif dala engaproksiasi persaaan Poisson pada koordinat polar (8) dengan kondisi batas (9) dengan galat utlak aksiu terkecil yang diperoleh yaitu 0,00088 dari peilihan r = 0,1 dan θ = π 45. KESIMPULAN Gabar 11 Solusi Eksak Persaaan Poisson dengan r = 0,1 dan θ = π 45 Berdasarkan hasil pebahasan, dapat diperoleh kesipulan sebagai berikut: Solusi nuerik persaaan Poisson pada koordinat polar yang diperoleh dala penelitian ini enunjukkan hasil yang cukup dekat dengan solusi eksaknya galat utlak aksiu terkecil yang diperoleh yaitu 0,00088 dari peilihan r = 0,1 dan θ = π 45. Besarnya galat utlak aksiu belu tentu dipengaruhi oleh banyaknya iterasi yang dilakukan. Seakin banyak iterasi yang disebabkan oleh dengan r dan θ yang kecil, belu tentu enghasilkan galat utlak aksiu yang kecil. Begitu pula sebaliknya. REFERENSI Gabar 1 Galat Metode Jaringan Fungsi Radial Basis ketika r = 0,1 dan θ = π 45 [1] W.E. Boyce, R.C. DiPria, C.W. Haines, Eleentary differential equations and boundary value probles, Wiley New York, 199. [] D.S. Broohead, D. Lowe, Radial basis functions, ulti-variable functional interpolation and adaptive networks, DTIC Docuent, Gabar 13 Trial Error untuk r = 0,1 [3] N. Mai-Duy, T. Tran-Cong, Approxiation of function and its derivatives using radial basis function networks, Appl. Math. Model. 7 (003) CAUCHY ISSN:

8 Fata Mufidah, Mohaad Jahuri [4] R.C. MITTAL, S. GaHLAUT, A BOUNDARY INTEGRAL FORMULATION FOR POISSON S EQUATION IN POLAR COORDINATES, Indian J. Pure Appi. Math. 18 (1987) [5] V. Olej, P. Hajek, Municipal creditworthiness odelling by radial basis function neural networks and sensitive analysis of their input paraeters, in: Artif. Neural Networks ICANN 009, Springer, 009: pp [6] W.A. Strauss, Partial differential equations: An introduction, New York. (199). [7] D. Varberg, E.J. Purcell, Kalkulus dan Geoetri Analitis Jilid, Jakarta Erlangga..(1999). Kalkulus Dan Geo. Anal. Jilid. 1 (1994). 5 Volue 3 No. 4 Mei 015