Syarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Dengan Redaman

Transkripsi

1 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 T - 10 Syarat Cukup Osilasi Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Dengan Redaman Maulana Malik, Sri Mardiyati Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia maulana.malik@sci.ui.ac.id Abstrak Osilasi merupakan sifat dari solusi persamaan diferensial. Penentuan berosilasinya solusi persamaan diferensial dapat ditentukan dari persamaan diferensial yang diberikan. Dalam teorinya, penentuan osilasi suatu persamaan diferensial merupakan hal yang dapat membantu saat pencarian solusi dengan menggunakan metode numerik. Pada tulisan ini dibahas beberapa syarat cukup osilasi persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman, dimana syarat cukup osilasi yang diberikan bergantung pada kondisi-kondisi tertentu dan juga diberikan simulasinya sebagai pembanding. Kata kunci: osilasi, persamaan diferensial linier orde dua dengan redaman I. PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari beberapa kejadian bisa dimodelkan dalam bentuk suatu persamaan matematika. Persamaan yang sering muncul dalam permasalahan fisik adalah persamaan diferensial, yaitu suatu persamaan yang menyatakan relasi antara fungsi yang tidak diketahui dengan satu lebih turunanturunannya. Setelah didapatkan bentuk persamaan diferensialnya, selanjutnya perlu dilakukan suatu proses untuk menentukan solusinya. Secara umum, ada dua macam cara penyelesaian dalam menentukan solusi persamaan diferensial, yaitu penyelesaian secara analitik dan penyelesaian secara numerik. Penyelesaian secara analitik dilakukan dengan teknik deduktif logis sehingga akan diperoleh solusinya dalam bentuk persamaan. Sedangkan penyelesaian secara numerik dilakukan dengan cara hampiran yaitu dengan menggunakan metode-metode tertentu. Terkadang untuk menghampiri solusi dari suatu persamaan diferensial diperlukan dugaan awal dari kondisi solusinya. Dalam teorinya kondisi dari solusi persamaan diferensial ada dua jenis yaitu solusi yang berosilasi dan solusi yang tidak berosilasi. Menurut Deo dan Raghavendra untuk menentukan berosilasi tidaknya suatu solusi persamaan diferensial cukup dengan menganalisis persamaan diferensialnya. Oleh karena itu pada tulisan ini penulis membahas beberapa syarat cukup yang harus dipenuhi oleh suatu persamaan diferensial sedemikian sehingga solusinya akan berosilasi dan pada tulisan ini penulis memberikan contoh-contoh beserta simulasinya. Adapun persamaan diferensial yang akan dianalisis adalah persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman dikarenakan persamaan ini sering kali muncul dalam permasalahan fisika. II. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam pembahasan syarat cukup osilasi untuk persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman diperlukan beberapa definsi sebagai teori pendukung. Pertama-tama diberikan definisi dari bentuk persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman. Definisi 1. [1] Persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan bentuk disebut sebagai persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman dimana dan adalah fungsi sembarang yang kontinu pada Selanjutnya diberikan definisi solusi tidak trivial dari suatu persamaan diferensial. (1) MT 65

2 ISBN Definisi 2. [1] dan [2] Misalkan adalah solusi dari suatu persamaan diferensial. Solusi dikatakan solusi tidak trivial jika untuk suatu. Berikut ini diberikan definisi tentang hubungan osilasi persamaan diferensial dengan solusinya. Definisi 3. [3] Solusi persamaan diferensial akan berosilasi jika dan hanya jika persamaan diferensialnya berosilasi. Selanjutnya diberikan definisi osilasi persamaan diferensial. Definisi 4. [2],dan [4] Suatu persamaan diferensial disebut berosilasi apabila terdapat solusi tidak trivial pada terdapat sedemikian sehingga. dan untuk setiap Dengan kata lain suatu persamaan diferensial disebut tidak berosilasi apabila untuk setiap solusi tidak trivial terdapat sedemikian sehingga pada interval. Setelah mengetahui beberapa definisi yang telah dibahas di atas. Berikut ini akan dibahas beberapa syarat cukup untuk (1) sehingga persamaan tersebut akan berosilasi. Teorema 1. [5] Jika pada dan maka (1) akan berosilasi. Bukti : Jika diketahui bahwa i. ii. maka akan dibuktikan bahwa (1) akan berosilasi. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan bahwa (1) tidak berosilasi maka berdasarkan Definisi 4 diperoleh bahwa setiap solusi tidak trivial akan terdapat sedemikian sehingga pada interval. Selanjutnya definisikan fungsi sebagai berikut dan dengan menurunkan bentuk (2) terhadap akan didapatkan untuk setiap (2). (3) Kemudian dengan mengganti pada (3) dengan pada (1), serta mengganti pada (3) dengan pada (2) akan diperoleh. (4) Selanjutnya dengan mengganti bentuk pada (4) dengan dalam (2) akan didapatkan Kemudian integralkan kedua ruas (5) pada interval. (5) maka akan didapatkan 66

3 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Dengan melakukan manipulasi aljabar pada (6) akan diperoleh. (6) Selanjutnya berdasarkan yang diketahui (ii) maka akan terdapat bentuk (7) diperoleh Kemudian misalkan. (7) sedemikian sehingga dengan pada. (8). (9) Karena maka didapatkan yang mengakibatkan Selanjutnya dengan menurunkan bentuk (9) akan didapatkan pada. (10) dan dapat pula dituliskan sebagai. (11) Kemudian berdasarkan bentuk (10) yaitu dan diketahui maka pada persamaan (11) nilai dari yang berakibat dapat dituliskan juga sebagai Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan (12) didapat untuk. (12) Karena dan berdasarkan persamaan (13) maka akan diperoleh. (13) Akibatnya,. Hal ini merupakan pernyataan yang kontradiksi. Sehingga pengandaian bahwa (1) tidak berosilasi salah. Jadi haruslah (1) berosilasi. Terbukti bahwa jika dan. Maka (1) berosilasi. MT 67

4 ISBN Teorema 2. [5] Jika pada dan terdapat fungsi yang kontinu pada yang memenuhi sedemikian sehingga dan maka (1) akan berosilasi. Bukti : Jika diketahui bahwa i. pada. ii. Terdapat fungsi yang kontinu pada yang memenuhi iii. sedemikian sehingga. maka akan dibuktikan bahwa (1) akan berosilasi. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan (1) tidak berosilasi maka berdasarkan Definisi 4 setiap solusi tidak trivial akan terdapat sedemikian sehingga pada interval. Selanjutnya definisikan fungsi sebagai berikut dan dengan menurunkan (14) terhadap akan didapatkan untuk setiap (14). (15) Kemudian dengan mengganti bentuk pada (15) dengan pada (14) akan didapatkan. (16) Selanjutnya subtitusikan bentuk pada (1) ke (16) maka akan diperoleh. (17) 68

5 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Kemudian substitusikan bentuk pada (14) ke (17) akan diperoleh Selanjutnya misalkan dan subsitusikan bentuk pada (19) ke (18) maka akan didapatkan. (18) (19) Dengan mengintegralkan kedua ruas (20) pada interval maka diperoleh (20). (21) Kemudian dengan mengganti bentuk pada (21) dengan bentuk pada (19) maka didapatkan (22) Berdasarkan yang diketahui (iii) maka akan terdapat sedemikian sehingga dengan persamaan (22) akan diperoleh untuk. (23) MT 69

6 ISBN Kemudian misalkan Karena diketahui maka pada (23) bernilai positif serta bentuk untuk. (24) sedemikian sehingga akan didapatkan dan dengan menggunakan (24) diperoleh hubungan untuk. (25) Selanjutnya dengan menurunkan (24) terhadap akan didapatkan dan dengan melakukan manipulasi aljabar pada (27) maka akan diperoleh (26) (27). (28) Kemudian karena diketahui, dan telah didapatkan maka pada (28) bentuk serta bentuk, akibatnya (29) dan berdasarkan hubungan (25) maka (29) menjadi Dengan mengintegralkan kedua ruas (30) pada interval didapat. (30) Selanjutnya berdasarkan hubungan (25) didapatkan didapatkan. (31) maka dengan menggunakan (31) akan Akibatnya, Hal ini kontradiksi dengan (ii). Sehingga pengandaian bahwa (1) tidak berosilasi salah. Jadi haruslah (1) berosilasi. Sehingga telah terbukti bahwa (1) berosilasi.. III. CONTOH DAN SIMULASI Contoh 1 Misalkan diberikan persamaan diferensial linier homogen orde dua,. Berdasarkan Teorema 1 persamaan diferensial di atas berosilasi karena : terpenuhi yaitu dan terpenuhi yaitu 70

7 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY Dengan menggambarkan solusi dari persamaan diferensial dengan menggunakan Mathematica yang diberikan pada Contoh 1 maka dapat diperoleh grafik sebagai berikut GAMBAR 1. GRAFIK SOLUSI. Berdasarkan Gambar 1 terlihat bahwa grafik yang dihasilkan berosilasi. Hal ini sesuai dengan hasil perhitungan Contoh 1 dengan menggunakan Teorema 1. Contoh 2 Seperti pada Contoh 1 persamaan yang diberikan berosilasi karena memenuhi persyaratan Teorema 2, yaitu : terpenuhi karena. Pilih dan terpenuhi karena. dan terpenuhi karena. IV. SIMPULAN Berdasarkan pembahasan di atas, kesimpulan yang dapat diambil yaitu bahwa syarat cukup osilasi persamaan diferensial linier homogen orde dua dengan redaman adalah bila persamaan tersebut memenuhi syarat-syarat tertentu yang telah dinyatakan dalam Teorema 1 dan Teorema 2 dan juga hasil simulasi yang diperoleh sesuai dengan hasil analisis dengan menggunakan Teorema 1 dan Teorema 2. DAFTAR PUSTAKA [1] W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Fourth edition, John Wiley & Sons (Asia) [2] S.G. Deo and V. Raghavendra, Ordinary Differential Equations and Stability Theory, Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, New Delhi, India [3] S.R. Grace, Oscillation Criteria For Third Order Non Linear Delay Differential Equations With Damping, Opuscula Math. 35. no. 4. (2015). pp MT 71

8 ISBN [4] E.M. Ellabbasy and W.W. Elhaddad, Oscillation of Second Order Nonlinear Differential Equations with Damping Term, Electronic Journal of Qualitative of Diferential Equations, No. 25. (2007). pp [5] H.K. Abdullah, A Note the oscillation of second order differential equations, Journal Czechoslovak Mathematical. vol.54. (2004). pp