BabXIVAnalisaVariance

Transkripsi

1 --- BabXIVAalisaVariace KAT A KUNCI aalisa variace suatu etode utuk eguji hipotesis bahwa beberapa kelopok yag berbeda seuaya epuyai rata-rata yag sara. tabel ANOVA suatu tabel yag eragku hasil dari perhituga aalisa variace aalisa variace dua cara prosedur pegujia yag dapat diterapka pada suatu tabel bilaga utuk eguji dua hipotesis; (1)tidak ada perbedaa yag sigifika diatara barisbaris; da (2) tidak ada perbedaa yag sigifika diatara kolo-kolo. PENGUJIANTERHAOAPKESAMAANOARI BEBERAPARATA-RATA Misalya kita egaati ilai-ilai suatu tes kearpua khusus tiga kelopok berbeda yag asig-asig terdiri dari 10 orag. Hasilya adalah sbb: kelopok a: 88,92,91,89,89,86,92,86,89,89 kelopok b: 91, 92, 85, 94, 93,87,87,92,91,89 kelopok c: 87,88,95,88,92,87,89,88,87,88 Nilairata-rata utuktigakelopok tersebutdekatsatusaralai.layakutukegaggap bahwa pada keyataya tidak ada perbedaa keapua diatara kelopok-kelopok, da perbedaa yag terdapat pada ilai rata-rata terjadi seata-ata karea kebetula. Misalya kita eeliti ilai-ilai dari tiga kelopok yag berbeda da hasilya sebagai berikut: kelopok d: 87,94,91,89,89,84,92,86,89,89 kelopok e: 82,76,84,79,77,84,81,69,79,74 kelopok f: 69,79,67,64,65,69,69,64,72,66 Pada kasus ii arpak jelas bahwa terdapat perbedaa kearpua yag yata diatara ketiga kelopok tersebut. Dega kata lai, kita dapat eolak hipotesis bahwa perbedaa yag diarati diatara kelopok-kelopok tersebut seata-ata terjadi karea kebetula. 188

2 Dari kedua kejadia ii jelas bahwa terdapat perbedaa yag sigiftka diatara ilaiilai rata-rata dari tiga kelopok da ada yag tidak. Meskipu deikia, secara uu, sulit utuk egataka apakah perbedaa dari ilai-ilai tersebut sigiftka atau rado. Kita perlu epelajari etode bar, yaitu aalisa variace. Misalya kita epuyai = 3 kelopok (kelopok a, kelopok b, kelopok c), da ada orag pada asig-asig kelopok. Aggap bahwa kita tabu bahwa ilai kearpua utuk asig-asig orag dalar tiap kelopok erupaka distribusi tersebut sara utuk ketiga kelopok.!la'adalah rata-rata yag tidak diketabui dari ilai tes kearpua utuk kelopk a, 1\ adalah rata-rata dari kelopok b, da!lcadalah rata-rata dari kelopok c. Tugas kita adalah eguji hipotesis ol: Dega kata lai, Hipotesis ol eyataka bahwa ilai rata-rata utuk tiap kelopok sara. Hipotesis alteatif eyataka bahwa ilai rata-rata adalah tidak sara. Pertaa-taa, yag hars dilakuka adalah eghitug a, b, c (rata-rata sarpel uotuk tiap sarpel). Jika a, b, c dekat satu sara lai, aka ejadi lebih udah bagi kita utuk eeria hipotesis bahwa!la' 1\, da!lcadalah sara. Kita dapat eghitug rata-rata x utuk seua bilaga: a+b+c a+b+c - x= = 3 Kita dapat eghitug juga variace sapel (versi 2) utuk tiga rata-rata ii (kita eyebut variace itu S*2): -I Seaki besar S*2,seaki kecil keugkia kita utuk eeria hipotesis ol. Kita juga hars elihat variace sarpel utuk asig-asig sarpel: (a -a)2 (b. - b)2 (c. - C)2 I I I S *2 =L. S *2 =L SC*2 L a 1=1 b i=1 -I -I -I utuk eghitug rata-rata dari tiga variace sarpel (disebut S2): S*2 = sa*2 + Sb*2 + SC*

3 - Seaki besar ketiga variace ii, seaki besar keugkia kita edapati a, b, c eyebar, eskipu ketigaya berasal dari distribusi dega rata-rata yag saa. Sebagai cotoh, isalya ilai pegarata dari a, b, da c adalah 500, 400, da 450. Jika sa2= Sb2= sc2= 1, kita tahu pasti bahwa sagat tidak ugki a, b, da c epuyai ilai pegaata yag berasal dari distribusi dega rata-rata yag sara. Sebalikyajika gsa2= sc2= 10,000, cukup ugki kita elihat a, b, da c eyebar, eskipu hipotesis olya bear. Sehigga seaki besar S2,seaki besar keugkia kita eeria hipotesis ol. Kita aka eghitug statistik sbb (disebut F): Jika ilai F besar, kita aka eolak hipotesis ol. Kita dapat eujukka bahwa jika hipotesis ol bear, aka statistik F aka epuyai suatu distribusi F dega derajat kebebasa - 1 da ( - 1) ( adalah julah kelopok, da adalah julah aggota asig-asig kelopok). Distribusi F dijelaska di bab 8, da tabel A3-6 eujukka ilai utuk fugsi distribusi kuulatif. Pada cotoh sebeluya, kita epuyai = 3 da = 10. Jadi statistik F aka epuyai derajat kebebaa 3 da 27. Tabel A3-6 eperlihatka bahwa statistik Fya epuyai kesepata 95% utuk ejadi kurag dari 3.3. Oleh karea itu jika statistik F yag diarati lebih besar dari 3.3, kita aka eolak hipotesis ol, jika tidak, kita aka eeria hipotesis ol. Pada cotoh pertara, statistik F adalah 4,133/6,693 = 0,6175..Seperti telah disebutka di atas, kita hars eeria hipotesisya. Pada cotoh kedua, ilai F adalah 1061/16,996 = 62,426, jadi kita hars eolak hipotesisya. PROSEDURUMUM UNTUKUJI ANAL/SAVARIANCE (diasusika bahwa ada epuyai kelopok, yag asig-:asigepuyai aggota) 1. Hitug rata-rata sarpel utuk tiap kelopok: ā= b= - c= 190

4 2. Hitug rata-rata dari seua rata-rata: a+ b + c x= 3. Hitug variace sapel dari rata-rata: S*2= (a -x)2+(b -X)2+(C _X) Hitug variace sapel utuk tiap kelopok: (a(- a) + (~ - a) (a- a) -l -l -l 5. Hitug rata-rata seua variace sapel: 6. Hitug itai statistik F: F= 7. Lihat tabel A3-6 utuk ecari itai kritis utuk distribusi F dega derajat kebebasa - 1 da ( - 1) 8. Jika itai yag diaati dari statistik F lebih besar dari itai kritis, tolak hipotesis DOl.Jika tidak, teria hipotesis DOl

5 -- YANG HARUS DIINGAT 1. Prosedur aalisis variace diguaka UDtukeguji apakah beberapa kelopok yag diarati berasal dari distribusi yag epuyai rata-rata yag sara. 2. Dalar aalisa variace statistikf dapat dihitug. 3. Jika hipotesis ol bear da rata-rata seua kelopokbear-bear sara, aka statistik F aka epuyai distribusi F. 4. Jika ilai statistik F yag dihtiug lebih besar dari ilai kristis yag diteuka pada tabela3-6, aka hipotesis ol (diaa rata-rata dari asig-asig kelopok sara) dttolak. SUM OF SQUARES Pedekata aalisa varaice dapat dipahari lebih jauh lagi dega elihat julah dari deviasi kuadrat (atau julah kuadrat). Misalka kita epuyai kelopok, asigasig dega aggota.tiap kelopok diperluka secara berbeda dala beberap hal, da tujua kita aka utukelihat apakah perlakua tersebut bear-beareibulka beberapa perbedaa. Sebagai cotoh, kita epuyai kelopok orag yag diberi obat yag belaia. Kita aka egguaka xij utuk leabagka aggota ke i dari kelopi ke j. Catat bahwa kita ebutuhka dua subscript utukegidetifikasi tiap e1ee khusus. Sebagai cotoh, jika kita epuyai = 3 kelopok dega = 5 aggota : kip 1 kip 2 kip Kita dapat elarbagka tiap e1ee seperti ii: Xli = 16 X21 =13 X31 =36 X41 =29 X51 = 18 X12 =38 X22 =21 X32 =36 X22 =39 X52 =26 X13 =19 X23 =14 X33 = 17 X23 =15 X53 =12 Utuk eruuska julah dari seua ite; kita perlu egguaka dua siga: T=L L. Ẋl) 1=1j=1 192

6 Ruus ii dapat diuraika seperti ii: T = L (X. l + X. 1 I X. 1) i=1 = XII+ Xl Xl+ S21+ X X2 = Xl + X X Utuk cotoh kita tadi: T = =349 Kita aka egguaka x (x dega dua garis) utuk elabagka rata-rata dari seua elee kita eyebutka grad ea (rata-rata besar): T x -- = ~ ""i=l ~ ""j=l x.. IJ = utuk cotoh kita 15 TOTAL SUM OF SQUARES Utuk tiap elee dari daftar dapat dihitug berapa jarak elee tersebut dari grad ea x : (jarak dari x.. ke x) =Ix..- x I IJ IJ Setelah itu, kita aka egkuadratka jarak ii: (jarak dari x..ke x I ) = (x.. - X)2 ~ ~

7 da keudia seua jarak kuadrat tersebut dijulahka: TIS = I I(x..- IJ X)2 1=1 j=1 Julah terse but kita sebut sebagai total su of squares perhitugaya sbb: atau (TSS). Utuk kasus kita TSS = (16-23,267)2+ (38-23,267)2+ (19-23,267) + = (13-23,267)2+ (21-23,267)2+ (14-23,267) + (36-23),267)2+ (36-23,267)2+ (17-23,267) + (29-23,267)2+ (39-23,267)2+ (15-23, 267) + (18-23,267)2+ (26-23,267)2+ (12-23,267) 1358,93 Kita aka elihat beberapa perbedaa su of squares. Catat bahwa su of squares adalah sara dega varaice tetapi tidak dibagi dega. Variace dihitug dari julah kuadrat rata-rata, tetapi kita aka elihat beberapa jeis lai su of squares. Utuk egaalisis total su of squares, kita perlu eecahka ejadi dua bagia. Kita tahu bahwajika hipotesis ol bear, rata-rata populasi adalah sarautuk tiap kelopok da peyipaga tiap elee dari grad ea haya terjadi karea kebetula. Sebalikya jika rata-rata populasi berbeda, ada dua sebab egapa elee dapat eyipa dari grad ea: (1) karea rata-rata kelopokya berbeda dari rata-rata keseluruha populasi, da (2) karea adaya perbedaa kesepata dalar kelopokya. Oleh karea itu, kita aka ebagi total su of squares ejadi dua bagia: bagia yag terjadi karea peyipaga elee-elee idividu dari rata-rata kelopok ereka, da bagia bagia yag terjadi karea peyipaga rata-rata kelopok dari grad ea. Kita dapat euliska forula TSS sebagai berikut: TSS = I I(x.. - X)2 1J i=1 j=1 = I I(x.. - XJ') - (X. - x)]2 IJ i=1 j=1 J Kita aka egguaka x. J utuk egartika rata-rata sarpel dari kelopok j. Kita tiak elakuka apa-apa tehadap ruus asal kita tetapi eabah da eguragi xj. Sekarag kita eiliki: 194 TSS = I I[(x.. IJ- x.)2+ J (x. J- X)2+ 2(x..- 1Jx.) J (xj - x)] i=1j=1

8 Aka ejadi udah bahwa jika pejulaha gada digatika oleh persaaa terakhir, hasilya selalu ol. Oleh karea itu yag tiggal: TSS =I, I,[(X.. - X? ;=1 j=1 IJ J J + <X.- X)2] Kita dapat ebagi persaaa tersebut ejadi dua pejulaha gada: TSS =I, I,(X..- X? I, I,<X.- X)2 1J J J ;=1 j=1 ;=1 j=1 Karea bagia yag terakhir tidak berhubuga dega i, kita dapat eggati pejulaha W dega egalikaya dega : TSS =I, I,(X..- X? I,<x. - X)2 IJ J J ;=1 j=1 j=1 ERROR SUM OF SQUARES Kita sekarag telah eecahka total su of squares ejadi dua kopoe. Bagia pertaa ewakili deviasi asig-asig elee terhadap rata-rata kelopokya. Kita egaggap perbedaa ii tibul karea faktor acak yag tidak diketahui (disebut statistical error), da kita aka eyebut hal ii sebagai error su of squares atau ERSS. TSS=I, ;=1 j=1 I,(x..-x? IJ TREATMENT SUM OF SQUARES J Bagia kedua dari total su of squares ewakili deviasi rata-rata tiap kelopok. Kita egaggap deviasi ii tibul karea kepada tiap-tiap kelopok diberika treatet yag berbeda, kita eyebut hal ii treatet su of squares atau TRSS. T9S = I,<x. - X)2 J j=1 Napak bahwa TSS =ERSS + TRSS. Seaki besar treatet su of squares yag terjadi; seaki kecil keugkia kita eeria hipotesis ol bahwa treatet tersebut tidak berpegaruh. VARIANCE RATA-RATA KUADRAT Tiap statistik su of squares epuyai hubuga dega suatu agka yag disebut derajat kebebasa. Derajat kebebasa dari TRSS adalah - I. Derajat kebebasa dari ERSS adalah ( - 1) (kita tabahka dega su of squares yag berbeda utuki tiap sapel

9 Tiap su of squares epuyai derajat kebebasa - 1). Jika su of squares dibagi dega derajat kebebasaya hasilya disebut rata-rata variace kuadrat (ea square variace). TRSS (treatet ea square variace) = - 1 (error ea square variace) = ERSS ( - 1) Jika kita ebagi treatet ea square variace dega error-ea square variace aka hasilya saa persis dega statistik F yag kita guaka sebeluya: F= TRSS -1 ERSS ( - 1) Utuk cotoh kita, kita puya: TRSS =694,533 ERSS =664,400 -l= 2 (- 1)= 12 F= 694, , Jika hipotesis ol bear da treatet tidak berpegaruh, aka statistik F aka puya distribusi F dega derajat keoobasa2 da 12. Nilai kritis utuk uji 5% adalah 3,9 sehigga dala kasus ii kita eolak Hipotesis ol. TABEL ANOVA Iforasi tetag pegujia tersebut dapat diragku dala suatu taoolyag dikeal dega aa tabel ANOV A (aova erupaka kepedeka dari aalisa variace). Tabel ANOV A utui cotoh kita adalah sbb: 196

10 suber su of derajat ea square rasio variasi squares kebebasa variace F diatara 694, ,267 6,272 rata-rata (treatet) di dala 664, ,367 sapel (error) - total 1.368, Tabel tersebut euat iforasi tetag su of squares, derajat kebebasaya, da statistik F. Catat bahwa Total su of squares epuyai derajat kebebasa - 1 = 14, yag erupaka derajat kebebasa dari TRSS da ERSS. Ruus uu utuk tabel ANOV A adalah sbb: suber suo f derajat ea square rasio variasi squares kebebasa variace F diatara TRSS TRSS/(-l) rata-rata TRSS = L(x.-x)2 -l - J (treatet) j=1 1 ERSS/[(-l) di dala sapel ERSS = L L ( -1) ERSS I j=1 - (error) (x..- IJ X.)2 J (-l) total TSS=TRSS+ERRS -l - DUA PERTIMBANGAN DALAM PENGGUNAAN UJI ANALISIS VARIANS Ada dua hal yag has diigat jika egguaka uji aalisa variace: Pertaa, igat bahwa odel aalisa variace egasusika bahwa variace adalah saa utuk tiap kelopok. Jika ada egobservasi variace saple utuk kelopok yag berbeda perbedaaya eyolok, aka pedekata aalisa variace ejadi tidak tepat utuk diguaka. Kedua, jika ada eutuska utuk eolak hipotesis ol, jaka ada has yaki bahwa rata-rata dari kelopok tidak saa seuaya. eski-u deikia, ada tidak tabu 197

11 apakah seua rata-rata tersebut tidak sara, atau ereka seua sara tetapi haya ada satu rata-rata yag berbeda, atau baragkali ada pola lai tertetu utuk rata-rata tersebut. Ada perlu utuk elakuka peelitia lebih lajut utuk eetuka dega tepat egapa perbedaa tersebut terjadi. ANALISA VARIANCE DENGAN UKURAN SAMPLE YANG TIDAK SAMA Mugki terjadi julah saple yag kita iliki tidak seua sara ukuraya. Utuk kasus. seperti ii ruus aalisa variasya ejadi lebih ruit, tetapi kita asih dapat egguaka aalisa su of squares kita utuk eperluas peerapaetrode tersebut.misalya kita epuyai sarpel yag berbeda dega l elee pada sapel 1, 2elee pada sapel 2, da seterusya sarpai elee pada sarpel. Kita aka euliska Xijutuk eggarbarka elee kei dari sapel ke j. Julah elee pada seua sarpel aka diaraka N: N =l = I j j=1 Kita dapat eghitug rata-rata utuk tiap kelopok: x=j ~ x.. l. IJ 1=1. J da grad ea-ya X.= J ~ I l. x. İJ j=ii=1. J Perhatika bahwa pejulaha gadaya lebih ruit sekarag. Kita dapat eghitug total su of squares-ya: TSS =I o oj j=1 i=1 I(x.. - 'X')2 lj da kebali dapat eecah total su of squares: o oj TSS = I I(x.. IJ- X J.)2+ L. J (X..- 1J 'X')2 j=1 i=1 j=1 bagia yag pertara adalah error su of squares: 198

12 TSS = L oj j=1 i=1 L(X..- xy IJ J yag epuyai derajat kebebasa -. Bagia yag kedua adalah treatet su of squares: TRSS = L (x..- IJ X)2 j=1 yag epuyai derajat kebebasa - 1. Da sekarag kita dapat eghitug statistik F ya: F= TRSS -l ERSS (N - ) yag epuyai derajat kebebasa - 1 pada pebilag da N - pada peyebut. YANG HARUS DIINGAT 1. Total su of squares atau TSS) utuk suatu kelopok bilaga terdiri dari deviasi su of squares seua elee dari grad ea-ya. 2. Utuk aalisa variace, total su of squares dibagi ejadi dua: treatet su of squares (TRSS) da error su of squares (ERSS) 3. TRSS eujukka efek dari perbedaa diatara kelopok-kelopok. 4. Hipotesis ol tetag tidak adaya perbedaa diatara kelopok-kelopok besar keugkia ditolak jika TRSSya relatif lebih besar daripada ERSS 5. Hasil aalisa variace diragku dalar suatu tabel ANOVA (lihat hal. 281) ANAL/SA VARIANCEDUA CARA Misalya jika igi eguji efektivitas dari tiga jeis alat pegotrol polusi udara pabrik. Utuk elakuka uji tersebut kita hars easag salah satu alat tersebut pada cerobog asap pabrik utuk periode uji selara 1iggu. Earpabrikyag berbeda tersedia utuk pegujia. Pabrik-pabrik tersebut sagat irip, tetapi kita tidak yaki bahwa pabrikpabrik tersebut bear-bear sara. Oleh karea itu buka erupaka peikira yag bagus utuk erecaaka pegujia sbb: Pasag alat a pada pabrik 1 da 2 selaa periode uji Pasag alat b pada pabrik 3 da 4 selara periode uji Pasag alat c pada pabrik 5 da 6 selara periode uji 199

13 Aggap bahwa pabrik 1 da 2 eghasilka lebih sedikit polusi daripada pabrik-pabrik yag lai. Pada kasus tersebut prosedur pegujia aka cederug ejadika alat a terlihat lebih baik daripada alat laiya walaupu alat-alat tersebut seuaya sara. Utuk legkapya kita hars easag tiap alat selara periode uji pada tiap pabrik. Tabel perhituga polusi kita aka ejadi seperti ii: Pabrik Alat a Alat b Alat c 1 50,8 53,0 49,7 2 49,5 49,2 49,1 3 51,5 51,7 49,6 4 48,3 49,8 49,3 5 48,8 48, ,4 52,2 47,9 Kita dapat eulai dega egaggap keear pabrik tersebut idetik da output polusi yag dihasilka alat-alat tersebut egikuti distribusi oral sbb: alat a rata-rata!la' variace a.2 alat b rata-rata 1-\"variace a2 alat c rata-rata!lc' variace a2 Sekarag kita dapat elakuka prosedur stadar aalisa variace utuk eguji hipotesis ol bahwa tidak ada perbedaa diatara alat-alat tersebut: Tabel ANOV A-ya adalah sbb: suber su of derajat ea square rasio variace squares kebebasa variace F diatara 10, ,382 2,472 rata-rata (treatet) di dalar 32, ,177'. sarpel (error) - total 43,

14 Nilai kritis 5 perse utuk distribusi F dega derajat kebebasa 2 da 15 adalah Karea ilai yag diaati kurag dari ilai kritis, kita eeria hipotesis o1bahwa tidak ada perbedaa diatara a1at-alattersebut. Meskipu deikia, kita asih epuyaikeragua yag egaggu. Bagaiaajika pabrik-pabrik tersebut tidak idetik? Bagaiaajika variasi data po1usiyag diaati terjadi karea adaya perbedaa pada pabrik-pabrik? Pada tabel ANOVAkita telah diasusika bahwa seua variasiyag tidak berasal dari perbedaa alat kotrol tibul karea kesalaha statistikal (statistical error) - yag rado da tidak kita ketahui sebabya. Aka sagat ebatu jika kita dapat eetuka berapa bayak variasi yag terjadi karea adaya perbedaa-perbedaa di pabrik. Pola pikir ii egarahka kita ke etode bar: aalisa variace dua cara (two-way aalysis of variace). Metode bar ii eberika tabaha keutuga: kita dapat eguji hipotesis bahwa pabrik-pabrik tersebut idetik. Secara uu, aggap kita epuyai tigkat yag berbeda dari treatet jeis pertaa da tigkat yag berbeda dari jeis treatet kedua. Pada kasus kita, treatet jeis pertaa eggabarka perbedaa pada alat kotrol polusi udara (jadi =3) dajeis treatet yag kedua eggabarka perbedaa pabrik (jadi = 6). Kita epuyai seluruhya tigkat kobiasi treatet yag ugki, da kita beraggapa puya satu observasi 6 =18observasi (pada beberapa kasus ada aka epuyai/ebutuhka lebih dari satu observasi per keugkia treatet, da pada kasus lai ugki tidak puya observasi utuk seua keugkia. Beberapa buku lajuta dapat eeragka apa yag hars dilakuka utuk kasus-kasus tersebut). Kita aka egatur data dala suatu atura yag terdiri dari kolo da baris, diguka xij utuk eujukka elee dari baris ke i da kolo ke j: tigkat treatet pertaa 1 2 tigkat treatet kedu 1 2 X o Secara teori kita egasusika bahwa tiap observasi berisi julah dari epat efek yag berbeda:

15 --- diaa J.L elebagka keseluruha rata-rata, da IJrielabagka efek khusus yag terjadi pada kolo i pada seua observasi di kolo tersebut. Kita eberi r pada larb~g J.Uitersebut utuk egigatka kita bahwa labag tersebut ewakili kolo i (r =row = kolo). Jika tigkat yag berbeda dari treartet kedua tidak epuyai efek, aka seua efek (J.Uisarpai J..U111) pada kolo ii ejadi ol. Misalka pada cotoh kita pabrik 1 eghasilka polusi sedikit lebih besar daripada rata-rata da pabrik 2 eghasilka polusi sedikit lebih kecil daripada rata-rata. J.U" 1 aka erupaka bilaga positifp da J.U"2bilaga egatif. /lcjelarbagka efek khusus pada kolo j. Jika ketiga alat pegotrol polusi tersebut sara, aka /lc1 = /lc2= /lc3= O. Sebalikya jika alat 1 epuyai tigkat polusi yag lebih tiggi dari rata-rata, aka /lc1 aka positif. Ada faktor isterius (selai alat da pabrik yag epegaruhi tigkat polusi. Kita laba gka rado error e.. utuk easukka faktor-faktor lai tersebut ke dalar I) hituga. Kita dapat eghitug grad ea dari seua observasi; x= L, L,x.. I) i=l j=l da eghitug total su of squares: TSS = L, L, (x.. - X)2 i=l j=l I) BARIS, KOLOM DAN ERROR SUM OF SQUARES Sekarag kita ebagi I:SS dalar tiga bagia: bagia eek kolo (colou), bagia efek baris (row), da sisa bagia yag erupaka efek dari error. Kita egguaka ROWSS utuk elabagka row su of squres, COLLSS utuk elabagka colu su of squres, da ERSS utuk elarbagka error su of squares. Sehigga: TSS =ROWSS + COLSS + ERSS Ruus utuk colu su of squares pada dasarya sara dega ruus utuk treatet su of squares dega aalisis variace satu cara: COLSS = L,(x. - X)2 i=l Pada ruus ii Xijelarbagka Row~s tarpak irip: rata-rata dri seua elee di kolo j. Ruus utuk 202

16 _._- ROWSS = L (x. - X)2 i=1 diaa Xriadalah rata-rata dari seua elee di baris i. Jika pabrik-pabrik tersebut sagat idetik, aka tidak ada alasa bagi rata-rata baris utuk berbeda secara sigifika terhadap x, sehigga ROWSS aka kedl, COLSS eiliki derajat kebebasa - I da ROWSS epuyai derajat kebebasa - 1. Utuk edapatka error su of squares, kita perlu eguragi tiga bagia dari xif Kita aka egguka x utuk eaksir rata-rata populasi, Xij- x utuk eaksir efek khusus pada kolo j, da xriutuk eaksir efek pada baris i. Sehigga: ERSS = L L [(x..- x - ex.- x) - ex. - x)f IJ CJ i=l j=1 ERSS epuyai derajat kebebasa ( - 1) ( - 1) Sekarag kita dapat eghitug cotoh kita. Kita perlu eghitug rata-rata tiap baris da kolo: Pabrik Alat a Alat b Alat c rata-rata 1 50,8 53,0 49,7 51, ,5 49,2 49,1 49, ,5 51,7 49,6 49, ,3 49,8 49,3 49, ,8 48,1 47,1 48,000 6 '" 48,4 52,2 47,9 49,500 rata-rata 49,55 50,677 48,783 49,667 Grad ea x =49,667. Kii kita dapat eghitug: TSS = (50,8-49,667)2+ (53,0-49,667)2+ (49,7-49,677)2 + (49,5-49,667)2 + (49,2-49,667)2 + (49,1-49,667)2 + (51,5-49,667)2 + (51,7-49,667f + (49,6-49,667)2 + (48,3-49,667)2 + (49,8-49,667)2 + (49,3-49,667)2 + (48,8-49,667)2 + (48,1-49,667)2 + (47,1-49,667)2 + (48,4-49,667)2 + (52,2-49,667)2 + (47,9-49,667)2 = 43,4 COLSS = 6 x [(49,55-49,667)2 + (50,667-49,667)2 + (48,783-49,667)2] = 10,8 203

17 --- ROWSS =3 x [(51,167-49,667)2 + (49,267-49,667)2 + (50,933-49,667)2 + (49,133-49,667)2 + (48-49,667)2 + (49,5-49,677)2] = 21,3 ERSS = 43,4-10,8-21,3 = 11,3 TABEL ANOVA DUA FAKTOR Sekarag kita dapat eyusu tabel ANOVA dua faktor. Tabel ANOVA dua faktor sagat irip dega tabel dega satu faktor. Perbedaaya haya terdapat pada subar variasi. Kita aka easukka su of sq~ares utuk baris bersara-sara dega derajat kebebasa da variace rata-rata kuadrat (ea square variace). Tabel ANOV A Faktor suber su of derajat ea square rasio variasi squares kebebasa variace F treatet efek 1: 10, ,382 4,472 kolo (alat kotrol) treatet efek2: 21, ,263 3,758 baris (pabrik) Error 11, ,134 total 43, Catat bahwa total su of squares da su of squares yag dihasilka dari alat kotrol yag berbeda adalah sara, seperti pada tabel ANOVA yag telah disajika di depa. Perbedaaya adalah err.or su of squares lebih kedl karea sebagia besar dari su of squares yag lalu dulu diaggap error sekarag diaggap karea pegaruh pabrik yag berbeda. Kita sekarag puya dua ilai statistikf. Statistik F yag pertaraeguji Hipotesis bahwa tidak ada perbedaa diatara kolo-kolo. Hal tersebut sara dega: (statistik F utuk kolo) = (kolo su of squares )/(kolo SS drajat kebebasa) (error su of squares)/(error SS derajat kebebasa) 204

18 = COLSS -1 ERSS ( - 1)( - 1) Statistik F yag kedua eguji hipotesis bahwa tidak ada perbedaa diatara baris-baris: (statistik F utuk baris) = = (baris su of squares)/(baris (error su of squares)/(error COLSS - 1 ERSS ( - 1) ( - 1) SS drajat kebebasa) SS derajat kebebasa) Igat bahwa tabel ANOVA satu faktorkita eujukkabahwa tidak adaperbedaa diatara ketiga alat tersebut. Sekarag tabel dua faktor aka eberika kita cerita yag lebih jelas. Statistik F utuk kolo epuyai derajat kebebasa 2 da to, da ilai kritis 5% utuk tabel F adalah 4.1. Nilai yag terhitug lebih besar daripada ilai kritis sehigga kita dapat eolak hipotesis besar daripada ilaikritis sehigga kita dapat eolak hipotesis ol bahwa seua kolo sara. Deikia juga, statistik F utuk baris epuyai derajat kebebasah 5 da to sehigga epuyai ilai kritis 3.3. Oleh sebab itu kita dapat eolak hipotesis ol kedua, da kita dapat eyipulka bahwa terdapat perbedaa diatara pabrik-pabrik. Masalah uji satu faktor tibul karea pabrik-pabrik itu sediri ditarbah dega bayakya variabilitas. Seetara itu kita elihat bahwa seua variabilitas tersebut adalah acak. Ada begitu bayak variabilitas yag acak yag egaburka fakta bahwa alat-alat tersebut bear-bear berbeda. Dega egguaka tabel dua faktor kita dapat eisahka pegaruh pabrik yag berbeda dari pegaruh alat yag berbeda. Kita dapat eeuka ruus alteatif utuk su of squares yag lebih udah utuk diguaka eghitug. ANAL/SA VARIANCE DUA CARA: 1. Jadika N = utuk ilai x, Txutuk julah dari seua ilai dari x, Tx2 utuk julah dari kuadrat seua ilai x, Triutukjulah seua baris i, da Tc;utukjulah koloj. T x= L LX.., IJTX2= L L X..2 IJ ;=1j=1 ;=1 j=1 205

19 -- Tri= I,xjj, j;1 2. Keudia hitug T 2 =I, T 2 (su ofsquares baris total) r t=1 T 2 =I,T 2 (su of squares kolo total) CJ j;1 CJ 3. Sekarag guaka ruus ii: TSS =T2- x (TY - N COLSS ROWSS ERSS T2 C = - T2 r = - =T2x (TY N (T)2 N T2 T2r (T) N Cotoh utuk ragkua ruus tersebut adalah sebagai berikut. Matriks data kita adalah sbb; Kita dapat elihat dega jelas dari tabel tersebut bahwa terdapat lebih bayak variabilitas dala baris-baris dibadigka dega dalakolo-kolo, sehigga kita dapat lebih jauh eduga bagaiaa hasil ANOVA-ya. Kita perlu eghitug julahya: 206 Treatet pertaa (3 tigkata) I treatet kedua ( tigkatka)

20 1 2 3 julah julah Sehigga x= 729 Sekarag kita dapat eghitug: T 2 = = c T 2 = = r Kita juga perlu eghitug Tx2: T 2 = x = Sekarag kita dapat egguaka ruus-ruus tersebut: TSS 7292 = =11.187, COLSS = - - = 8, ROWSS = - - = ERSS = =93,

21 Tabel ANOVA-ya adalah sbb: suber su of derajat ea square rasio varisi squares kebebasa variace F kolo 8,4 2 4,2 0,359 Baris 1.085, ,4 236,872 Error 93,6 8-11,7 total 11, Kita dapat elihat dega jelas bahwa variasi diatara baris-baris adalah berarti sedagka perbedaa diatara kolo-kolo tidak. YANG HARUS DIINGA T Prosedur aalisa variace dua cara diguaka utuk eguji dua hipotesis egeai susua bilaga di bawah ii: Hipotesis Noll : tidak ada perbedaa berarti diatara kolo-kolo dala susua. Hipotesis No12: tidak ada perbedaa berarti diatara baris-baris dala susua. 208