PENGEMBANGAN ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION (EM) PADA METODE PENDUGAAN RANDOM DAN FIXED EFFECT PADA MODEL GLMMs

Transkripsi

1 PENGEMBANGAN ALGORIMA EXPECAION MAXIMIZAION (EM PADA MEODE PENDUGAAN RANDOM DAN FIXED EFFEC PADA MODEL GLMMs A. A. R. Fernandes dan W. H. Nugroho Staf Pengaar Program Stud Statstka Jurusan Matematka FMIPA UB ABSRAK Beberapa varabel respon berkategor yang hanya memlk dua kelompok atau golongan dalam pengamatan pada setap subyeknya dklasfkaskan menad sukses atau gagal. Konds sepert n cenderung berdstrbus bnomal. Keadan berdstrbus bnomal serngkal dtemukan pada varabel respon yang salng berkorelas untuk data longtudnal. Data longtudnal dengan varabel respon berdstrbus bnomal dapat dmodelkan dalam Generalzed Lnear Med Models (GLMMs. GLMMs basa dgunakan untuk memodelkan data longtudnal pada peneltan klnk maupun stud epdemolog sepert penyakt kanker dan lannya. uuan dar peneltan n adalah ngn mengu apakah algortma Epecaton Mamzaton (EM untuk menduga parameter model GLMMs lebh bak darpada algortma yang basa dgunakan yatu algortma Newton Rhapson (NR. Peneltan n menggunakan smulas empat data peneltan d bdang kesehatan. Berdasarkan atas data peneltan, dapat dsmpulkan bahwa algortma EM lebh bak untuk menduga parameter model GLMMs dbandngkan dengan algortma NR. Kata kunc: GLMMs, algortma EM, dan algortma NR ABSRAC Some uncategorzed response varables havng only two groups or classes n the observatons on each subect should be classfed as successful or faled. Condtons such as these tend to the bnomal dstrbuton. Geness bnomal dstrbuton s often found n the response varables correlated to longtudnal data. Longtudnal data wth bnomal dstrbuted response varables can be modeled n Generalzed Lnear Med Models (GLMMs. GLMMs are a popular way to model longtudnal data arsng n clncal trals and epdemologcal studes of cancer and other dseases. he purpose of ths research s to consder the use of the Epecaton Mamzaton (EM algorthm for parameter estmaton of GLMMs model, and comparng the result wth classcal algorthm, called Newton Rhapson (NR. he approach s llustrated by applcaton to four datasets whch appled n medcal research for smulaton study. Based from the four datasets, we can conclude that the EM algorthm s the best soluton to estmate the parameter n GLMMs rather than NR algorthm. Keywords: GLMMs, NR algorthms, and EM algorthms

2 PENDAHULUAN Dalam duna nyata serng dtemu keadan yang memlk dua kemungknan, msalkan sehat atau sakt, huan atau tdak, dan lan sebaganya, d mana tpe data tersebut dsebut data bner. Secara umum data bner n dasumskan menyebar bnomal, yang dnotaskan dalam bentuk sukses (angka, atau gagal (angka. Data longtudnal adalah data yang dperoleh dar pengukuran berulang (repeated measures pada beberapa ndvdu (unt cross-sectonal dalam waktu berturutturut (unt waktu. Verbekke dan Molenberghs [] memperkenalkan metode analss Generalzed Lnear Med Model (GLMMs yang dgunakan pada data longtudnal dengan respon bnom. Pada model GLMMs, terdapat dua efek yang dduga, yatu pertama, efek tetap (fed effect adalah efek dar adanya perlakuan (treatment dan efek dar adanya concomttant varables (varabel penyerta, dan kedua, efek acak (random effect yatu efek dar adanya perbedaan antar ndvdu (subect specfc. Kedua metode tersebut secara smultan dduga dengan pendekatan Mamum Lkelhood (ML untuk pendugaan efek tetap, dan Restrcted Mamum Lkelhood (REML untuk pendugaan efek acak, dengan bantuan pendekatan teras Newton Rhapson (NR. Belakangan n, muncul beberapa kelemahan yang terad dalam algortma Newton Rhapson (NR sepert hasl yang muncul dalam algortma tersebut adalah ragam yang negatf, yang menmbulkan nadmssble soluton yatu solus yang tdak dapat dterma. Meng dan Dyk [] telah mengembangkan algortma Epectaton Mamzaton yang menggunakan dua langkah (penduga, dan maksmsas, pada model med effect dengan kasus respon kuanttatf (data berskala nterval dan raso. Oleh karena tu, pada peneltan n mengangkat pengembangan algortma Epectaton Mamzaton (EM pada metode pendugaan efek tetap (fed effect dengan menggunakan ML, dan pada metode pendugaan efek acak (random effect dengan menggunakan REML pada model GLMMs, yang merupakan keberlanutan dar peneltan yang dlakukan oleh Meng dan Dyk [], d mana perbedaannya, pada peneltan n melbatkan varabel respon bnom. Pada peneltan n ngn sekalgus membandngkan apakah algortma EM lebh bak dbandngkan algortma NR, dengan melhat nla goodness of ft yatu Akake Informaton Crteron (AIC dar kedua algortma tersebut. uuan dan Manfaat Peneltan Adapun tuuan peneltan yang akan dperoleh adalah melakukan pendugaan parameter pada model GLMMs menggunakan algortma EM, sekalgus, mengu kebakan algortma EM dengan NR, menggunakan nla AIC yang terkecl. Sedangkan manfaat peneltan adalah sebaga alternatf penyelesaan masalah pada analss data longtudnal dengan respon bnom, dan pengembangan algortma EM pada model longtudnal dharapkan agar dapat dgunakan sebaga alternatf terbak untuk pendugaan parameter model, sehngga tdak akan terad lag n admssble soluton. INJAUAN EORI Generalzed Lnear Med Model (GLMMs Generalzed Lnear Med Model (GLMMs adalah pengembangan dar Generalzed Lnear Model (GLMs. Model GLMs untuk respon bnom dkenal dengan regres logstk. Agrest [3] menyatakan, ka terdapat varabel respon Y dan adalah peluang sukses bag varabel Y, maka:, P(Y Y, P(Y Jka banyaknya percobaan yang dnotaskan dengan n sebanyak maka Y mengkut sebaran Bernoull, dan ka n maka Y mengkut sebaran Bnomal (n,. Sehngga dperoleh model logstk sebaga berkut (Fahrmer, dan Gerhard, [4]: ln X... px p ep( o... p p ep(... g( = o ln g( adalah lnk functon logt dar sebaran bnom Generalzed Lnear Med Models (GLMMs merupakan perluasan dar Generalzed Lnear Models (GLMs untuk data berkorelas sepert pada data longtudnal dengan menambahkan efek acak pada persamaannya. Varabel respon dalam GLMMs dasumskan salng bebas dengan penambahan efek acak pada masng-masng subyek. Secara umum model dalam GLMMs adalah : g( = X β + Z b + e b N (,D, dan e N (,R d mana : S : subyek pengamatan, =,,3,,N W : pengamatan masng-masng subyek, =,,3,,n g( : fungs lnk (logt X Z b : nla tengah untuk subyek ke-, pengamatan ke- : vektor kovarat untuk efek tetap subyek ke, pengamatan ke- : penduga efek tetap : vektor kovarat efek acak untuk subyek ke, pengamatan ke- : penduga efek acak untuk subyek ke- p p

3 e : galat model D : ragam efek acak R : ragam galat Menurut Saavedra [5], asums dalam GLMMs adalah :. Nla ekspektas dar varabel respon berhubungan dengan kovarat dan efek acak sepert : g( = g E( Y b = X β + Z b. Pemberan b untuk masng-masng subyek sehngga y,..., y n dasumskan salng bebas, dan mengkut GLMs d mana y memlk fungs kepekatan keluarga eksponensal f( y β,d,σ d mana D merupakan matrks peragam. 3. Efek acak b salng bebas dengan mengkut dstrbus normal, b ~ N (, D GLMMs dapat dgunakan untuk menganalss data longtudnal dskrt, termasuk untuk respon bnom (Hardn dan Hlbe, [6]. Hubungan antara varabel respon dengan parameter efek tetap dan efek acak sepert pada persamaan berkut : Y b ~ Bernoull( ln = X β + Z b Perbedaan antara persamaan d atas dengan persamaan sebelumnya adalah pada penyertaan efek acak b d dalam model, fungs efek acak dalam persamaan d atas adalah untuk mengatas korelas antar masng-masng pengamatan yang mungkn tmbul dalam data longtudnal. Efek acak merupakan komponen varas yang tdak delaskan dalam varabel predktor. Sedangkan efek tetap merupakan pengaruh yang dtmbulkan oleh varabel predktor. Menurut Molenberghs dan Verbekke [] efek acak dapat dduga dengan metode Mamum Lkelhood (ML, yatu ddapatkan dengan mengntegralkan efek acak. Menurut Jang [7], persamaan lkelhood untuk masng-masng subyek adalah : N N n, D f y, D f y b, f b D L( Algortma Newton Rhapson (NR Untuk menyelesakan persamaan dalam model GLMMs tdaklah mudah karena β yang akan dduga bersfat nonlner, untuk tu dperlukan metode teras. Menurut Khur [8], teras perlu dlakukan ka nla optmum tdak dapat dperoleh secara langsung. Metode teras yang dgunakan adalah algortma Newton Raphson (NR. Pendekatan NR secara umum ddefnskan sebaga berkut: Suatu ttk pada suatu fungs f( yang nonlner ddekat dengan menggunakan metode Newton Raphson adalah (Verbekke dan Molenberghs, [] : db ( t ( f ''( f '( ( t ( t t d mana : (t+ : ttk hasl teras ke-t+ (t : ttk awal atau ttk hasl teras ke-t f ( : turunan pertama dar f( f (: turunan kedua dar fungs f( Analog dengan persamaan d atas, maka persamaan pendekatan untuk parameter β adalah : ( t d mana ( t ( H k ( t ( H ( t ( k g N ( k ( t k N ep( = X V - X V - adalah matrks dagonal dengan elemen N ( ep( H - adalah matrks ragam koragam yang merupakan nvers dar H ( ( t g y N ( ( y N = X (Y - maka penduga efek tetap β(r+ = β(r + (X V - X - (X (Y - dengan cara yang sama, penduga efek tetap dperoleh: b(r+ = b (r + DZ V - (Y - Persamaan n harus dselesakan secara teras (r adalah ndeks untuk tap teras, dengan r =,,,, proses n dulang sampa dperoleh β dan b yang konvergen atau ( t ( t. β danggap konvergen ka nla δ kurang dar -6. Adanya keterkatan antara kedua persamaan d atas menyebabkan kemungknan algortma NR memberkan hasl yang tdak konvergen, dan bahkan mencptakan ragam yang negatf karena adanya dua ragam yang dgunakan untuk kedua persamaan, yatu ragam galat model dan ragam efek acak. Algortma Epectaton Mamzaton (EM Algortma EM pada hakekatnya sepert yang telah dtelt oleh Meng [] adalah perbakan dar algortma NR untuk pendekatan model longtudnal pada respon kontnyu. Pada persamaan sebelumnya, R adalah ragam galat, dengan menggunakan pendekatan berkut: R = I n, untuk =,,, n d mana b dan e dbawah asums normaltas yatu b N (,D, dan e N (,R, maka metode Mamum Lkelhood untuk mengestmas dan D menad: 3

4 ˆ N Dˆ n e b b e Persamaan d atas adalah M-step (Mamzaton Step pada EM-Algortma, karena e dan b adalah tdak dketahu. Langkah algortma EM adalah menggant dan D dengan: = E( ˆ y, =ˆ = = N e e n tr(v D = E( Dˆ y, =ˆ D = n b b D DZ V ZD Bagan kanan persamaan d atas, ragam dan D belum dketahu, sehngga dgant dengan ˆ dan Dˆ pada persamaan d atas sebaga nla awal. Dengan teras, nla ˆ dan Dˆ akan d update menggunakan persamaan d atas dengan menggunakan pendekatan algortma EM, sehngga skema algortma EM adalah sebaga berkut: etapkan r =,,,... adalah urutan teras, dan ˆ (r dan bˆ adalah nla duga parameter efek tetap dan (r efek acak pada teras ke r. Langkah-langkah pendugaan parameter dengan algortma EM adalah sebaga berkut: Langkah : Menetapkan r =, ˆ (r = dan Dˆ = I (r n Langkah : Menetapkan r = r +, update persamaan ˆ dan (r bˆ menggunakan: (r ˆ X Vˆ X X Vˆ ( r (r (r y bˆ D Z Vˆ (y X ˆ ( r (r (r d mana Vˆ Z Dˆ Z ˆ (r I (r (r Langkah : Memperbaharu nla ˆ (r dan Dˆ (r Dˆ = n b b Dˆ Dˆ Z Vˆ Z Dˆ ˆ (r = N e(r e ˆ r (r n ˆ (r tr(v ~ (r (r d mana (r r ˆ - Z bˆ n (r (r (r (r (r e (r = y - X (r (r Langkah 3: Mengulang langkah dan hngga konvergen yatu 6 (r (r Indkator Pembandng Algortma NR dan EM Pemlhan algortma terbak dengan menggunakan AIC (Akake Informaton Crtera, yang ddefnskan pada persamaan berkut: AIC = -loglkelhood + p p adalah banyaknya parameter yang destmas. Menurut Agrest (, algortma terbak adalah algortma yang menghaslkan nla AIC terkecl. MEODE PENELIIAN Data yang dperoleh adalah dua data prmer dar pasen penderta demam berdarah, dan pasen penderta decubtus wound, dan dua data sekunder dar pasen Age Related Macular Degeneraton (ARMD, dan percobaan pada tkus haml. Metode yang dgunakan dalam peneltan n adalah terngkas pada langkah-langkah berkut:. Pembentukan model regres logstk sebaga nsalsas efek tetap dalam GLMMs. Eksploras data : a. Mean profle, untuk mengetahu pengaruh efek tetap b. Varance profle, untuk mengetahu pengaruh efek acak c. Concomtant varable, untuk mengetahu pengaruh varabel penyerta. 3. Pembentukan model tentatf dengan penentuan umlah efek tetap awal dan efek acak sementara. Efek tetap dan efek acak sementara dperoleh dar eksploras data, ka mean profle dan varance profle berpengaruh maka perlu adanya penyertaan efek acak dan efek tetap dalam model. 4. Pendugaan parameter efek tetap dan acak menggunakan metode Mamum Lkelhood (ML dan Restrcted Mamum Lkelhood (REML dengan algortma NR dan EM. Apabla dperoleh nla yang sgnfkan maka beranak ke tahap selanutnya, namun bla konds n tdak dpenuh kembal ke tahap pembentukan model awal (tahap Pemerksaan sgnfkans penduga parameter efek tetap pada model awal, bla terdapat efek tetap (selan efek tetap waktu yang tdak sgnfkan maka kembal ke tahap 3 dan membentuk kembal model awal tanpa mengkutsertakan efek tetap selan waktu yang tdak sgnfkan tersebut ke dalam model. 6. Menghtung nla loglkelhood semua model efek acak. Nla loglkelhood dbandngkan dengan menggunakan lkelhood rato test, model efek acak ddapat dar nla lkelhood rato test yang sgnfkan dengan nla -loglkelhood terkecl. 7. Pemlhan efek tetap berdasarkan efek acak yang telah dtentukan pada tahap 5. Model efek tetap dperoleh dar nla AIC model secara keseluruhan dengan menyertakan efek acak yang telah dketahu. 8. Pemerksaan sgnfkans kembal terhadap efek tetap setelah penyertaan efek acak ke dalam model. 9. Membandngkan hasl pendekatan pendugaan parameter dengan metode ML menggunakan algortma NR dan EM menggunakan nla AIC. 4

5 Pembentukan model longtudnal Generalzed Lnear Med Model (GLMMs menggunakan bantuan software SAS 9..3 dan Splus 3. Penggunaan Splus 3 untuk membentuk macro Algortma NR, sedangkan penggunaan SAS 9..3 untuk menalankan GLMMs dengan algortma EM. Prpors Kesembuhan HASIL DAN PEMBAHASAN Eksploras Data Eksploras data yang melput mean profle, varance profle dan concomntant structure merupakan tahap awal pembentukan model data longtudnal menggunakan Generalzed Lnear Med Model (GLMMs yang berguna untuk membentuk model awal Eksploras mean profle menggambarkan perubahan perubahan propors keadan sukses untuk keseluruhan subyek setap unt waktu. Eksploras varance profle bertuuan untuk mengetahu adanya pengaruh efek acak. Efek acak perlu dtambahkan pada model ka dalam grafk varance profle terdapat fluktuas nla resdual setap unt waktu. Eksploras terhadap concomtant varable perlu uga untuk dlakukan. Pengaruh varabel pengrng tdak dapat dabakan karena varabel pengrng dapat mempengaruh respon. Berkut dsakan eksploras data pertama tentang pasen penderta demam berdarah (data pertama, sebaga berkut: Propors Kesembuhan Resdual Propors Kesembuhan Waktu (Har Kontrol Gambar. Mean profle Waktu (Har Keragaman Gambar. Varance profle Jens Kelamn = Pra = Wanta Gambar 3. Concomtant: Jens Kelamn Umur (tahun Gambar 4. Concomtant: Usa Berdasarkan Gambar d atas menunukkan adanya kecenderungan penngkatan propors kesembuhan pasen yang menunukkan adanya penambahan efek tetap dalam model GLMMs yang akan dbentuk. Gambar menunukkan adanya perubahan keragaman respon mengndkaskan perlu menyertakan efek acak selan efek tetap ke dalam model tentatf. Dar Gambar 3 dan 4 dapat dketahu bahwa masng-masng varabel yatu ens kelamn (se memlk pengaruh yang relatf sama antara pra dan wanta, sehngga perlu dpertmbangkan penyertaan varabel se. Sedangkan pada varabel usa (age, grafk yang terbentuk relatf berbeda untuk masng-masng umur, sehngga varabel usa tetap dsertakan dalam model. Pembentukan Model GLMMs Dar hasl eksploras memperlhatkan bahwa keempat data layak untuk dlakukan pemodelan. Hasl pendugaan model Generalzed Lnear Med Model (GLMMs untuk data pertama yatu data mengena pasen penderta demam berdarah, dsakan sebaga berkut: abel Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma NR data pertama Intersep Waktu Perlakuan J. Kelamn abel Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma EM data pertama Intersep Waktu Perlakuan J. Kelamn Dar tabel d atas dapat kta lhat bahwa varabel tme sgnfkan pada α sebesar 5% untuk kedua algortma. Nla penduga bertanda postf mengndkaskan adanya penngkatan kesembuhan pasen penderta demam berdarah sepanang waktu 5

6 hngga 4 har. Sedangkan untuk varabel penyerta usa, terlhat adanya pengaruh yang sgnfkan dan postf pada kedua algortma. Artnya, semakn muda pasen, tngkat kesembuhan semakn tngg. erlhat pula pada kedua algortma untuk varabel penyerta ens kelamn terlhat pengaruh yang sgnfkan terhadap penngkatan kesembuhan pasen penderta demam berdarah. Mengngat ens kelamn adalah varabel dummy (: pra, dan : wanta, mengndkaskan wanta memlk tngkat kesembuhan yang lebh cepat ka dbandngkan pra. Secara keseluruhan, dua penduga parameter, dengan menggunakan metode Newton Rhapson maupun Epectaton Mamzaton tdak menunukkan perbedaan yang berart. Hasl pendugaan model Generalzed Lnear Med Model (GLMMs untuk data kedua tentang pasen penderta decubtus wound sebaga berkut: abel 3 Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma NR data kedua Intersep Waktu Perlakuan Usa J. Kelamn abel 4 Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma EM data kedua Intersep Waktu Perlakuan Usa J. Kelamn Dar abel 3 dan 4 memperlhatkan bahwa kedua algortma pendugaan parameter menunukkan perbedaan yang cukup besar, bak tu dlhat dar sgnfkans nla pendugaan, maupun besarnya nla dugaan tu. Pada pendugaan parameter dengan algortma NR memperlhatkan adanya pengaruh waktu, usa, dan ens kelamn pasen terhadap respon penderta decubtus wound. Sedangkan pada pendugaan parameter dengan algortma EM memperlhatkan hanya pengaruh waktu dan ens kelamn pasen saa yang berpengaruh terhadap respon penderta decubtus wound. Hasl pendugaan GLMMs untuk data ketga tentang pasen penderta Age Related Macular Degeneraton (ARMD sebaga berkut: abel 5 Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma NR data ketga Intersep Waktu Usa abel 6 Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma EM data ketga Intersep Waktu Usa Dar tabel d atas terlhat kedua metode pendugaan parameter pada model GLMMs memperlhatkan hasl yang serupa pada sgnfkans nla pendugaan, akan tetap menunukkan hasl yang berbeda pada nla duganya. erlhat adanya evolus (perubahan pada tap waktu dar respon pasen penderta Age Related Macular Degeneraton (ARMD. Untuk pendugaan dengan menggunakan algortma NR, terlhat bahwa dar mnggu ke mnggu, pasen penderta ARMD dapat sembuh sebesar ep(.44 atau.495 kal lebh bak dar mnggu sebelumnya. Sedangkan untuk pendugaan dengan menggunakan algortma EM, terlhat bahwa dar mnggu ke mnggu, pasen penderta ARMD dapat sembuh sebesar ep(.54 atau.89 kal lebh bak dar mnggu sebelumnya. Hasl pendugaan GLMMs untuk data keempat tentang pemberan daun srh dan hdrogen peroksda pada tkus haml sebaga berkut: abel 7 Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma NR data keempat Intersep me Perlakuan Bobot abel 8 Pendugaan Parameter GLMMs Model dengan Algortma EM data keempat Intersep me Perlakuan Bobot Pada tabel d atas memperlhatkan bahwa kedua algortma pendugaan parameter menunukkan perbedaan yang cukup besar, bak tu dlhat dar 6

7 sgnfkans nla pendugaan, maupun besarnya nla dugaan tu. Pada pendugaan parameter dengan algortma NR memperlhatkan adanya pengaruh waktu dan efek perlakukan pemberan daun srh dan hdrogen peroksda dengan penngkatan arngan nekrotk pada tkus haml. Sedangkan pada pendugaan parameter dengan algortma EM memperlhatkan hanya pengaruh waktu saa yang berpengaruh terhadap penngkatan arngan nekrotk pada tkus haml. Perbandngan Algortma NR dan EM pada Model GLMMs Berdasarkan hasl pendugaan parameter model GLMMs, bak tu dar sgnfkans nla pendugaan, maupun besarnya nla duga cenderung memberkan perbedaan pada kedua algortma yatu Algortma NR dan Algortma EM. Untuk mengu algortma mana yang terbak, menggunakan krtera Akake Informaton Crteron (AIC, d mana algortma terbak adalah algortma yang menghaslkan nla AIC terkecl. abel berkut merangkum nla AIC maupun umlah teras pada masng-masng algortma, dan persen keefektfan. abel 9 Hasl Perbandngan Algortma NR dan EM Jumlah Iteras AIC Data ke- NR EM NR EM Data Data Data Data Dar tabel d atas dapat dlhat bahwa nla AIC terendah pada keempat data peneltan dhaslkan oleh algortma Epectaton Mamzaton (EM. erlhat pula umlah teras yang dperlukan algortma EM untuk mencapa ttk konvergen dalam pendugaan parameter lebh sedkt ka dbandngkan umlah teras dengan algortma NR pada data yang sama. Dengan demkan dapat dsmpulkan bahwa pendugaan parameter model Generalzed Lnear Med Model (GLMMs dengan algortma Epectaton Mamzaton (EM memberkan hasl yang lebh bak dbandngkan dengan algortma Newton Rhapson (NR. KESIMPULAN DAN SARAN Kesmpulan Dar hasl peneltan yang dlakukan dapat dambl kesmpulan sebaga berkut:. Algortma Epectaton Mamzaton (EM dapat dgunakan untuk menduga parameter pada model Generalzed Lnear Med Model (GLMMs. Hal n terlhat dengan terbentuknya model pada keempat data peneltan dengan menggunakan algortma EM.. Algortma Epectaton Mamzaton (EM lebh bak dbandngkan algortma Newton Rhapson (NR yang saat n kerapkal dgunakan dalam menduga parameter model GLMMs. Hal n terlhat dar keempat data peneltan, nla AIC algortma EM lebh kecl darpada nla AIC algortma NR. Saran Dar hasl peneltan n dsarankan beberapa hal sebaga berkut:. Algortma EM dapat dgunakan sebaga penyelesaan masalah pada analss data longtudnal dengan respon bnom, dan cenderung dapat menngkatkan akuras model yang lebh bak, ka dbandngkan algortma NR yang saat n lebh serng dgunakan. Sehngga dapat dsarankan bahaw pengembangan EM n adalah alternatf terbak pendugaan parameter model GLMMs.. Pada peneltan selanutnya dsarankan untuk menggunakan krtera p-value yang kut menetapkan pemlhan algortma terbak. Dsarankan pula untuk mempelaar pengembangan algortma EM pada analss data longtudnal dengan respon ordnal maupun respon poson. DAFAR PUSAKA [] Molenbergs.G., dan Verbekke, G., 5. Model for Dscrete Longtudnal Data. Sprnger Seres n statstcs. New York:Sprnger Verlag. [] Meng, X, dan Dyk, D. 8. Fast EM ype Implementatons for Med Effect Models. Journal of the Royal Statstcal Socety. Seres B. Vol. 6, No. 3. Pp [3] Agrest, A.. An Introducton to Categorcal Data Analyss. John Wley & Sons. New York. [4] Fahrmer, L. dan. Gerhard Multvarate Statstcal Modellng Based on Generalzed Lner Models. John Wlley dan Sons, New York. [5] Saavedra, P.A.. 6. Percentle Curves In Bnary Longtudnal Data. anggal akses : 8 Oktober. [6] Hardn, J. W. dan J. Hlbe. 7. Generalzed Lnear Models and Etensons. Stata Press. eas [7] Jang, J. 7. Lnear and Generalzed Lnear Med Models and her Applcaton. Sprnger Seres n Statstcs. New York. [8] Khur, A. 3. Advanced Calculus wth Applcaton In Statstcs. John Wley and Son. New Jersey. 7