TUGAS #1 STK731 MODEL LINIER TERAMPAT

Transkripsi

1 TUGAS #1 STK731 MODEL LINIER TERAMPAT Tugas n mengolah data Beetle Mortalty sepert yang tercantum pada contoh pada buku Dobson (2001) sebaga berkut: Dose, x Number of Number (log10cs2mgl 1 ) beetles, n klled, y Model Fttng and Lnk Functon Pada kasus n ngn delaskan hubungan antara propors kematan kumbang (P =Y /n ) setelah lma am dber gas carbon dsulphde pada beberapa doss (x ), sehngga E(P )=π dan model peluang π adalah g(π ) = x T β yang dapat dsederhanakan menad π = x T β = β 1 + β 2 x, dmana π[0,1] Terdapat empat lnk functon yang mungkn dapat dgunakan, yatu: 1. Logt functon (LINK=LOGIT) g ( ) log 1 yang merupakan nvers dar fungs sebaran logstc kumulatf 1 F( x) 1 e x x e 1 e x 2. Probt (normt) functon (LINK=PROBIT) g ( ) 1 ( ) 1 Tugas #1 STK731

2 yang merupakan nvers dar fungs sebaran normal baku kumulatf. 3. Complementary log-log functon (LINK=CLOGLOG) g ( ) log( log(1 )) 4. Log functon (LINK=LOG) g ( ) log( ) Plot data antara p =y /n dengan x dapat dtunukkan sepert gambar d bawah n. 2 Tugas #1 STK731

3 Untuk melhat hasl masng-masng lnk functon, data dolah dengan PROC GENMOD pada SAS sebaga berkut: data mortalty; nput x n y; datalnes; ; proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=logt; ttle 'Model wth LOGIT'; proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=probt; ttle 'Model wth PROBIT'; proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=log; ttle 'Model wth LOG'; proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=cloglog; ttle 'Model wth COMPLEMENTARY LOG-LOG'; 3 Tugas #1 STK731

4 Penduga dan standard error untuk model dengan masng-masng lnk functon adalah: Lnk Std Wald 95% Conf. Ch- Functon Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr>ChSq Logt Intercept <.0001 x <.0001 Probt Intercept <.0001 x <.0001 Log Intercept x CLog Intercept <.0001 x <.0001 Untuk memlh model "terbak", dlakukan dengan melhat nla devance dan hasl nla dugaan dar setap observas ( Yˆ ) sepert tercantum pada tabel berkut: Y Ŷ Logt Probt Log Cloglog Devance Berdasarkan nla devance dan nla dugaan Y, maka model yang sesua adalah model yang menggunakan lnk functon complementary log-log (CLOGLOG). Hal n uga dapat dlhat dar hasl plot antara X dengan Y dan Ŷ sebaga berkut: 4 Tugas #1 STK731

5 Y Y-Logt Y Y-Probt Y Y-Log Y Y-Clog Tugas #1 STK731

6 Overdsperson Overdsperson adalah munculnya keragaman yang lebh besar pada sekumpulan data dbandngkan dengan ragam yang dharapkan berdasarkan model. Overdsperson serng terad ketka melakukan model fttng berdasarkan sebaran Bnomal atau Posson. Implkasnya, untuk model yang benar, nla statstc Ch-square Pearson dbag dengan deraat bebasnya akan bernla sama dengan 1. Overdsperson terad ka nla tersebut melebh dar 1, dan underdsperson terad ka nla tersebut kurang dar 1. Dalam regres logstk bner, peubah respon yang damat dasumskan hanya memlk dua macam keadan, msalnya "sukses" dan "gagal". Peubah respon sepert n serng dnamakan sebaga peubah bner. Dalam pemodelan, dasumskan bahwa peubah bner n salng bebas satu dengan yang lannya, sehngga umlah dar peubah bner akan memlk sebaran bnom. Akan tetap dalam beberapa kasus, serngkal asums n tdak terpenuh. Secara teor permasalahan n tdak akan mengubah nla harapan dar sebaran bnom, tetap akan mempengaruh keragaman dar peubah respon tersebut. Oleh karena tu, asums sebaran bnom terhadap peubah respon mungkn tdak akan terpenuh. Jka peubah bner tersebut berkorelas postf, maka keragamannya akan menngkat sebesar covy, y. Masalah n serng dsebut sebaga overdspers dalam data bnom. Overdspers dapat dsebabkan oleh keragaman peluang respon d dalam suatu kelompok atau korelas antara peubah bner. Dalam prakteknya dua keadan n terad secara smultan, artnya ka terdapat korelas antara peubah bner, maka hal n akan membawa pada keragaman peluang respon, begtu uga sebalknya. Overdspers dapat terad dalam dua kemungknan, yatu pengelompokkan d dalam populas dan pengukuran atau percobaan secara berulang pada obek yang sama. Ada dua statstk yang dgunakan untuk mengu kelayakkan model yatu kh-kuadrat Pearson dan devans. Kedua statstk n merupakan fungs dar ssaan, yatu selsh dar nla aktual dengan nla dugaan. Untuk suatu peubah bebas tertentu, nla ssaan Pearson untuk amatan ke- ddefnskan sebaga berkut: ry, p = sehngga kh-kuadart Pearson dapat dnyatakan sebaga berkut: X = ry, p selanutnya, nla ssaan devans untuk amatan ke- dnyatakan sebaga berkut: dy, p = ± 2 y ln y n + n y ln n y n 1 n p sehngga devans dapat dnyatakan sebaga berkut: D = dy, p / 6 Tugas #1 STK731

7 Kh-kuadart Pearson dan devans akan mengkut sebaran χ dengan deraat bebas (n-p), dengan p adalah banyaknya parameter dalam model yang dduga. Jka model regres logstkyang dgunakan terhadap data layak,maka nla kh-kuadrat Pearson dan devans akan mendekat nla deraat bebasnya. Hal n dapat delaskan karena nla harapan dar sebaran χ sama dengan deraat bebasnya. Jka nla kh-kuadrat Pearson dan devans auh lebh besar dar deraat bebasnya, maka asums dar keragaman bnom tdak terpenuh dan data menunukkan overdspers. Salah satu cara untuk mengatas overdsperson adalah mengalkan matrk covarance dengan parameter dspers. Statstk Ch-suare Pearson 2 p dan smpangannya 2 D adalah 2 P m k1 1 1 r n ˆ n ˆ 2 2 D 2 m k1 1 1 r r log nˆ dmana m adalah banyaknya profl subpopulas, k+1 adalah banyaknya level respon, r adalah umlah hasl kal frekuens dan bobot yang terkat dengan level respon ke- pada profl ke-, k 1 n r 1 dan ˆ adalah penduga peluang level ke- pada profl ke-. Deraat bebas statstc tersebut adalah mk-p, dmana p adalah banyaknya parameter yang dduga. Sedangkan parameter dspers dduga dengan: ˆ 2 2 P /( mk p) 2 D /( mk p) 2 ( const) SCALE PEARSON SCALE DEVIANCE SCALE const Msalkan data terdr dar n pengamatan bnomal, dmana y /n adalah propors pengamatan ke-, dan x adalah varabel penelas. Msalkan P adalah peluang untuk pengamatan ke- dengan nla tengah dan ragam sebaga E(P )=π dan V(P )= π (1- π ) Wllams (1982) menduga parameter skala yang tdak dketahu dengan nla persamaan dar statstc Ch-square Pearson untuk model penuh. Msalkan w * adalah bobot pengamatan ke-, maka statstc Chsquare Pearson adalah 7 Tugas #1 STK731

8 2 * ˆ ( r n ) n ˆ (1 ˆ ) 2 Nla harapan dar 2 adalah n * * E 2 (1 v d )[1 ( n 1 1)] 2 dmana v n /( (1 )[ g'( )] ) dan d adalah ragam dar penduga ˆ x ' ˆ. Parameter skala dduga dengan prosedur teras. Pada hasl analss data, kemunculan overdsperson terlhat pada nla statstk dalam Crtera For Assessng Goodness Of Ft untuk masng-masng lnk functon sebaga berkut: Lnk Crteron DF Value Value/DF Logt Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Probt Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Log Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood E308 Cloglog Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Tugas #1 STK731

9 Pada lnk functon Logt dan Probt terad overdsperson (nla devance dan Pearson Ch-Square lebh dar 1), sedangkan pada lnk functon Cloglog terad underdsperson. Overdsperson akan menyebabkan press statstk u terlalu tngg sehngga cenderung sgnfkan padahal sebenarnya tdak. Sebalknya underdsperson menyebabkan press statstk u sangat rendah sehngga cenderung tdak sgnfkan padahal sebenarnya sgnfkan. Untuk mengatas overdsperson maupun underdsperson, dgunakan pendugaan parameter skala. Oleh karena tu, analss data dlakukan dengan memberkan plhan SCALE pada PROC GENMOD sebaga berkut: proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=logt scale=deviance scale=pearson; ttle 'Model wth LOGIT'; proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=probt scale=deviance scale=pearson; ttle 'Model wth PROBIT'; proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=log scale=deviance scale=pearson; ttle 'Model wth LOG'; proc genmod data=mortalty; model y/n=x / dst=bnomal lnk=cloglog scale=deviance scale=pearson; ttle 'Model wth COMPLEMENTARY LOG-LOG'; 9 Tugas #1 STK731

10 Overdsperson dapat datas dengan menggunakan nla skala tersebut d atas, yatu nla Scaled Devance dan Scaled Pearson X2 yang mendekat 1 kecual pada lnk functon Log yang memang model menad tdak konvergen, sepert terlhat pada output dalam Crtera For Assessng Goodness Of Ft untuk masng-masng lnk functon sebaga berkut: Lnk Crteron DF Value Value/DF Logt Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Probt Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Log Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood E308 Cloglog Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Tugas #1 STK731

11 Penduga dan standard error untuk model dengan masng-masng lnk functon setelah dlakukan pendugaan parameter skala adalah: Lnk Std Wald 95% Conf. Ch- Functon Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr>ChSq Logt Interce <.0001 x <.0001 Scale Probt Intercept <.0001 x <.0001 Scale Log Intercept x Scale Cloglog Intercept <.0001 x <.0001 Scale Algortme untuk Ft Model Algortme maxmum lkelhood antara lan adalah menggunakan metode Fsher-scorng dan Newton- Raphson. Keduanya menduga parameter yang sama, tetap metode Fsher-scorng berdasarkan matrk nla harapan, sedangkan metode Newton-Raphson berdasarkan matrk pengamatan atau observas. Namun demkan, pada kasus model bnary logt, kedua matrk tersebut dentk sehngga menghaslkan matrk covarance penduga yang dentk pula. Fsher-scorng Msalkan terdapat varabel ganda Z = (Z 1,...,Z k )' sedemkan sehngga 1 Y Z 0 selannya Jka π melambangkan peluang bahwa observas ke- mempunya nla respon ke-, maka 11 Tugas #1 STK731 1,..., k )' ( k 1) 1 E( Z ) ( dan Msalkan matrk covarance Z = V, dan =( 1,, k,β ), serta D adalah turunan bagan dar π terhadap, maka penduga parameter adalah D ' W ( Z ) 0 k 1

12 dmana W = w f V -, w dan f adalah nla bobot dan frekuens dar observas ke-. Dengan nla awal 0 penduga maksmum lkelhood bag dperoleh melalu proses teras, yatu 2 m1 m D ' W D D ' W ( Z ) dmana D, W, dan π dhtung pada nla m, sedangkan ekspres setelah tanda plus (+) merupakan ukuran step pada proses teras. Proses teras dlakukan hngga nla m+1 yang dperoleh konvergen ke m. Penduga maksmum lkelhood bag adalah ˆ m dan matrk covarance dar ˆ dduga dengan cov( ˆ) ˆ D ' ˆ ˆ W D 1 Newton-Raphson Msalkan vektor parameter untuk model kumulatf adalah =( 1,, k,β ), dan untuk model logt terampat dlambangkan dengan =( 1,, k,β 1,, β k ). Dberkan vektor gradent (g) dan matrk Hessan (H) sebaga berkut: g w f l 2 l H w f 2 dmana l = log L adalah log lkelhood dar observas ke-. Dengan nla awal 0 penduga maksmum lkelhood bag dperoleh melalu proses teras hngga konvergen, yatu m1 H m 1 g dan matrk covarance dar ˆ dduga dengan cov( ˆ) Hˆ 1 12 Tugas #1 STK731

13 Untuk mengaplkaskan kedua algortme tersebut pada data, maka dlakukan pengolahan dengan program SAS sebaga berkut: proc logstc data=mortalty; model y/n=x / lnk=logt ITPRINT LACKFIT TECH=NEWTON; ttle 'Model LOGIT wth Newton Raphson Tecnque'; proc logstc data=mortalty; model y/n=x / lnk=logt ITPRINT LACKFIT TECH=FISHER; ttle 'Model LOGIT wth Fsher Scorng'; proc logstc data=mortalty; model y/n=x / lnk=probt ITPRINT LACKFIT TECH=NEWTON; ttle 'Model PROBIT wth Newton Raphson Tecnque'; proc logstc data=mortalty; model y/n=x / lnk=probt ITPRINT LACKFIT TECH=FISHER; ttle 'Model PROBIT wth Fsher Scorng'; proc logstc data=mortalty; model y/n=x / lnk=cloglog ITPRINT LACKFIT TECH=NEWTON; ttle 'Model CLOGLOG wth Newton Raphson Tecnque'; proc logstc data=mortalty; model y/n=x / lnk=cloglog ITPRINT LACKFIT TECH=FISHER; ttle 'Model CLOGLOG wth Fsher Scorng'; 13 Tugas #1 STK731

14 dan proses teras Maxmum Lkelhood yang dhaslkan adalah sebaga berkut: METODE NEWTON RAPHSON DENGAN LINK=LOGIT Iter Rdge -2 Log L Intercept x Last Change n -2 Log L Last Evaluaton of Gradent Intercept x Convergence crteron (GCONV=1E-8) satsfed. METODE FISHER SCORING DENGAN LINK=LOGIT Iter Rdge -2 Log L Intercept x Last Change n -2 Log L Last Evaluaton of Gradent Intercept x Convergence crteron (GCONV=1E-8) satsfed. 14 Tugas #1 STK731

15 METODE NEWTON RAPHSON DENGAN LINK=PROBIT Iter Rdge -2 Log L Intercept x Last Change n -2 Log L Last Evaluaton of Gradent Intercept x Convergence crteron (GCONV=1E-8) satsfed. METODE FISHER SCORING DENGAN LINK=PROBIT Iter Rdge -2 Log L Intercept x Last Change n -2 Log L Last Evaluaton of Gradent Intercept x Convergence crteron (GCONV=1E-8) satsfed. 15 Tugas #1 STK731

16 METODE NEWTON RAPHSON DENGAN LINK=CLOGLOG Iter Rdge -2 Log L Intercept x Last Change n -2 Log L Last Evaluaton of Gradent Intercept x Convergence crteron (GCONV=1E-8) satsfed. METODE FISHER SCORING DENGAN LINK=CLOGLOG Iter Rdge -2 Log L Intercept x Last Change n -2 Log L Last Evaluaton of Gradent Intercept x Convergence crteron (GCONV=1E-8) satsfed. 16 Tugas #1 STK731

17 L A M P I R A N OUTPUT HASIL ANALISIS LINK FUNCTIONS 17 Tugas #1 STK731

18 The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal Logt y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals 481 Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 x <.0001 Scale The scale parameter was held fxed. The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal Probt y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals Tugas #1 STK731

19 Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 x <.0001 Scale The scale parameter was held fxed. The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal Log y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals 481 Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood E308 ERROR: The mean parameter s ether nvald or at a lmt of ts range for some observatons. 19 Tugas #1 STK731

20 Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept x Scale The scale parameter was held fxed. The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal CLL y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals 481 Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 x <.0001 Scale The scale parameter was held fxed. 20 Tugas #1 STK731

21 L A M P I R A N OUTPUT HASIL ANALISIS OVERDISPERSION DAN ITERASI MLE 21 Tugas #1 STK731

22 The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal Logt y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals 481 Parameter Informaton Parameter Prm1 Prm2 Effect Intercept x Iteraton Hstory For Parameter Estmates Log Iter Rdge Lkelhood Prm1 Prm Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood The GENMOD Procedure Last Evaluaton Of The Negatve Of The Gradent and Hessan Prm1 Prm2 Gradent E E-8 Prm Prm Algorthm converged. 22 Tugas #1 STK731

23 Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 x <.0001 Scale The scale parameter was estmated by the square root of DEVIANCE/DOF. The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal Probt y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals 481 Parameter Informaton Parameter Prm1 Prm2 Effect Intercept x Iteraton Hstory For Parameter Estmates Log Iter Rdge Lkelhood Prm1 Prm Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Tugas #1 STK731

24 The GENMOD Procedure Last Evaluaton Of The Negatve Of The Gradent and Hessan Prm1 Prm2 Gradent E E-7 Prm Prm Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 x <.0001 Scale The scale parameter was estmated by the square root of DEVIANCE/DOF. The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal Log y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals 481 Parameter Informaton Parameter Prm1 Prm2 Effect Intercept x Iteraton Hstory For Parameter Estmates Log Iter Rdge Lkelhood Prm1 Prm E E Tugas #1 STK731

25 Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood E308 Last Evaluaton Of The Negatve Of The Gradent and Hessan Prm1 Prm2 Gradent 0 0 Prm1 0 0 Prm2 0 0 The GENMOD Procedure ERROR: The mean parameter s ether nvald or at a lmt of ts range for some observatons. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept x Scale The scale parameter was held fxed. The GENMOD Procedure Model Informaton Data Set Dstrbuton Lnk Functon Response Varable (Events) Response Varable (Trals) WORK.MORTALITY Bnomal CLL y n Number of Observatons Read 8 Number of Observatons Used 8 Number of Events 291 Number of Trals 481 Parameter Informaton Parameter Prm1 Prm2 Effect Intercept x 25 Tugas #1 STK731

26 Iteraton Hstory For Parameter Estmates Log Iter Rdge Lkelhood Prm1 Prm Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood The GENMOD Procedure Last Evaluaton Of The Negatve Of The Gradent and Hessan Prm1 Prm2 Gradent Prm Prm Algorthm converged. Analyss Of Parameter Estmates Standard Wald 95% Confdence Ch- Parameter DF Estmate Error Lmts Square Pr > ChSq Intercept <.0001 x <.0001 Scale The scale parameter was estmated by the square root of DEVIANCE/DOF. 26 Tugas #1 STK731