METODE SIMPLEKS 06/10/2014. Angga Akbar Fanani, ST., MT. SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) ~ ~

Transkripsi

1 6//4 METODE SIMPLEKS Angga Akbar Fanani, ST., MT. SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem : x x + x 3 = - 3x + x x 3 = -x + x + x 3 = - Metode Gauss-Jordan : lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon baris tereduksi. (A G) = 3 ~ ~ ~ ~ Jadi penyelesaiannya : {(, 3, -)}. r(a) = 3 r(a G) = 3 n = 3 ~ 4 ~ 3 4 ~ 3 Persamaan terakhir menjadi: x = x = 3 x 3 = -

2 6//4 METODE SIMPLEK Metode geometrik untuk menyelesaikan permasalahan linier programming. Metode grafik hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan dan dengan sedikit fungsi pembatas. Apa yang dapat dilakukan dengan permasalahan dengan keputusan lebih dari dua? Digunakan metode aljabar yang disebut metode simplek, yang diekmbangkan oleh George B. Dantzig (94-) pada tahun 947 ketika bertugas di Angkatan Udara Amerika. SIMPLEX METHOD langkah- Tulis persamaan ke dalam bentuk persamaan standar optimasi, tentukan slack. langka h- Buat tabel standar simplek langkah 3 apakah terdapat indikator negatif pada baris Zj? langka h-3 Pilih kolom pivot langkah 4 Apakah terdapat elemen positif pada kolom pivot, diatas garis tebal? langkah- Pilih elemen pivot dan lakukan operasi pivot. STOP Solusi optimal telah didapatkan STOP Permasalahan linier programming tidak memiliki solusi optimal Algoritma simplek untuk permasalahan standar maksimasi.

3 6//4 Untuk menyelesaikan permasalahan linier programming dalam bentuk standar, terapkan langkah berikut: - Rubah pertidaksamaan dalam fungsi tujuan menjadi sebuah persamaan dengan menambahkan slack variables. - Buat tabel awal simplek. 3- Pilih pivot column. ( kolom dengan nilai negatif terbesar pada baris Zj) 4- Pilih pivot row. (baris dengan nilai non negatif terkecil ketika besaran dari ruas kanan dibagi dengan elemen dari kolom pivot.) -Lakukan operasi baris elementer untuk menghitung nilai baru dari baris pivot sehingga pivot bernilai (membagi setiap anggota baris dengan pivot number.) 6- Lakukan operasi baris elementer untuk membuat semua angka pada pivot kolom bernilai kecuali pivot number. Jika semua nilai pada baris Zj ernilai positif atau nol, maka ini merupakan tabel akhir. Jika tidak kembali ke langkah jika sudah diperoleh tabel akhir, maka linier programing telah mendapatkan solusi optimal yaitu terletak pada sudut kanan baris Zj. Indeks Pivot Column: kolom dari tabel yang merepresentasikan yang dimasukan kedalam tabel solusi. Pivot Row: Baris dari tabel yang merepresentasikan yang dikeluarkan dari tabel solusi. Pivot Number: Element pertemuan antara pivot column dan the pivot row. Slack Variabel: merepresentasikan sumber daya yang tidak digunakan 3

4 6//4 Tebel Simplek Sebagian besar permasalahan pada dunia nyata seringkali terlalu kompleks untuk diselesaikan dengan metode grafik. Permasalahan tersebut memiliki banyak titik untuk dievaluasi dan pengerjaan aljabar akan panjang. Tabel simplek merupakan langkah yang sistematis untuk mengevaluasi gabungan dari bebrapa variebel dalam rangka untuk mendapatkan slusi terbaik. Initial Simplex Tableau Semua solusi Variabel basis koefisien 4

5 6//4 Contoh soal Perusahaan furnitur ABC memproduksi meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan 4 jam kerja dari tukang kayu dan dua jam kerja dari bagian finishing. Sedangkan setiap kursi membutuhkan 3 jam tukang kayu dan jam finishing. Dalam minggu tersedia 4 jam tukang kayu dan jam jam finishing. Setiap meja menghasilkan keuntungan Rp. 7,- dan setiap kursi menghasilkan keuntungan Rp.,-. Berapakah kursi dan meja yang harus diproduksi? Semua informasi terkait contoh soal Sumber daya Meja ( ) Kursi ( x ) batasan Tukang kayu (jam) Finishing (jam) Langkah x keuntungan 7 Fungsi tujuan Batasan tukang kayu Batasan finishing Batasan non negatif P 7x x 4x 3x 4 x x x, x

6 6//4 Langkah pertama metode simplek adalah merubah pertidaksamaan menjadi persamaan. Tanda kurang dari ( ) atau lebih dari ( ) dirubah menjadi sama dengan menambahkan slack. Asumsikan s sebagai jam tukang kayu dan s sebagai jam finishing yang belum digunakan dalam minggu. Fungsi batasan akan menjadi; 4x 3x s 4 4x 3x s s 4 x x s atau x x s s Sumber daya yang tidak digunakan tidak menghasilkan keuntungan, slack dapat dimasukan dalam fungsi objektif dengan koefisien nol () : P 7x x s s P 7x x s s Permasalahan tersebut dapat diselesaikan sebagai 3 persamaan linier dengan x, x, s, s, P dengan P merupakan nilai maximum; 4x 3x s s 4 x x s s P 7x x s s Kemudian, sisetm persamaan linier dapat ditulis dalam sebuah matik berukuran 3x6. Tabel awal adalah sebagai berikut; 6

7 6//4 Basic x x S S P Hand Side S S P -7 - Solusi berdasarkan tabel awal; Langkah x, x, s 4, s, P Pada tabel awal simplek S and S masuk kedalam solusi. Solusi awal menggunakan asumsi bahwa semua sumber daya jam kerja belum digunakan. Dengan demikian slack memiliki nilai terbesar. Variabel yang berada pada tabel solusi disebut basis (basic ). Setiap basis bernilai sesuai dengan nilai pada RHS (right hand side). Sedangkan semua selain basis bernilai nol (). Pada proses simplek, basis pada tabels solusi digantikan oleh lain yang tidak berada pada tabel solusi. Nilai dari yang keluar dari tabel solusi nilainya menjadi nol (). 7

8 6//4 Langkah 3 Pilih kolom pivot (tentukan yang akan masuk ke dalam tabel solusi). Pilih kolom dengan nilai negatif paling besar pada baris fungsi tujuan. basis x x S S P hand side S S P -7 - Pivot column x seharusnya masuk ke tabel solusi dikarenakan setiap unit x (meja) berkontribusi keuntungan sebesar 7 lebih besar dari kursi yaitu sebesar. Langkah 4 Dikarenakan nilai fungsi tujuan untuk pivot kolom bernilai negatif. Dapat dilanjutkan pada langkah. 8

9 6//4 langkah Pilih baris pivot ( yang akan dikeluarkan dari tabel solusi). Bagi elemen hand side (RHS) untuk setiap baris dengan elemen dari olom pivot. Baris pivot adalah baris dengan hasil pembagian yang bernilai non negatif paling kecil. masuk keluar basis x x S S P hand side S S P -7 - Pivot number Pivot column 4 / 4 6 / Pivot row Masukan x pada menjadi basis. 6 meja dapat diproduksi berdasarkan batasan 4 jam kerja tukang kayu, namun hanya meja yang dapat diproduksi berdasarkan batasan jam kerja finishing. Sehingga Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai baru dari baris pivot, yaitu dengan membagi setiap elemen dengan pivot number. basis x x S S P hand side S x / / P -7 - R 9

10 6//4 Lakukan operasi baris elementer sehingga semua elemen dari kolom pivot menjadi nol () kecuali pivot number yang harus bernilai satu (). basis x x S S P hand side S - 4 x / / P R R 7.R R3 Dikarenakan meja diproduksi sehingga jam kerja tukang kayu yang belum digunakan berkurang sebesar (4 jam/meja dikalikan ), sehingga akan bernilai 4 dari sebelumnya 4. memproduksi meja akan menghasilkan keuntungan sebesar 3. Sehingga solusi baru, x, x, s 4, s, P 3 Selanjutnya ulangi langkah hingga semua nilai pada baris fungsi tumenjadi basis. Pilih kolom pivot baru. Masukan x should enter into the solution mix. Pilih baris pivot baru, keluarkan S dari basis,ganti dengan x. Enter Exit basis x x S S P hand side S - 4 x / / P New pivot column 4 / 4 /, New pivot row

11 6//4 Hitung nilai baru bagi baris pivot. Dikarenakan pivot number sudah bernilai, semua nilai pada baris pivot tetap. Lakukan operasi baris elementer sehingga semua elemen dari kolom pivot menjadi nol () kecuali pivot number yang harus bernilai satu (). basis x x S S P hand side x - 4 x -/ 3/ 3 P 4. R R.R R3 Jumlah kursi yang diproduksi adalah 4, sehingga jumlah meja yang diproduks turun (/ meja/kursi dikalikan 4). Jumlah meja yang diproduksi turun dari menjadi 3. penurunan meja digantif 4 chairs are made, then the number of tables are redukan 4 kursi berdampak pada kenaikan keuntungan sebesar 6. keuntungan total berubah dari 3 menjadi 4. Pada tabel hasil iterasi kedua didapatkan bahwa semua elemenya bernilai positif semua, dengan demikian solusi tersebut merupakan nilai fungsi tujuan yang maksimum.

12 6//4 Hasil Tabel simplek merepresentasikan solusi optimal untuk permasalahan LP, dengan kombinasi keputusan sebagai berikut: x 3, x 4, s, s dan fungsi keuntungan atau P= 4 Solusi optimal (keuntungan maksimal yang mungkin dihasilkan) adalah dengan memproduksi 3 meja dan 4 kursi dengan keuntungan sebesar 4.