BAB II TINJAUAN KEPUSTAKAAN

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN KEPUTAKAAN II.1 PENDAHULUAN Yild lin adalah suatu pmcahan yang dapat digunakan dalam plat bton dimana trjadinya tgangan llh dan rotasi scara plastis muncul. Tori ini dapat digunakan dalam brbagai jnis pola trgantung dari kondisi pmbbanan, kondisi prltakan dan dimnsinya. Tori Yild lin ini dapat mnganalisa mkanism kruntuhan di batas ultimatnya. Tori ini brprinsipkan pada: Krja akibat rotasi Yild Lin = Krja akibat pmbrian bban Mtod Yild Lin tlah lama digunakan dalam mnganalisa plat. Hal ini tlah mnjadi prhatian umum sjak tahun 1990 olh bbrapa pnliti sprti Graf dan Bachi. Di awal tahun 1922, Ingrslv sorang pnliti brkbangsaan Rusia mmpsntasikam sbuah makalah di Institution of tructural Enginrs di London dngan judul collaps mod of rctangular slabs. Bbrapa pngarang sprti R H Wood, L Jons, A awczuk dan T Jagr, R Park, K Kmp, C T Morly, M Kwicinski dan masih banyak lagi, mnggabungkan dan mngmbangkan konsp asli dari Johansn shingga mmbuat tori Yild Lin ini mnjadi sbuah tori yang sangat brmanfaat sbagai alat untuk mndsain dngan taraf Intrnasional. prti yang diktahui tori Yild Lin dirintis pada tahun 1940an olh sorang insinyur dan pnliti brkbangsaan Dnmark yang brnama K W Johansn. Pada tahun 1960 sampai 1980 dilaporkan bahwa scara toritis aplikasi dari tori Yild Lin ini tlah mmprmudah dalam prhitungan struktur plat dan plat bam. Untuk mnunjang hasil prkjaan ini, pngtsan scara intsif dilakukan untuk mmbuktikan Univrsitas umatra Utara

2 kbnaran dari tori ini,dan hasilnya sangat bagus dimana hanya ada sdikit prbdaan yang dibandingkan antara toritis dan prcobaan. Di dalam prcobaanya dimana sndi disimulasikan mnjadi suatu konstruksi yang mnrus, dan hasilnya bban ultimat yang didapatkan lbih bagus daripada yang diprdiksikan scara toritis. II.2 TERI YIELD LINE Tori Yild Lin mrupakan analisis bban scara ultimat. Tori ini mntapkan bahwa momn yang ditimbulkan sprti pmbbanan pada plat dimana diltakkan pada satu titik dimana akan trjadinya kruntuhan. Tori ini dapat mmbuat suatu dsain konstruksi mnjadi lbih sdrhana dan lbih konomis, salah satu contohnya adalah pmbangunan Europan Concrt Building Projct di Cardington. Tori ini dapat dngan mudah ditrapkan di dalam brbagai jnis plat, baik dngan ataupun tanpa bam. prti yang ditunjukkan pada gambar 2.1 yang mrupakan plat dngan pmbbanan sampai trjadinya kruntuhan. Pada awal pmbbanan raksi yang trjadi pada plat adalah lastic dngan tgangan maksimum dan dflksi yang trjadi di titik pusat plat. Pada saat ini mmungkinkan trjadinya rtak sprti rambut yang akan muncul dimana kkuatan lntur dari bton tlah trlampaui yang trltak di tngah bntang. Brtambahnya nilai pmbbanan mmprcpat trjadinya rtakan ini,dan slanjutnya rtakannya akan smakin bsar dari titik dflksi maksimumnya, dan pnambahan trus dilakukan maka krtakan akan brpindah k bagian yang bbas dari plat dimana pada waktu yang sama smua tgangan lnturnya akan mlalui garis llh dari Yild lin ini. Univrsitas umatra Utara

3 Prltakan sdrhana Rtakan halus Rtakan bsar yang brasal dari titik dflksi maksimum Gambar 2.1 Krtakan yang trjadi pada plat Pada kadaan ultimat sprti ini, plat akan mngalami kruntuhan. prti yang digambarkan pada gambar 2.2 plat dibagi mnjadi darah A, B, C, dan D. Darah darah ini juga brputar pada sumbu rotasinya yang biasanya spanjang batas plat trsbut, yang akan brdampak pada pada prgsran bban yang dibrikan. Di titik inilah bban yang dibrikan akan di salurkan pada garis sumbu rotasi di garis llhnya yang disamakan dngan bban brgrak yang dibrikan pada darahnya. Inilah yang disbut dngan Tori Yild Lin. Univrsitas umatra Utara

4 umbu dimana trjadi rotasi di darah A,B,C dan D di spanjang batas plat Pola dari Yild Lin Gambar 2.2 Mkanism pmbntukan pola dari Yild Lin II.3 PLA YIELD LINE Ktika suatu plat dibbani sampai trjadinya kruntuhan, garis llh yang trjadi akan mmbntuk suatu darah dimana trjadi tkanan maksimum dan slanjutya akan mnjadi sndi plastis. prti yang tlah dijlaskan di atas, sndi plastis ini akan brkmbang mnjadi suatu mkanism yang mmbntuk pola dari garis llh (Yild Lin. Tori ini akan mmbagi plat mnjadi darah trsndiri, dimana ssuai dngan arah rotasinya. Untuk dapat mngidntifikasi dari pola yang sah dan solusi dari tori Yild lin ini maka ada bbrapa hal yang dapat diprhatikan, yakni: umbu rotasi biasanya spanjang batas plat dan spanjang kolom, Garis dari Yild Lin mrupakan sbuah garis lurus, Univrsitas umatra Utara

5 Garis Yild Lin yang brada diantara darah darah yang brbatasan haruslah mlalui titik prsimpangan dari sumbu rotasi dari tiap darahnya, Garis dari Yild Lin harus brakhir di batas plat trsbut, Pada prltakan mnrus akan brnilai ngatif dan untuk prltakan simpl brnilai positif. tlah pola dari Yild Lin tlah ditntukan maka skarang hal yang prlu dilakukan adalah mnntukan pnurunan di satu titik ( biasanya di titik pnurunan maksimumnya dimana smua rotasi yang trjadi dapat ditntukan, hal ini dapat digambarkan di dalam gambar 2.3. umbu rotasi untuk darah B umbu rotasi untuk darah A Pola pola yild lin yang mmungkinkan Gambar 2.3 Pola Yild Lin yang mmungkinkan untuk plat sdrhana Univrsitas umatra Utara

6 Di dalam Tori Yild Lin ada kmungkinan munculnya bbrapa pola yang sah dalam prhitungannya. Ttapi sbagai sorang prncana haruslah dapat mnntukan salah satu pola yang dapat mnghasilkan momn maksimum atau skurang kurangnya sampai trjadi kruntuhan pada plat akibat bban yang dibrikan. Ada bbrapa cara bagi sorang prncana dalam mnntukan pola yang paling kritis atau yang paling mndkati dalam prncanaanya: Dngan mnggunakan prinsip yang prtama yaitu dngan work mthod Mnggunakan rumus untuk situasi yang standar Bisa dilihat bahwa pola dari Yild Lin mmbrikan hasil, baik itu bnar ataupun scara toritis tidaklah aman. Tapi sprti yang tlah dibahas sblumnya, scara toritis hal ini dapat mudah diatasi dngan mncoba pola pola brbda yang mmungkinkan yang disrtai dngan nilai tolransi, yang akan dijlaskan nantinya. Pola dari Yild Lin adalah trutama brasal dari sumbu rotasinya dan juga harus dipastikan bahwa garis yang dihasilkan mrupakan suatu garis lurus, mlalui titilk prsimpangan dari darahnya masing masing dan brakhir pada batas plat trsbut. Bbrapa contoh dari pola plat yang simpl akan diprlihatkan pada gambar 2.4. Mngingat bahwa plat sprti sbuah ku mungkin dapat mmbuat para prncana dapat lbih mudah untuk mnvisualisasikan pola dari Yild Lin yang ssuai atau yang paking cocok. Tujuan dari mnginvstigasi dari pola Yild Lin ini adalah untuk dapat mnntukan pola yang dapat mmbrikan nilai momn yang paling kritis ( nilai momn yang palig maksimum. Namun analisa yang scara mnyluruh jarang diprlukan dan mmilih bbrapa pola yang lbih simpl dan fisin umumnya dapat dijadikan solusi dimana tingkat ksalahannya sangatlah minim. Univrsitas umatra Utara

7 Gambar 2.4 Pola Yild Lin yang simpl II.4 PENGGAMBARAN NTAI adalah : Dibawah ini akan mnunjukkan notasi yang sring digunakan dalam skripsi ini Univrsitas umatra Utara

8 II.5 CRNER LEVER Cornrs Lvrs mnjlaskan hal hal yang trjadi pada plat dua arah dimana garis Yild Lin mngalami pmisahan pada di bagian sudut dalamnya. Pmisahan ini trkait dngan pmbntukan garis Yild Lin yang brnilai ngativ yang mlwati nagian sudut dari plat yang digambarkan pada gambar 2.5 Gambar 2.5 Akibat dari Cornr Lvrs pada plat dngan prltakan sdrhana dimana di bagian sudutnya ditkan dan dicgah trjadinya lifting Di dalam analisa, pola dari Yild Lin biasanya diasumsikan bahwa garis yang mlwati di bagian sudut tidak ada trjadi pmisahan, dimana dalam hal ini cornr lvrs di abaikan shingga mmbuat prhitungan mnjadi lbih simpl. Hal ini dibuat dngan adanya bbrapa alasan, yakni : Biasanya di dalam prhitungan dampak dari adanya cornr lvrs tidaklah mmiliki pngaruh yang bsar, Univrsitas umatra Utara

9 uatu analisa yang mngikutsrtakan hal ini akan mnjadi trlalu rumit untuk dislsaikan. Di dalam skripsi hanyalah mmbahas pola garis Yild Lin pada bagian sudut mrupakan suatu garis lurus yang tidak dipisah. Nilai momn yang didapatkan dari cara ini hanya dapat digunakan jika pnguatan yang dibrikan pada sudut plat mmiliki nilai yang sama dngan rangka bajanya. Cornr Lvr dapat digunakan untuk plat sdrhana diman dampak yang dihasilkan tidak lbih dari batas tolransi aturan 10%. II.6 ATURAN 10% Pmakaian aturan 10% di dalam mndsain momn yang ditimbulkan pada plat sdrhana dapat mmbrikan suatu kmudahan dimana adanya ksalahan dalam analisa Yild Lin dan mmbrikan suatu jaminan trhadap diabaikannya cornr lvrs. Pada plat yang mngalami tkanan yang rlatif rndah, pmakaian aturan ini dapat mningkatkan nilai momn sbsar 10%, hal ini sama dngan pningkatan 10% pnguatan di dalam dsain plat. orang prncana mungkin saja mncari solusi scara tliti, ttapi dngan ditrapkan aturan 10% ini,maka dalam hal analisa dapat mnjadi lbih simpl dan dalam dsain mrka dapat brada dalam sisi yang aman tanpa trlalu konsrvatif ataupun tidaklah konomis. atu satunya situasi dimana diprbolhkan mnggunakan aturan 10% ini adalah pada kasus dimana suatu plat yang mmiliki sudut yang sangat rumit dan konfigurasi trtntu dari plat dngan bban trpusat ataupun bban mrata yang nilainya sangat bsar. Aturan ini sangatlah pnting di dalam pnggunaanya di dalam lapangan ttapi tidak sbagai rfrnsi di dalam pnggunaan scara akadmis. Univrsitas umatra Utara

10 II.7 PLAT ITRPI Dalam kasus yang paling umun yakni dalam susunan tulangan pada plat, tulangan ini trdiri dari dua bagian yakni tulangan atas dan tulangan bawah yang mnybabkan trjadinya garis llh. Hal ini dapat mmungkinkan bagi sorang prancang untuk dapat mnylidiki brbagai jnis kmungkinan dan prltakan dari tiap plat trutama plat dngan bntuk yang tidak braturan dan mmiliki sudut. Namun di dalam pmbuatan skripsi ini, hanya akan mmbahas dimana dimana tulangannya: Mrupakan nilai maksimum dari kdua tulangan Bahan yang digunakan adalah dari baja Dalam hal ini plat dapat dikatakan sbagai isotropis. Dngan dmikian, momn yang dihasilkan olh hal ini akan ditunjukkan dalam bntuk huruf, yakni m untuk tulangan bagian bawah dan m untuk tulangan bagian atas, yang dapat ditunjukkan dalam gambar 2.6 Univrsitas umatra Utara

11 Gambar 2.6 Plat Isotropis II.8 PLAT RTHTRPI Di dalam Plat rthotropis mmpunyai nilai yang brbda dalam hal pmnguatannya dalam dua arah. Biasanya tidak diprlukannya pnguatan di dalam two way slab haruslah sama dngan plat dua arah. Plat ini cndrung dalam jarak yang lbih pndk dan arah ini dapat mmbrikan pnguatan yang sangatlah bsar, hal ini dapat diilustrasikan dalam gambar 2.7, namun di dalam pmbuatan skripsi ini hanya akan mmbahas plat isotropis dan tidak mmbahas plat orthotropis. Univrsitas umatra Utara

12 Gambar 2.7 Plat rthotropis II.9 KNEP YIELD LINE Di dalam Tori Yild Lin biasanya diasumsikan bahwa pnurunan maksimum yang trjadi (δmax di dalam kondisi ksatuan yang trjadi pada stiap darah di plat. Ktika mnghitung nrgi kstrnal yang trjadi (W pnurunan yang trjadi mrupakan akibat adanya dibrikan pmbbanan pada darah masing masing plat yang dapat ditunjukkan sbagai faktor L1/L2, dimana L1 mrupakan jarak yang tgak lurus trhadap arah sumbu rotasinya dan L2 mrupakan jarak yang tgak lurus dngan Univrsitas umatra Utara

13 lokasi dimana trjadinya δmax dari arah sumbu rotasi masing masing darah pada plat. Gambar 2.8 Panjang L1 dan L2 Arah umbu Rotasi dari stiap darah biasanya brtpatan dngan batas plat trsbut. Dimana L2 mrupakan nilai konstan untuk smua bban pada smua darah, dan jarak L1 sangat trgantung pada lokasi pusat massa bban yang ada pada darah trsbut. Untuk mmprmudah dalam mngtahui nilai dari L1 / L2 ktika dibrikan bban yang mrata sprti yang ditunjukkan pada gambar 2.8 maka dapat digunakan ktntuan: 1/2 untuk smua darah brbntuk prsgi panjang 1/3 untuk smua darah brbntuk sgitiga dimana puncak dari sgitiga brada pada titik pnurunan maksimum Univrsitas umatra Utara

14 2/3 untuk smua darah brbntuk sgitiga dimana puncak dari sgitiga brada pada sumbu rotasinya. Konsp dari Yild Lin adalah mnyamakan krja yang disbabkan olh pmbbanan pada plat dngan krja yang disbabkan olh gaya gaya dalam yang mnghasilkan rotasi pada plat, dapat dirumuskan: Krja kstrnal = Krja Intrnal E = I Dimana : A W n M l θ = Luas darah = Bban yang dibrikan = Jarak titik brat tiap darah = momn = panjang = rotasi Univrsitas umatra Utara

15 II.10 FEM Dalam pmbuatan kripsi ini akan mnggunakan mtod lmn hingga sbagai lmn sgitiga dan sgimpat sbagai prbangdingan dari prhitungan yang tlah dicari dngan mnggunakan mtod yild lin dan dalam hal ini dibantu dngan mnggunakan program AP Di dalam mtod lmn hingga bila suatu kontinum dibagi bagi mnjadi bbrapa bagian yang lbih kcil, maka lmn kcil ini disbut lmn hingga. Pross pmbagian kontinum mnjadi lmn-lmn hingga disbut pross diskrtisasi (pmbagian. Dinamakan lmn-lmn hingga karna bntuk gomtri yang lbih sdrhana dibanding dngan kontinumnya. Dngan mtod lmn hingga kita dapat mngubah suatu masalah dngan jumlah drajat kbbasan trtntu shingga pross pmcahannya akan lbih sdrhana. Misalnya suatu batang yang panjang, bntuk fisiknya tidak lurus dipotongpotong spndk mungkin shingga trbntuk batang-batang pndk yang rlatif lurus. Maka pada bntang yang panjang tadi disbut kontinum dan batang yang pndk disbut lmn hingga. uatu bidang yang luas dngan dimnsi yang tidak tratur, dipotong-potong brbntuk sgi tiga atau bntuk sgi mpat yang braturan. Bidang yang dngan dimnsi tidak braturan tadi disbut kontinum, bidang sgitiga atau sgi mpat braturan disbut lmn hingga. Dan banyak lagi prsoalan yang idntik dngan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa lmn hingga pasti mmpunyai lbih kcil dari kontinumnya. baiknya pndkatan dngan mtod lmn hingga mrupakan suatu analisis pndkatan yang brdasarkan asumsi pralihan atau asumsi tgangan, bahkan dapat juga brdasarkan kombinasi kdua asumsi tadi dalam stiap lmnnya. Univrsitas umatra Utara

16 Tujuan utama analisis dngan mtod lmn hingga adalah untuk mmprolh nilai pndkatan ( bukan ksak tgangan dan pralihan yang trjadi pada suatu struktur. Karna pndkatan brdasarkan fungsi pralihan mrupakan tknik yang sring skali dipakai, maka langkah-langkah brikut ini dapat digunakan sbagai pdoman bila mnggunakan pndkatan brdasarkan asumsi trsbut : 1. Bagilah kontinum mnjadi sjumlah lmn (ub-rgion yang brhingga dngan gomtri yang sdrhana (sgitiga, sgimpat dan lain sbagainya. 2. Pada titik-titk pada lmn yang diprlakukan sbagai titik nodal, dimana syarat ksimbangan dan kompatibilitas dipnuhi. 3. Asumsikan fungsi pralihan pada stiap lmn sdmikian rupa shingga pralihan pada stiap titik smbarangan dipngaruhi olh nilai-nilai titik nodalnya. 4. Pada stiap lmn khusus yang dipilih tadi harus dipnuhi prsyaratan hubungan rgangan pralihan dan hubungan rngangan-tgangannya. 5. Tntukan kkakuan dan bban titik nodal kivaln untuk stiap lmn dngan mnggunakan prinsip usaha atau nrgi. 6. Turunkan prsamaan ksimbangan ini untuk mncari pralihan titik nodal. 7. lsaikan prsamaan ksimbangan ini untuk mncari pralihan titik nodal. 8. Hitung tgangan pada titik trtntu pada lmn tadi. 9. Tntukan raksi prltakan pada titik nodal yang trtahan bila diprlukan. Univrsitas umatra Utara

17 II.11 Constant train Triangl Elmnt (CT Elmnt dan Elmnt gi Empat CT-lmnt adalah lmn yang paling sdrhana, dimana matriks matrial adalah sbb: Matriks ini diprolh dari hubungan tgangan dan rgangan dari Hukum Hook dua dimnsional. dangkan displacmnt adalah sbb:,, % & ' &. # ! & # ( $ & /, & #& * "& +, #- Gambar 2.9 CT Elmn dngan 6 DF Pada lmn CT drajat kbbasan atau DF untuk satu lmn adalah 6 dapat dilihat pada gambar diatas, sdangkan jumlah simpul adalah tiga dngan pnomoran brlawanan arah jarum jam. Pada prsamaan displacmnt dapat dilihat bahwa hal itu adalah modifikasi dari mtod Ritz. Univrsitas umatra Utara

18 % ' '. 4 1 ' ' # # 3 ' 7 ' % & ' & $ # & # 6 ( # ( " (, # $ & & 31 ( ( # & * ( ( 5" & +, #- & 8' 01 4 ( ( 0 ( ' ' ( 0 ' ' 0 8' 1 3 ( 0 (' 0 ' ( 0 '( 0 ' ( ( 0 ( ' ' ( ' ' ( 0 (' 0 ' ( 0 '( 0 ' 5 x ij = x i x j y ij = y i y j 2A = (x 2 - x 1 (y 3 y 1 -(x 3 x 1 (y 2 y 1 / 8' 0 9 :01 Dimana, [G]=[N][A] -1 1 ; 1 < ;/& 1 < = >& 1 < ;/ 8' 01 1 < ;? 01 1 < Dngan dmikian ;? 1 ( 0 (' 0 ' 0 2 = 0 ( 0 '( 0 ' > ( ( '( (' ' ' Maka A ;? B C ;? D.0 F ;? < Univrsitas umatra Utara

19 1 H (. ( ('. '( '. ' %. I GH J L K IJ 21. ( (. (' '(. ' # 1 ' # ( 2 1 ( 2 1 '( 2 1 (' ' 2 $ 2 ' # 3 " 3, #- Univrsitas umatra Utara

20 Tabl 2.1 Matriks Kkakuan CT Column indx row indx j i P N ( Q 1 2 ( 1 Q 2 ( ( (' ( Q 1 Q 2 '( ( '( ( Q 1 2 ( (' ' ( Q 1 2 ' ( ' ( Q 1 2 ( ' 1 Q 2 ( ( ( Q 1 2 ( ( (' Q 1 2 '( ( '( ( Q 1 2 ( (' ( ' Q 1 2 ' ( ' ( Q 1 2 ' ( (' ( Q 1 Q 2 '( ( ( (' Q 1 2 '( ( (' Q 1 2 '( ( 1 Q 2 '( (' ' (' Q 1 2 '( ' ' (' Q 1 2 '( ' '( ( Q 1 2 ( (' '( ( Q 1 2 ( (' 1 Q 2 '( (' '( Q 1 2 (' '( ' Q 1 2 ' (' '( ' Q 1 2 ' (' ' ( Q 1 2 ' ( ( ' Q 1 2 ' ( ' (' Q 1 2 '( ' '( ' Q 1 2 ' (' ' Q 1 2 ' 1 Q 2 ' ' ' ( Q 1 2 ( ' ' ( Q 1 2 ' ( ' (' Q 1 2 '( ' '( ' Q 1 2 ' (' 1 Q 2 ' ' ' Q 1 2 ' R T X Y Z ['8\ ], x ij = x i x j, y ij = y i y j Univrsitas umatra Utara

21 Tabl 2.2 Matriks Kkakuan gi Empat Column indx row indx j i P N 4^ Q 21 ^ Q 4^ Q 2 2^ ^ 2^ Q 21 2^ ^ Q 4 ^ Q 21 ^ ^ 21 ^ Q 2^ 1 ^ Q 1 ^ 2 4^ 4^ Q 1 ^ ^ Q 2 ^ Q 21 2^ ^ ^ ^ Q ^ 21 ^ Q 4 ^ Q 21 ^ ^ Q 1 ^ 3 1 Q 1 ^ 2 2^ 2^ 1 ^ Q 21 2^ ^ ^ Q ^ Q 4^ Q 2 ^ Q 2^ 1 ^ ^ Q 1 ^ Q 4 ^ Q 21 ^ ^ 21 ^ 2^ 21 ^ ^ ^ Q 4^ Q 2 ^ ^ Q 2 ^ Q ^ Q 1 ^ Q 2^ 1 ^ ^ 21 ^ Q 4 ^ Q 21 R T X a 41, ^ b & Univrsitas umatra Utara

22 II.12 Elmn Quadrilataral Empat Nod Isoparamtrik a. Koordinat Natural Dari Elmn Elmn quadrilatral dngan mpat buah nod dilukiskan dalam gambar brikut ini. Gambar 2.10 Elmn Quadrilatral Pnomoran nod ditntukan dalam arah lawan prputaran jarum jam (CCW. Dua sumbu Koordinat Natural s dan t brpotongan tidak harus tgak lurus. Dalam gambar diatas, akan ditntukan Koordinat Natural dari kmpat nod dari lmn trsbut. Untuk itu diprhatikan Gambar 2.11 brikut ini. Gambar 2.11 Koordinat Natural Untuk Elmn Quadrilatral Univrsitas umatra Utara

23 Dalam sistm koordinat natural, kmpat nod dari lmn dinyatakan dalam (s,t sprti Nampak pada gambar 3.12 diingatkan kmbali bahwa kdua sumbu koordinat ini tidak harus tgak lurus. Fungsi intrpolasi atau fungsi displacmnt dalam arah x dan y adalah u(s,t = N 1 u 1 + N 2 u 2 + N 3 u 3 + N 4 u 4 v(s,t = N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 + N 4 v 4.(2.1 Untuk Koordinat Global : x(s,t = N 1 x 1 + N 2 x 2 + N 3 x 3 + N 4 x 4 y(s,t = N 1 y 1 + N 2 y 2 + N 3 y 3 + N 4 y 4.(2.2 Bsarnya hap Function untuk stiap nod (diprolh dari intrpolasi Lagrang adalah / ' 1 c.1 D 4 / 1 c.1 D 4 / ( 1 c.1 D 4 / 1 c.1 D Catatan: N 1 + N 2 +N 3 + N 4 = 1 Jumlah hap Function dari suatu titik = 1 b. train Elmn Matriks Displacmnt Gunakan kmbali prsamaan (2.1 dan (2.2 untuk mnghitung train dari Elmn Quadrilatral c D c Q D Q c D 2.4 Univrsitas umatra Utara

24 Kdua prsamaan yang trdapat pda prsamaan (2.4 dalam bntuk matriks dapat ditulis f c g c c D %. c $.2.4& - D ", Maka : %. $ 1 - i D ", D c f c g..2.4b c D Dimana : J = Dtrminan Jacobian j c kj D k j D kj c k Difrnsialkan prsamaan (2.2 trhadap s: c / ' c ' Q / c Q / ( c ( Q / c c / l c l lm' ;1nopo& q& Dp c, D c / l c l lm' D / l c l lm' D / l c l lm' 2.5,0& D 2.5& 2.5b 2.5r Turunan dari masing masing hap Function trhadap s dan t mnghasilkan prsamaan prsamaan brikut ini: Univrsitas umatra Utara

25 / ' c D,/ ' c c / c D,/ c c / ( c D,/ ( c c / c D,/ c 1 1 c Dtrminan Jacobian J dihitung sbagai brikut: i j c k j D k j D kj c k / l c l / l l / l D l / l c l lm' l l s lm' j / l D lm' lm' / l c / l / l c D k s Dalam Bntuk matriks, prsamaan (2.7 ditulis sbagai ' i ' ( &f g 2.7& ( Dimana [a] adalah matriks yang lmn lmnnya mmnuhi prsamaan & ls j / l D kt/ s c u j/ l c kt/ s D u 2.7b Dalam bntuk yang lbih trprinci, lmn matriks [a] masing masing adalah & '' j / ' D kj/ ' c k j/ ' c kj/ ' D k 0 & ' j / ' D kj/ c k j/ ' c kj/ D k Univrsitas umatra Utara

26 1 4 1 c D D Q c D & '( j / ' D kj/ ( c k j/ ' c kj/ ( D k 1 8 D c & ' j / ' D kj/ c k j/ ' c kj/ D k 1 8 c 1 Dngan strusnya untuk smua lmn matriks [a] disimpulkan matriks [a] adalah 0 1 D D c c 1 & 1 8 D 1 0 c Q 1 D Q c c D c Q 1 0 D Q 1 1 c c Q D D Q Lihat kmbali prsamaan (2.4b dari prsamaan trsbut ditinjau pada bagian: 1 i D c c D! 2.9 Dari prsamaan (2.1 dapat ditntukan c / l c l lm', D / l D l lm',c10&wp& D 0& c 0oq1xy1z 0&xo q1xc&n&& 2.5& 0& q1xc&n&& 2.5r FbDoDcop&: c, D, D, c 1 i l lm' lm' j / l D Dalam bntuk matriks dapat ditulis: p1 q1x&n&& 2.9 0oq1xy1z: / l c / l / l c D k s ' 1 i ' ( &f g I.2.10 ( Univrsitas umatra Utara

27 Bagian kdua dari prsamaan (5.4b adalah 1 i D c c D! 1 i l lm' sm' t / l D / s c / l / s c D u s Dalam Bntuk Matriks, prsamaan trkahir ini ditulis sbagai ' 1 i ' ( &f g I.2.11 ( Untuk displacmnt karah vrtikal (=v, prsamaan (2.4b diubah mnjadi (Ganti smua u dngan v %. $ 1 - i D ", D c f c g c D Dari prsamaan trsbut dapat ditulis: 1 i D c c D! ' 1 i ' ( &f g I 2.13 ( Dari prsamaan (2.4b juga diprolh: 1 i D c c D! ' 1 i ' ( &f g I 2.14 ( Diingatkan kmbail tntanf dfinisi dari train : Univrsitas umatra Utara

28 I G J L 0on&& } IJ } IJ Q Ambil ~ ~\ dari prsamaan (2.11 dan ambil dari prsamaan (2.13 kmudian ~J ~I jumlahkan, maka didapatkan: } IJ Q ' 1 i ' ( &f g ( ' Q 1 i ' ( &f g ( % ' '. # I # # # F1zoww&: G J L } IJ $ # # # # " (, Dari prsamaan (2.10 brikut ini akan dihitung brapakah harga dari B ij? ',s8' 1 i l& ls, 1,2,3,4.5.16& lm' ',,s 0 Dp 2,4,6, b ;1w& p&d& &o ;, 9 C 0,s 1 i l& ls, 1,2,3, r lm',s 0 Dp 1,3,5, ;1w& p&d& &o ;, C slˆ 0 Univrsitas umatra Utara

29 Dari Prsamaan (2.11 dan (2.13 diprolh: B 3j = B 2j+1 untuk j =1,3,5,7..(5.16 = B 1,j-1 untuk j=2,4,6,8 (5.16f Agar pnulisan lbih sdrhana,diadakan pringksan sbagai brikut: x m,n = x m x n dan y m,n = y m - y n maka lmn lmn matriks [B] dimyatakan snagai brikut: 0on&&, '' ( 1 8 i c ( Q D ( '( ( 1 8 i (' c ( Q D ' '* i c ' Q D ( ' (Š 1 8 i '( c ' Q D ( (' 1 8 i c ( Q D ( (( 1 8 i '( c ( Q D ' + (* 1 8 i c ' Q D ' Š ( 1 8 i (' c ' Q D ( 5.16w 0 1 D D c c 1 i 1 8 D 1 0 c Q 1 D Q c ' ( c D c Q 1 0 D Q 1 1 c c Q D D Q 1 0 ' f g ( Univrsitas umatra Utara

30 II.13 Program AP 2000 AP2000 adalah program computr untuk mrancang struktur kluaran Ci (Computrs and tructurs Inc..AP2000 mmungkinkan banyak hal yang sblumnya dianggap mustahil mnjadi sdrhana dan mudah. AP2000 mampu mnggsr tugas mnghitung yang rumit k konsp prilaku struktur, pmbagian bban dan analisa output shingga konsp prancangan jauh lbih baik. AP2000 bnar-bnar mampu mngambil tugas analisa struktur karna jika kita sudah mlakukan input data dngan bnar, maka pross analisa akan langsung diambil olah AP2000 dan prossnya pun trgolong sangat cpat. cara garis bsar, prhitungan analisa struktur rangka dngan AP2000 ini akan mlaui bbrapa tahap, yaitu: 1. Mnntukan gomtri modl struktur 2. Mndfinisikan data-data. a. Jnis dan kkuatan bahan. b. Dimnsi pnampang lmn struktur. c. Macam bban. 3. Mnmpatkan (assign data-data yang tlah didfinisikan k modl struktur. a. Data pnampang. b. Data bban. 4. Mmriksa input data. 5. Analisa mkanika tknik (MT. Univrsitas umatra Utara

31 Dalam tugas akhir ini AP2000 digunakan untuk mnghitung analisa struktur dari plat yaitu bsarnya momn yang ditimbulkan dngan mnggunakan mtod lmn hingga lmn sgimpat. Hasil yang dikluarkan dari AP2000 akan dibandingkan dngan hasil prhitungan manual yakni dngan mnggunakan tori Yild Lin. Univrsitas umatra Utara