Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. 2 Sm. 3 0

Transkripsi

1 XI Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

2 CERMAT Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XI SEMESTER GASAL Disusun oleh : Dirwanto Nama Siswa N I S Tingkat : :.... : Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

3 KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya penyusun telah menyelesaiakan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) matematika SMK untuk Tingkat XI semester gasal pada kelompok Teknologi dan Industri. Tujuan dalam penyusunan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) ini adalah untuk membantu proses belajar mengajar, sehingga diharapkan bisa menjadi sarana belajar bagi siswa agar lebih mudah untuk memahami materi yang dipelajari. Modul dan LKS ini juga dapat dijadikan sebagai alat unt uk mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar. Modul dan Lembar Kerja Siswa ini disusun berdasarkan kurikulum SMK edisi tahun 006 yang isinya mencakup : * Materi singkat * Contoh soal-soal * Latihan soal-soal * Evalausi tiap pokok bahasan * Ulangan harian * Ulangan Umum Semester Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan Modul dan LKS ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik lagi. Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah mambantu penyusun sehingga terselesaikannya Modul dan LKS ini. Jakarta, Mei 009 Penyusun Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

4 STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XI (SEBELAS) KURIKULUM 006 Standar Kompetensi 8. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linier dan fungsi kuadrat Kompetensi Dasar 8. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi 8. Menerapkan konsep fungsi linier 8. Menggambarkan fungsi kuadrat 8. Menerapkan konsep fungsi kuadrat 8. 5 Menerapkan konsep fungsi eksponen 8. 6 Menerapkan konsep fungsi logaritma 8. 7 Menerapkan konsep fungsi trigonometri 9. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah 9. Mengidentifikasi pola, barisan, dan deret bilangan 9. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 9. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri 0. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua 0. Mengidentifikasi sudut 0. Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar 0. Menerapkan transformasi bangun datar. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsurunsurnya. Menghitung luas permukaan. Menerapkan konsep volume bangun ruang. Menentukan hubungan antarunsur-unsur dalam bangun ruang Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

5 Standar Kompetensi. Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar. Menerapkan konsep vektor pada bidang datar. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang. Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi. Menghitung peluang suatu kejadian. Menerapkan aturan konsep statistik dalam pemecahan masalah. Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi, dan sampel. Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram. Menentukan ukuran pemusatan data. Menentukan ukuran penyebaran data 5. Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah 5. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran 5. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola 5. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips 5. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

6 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.. STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR. DAFTAR ISI... KOMPETENSI 8 MENERAPKAN KONSEP FUNGSI Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi eksponen Menerapkan konsep fungsi logaritma Menerapkan konsep fungsi trigonometri 7 KOMPETENSI 9 BARISAN DAN DERET Mengaplikasikan pola, barisan dan deret bilangan Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika Menerapkan konsep barisan dan deret geometri. KOMPETENSI 0 GEOMETRI DIMENSI DUA Mengidentifikasi sudut Menentukan keliling dan luas daerah bangun datar Menerapkan transformasi bangun datar 6 KOMPETENSI GEOMETRI DIMENSI TIGA Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya 7.. Menghitung luas permukaan bangun ruang Menerapkan konsep volume bangun ruang. 88. Menentukan hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang. 95 LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER GASAL 0 DAFTAR PUSTAKA. 06 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

7 KOMPETENSI 8 MENERAPKAN KONSEP FUNGSI APPLY FUNCTION CONCEPT Standar Kompetensi : 8. Menerapkan Konsep Fungsi Kompetensi Dasar : 8.. Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi 8.. Menerapkan konsep fungsi linier 8.. Menerapkan konsep fungsi kuadrat 8.. Menerapkan konsep fungsi eksponen 8.5. Menerapkan konsep fungsi logaritma 8.6. Menerapkan konsep fungsi trigonometri Alokasi waktu : 0 jam pelajaran Dilaksanakan pada : Minggu ke s.d. 5 Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar fungsi dan grafik dalam memecahkan permasalahan pada pelajaran matematika, maupun dalam pelajaran lainnya. 8.. Perbedaan Konsep Relasi dan Fungsi 8.. D ifference of Relationship Concept and Function Indikator :. Konsep relasi dan fungsi dibedakan dengan jelas. Jenis-jenis fungsi diuraikan dan ditunjukkan contohnya Tujuan : Siswa dapat. Membedakan pengertian relasi dan fungsi. Menentukan daerah asal (domain). Menentukan daerah kawan (kodomain). Menentukan daerah hasil (range) 5. Membedakan jenis -jenis fungsi (injektif, surjektif, bijektif) Uraian Materi :. Pengertian fungsi, daerah asal, daerah kawan dan daerah hasil. Understanding of function, area, closed friend area and area result of Fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B A B A = {a, b, c, d} disebut daerah asal atau domain a B = {,,,, 5} disebut daerah kawan atau kodomain b Semua anggota B yang mendapat kawan di A disebut c daerah hasil atau range R = {,,, } d 5 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

8 Tentukan pemetaan atau bukan : a a a b b b c c c d d Gambar : pemetaan Gambar : bukan pemetaan Gambar : bukan pemetaan. Menyatakan sebuah fungsi. Expressing a Function Fungsi dapat dinyatakan dengan notasi, diagram panah, grafik Cartesius dan himpunan pasangan berurutan. Diketahui f = x? x +. Jika domainnya {x - = x =, x B} dan kodomainnya x B. Tentukan : a. Daerah hasil c. Grafik Cartesius b. Diagram panah d. Himpunan pasangan berurutan. a. Daerah hasil (range) c. Diagram Cartesius D = {-, -, 0,, } 5 y K = {-, -, 0,,,.} f = x? x + f (x) = x + f (-) = (-) + = - f (-) = (-) + = - f (0) = (0) + = f () = () + = f () = () + = x Daerah hasil R = {-, -,,, 5} - b. Diagram panah f = x? x + A B d. Himpunan pasangan berurutan : 0 {(-, -), (-, -), (0, ), (, ), (, 5)} 5 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

9 Soal laihan :. Gambarkan fungsi-fungsi berikut dengan diagram panah a. f : x x dengan daerah asal (,,,, 5) b. f : x x x adalah empat bilangan asli genap pertama c. f : x x dengan daerah asal (,, ).... Gambarkan fungsi-fungsi berikut dengan diagram kartesius a. f : x x x R, x b. f : x 5 x x R, 0 x 5 c. f : x 5x x R, x.... Buatlah notasi fungsi dari diagram panah berikut ini. a b. 6 c Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

10 8.. Menerapkan Konsep Fungsi Linear 8.. Apply the Concept of Linear Function Indikator :. Fungsi linier digambar grafiknya. Fungsi linier ditentukan persamaannya jika diketahui koordinat titik atau gradien atau grafiknya.. Fungsi invers ditentukan dari suatu fungsi linier Tujuan : Siswa dapat :. Membahas contoh fungsi linier. Membuat grafik fungsi linier.. Menentukan persamaan grafik fungsi leinear yang melalui dua titik, melalui satu titik dan gradien tertentu, dan jika diketahui grafiknya.. Menemukan syarat hubungan dua grafik fungsi linier saling sejaja r dan saling tegak lurus 5. Menentukan invers fungsi linier dan grafiknya Uraian Materi :. Grafik fungsi linear. Linear function graph Bentuk umum grafik fungsi linear adalah : f (x) = ax + b atau y = ax + b, dimana a, b R. Gambar gafik fungsi y = x Penyelesaian : a Dengan tabel : x 0 y b. Dengan titik potong Titik potong dengan sumbu x? y = 0 Titik potong dengan sumbu y? x = 0 y = x y = x 0 = x y =. 0 - x = y = - x = titik potong dengan sumbu y dititik (0, -) titik potong dengan sumbu x di titik (, 0) y 0 x - - Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

11 Gradien Gradien adalah angka kemiringan dari grafik terhadap sumbu x positif. Notasi gradien adalah "m". y O α P(x, y ) x Gradien garis OP y m = atau m = tan α x. y Gradien garis OA : A(, ) y m = = x x. y Gradien garis AB : B(5, ) y y m = = x x 5 = A(, ) Jika m = 0, grafik sejajar sumbu x Jika m > 0, grafik miring ke kanan (0 < α < 90 o ) Jika m < 0, grafik miring ke kiri (90< α < 80 o ) 5 x. Menentukan persamaan garis melalui satu titik P(x, y ) dengan gradien m. Determining equation of line through one dot of P( x, y) with gradien m Rumus : y y = m (x x ) atau y = mx mx + y. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (, -) dengan m = y y = m (x x ) y (-) = (x ) y = x 8 y = x 0. Tentukan persamaan garis yang melalui titik Q(, 5) dengan m = y = mx mx + y = x ( ).() + 5 = x y = x + Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

12 . Menentukan persamaan garis melalui dua titik P(x, y ) dan Q(x, y ). Determining equation of line through two dot of P(x, y ) and Q(x, y ) Rumus : y y y y = x x x x atau y y = m (x x ) dengan m = y x y x. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (, -) dan B (, 5) y y 5 ( ) 6 m = = = = 6 x x y y = m (x x ) y (-) = 6 (x ) y = 6x y = 6x. Tentukan persamaan garis yang melalui titik C(, ) dan D(, ) y y x x = y y x x y x y x = = 5 y = 5(x ) y = 5x y = 5x + 7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(, ) dan Q(, ) y y x x = y y x x y ( ) = x y x + = ( ) 6 6y 8 = x 8 x + 6y = 8 8 x + 6y = 0 x + y = 5 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

13 . Sudut antara dua garis. Angle between two line Jika diketahui persamaan garis y = m x + n dengan gradien m dan persamaan y = m x + n, dengan gradien m seperti terliohat pada gambar y y = m x + n α y = m x + n 0 x 0 x Maka besarnya sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut adalah : m m tg a = (sudut yang dimaksud adalah sudut yang kecil) + m. m Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua garis y = x dan y = x +. Penyelesaian : m = dan m = m m tg α = = = + m. m +. α = 8, o 5. Persamaan garis yang melalui titik P (x, y ) dan sejajar garis y = ax + b 5. Equation of line which passing dot of P(x, y ) and parallelline of y = ax b Sebuah garis dengan gradien m dikatakan sejajar dengan garis lain yang bergradien m jika m = m Rumus : y y = m (x x ) dengan m = a. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan sejajar garis y = x + x = ; y = dan m = y y = m (x x ) y = (x ) y = x 6 + y = x. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, -) dan sejajar garis x y = x y = y = x x = ; y = - ; m = y y = m (x x ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

14 y (-) = (x ) y + = x x y = 0 x y = 0 Atau dengan cara lain : Persamaan garis : ax + by = c garis sejajar : ax + by = a(x ) + b(y ). Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan sejajar garis x + 5y = 0 x + 5y =.() + 5.() x + 5y = x + 5y = 6. Tentukan persamaan garis yang melalaui titik (, ) dan sejajar garis x y = x y =.( ).() x y = 6 x y = 0 6. Persamaan garis yang melalui titik Q(x, y) dan tegak lurus garis y = ax + b 6. Equation of line which passing dot of Q(x, y ) and vertical line of y = ax + b Sebuah garis dengan gradien m akan tegak lurus dengan garis dengan gradien m, jika m =. m Rumus : y y = (x x ) dengan m = a m. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, -) dan tegak lurus garis y = x + x = ; y = - ; m = y y = (x x ) m y (-) = (x ) y = x + y =. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan tegak lurus garis x y = x y = y = x ; x = ; y = ; m = y y = (x x ) m y = (x ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

15 (y ) = - (x ) y = -x + x + y = 0 x + y 5 = 0 Cara lain : Persamaan garis : ax + by = c garis tegak lurus : bx ay = b(x ) a(y ) ax by = c garis tegak lurus : bx + ay = b(x ) + a(y ). Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan tegak lurus garis x + y = x + y = ; x = ; y = x y =.().( ) x y = + x y = 7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan tegak lurus garis 5x y = 0 5x y = 0 ; x = ; y = x + 5y =.() + 5.() x + 5y = x + 5y = Soal Latihan. Diketahui f (x) = x +. Jika domainnya {x - < x <, x B}dan kodomainnya x B. Tentukan : a. Daerah hasil c. Grafik Cartesius b. Diagram panah d. Himpunan pasangan berurutan.. Tentukan gradien garis : a. y = x c. y x = 5 b. y = x d. x + y =.. Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. A (, -) dan m = b. B (, ) dan m = -.. Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. P (, ) dan Q (, 5) b. A (, ) dan B (, ). 5. Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. (-, -) dan sejajar garis y = x + b. (, -) dan tegak lurus garis y = x. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

16 EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Suatu fungsi dirumuskan dengan f (x) = x + 5. Jika daerah asalnya himpunan bilangan asli dan x < maka rangenya adalah. a. { 8,,, 7, 0} c. { 8,, 8 } e. {, 5, 8 } b. { 8,,, 7 } d. { 8,, }. Diketahui diagram panah di samping, maka A B relasi himpunan A ke B dapat ditulis sebagai : a. B = A + b. B = A c. B = A 8 d. B = A e. B = A - 7. Gradien dari persamaan garis : y 6x = adalah. a. b. c. d. - e. -. Persamaan garis yang melalui titik (-, ) dan m = adalah. a. y = x + 7 b. y = x + 5 c. y = x + d. y = x 5 e. y = x 7 5. Persamaan garis yang melalui titik (, ) dan m = adalah. a. x y = 0 c. y x + = 0 e. y + x = 0 b. x + y = 0 d. y x = 0 6. Persamaan garis yang melalui titik (, -) dan (, ) adalah. a. y = x b. y = x + c. y = x d. y = x + e. y = x 7. Persamaan garis yang melalui titik (-, -) dan sejajar garis x y = adalah. a. x y + 8 = 0 c. x = y 8 e. y = x + b. x y + 8 = 0 d. y = x Persamaan garis yang melalui titik (, ) dan sejajar garis y = x + adalah. a. y = x 9 b. y = x c. y = x + d. y = x + 6 e. y = x Persamaan garis yang melalui titik (, -) dan tegak lurus garis y = x + adalah. a. x + y + 8 = 0 c. x y + 8 = 0 e. x + y = 0 b. x y 8 = 0 d. x + y 8 = 0 0. Persamaan garis yang melalui titik (, ) dan tegak lurus garis x y = adalah. a. x + y 0 = 0 c. x + y 0 = 0 e. x + y 6 = 0 b. x + y 0 = 0 d. x + y 6 = 0 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar!. Tentukan persamaan garis yang melalui titik : a. (, -) dan gradien m = b. (, ) dan gradien m = -.. Tentukan persamaan garis yang melalui titik a. (, ) dan titik (, -). b. (-, ) dan (, ).. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan sejajar dengan garis : a. x y = 6 b. x y = 5. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

17 8.. Menerapkan Konsep Fungsi Kuadrat 8.. Apply the Concept of Quadratic Function. Indikator :. Fungsi kuadrat digambar grafiknya.. Fungsi kuadrat ditentukan persamaannya. Tujua n : Siswa dapat :. Membahas contoh fungsi kuadrat dan grafiknya.. Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat, sumbu simetri dan nilai ekstrim suatu fungsi. Menggambar grafik fungsi kuadrat. Menentukan persamaan fungsi kuadrat jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya 5. Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi kuadrat 6. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Uraian Materi :. Persamaan grafik fungsi kuadrat. Equation of quadratic function graph Bentuk Umum : y = ax + bx + c Untuk a > 0 (positif) kurva menghadap keatas dan mempunyai titik balik minimum. x x x = x D > 0 D = 0 D < 0 (definet positif) D = diskriminan D = b.a.c Untuk a < 0 (negatif), kurva menghadap kebawah dan mempunyai titik balik maksimum. x x x = x (definet negatif) D > 0 D = 0 D < 0 Untuk menggambar garfik fungsi kuadrat langkah-langkahnya sebagai berikut : b. Tentukan sumbu simetrinya, yaitu dengan rumus : x =.a. Tentukan titik puncak (titik balik), yaitu P (x, y) dengan : b D b.a.c x = dan y = atau y =.a - a.a Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

18 . Tentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0. Tentukan titik potong dengan sumbu x, dengan y = 0? ax + bx + c = 0 Jika D > 0, grafik memotong sumbu x di dua titik (x dan x) Jika D = 0, grafik menyentuh sumbu x di titik x = x Jika D < 0, grafik tidak memotong sumbu x ( diatas atau dibawah sumbu x). Grafik fungsi y = x 6x + 5 memotong sumbu x di titik? Penyelesaian : Kurva memotong sumbu x jika y = 0 x 6x + 5 = 0 (x ). (x 5) = 0 x = 0? x = x 5 = 0? x = 5 Kurva memotong sumbu x dititik (, 0) dan (5, 0). Tentukan titik potong grafik y = x 5x + dengan sb.x Kurva memotong sb.x jika y = 0 x 5x + = 0 (x ) (x ) = 0 x = 0 x = X = 0 x = Titik potong kurva dengan sb.x (, 0) dan (, 0). Titik balik dari grafik fungsi : y = -x + x + 5 adalah : Penyelesaian : a = -, b = dan c = 5 b Sumbu simetri : x = = = a.( ) b. a. c.( ) Nilai maksimum : y = = =. a.( ) 6 y = = Atau dengan cara : y = - () = = 9 Titik balik kurva (, 9). Peluru ditembakan tegak lurus keatas dengan persamaan h (t) = 00t 5t (satuan meter). Tentukan ketinggian maksimum dari peluru! Penyelesaian : a = -5, b = 00 dan c = 0 b 00 Waktu tempuh : t = = = 0 detik a.( 5) Tinggi maksimum : h = = h =.500 meter. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

19 5. Periksa apakah kurva y = x x + memotong sumbu x, menyentuh sumbu x atau tidak memotong sumbu x (definet)? Penyelesaian : Untuk mengetahuinya dicari dulu Diskriminannya. a =, b = - dan c = Diskriminan : D = b ac = (-).. = 8 = - Karena D < 0, maka kurva tidak memotong sumbu x atau definet positif.. Menentukan persamaan fungsi kuadrat. Determining equation of quadratic function Beberapa hal yang perlu diingat dalam menentukan persamaan fungsi kua drat adalah :. Jika diketahui titik balik ( p, q), persamaan kuadrat : y = a (x p) + q ( x p) atau : a = ; b =.a.p ; c = a.p + q y q. Jika diketahui akar-akar kuadratnya (x dan x ), persamaan kuadrat : y = a (x x). (x x) y = x (x + x ) + x. x c atau : a = x.x ; b = a(x + x) ; c = y. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan -5. y = (x ). (x (-5)) = (x ). (x + 5) = x + 5x x 0 y = x + x 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya y = x ( + )x +. dan y = x x + atau y = x x + 6. Tentukan persamaan kuadrat dari grafik di bawah ini y 8 x =, x =, c = 8 x c 8 a = = = x. x. b = a(x + x ) = ( + ) = 6 c = 8 Persamaan : y = x 6x + 8 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

20 . Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (, 0) dan titik (, 0) dengan titik baliknya (, )! y = a (x x ). (x x )? y =, x =, x = dan x = = a ( ). ( )? = -a? a = y = (x ). (x ) = (x x x + 8) = (x 6x + 8) y = x x + 5. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (, ) dan melalui titik (, 5). x =, y = 5, p =, dan q = y = a(x p) + q 5 = a( ) + 5 = a() + a = 5 a = = y = (x ) + y = x x + + y = x x + 5 Atau dengan cara : ( x p) ( ) a = = = = y q 5 b =.a.p =.().() = c = a.p + q =.() + = 5 Persamaan : y = x x + 5 Soal latihan :. Tentukan titik potong grafik fungsi dibawah ini dengan sumbu x a. y = x x 8 b. y = -x + 5x Tentukan titik balik dari kurva dibawah ini : a. y = -x 6x 8 b. y = x x.. Periksa kurva dibawah ini apakah memotong, menyentuh atau tidak memotong sumbu x a. y = x + x + b. y = 9 x.. Tentukan nilai maksimum/minimum dan gambarkan grafiknya dari persamaan : a. y = -x + x + b. y = x 5x Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik (0, 6) dan titik baliknya (, -)!. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

21 EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Persamaan kuadrat y = x x + memotong sumbu y dititik a. (0, -) b. (-, 0) c. (0, ) d. (, 0) e. (0, 0). Diskriminan dari persamaan y = x 5x + 6 adalah. a. -6 b. -5 c. - d. - e.. Persamaan parabola y = 6x x grafiknya. a. menyentuh sumbu x c. memotong sumbu x e. sejajar sumbu x b. difinet negatif d. definet positif. Persamaan parabola y = x 9 grafiknya. a. menyentuh sumbu x c. definet positif e. sejajar sumbu x b. memotong sumbu x d. definet negatif 5. Nilai maksimum dari persamaan parabola y = x x adalah. a. 0 b. 8 c. 6 d. e. 6. Persamaan kuadrat yang kurvanya memotong sumbu x di titik (-, 0) dan (, 0) adalah. a. y = x x 6 c. y = x 5x 6 e. y = x x + 6 b. y = x + x 6 d. y = x + 5x 6 7. Grafik fungsi y = x x 6 adalah... a. d. y y 0 x 6 0 y x b. e. 6 6 y 0 x c. 0 x y x 8. Persamaan parabola : y = x + x 0 memotong sumbu x dititik. a. (-5, 0) dan (, 0) c. (-, 0) dan (5, 0) e. (, 0) dan (5, 0) b. (-5, 0) dan (-, 0) d. (-, 0) dan (-5, 0) 9. Persamaan kuadrat : y = -x + 8x titik baliknya adalah. a. (8, 6) b. (8, 6) c. (, 6) d. (, ) e. (, 6) 0. Nilai minimum dari f(x) = x x adalah. a. b. c. 0 d. e. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

22 B. Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar!. Persamaan garis yang melalui titik (, ) dan (, 5) adalah :.. Persamaan garis yang melalui titik (-, ) dan m = adalah... Persamaan kuadrat : y = x x 6 memotong sumbu x dititik :.. Titik balik dari kurva : y = -x + x 5 adalah :. 8.. Menerapkan Konsep Fungsi Eksponen 8.. Apply the Concept of Exponent Function. Indikator :. Fungsi eksponen digambar grafiknya.. Fungsi eksponen ditentukan persamaannya, jika diketahui grafiknya. Tujuan : Siswa dapat :. Menggambar grafik fungsi eksponen. Menentukan persamaan fungsi eksponen jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi eksponen. Uraian Materi : Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang variabelnya mepupakan pangkat dari suatu bilangan tetap. Bentuk sederhana dari fungsi eksponen dengan bilangan dasar a adalah : y = f (x) = a x, a >0, a 0 atau y = f (x) = a x, a 0. Grafik fungsi eksponen. Exponent function graph Bentuk umum grafik fungsi eksponen adalah : y y = a x, a > y y = a x, a > (0, ) (0, ) x 0 0 x Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

23 Gambarlah fungsi eksponen :. y = x. y = x y... ¼ ½... Y y x x y... ½ ¼ x x Soal latihan : Gambarlah fungsi eksponen di bawah ini.. y = x. y =. y = x. y = x + x. Persamaan e ksponen. Exponent Equation Sifat-sifat : a f (x) = a g (x) f (x) = g (x) a f (x) = b f (x) f (x) = 0 f (x) g (x) = f (x) h (x) g (x) = h (x) jika f (x) 0 ; f (x) a px + q = b rx + s x = ap br b log a a(p x ) + b(p x ) + c = 0 x + x = s q p log c a. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : x = x x = 7 x = ( ) x x = x + 9 x = x + 9 x + x = 9 + 5x = 0 x = 7 x Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

24 . Tentukan nilai x yang memenuhi dari : x + = 6 x x + = 6 x + x + = 6 ( ) x + x + = ( ) x + x + = x + x + = x + x x = x =. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : x 9 x = 7 9 x = 7 x = ( ) x x ( x x x = = x ( x) = x 8x = x 8x + x = 5x = 5 5 X = = 5 ). Tentukan nilai x + x dari : ( x ) + x = 7. ( x ) + = 7 x ( x 8 ) 7 + x = 0 (kalikan dengan x ) ( x ) 7 ( x ) + 8 = 0 misal y = x y 7y + 8 = 0 (y ) (y 8) = 0 y = 0 y = y 8 = 0 y = 8 x = x = x = x = 8 x = x = x = x = x + x = + = atau dengan menggunakan rumus : ( x ) 7 ( x ) + 8 = 0 p = ; a = ; c = 8 8 x + x = log = log = Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

25 Soal latihan : x + x -. Tentukan nilai x yang memenuhi = 5 5. Nilai x dari persamaan () x + 0 = adalah.. Nilai x dari x = 7 x + adalah.. 7 Tentukan nilai x dari persamaan + = x 8 x x. Nilai x yang memenuhi dari : = 6 adalah. 5. Nilai x yang memenuhi = x - adalah Menerapkan Konsep Fungsi Logaritma 8.5. Apply the Concept of Logarithm Function Indikator :. Fungsi logaritma dideskripsikan sesuai dengan ketentuan. Fungsi logaritma diuraikan sifat-sifatnya. Fungsi logaritma digambar grafiknya Tujuan : Siswa dapat :. Menggambar grafik fungsi logaritma. Menentukan persamaan fungsi logaritma jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya. Menjabarkan sifat-sifat dari fungsi logaritma. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi loaritma Uraian Materi : Bentuk umum dari fungsi logaritma adalah : y = a log x ; jika a > dan y = a log x ; 0 < a <. Grafik fungsi logaritma. Logarithm fungsi graph y y = a log x ; untuk a > y y = a log x ; untuk 0 < a < x x Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

26 . Buatlah gambar grafik fungsi logaritma : log x. X... /8 ¼ ½... Y y 0 ½ x. Persamaan Logaritma. Logarithm Equation Sifat-sifat : a log f (x) = b f (x) = a b a log f (x) = a log b f (x) = b a log f (x) = a log g (x) f (x) = g (x) a log f (x) = b log f (x) ; a b f (x) = f (x) log g (x) = f (x) log h (x) g (x) = h (x) ; f (x) > 0, g (x) > 0, h (x) > 0 dan f (x). Tentukan nilai x yang memenuhi dari : log (x ) = log (x ) = log log (x ) = log 8 x = 8 x = 8 + x = 9 x =. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : log x + log (x ) = log x + log (x ) = log log x (x ) = log 9 x x = 9 x x 9 = 0 (x ) (x ) = 0 x = 0 x = / x = 0 x = HP : {, } Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

27 . Tentukan nilai x yang memenuhi dari : log (x + ) = log (x + ). log (x + ) = log (x + ) f (x) = x + = x = x = x =. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : log x + log (x ) = log x + log (x + ) = log x(x + ) = log 0 log x + x = log 0 x + x = 0 x + x 0 = 0 (x + 5) (x ) = 0 x + 5 = 0 x = 5 x = 0 x = HP { 5, } Soal latihan :. Himpunan penyelesaian dari : log (x + 8) = log (x + 5) adalah :.... Himpunan penyelesaian dari : log (x + x + 7) = log (x + 7) adalah Tentukan nilai x yang menenuhi dari : log (x + x ) = log (x + ).... Nilai x yang memenuhi persamaan : x log (x ) = adalah Tentukan nilai x yang memenuhi dari x log 5x =... Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

28 8.6. Menerapkan Konsep Fungsi Trigonometri 8.6. Apply the Concept of Trigonometric Function Indikator :. Fungsi trigonometri dideskripsikan sesuai dengan ketentuan. Fungsi trigonometri digambar grafiknya Tujuan : Siswa dapat :. Menggambar grafik fungsi trigonometri. Menentukan persamaan fungsi trigonometri jika diketahui grafik atau unsur-unsur lainnya. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan fungsi trigonometri a. Grafik y = sin x (0 o x 60 o ) Dengan me nggunakan tabel : x 0 o 0 o 5 o 60 o 90 o 0 o 5 o 50 o 80 o y 0 0 x 80 o 0 o 5 o 0 o 70 o 00 o 5 o 0 o 60 o y Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0 o 60 o = keliling lingkaran = πr. y 90o 60 o 5 o 0 o 0 o 0 o 5 o 0 o 70 o 00 o 5 o 0 o 60 o 0 o 0 o 5 o 60 o 90 o 0 o 5 o 50 o 80 o x b. Grafik y = cos x (0 o x 60 o ) Dengan menggunakan tabel : x 0 o 0 o 5 o 60 o 90 o 0 o 5 o 50 o 80 o y x 80 o 0 o 5 o 0 o 70 o 00 o 5 o 0 o 60 o y Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

29 Untuk membuat grafik fungsi trigonometri, buat salib sumbu x dan y, dengan sumbu x sebagai tempat sudut. Jarak 0 o 60 o = keliling lingkaran = πr. y 90o 60 o 5 o 0 o 0 o 0 o 5 o 50 o 80 o 0 o 5 o 0 o 70 o 0 o 0 o 5 o 60 o 90 o 00 o 5 o 0 o 60 o x c. Grafik y = tg x (0 o x 60 o ) y 0 o 0 o 5 o 60 o 0 o 5 o 50 o 80 o 00 o 5 o 0 o 60 o 90 o 0 o 5 o 0 o 70 o x Soal latihan :. Tentukan nilai x yang memenuhi unuk 0 o x 60 o a. y = sin x b. y = cos (x + 0 o ) c. y = sin (x 0 o ) d. y = sin ( 5 x + 5 o ) e. y = cos ( x 5 o ). Gambarlah grafik fungsi trigonometri berikut ini a. y = sin x b. y = cos x c. y = cos x d. y = cos (x + 60 o ) e. y = sin (x 0 o ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

30 A. Pilihlah jawaban yang benar. EVALUASI x. Himpunan penyelesaian persamaan : () = untuk x R adalah. 8 6 a. 0 b. c. d. e.. Bukan bilangan asli n yang memenuhi : n + n + = 6 adalah. a. 6 dan b. c. 6 dan d. e. 0. Nilai x yang memenuhi persamaan : x log (x ) = adalah. a. b. c. d. e. 5 x + x x. Nilai x yang memenuhi = 8 adalah a. b. c. d. e Jika x + y = 8 dan log (x + y) = / log. 8 log 6, maka x + y adalah. a. 8 b. c. 0 d. 6 e. + x 6. Himpunan Penyelesaian dari : = 7 adalah. 5 9 a. b. c. d. e. 7. Akar-akar persamaan log (x 7x + ) = adalah x dan x. Nilai x. x =. a. 6 b. 0 c. 0 d. e. 6 x x + 8. Himpunan penyelesaian persamaan : = 7 untuk x R adalah a. b. c. d. e Nilai maksimum dari fungsi y = sin (x 0 o ) adalah. a. b. c. 0 d. e. 0. Periode dari fungsi y = cos x adalah. a. 70 o b. 60 o c. 80 o d. 90 o e. 5 o B. Jawablah peranyaan di bawah ini.. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : a. x x 5 = b. 8 = 6x x 5.. Tentukan nilai x yang memenuhi dari : a. 5 log (x + x 5) = log (x + x 5) b. log (x + x ) =.. Tentukan nilai maksimum dan periode dari fungsi y = sin x. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

31 ULANGAN HARIAN A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Fungsi f (x) : x mempunyai domain {,,,, 5}. Daerah hasil dari fungsi tersebut adalah. a. {,, 5, 7, 9} c. {,,, 5, 7} e. {, 5, 7, 9, } b. {0,,,, 6} d. {0,,, 6, 8}. Suatu fungsi dirumuskan dengan f (x) = x +. Jika D = {- x, x B} maka himpunan penyelesaian dari R nya adalah. a. {-, -,, } c. {-,, 5, 8} e. {,, 5, 9} b. {-,,, 5} d. {,, 5, 8}. Gradien garis lurus yang melalui titik (, ) dan (, 7) adalah. a. - b. - c. d. e.. Persamaan garis yang melalui titik (, ) dan gradien m = 5 adalah. a. y = 5x b. y = 5x 9 c. y = 5x d. y = 5x + 9 e. y = 5x + 5. Persamaan garis yang melalui titik (, -) dan sejajar dengan garis x + y = adalah. a. y = -x + b. y = -x c. y = x + d. y = x e. y = x 6 6. Persamaan garis yang melalui titik (, ) dan titik (, ) adalah. a. y = x c. y = x + e. x + y 7 = 0 b. y = x d. x + y + 7 = 0 7. Grafik di bawah ini merupakan grafik fungsi y = x + adalah. a. y c. y e. y x x -½ x b. y d. y x - x 8. Persamaan garis yang melalui titik (-, ) dan tegak lurus garis y = x + adalah. a. x y + 0 = 0 c. x + y 0 = 0 e. y = x + 0 b. x + y + 0 = 0 d. y = x 0 9. Persamaan garis yang melalui titik (, -) dan (, ) mempunyai gradien. a. m = - b. c. d. e. 0. Persamaan parabola y = x + x 6 memotong sumbu x di titik. a. (, 0) dan (, 0) c. (-, 0) dan (, 0) e. (, 0) dan (-, 0) b. (-, 0) dan (-, 0) d. (, ) dan (0, 0). Persamaan parabola y = x 5x + mempunyai sumbu simetri di titik. a. 5 b. c. d. e. -5 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

32 . Titik balik dari kurva y = -x + x adalah. a. (, ) b. (-, ) c. (, -) d. (, -) e. (-, ). Persamaan parabola y = 9 x gambar grafiknya adalah. a. y c. y e. y - 0 x 9 0 x 0 9 x b. y d. y 0 9 x - 0 x. Persamaan kuadrat yang grafiknya seperti gambar di bawah adalah. a. y = x x + y b. y = x x c. y = x + x + d. y = x + x - 0 x e. y = -x + x Persamaan kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (, 0) dan (5, 0), adalah. a. y = x + 6x + 5 c. y = x 6x + 5 e. y = x 6x 5 b. y = -x + 6x + 5 d. y = -x 6x 5 B. Jawablah pertanyaan soal di bawah ini dengan benar!. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (, ) dan (, -).. Tentukan persamaan garis yang emlalui titik (, 5) dan sejajar garis y = x Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( -, ) dan tegak lurus garis 6x y = 8. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

33 KOMPETENSI 9 BARISAN DAN DERET ROWS AND SERIES Standar Kompetensi : 9. Mengaplikasikan konsep barisan dan deret Kompetensi Dasar : 9.. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan 9.. Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika 9.. Menerapkan konsep barisan dan deret geometri Alokasi Waktu : jam pelajaran Dilaksanakan pada : Minggu ke 6 s.d. 9 Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar notasi sigma, induksi matema tika serta barisan dan deret pada penyelesaian permasalahan baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari. 9.. Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan 9.. Identify patterns, lines and series numbers Indikator :. Pola bilangan, barisan, dan deret diidentifikasi berdasarkan ciri-cirinya. Notasi Sigma digunakan untuk menyederhanakan suatu deret Tujuan : Siswa dapat :. Menunjukkan pola bilangan dari suatu barisan dan deret. Membedakan pola bilangan, barisan, dan deret. Menuliskan suatu deret dengan Notasi Sigma Uraian Materi :. Menyatakan bentuk penjumlahan dengan notasi sigma. Expressing quantifying form with notations of sigma Dalam penulisan barisan bilangan sering dijumpai bentuk penjumlahan sebagai berikut ; Penulisan tersebut kurang praktis dan tidak efisien. Bentuk penjumlahan dapat dinyatakan dengan tanda "? " (sigma) n Misal : a + a + a + a + + a n, ditulis ai dibaca sigma ai, i dari sampai n. i = n Jika ditulis : a k k = m k = penunjuk yang berjalan dari m sampai n ; m = batas bawah ; n = batas atas. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

34 . Nyata kan dalam bentuk penjumlahan! 6 a. k k = 6 k = (. ) + (. ) + (. ) + (. ) + (. 5) + (. 6) = k = = 5 b. (m + ) m = 5 (m + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + (5 + ) m = = = 8 c. ( + i) i = ( + i) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) i = = = 86. Nyatakan dengan notas i sigma a Beda = = ; = (.0 + ) + (. + ) + (. + ) + (. + ) + (. + ) maka notasi sigmanya : (i + ) i = 0 b Dari barisan bilangan dapat dilihat bentuknya adalah pangkat, angka pertama dan angka terakhir = = m m = Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

35 c Bentuknya pecahan dengan penyebut bedanya = = n = n. Sifat-sifat notasi sigma. Nature sigma notation n. a k = a + a + a + + a n k = n. c ak = c a k = m n n k k = m. (a k + bk ) = a k + b k = m n n k = m. a = k + (a k p) k = m + p k = m n 5. c = (n m + ) c k = m n p n k k = m. Buktikan : (k + k) = k + k = k = k = k = k = k = k = k (k + k) = (. +. ) + (. +. ) + (. +. ) + (. +. ) = = 50 k = = = 0 k = = = 0 k + k = = 50 (terbukti) k = Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

36 7. Buktikan : k = k + 6 Bukti : Ruas kiri : k = 7 k = 7 k = k = k = k = 7 - k = - (k + ) k + 6 = (k + 6k + 9) = k + 6 k + k = k = = k + 6 k +. 9 k = k = k = k + 6 k + 6 (terbukti) k = k = 9 k = k = Soal latihan :. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan 5 a. 5k k = b. (n + ) c. (m n =. Nyataka n dalam bentuk notasi sigma a b. / + /5 + /7 + /9 + 5/ + 6/ 0. Buktikan : k = k + 8 k + 96 k = 5 6 k = 6 k = 6 m = ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

37 9.. Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Aritmatika 9.. Apply the Concept of Rows and Series Arithmetic Indikator :. Nilai suku ke-n suatu barisan aritmatika ditentukan menggunakan rumus. Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus Tujuan : Siswa dapat :. Menjelaskan barisan dan deret aritmatika. Menentukan suku ke n suatu barisan aritmatika. Menentukan jumlah n suku suatu deret aritmatika. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret aritmatika Uraian Materi :. Barisan Aritmetika. Arithmetic Rows Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan beda antara dua suku yang berurutan tetap. Bentuk umum barisan aritmetika : U, U, U, U, U n atau : a, (a + b), (a + b), (a + b),, {a + (n ) b} Rumus Suku ke n : Un = a + (n ). b dimana: a = U = suku pertama b = beda = U U atau U U atau U U atau U n U n - U n = suku ke-n n = banyaknya suku. Dari barisan aritmetika :, 7,, 5, 9,, 55. Tentukan : a. beda (b) b. U 5 c. n Penyelesaian : a. b = U U = 7 = b. U n = a + (n ) b U 5 = + (5 ). = + 96 = 99 c. Un = a + (n ) b 55 = + (n ). 55 = + n n = n = =. Dari barisan aritmetika suku ke -6 adalah 5, suku ke adalah 50 Tentukan : a. beda b. a c. U 9 Penyelesaian : U U a. b = = = 6 5 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

38 b. U 6 = a + 5 b? a = U 6 5 b = 5 5. a = 5 5 = 0 c. U9 = a + (9 ) b = = = 7 atau bisa juga tidak dihitung dari a tetapi dari suku yang terdekat dengan suku ke -9. c. U 9 = U + (9 ). b = = 50 + = 7. Dari barisan aritmetika, suku ke-9 adalah 5 dan jumlah suku ke - dan suku ke-0 adalah 50. Tentukan : a. b b. a c. U 6 Penyelesaian : a. U 9 = 5? a + 8b = 5 U + U0 = 5? a + b + a + 9b = 50? a + b = 50 a + 8b = 5.? a + 6b = 70 a + b = 50.? a + b = 50-5b = 0 b = a = 5 8. = 5 a = b. U6 = a + (6 ). b = + 5. = + 0 =. Dari barisan aritmetika :, 7, 0,, 6, 9,, Tentukan : a. rumus suku ke-n b. U 5 Penyelesaian : a. b = 7 = U n = a + (n ) b = + (n ). U n = + n U n = n + b. U 5 = a + (5 ). b = +. = + = 6 Soal latihan :. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmetika berikut : a. 5, 7, 9,,, 5, b. 6,, 0, 7,, c. -5, -,, 7,,. Dari barisan aritmetika :, 6,, 6,,, 76 Tentukan : a. b b. n c. U 60. Dari barisan aritmetika, suku ke-7 adalah 5 dan suku ke-6 adalah 5. Tentukan : a. b b. U c. U 0 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

39 . Deret Aritmetika. Arithmetic Series Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Bentuk umum Deret Aritmetika : U + U + U + U + +Un = Sn Jumlah n suku pertama : n Sn = ( a + Un ) atau n Sn =. { a + ( n - ). b }. Tentukan jumlah dari deret aritmetika : a = ; b = 6 = ; Un = 7? n dicari dulu Un = a + (n ). b 7 = + (n ). 7 = + n n = 7? n = Sn = n ( a + Un) atau : Sn = n {a + (n ). b} S = ( + 7) S = {. + ( ). } =. 75 = (6 + 69) =. 75 S 5 = 900 S 5 = 900. Deret aritmetika suku ke-6 = 8 dan suku ke-5 = 5. Tentukan jumlah 5 suku pertama U 6 = 8 ; U 5 = 5 ; n = 5? b dan a dicari dulu. U5 U b = = = = a = U 6 5. b = 8 5. = 8 0 = - Sn = n {a + (n ). b} 5 S 5 = {. (-) + (5 ). } 5 5 = (- + 96) =. 9 S 5 = 50. Tentukan jumlah seluruh angka yang terdiri dari dua angka dan habis dibagi dengan DA : banyaknya angka yang habis dibagi ada 0 angka a = ; b = ; n = 0 ; Un = 99 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

40 Sn = n ( a + Un) S0 = 0 ( + 99) = 5. = 85. Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian. Potongan terpendek 8 cm dan potongan terpanjang 8 cm seperti halnya deret aritmetika. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong. a = 8 ; U 6 = 8 ; n = 6 Sn = n ( a + Un) S 6 = 6 (8 + 8) =. 76 = 58 cm 5. Diketahui deret aritmetika, rumus jumlah n suku pertama adalah S n = n + n. Tentukan nilai dari suku ke 0. Penyelesaian : S 0 = S 9 + U 0 S 0 = = = 0 S 9 = = = 99 U 0 = S 0 S 9 = 0 99 = 6. Diketahui deret aritmetika, jumlah 8 suku pertama adalah 6 dan jumlah suku pertama adalah. Tentukan : a. beda b. suku pertama c. suku ke- Penyelesaian : Sn = n {a + (n ) b} S = {a + ( ) b} = (a + b) a + 6b = () S 8 = 8 {a + (8 ) b} 6 = (a + 7b) 8a + 8b = 6 () Eliminasikan persamaan dan 8a + 8b = 6. 8a + 8b = 6 a + 6. = a + 6b =. 8a + b = 68 a = 8 6b = 8 a = 6 b = a = Un = a + (n ) b U = + ( ). = + = 7 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

41 Soal Latihan :. Diketahui barisan aritmetika suku ke- = dan suku ke -8 = 9. Tentukan : a. suku ke -5 b. jumlah 5 suku pertama. Diketahui barisan aritmetika, a =, U = 8. Tentukan : a. beda b. jumlah suku pertama. Amir pada bulan pertama menabung sebesar Rp50.000,-. Pada bulan berikutnya Amir selalu menambah tabungannya sebesar Rp5.000,- dari bulan sebelumnya. Setelah tiga tahun menabung, berapa banyaknya uang Amir ditabungan.. EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. 8 Nilai dari k (k ) =. k = a. 90 b. 980 c. 00 d. 0 e. 0. Nyatakan dengan notasi sigma : =. a ( n + ) c. n = ( 5n ) e. 0 n = ( n + ) n = b. 7 9 ( 5n ) d. n = ( 5n ) 0 n =. Empat buah suku pertama dari barisan bilangan dengan rumus : Un = n + n adalah. a.,, 8, b., 5, 7, c., 6, 0, d., 6,, 0 e., 8, 6,. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika : 5, 8,,, 7,... adalah. a. Un = 8n c. Un = n + 5 e. Un = n + b. Un = 5n + d. Un = n + 5. Diketahui barisan aritmetika :, 5, 7, 9,. Suku ke-0 adalah. a. 8 b. c. d. 7 e Diketahui deret aritmetika, suku ke-5 = dan suku ke-9 = 9. Suku pertamanya adalah. a. b. - c. -9 d. - e Jumlah semua bilangan asli antara 0 sampai 00 yang habis dibagi adalah. a. 00 b. 000 c. 88 d. 78 e Jumlah 0 suku pertama dari deret aritmetika dengan rumus Un = n + 5 adalah. a. 80 b. 70 c. 60 d. 50 e Diketahui deret aritmetika, suku ke- = 8 dan suku ke-9 = 6. Jumlah suku pertama adalah. a. 5 b. c. 0 d. 6 e Jumlah dari deret : =. a. 950 b. 95 c. 90 d. 95 e. 900 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

42 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! 8. Tentukan nilai dari : (n + n) n =. Tentukan rumus barisan bilangan dari :,, 7, 8,.. Diketahui barisan aritmetika, suku ke - = 6 dan suku ke-0 = 6. Tentukan nilai dari suku ke-5.. Tentukan jumlah semua bilangan asli yang terdiri dari dua angka yang habis dibagi dengan Diketahui deret aritmetika. Jika rumus jumlah n suku perama Sn = n + 5 n, hitung nilai dari suku ke-. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

43 9.. Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri 9.. Apply Concept Rows and Series Geometric Indikator :. Nilai suku ke-n suatu barisan geometri ditentukan menggunakan rumus. Jumlah n suku suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus. Jumlah suku tak hingga suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus Tujuan : Siswa dapat :. Menjelaskan barisan dan deret geometri. Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri. Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri. Menjelaskan deret geometri tak hingga 5. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan deret geometri Uraian Materi :. Barisan Geometri. Geometric Rows Barisan geometri adalah barisan bilangan yang rasio antara dua bilangan yang berurutan tetap. Barisan Geometri : U, U, U, U, U n Suku ke n : Un = a. r n Dimana : U = a = suku pertama Un = suku yang ke-n U U r = rasio = = = U U U r = n Un U U U =... = U n n -. Diketahui barisan geometri :, 8, 6,. Tentukan : a. rasio (r) b. U 6 a. U = dan U = 8 U r = 8 = = U b. U 6 = a. r 6 =. 5 =. = 8 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

44 . Diketahui barisan geometri, suku ke- = 6 dan suku ke-5 = 5. Tentukan : a. rasio b. suku pertama c. suku ke-8 a. r 5 U = 5 U r 5 = = 9 r = 6 b. U = a. r U a = 6 6 = = r 9 a = c. U 8 = U 5. r 8 5 U 8 = 5. = 5. 7 = 58. Diketahui rumus barisan geometri : Un =. () n. Tentukan barisan bilangannya. Un =. () n U =. () = 6 U =. () =. 9 = 8 U =. () =. 7 = 5 U =. () =. 8 = 6. Maka barisan bilangannya adalah : 6, 8, 5, 6, Soal latihan :. Tentukan rasio, dan suku ke-8 dari barisan geometri :, 8, 6,,. Diketahui barisan geometri :,, 6, 6, 56,. Tentukan rumus ke-n dan suku ke-8.. Diketahui barisan geometri, suku ke - = dan suku ke-8 = 6. Tentukan rasio dan suku pertamanya. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

45 . Deret Geometri. Geometric Series Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk dari Deret Geometri : U + U + U + U + +U n = Sn Jumlah n suku pertama : a. ( r n -) Sn = r - a. ( - r n ) Sn = - r r dan r > r dan r <. Diketahui deret geometri : Tentukan : a. rasio b. suku ke -6 c. Jumlah 6 suku pertama a. r = U 0 = = 5 b. U 6 = a. r 6 =. 5 =. 5 = a. (r ) c. S 6 = = (r ). (565 ) = = 78 6.(5 ) (5 ) 8 =. Hitung jumlah deret geometri : rasio r = 6 = ; a = Un = 9 Un = a. r n. n = 9 n = 6 n = 6 n = 6 n = 7 atau dengan membuat barisan geometri secara utuh : n = a (r ) ( ) S 7 = = (r ) ( ) (8 ) = =. 7 = 8 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm.

46 . Deret Geometri tak terhingga. Infinite Geometric Series Deret geometri : a + a. r + a. r + a. r + + a. r n disebut deret geometri tak terhingga jika r < atau {- < r < }, r 0. Jumlah deret geometri sampai suku tak terhinga : S = a r. Jumlah deret tak terhingga dari : =. rasio r = a S = r = = =. Tentukan jumlah deret tak terhingga dari : rasio r = 6 = S = a r = 6 8 = = 9 = 6. Bola dijatuhkan dari ketinggian meter ke lantai. Setelah jatuh ke lantai bola emmantul kembali ke atas dengan ketinggian dari ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola sampai bola tersebut berhenti. Setelah bola dijatuhkan ke lantai dan memantul kembali ke atas, maka masing-masing ketinggian mempunyai dua lintasan, sehingga panjang lintasan bola sampai berhenti rumusnya harus dikalikan dengan dan dikurangi ketinggian pertama (karena ketinggian pertama hanya ada satu lintasan). a S =. r a =. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

47 =. =. = = 0 meter Soal Latihan :. Tentukan jumlah dari deret geometri : Diketahui deret geometri, suku ke- = dan suku ke- = 6. tentukan jumlah 6 suku pertama.. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian. Bagian yang terpendek panjangnya 6 cm dan bagian yang terpanjang panjangnya 9 seperti halnya deret geometri. Tentukan panjang tali sebelum dipotong-potong.. Tentukan jumlah deret tak terhingga : Suku pertama dari deret geometri tak terhingga adalah 8. Jika jumlah tak terhingganya, tentukan rasionya. EVALUASI 5 A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Rasio untuk deret geometri : adalah. a. b. c. d. e. 8. Suku ke- dari barisan : 5, 50, 00, adalah. a. 500 b. 500 c d e Rumus suku ke-n barisan geometri :,, 6, 08, adalah. a. Un =.() n + c. Un =.() n e. Un =.() n b. Un =.() n d. Un =.() n. Suku pertama dari barisan geometri 7 dan suku ke-5 =, maka suku ke -8 adalah. a. 9 b. 8 c. 7 d. 5 e. 8 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

48 5. Jumlah deret geometri : adalah. a. 7 b. 6 c. 0 d. 9 e. 6. Diketahui deret geometri : n = 50. Nilai n pada deret tersebut adalah. a. 0 b. 9 c. 8 d. 7 e Jumlah deret tak terhingga : adalah. a. b. 8 c. 8. Jumlah deret tak terhingga yang suku pertamanya 9 dan rasionya adalah. a. 6 b. 7 c. 8 d. 6 d. e. e. 9. Diketahui barisan geometri, suku ke- = dan suku ke-6 = 9. Rasio dari barisan tersebut adalah. a. b. c. d. 5 e Lampu hias taman berbentuk lingkaran yang terdiri dari 6 lingkaran. Pada lingkaran paling dalam jumlah lampunya dan pada lingkaran paling luar jumlah lampunya 96 seperti halnya deret geometri. Jumlah seluruh lampu hias tersebut adalah. a. 50 b. 59 c. 6 d. 75 e. 8 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar. Diketahui barisan geometri, U n = dan U n + = 96. Tentukan nilai dari U n +. Hitung jumlah deret geometri : Diketahui deret geometri, suku ke -5 = 5 dan suku ke -7 = 5. Tentukan rasionya.. Hitung jumlah deret tak terhingga : Bola dijatuhkan dari ketinggian 6 meter. Setiap menyentuh tanah memantul kembali dengan ketinggian dari ketinggian sebelumnya. Berapa panjang lintasan bola sampai bola tersebut berhenti. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

49 ULANGAN HARIAN A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Suku ke-5 dari barisan aritmetika :, 5, 7, 9, adalah. a. 7 b. 9 c. d. e. 5. Diketahui deret aritmetika, suku pertama sama dengan dan bedanya. Jika jumlah n suku pertama 80, maka banyaknya suku n adalah. a. 6 b. 9 c. d. 5 e. 8. Diketahui barisan aritmetika, U = 5, U + U 6 = 8. Nilai suku ke-9 adalah. a. 8 b. 7 c. 6 d. 5 e.. Amir pada bulan pertama menabung uangnya di bank sebesar Rp50.000,-. Jika tiap bulan uang yang ditabung Amir ditambah Rp0.000,- dari bulan sebelumnya, maka uang yang ditabung Amir pada bulan ke- adalah. a. Rp80.000,- c. Rp50.000,- e. Rp0.000,- b. Rp60.000,- d. Rp0.000,- 5. Jumlah seluruh bilangan dari sampai 00 yang habis dibagi adalah. a..6 b..7 c..80 d..96 e Diketahui rumus suku ke-n dari deret aritmetika adalah Un = + n. Jumlah 0 suku pertama adalah. a. 70 b. 75 c. 80 d. 85 e Seutas kabel dipotong menjadi 8 bagian. Bagian yang terpendek 0 cm dan bagian yang terpanjang 05 cm seperti halnya deret aritmetika. Panjang kabel sebelum dipotongpotong adalah. a. m b.,6 m c.,6 m d. 5, m e. 5,6 m 8. Diketahui barisan geomatri :, 6,,. Nilai suku ke-7 adalah. a. 96 b. c. 68 d. 9 e Dari barisan geometri, suku ke - = 6 dan suku ke-7 = 8. Rasio dari barisan geometri tersebut adalah. a. b. c. d. 5 e Diketahui barisan geometri, suku ke- = 6 dan suku ke-5 = 6. Nilai dari suku ke-7 adalah. a. 68 b. 97 c..96 d..58 e..60. Jika dari suatu barisan geometri diketahui U n = dan U n + = 96, maka nilai U n + 5 =. a. 9 b. 56 c. 9 d. e. 8. Diketahui deret geometri : Jumlah 6 suku pertama adalah. a. 6 b. 8 c. 5 d. 56 e. 76. Diketahui deret geometri : = x. Nilai x adalah. a. 5 8 b. 5 6 c. 7 d Jumlah tak terhingga deret geometri : adalah. e. 5 6 a. b. c. d. 5 e Jumlah tak terhingga deret geometri dengan suku pertama dan rasio adalah. a. 6 b. 8 c. 6 d. e. 6 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

50 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar!. Dari barisan aritmetika diketahui, U = 6 dan U 7 + U 9 = 6. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut.. Diketahui deret aritmetika, suku ke-5 = dan suku ke-8 =. Tentukan nilai dari suku ke-0.. Hitung jumlah seluruh bilangan yang terdiri dari dua angka dan habis dibagi.. Diketahui barisan geometri, suku ke- = 8 dan suku ke-5 = 8. Tentukan nilai dari suku ke Tentukan jumlah 0 suku pertama dari deret geometri untuk Un =. n - Sebaik-baik manusia adalah yang bermanfaat buat orang lain The best man is for the benefit of others Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

51 KOMPETENSI 0 GEOMETRI DIMENSI DUA TWO DIMENSIONAL GEOMETRY Standar Kompetensi : 0. Menerapkan konsep geometri dimensi dua Kompetensi Dasar : 0.. Mengidentifikasi sudut 0.. Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar 0.. Menerapkan transformasi bangun datar Alokasi Waktu : 0 jam pelajaran Dilaksanakan : Minggu ke 0 s.d. Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar sudut dan bidang dalam menyelesaiakan permasalahan baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam ke hidupan sehari-hari. 0.. Mengidentifikasi sudut 0.. To Identify Angle Indikator :. Satuan sudut dalam derajat dikonversi kesatuan sudut dalam radian atau sebaliknya sesuai prosedur Tujuan : Siswa dapat :. Mengukur besar suatu sudut. Menentukan macam-macam satuan sudut. Mengkonversi satuan sudut Uraian Materi :. Satuan Sudut. Angle Unit Satuan sudut ada macam, yaitu derajat, radian dan gradian (gon) a. Derajat Besar sudut α disebut satu derajat ( o ), jika panjang busur lingkarannya sama dengan o 60 dari keliling lingkarannya. O α Jadi : o = o 60. π r, dengan π = =,59 7 Jika jari-jari r sama dengan satu satuan, maka besarnya o = o 60 π. π = o 80 = 0.07 rad Dari sistem satuan derajat dibagi lagi menjadi menit dan detik atau disebut sistem DMS (derajat, menit dan detik) dengan konversi : o = 60' (menit) ' = 60" (detik) atau o = 600" (detik) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 50

52 . Ubah satuan derajat desimal ke satuan DMS a. 0,75 o 0,75 o = 0,75. 60' = 5' (menit) 0,75 o = 0 o. 5'. 00" b. 5,65 o Jawab 0,65 o = 0,65. 60' = 7,5' = 7' + 0,5' 0,5' = 0,5. 60" = 0" 5,65 o = 5 o. 7'. 0". Ubah satuan DMS ke satuan derajat desimal a. 56 o. 6'. 5" 6 6' = = 0,6 o " = = 0,05 o o. 6'. 5" = ,6 + 0,05 = 56,65 o b. o. 8'. 8" 8 8' = = 0,8 o " = = 0,005 o 600 o. 8'. 8" = + 0,8 + 0,005 =,805 o. Sebuah segi tiga ABC, sudut A = 5 o. 7'. 8" dan sudut C = 8 o. 5'. 5". Tentukan besar sudut C. Besarnya sudut untuk segitiga = 80 o Sudut C = 80 o (5 o. 7'. 8" + 8 o. 5'. 5") = 80 o o. 0'. " = 66 o. 9'. 7" b. Radian Besar α disebut satu radian ditulis rad, jika panjang busur lingkarannya sama dengan jari-jari lingkaran. O α AOB = α = rad dengan AB = r Untuk panjang busur r sudut pusat = rad Untuk panjang busur π r sudut pusat = 60 o Terdapat hubungan : π rad = 60 o atau π rad = 80 o o 80 rad = π = 57, o Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

53 c. Gradian (gon) Besar α disebut satu gon dan ditulis g, jika panjang busur lingkarannya = 00 dari keliling lingkarannya. Jadi besar sudut pusat lingkaran = 00 g. Hubungan : 60 o = π rad = 00 g atau 80 o = π rad = 00 g o 00 = =, g atau g 80 = = 0,9 o rad = 00 (gon) atau g π = π 00 rad. Konversi Satuan Sudut. Conversion of the Angle a. Derajat ke radian dan atau sebaliknya Tabel Konversi satuan sudut derajat dengan radian Derajat Radian 0 π 6 π π π π π. Sudut 00 o jika dikonversikan ke satuan radian adalah : 00 o 00 5π =. π rad = rad 80 5π 6 π. 8π radian jika dikonversikan ke satuan deraja adalah : 5 8π 8 rad =. 80 o = 88 o 5 5 b. Derajat ke gradian (gon) dan atau sebaliknya keliling lingkaran = putaran = 60 o = 00 g atau 80 o = 00 g o 00 = x g =, g 80 g 80 = x o = 0,9 o 00 Conoh :. Sudut 0 o jika dikonversiakn ke sudut gon adalah. 70 o 00 = 70 x = 00 g 80 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

54 . 0 g jika dikonversikan ke satuan gon adalah. 0 g 80 = 0 x = 08 o 00 c. Radian ke gradian dan atau sebaliknya putaran = π rad = 00 gon atau π rad = 00 gon 00 rad = x g = 6,66 g π g π = x rad = 0,057 rad 00. Ubah π rad ke satuan sudut gradian 00 π rad = π x = 50 g π. Ubah 00 g ke satuan sudut radian 00 g π = 00 x = π rad 00 Soal latihan :. Ubah ke dalam satuan radian a. 65 o b. 50 g. Ubah ke dalam satuan derajat a. 5π rad 8 b. 00 g. Ubah ke dalam satuan gon a. 75 o b. π rad 5. Ubah ke dalam satuan DMS a. 7,5 o b. 75,75 o 5. Ubah ke dalam satuan derajat desimal a. 5 o. 5'. 7" b. 65 o. 0'. 09". Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

55 EVALAUSI 6 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar!. 5 o jika diubah ke satuan radian adalah. a. 5π π π 5π 7π b. c. d. e.. 7 o jika diubah ke satuan gon adalah. a. 6,8 g b. 75 g c. 80 g d. 86,67 g e. 90 g. 5π rad jika diubah ke satuan gon adalah. a. 0 g b. 70 g c. 00 g d. 6,67 g e., g. 5π rad jika diubah ke satuan derajat adalah. 8 a.,5 o b. 5 o c. 65 o d. 75,5 o e. 5 o g jika diubah ke satuan radian adalah. a. 5π π π 5π 7π b. c. d. e g jika diubah ke dalam satuan derajat adalah. a. 6 o b. 5 o c. 8 o d. 60 o e. 75 o 7. 5,785 o jika diubah ke dalam satuan DSM (derajat, menit, detik) adalah. a. 5 o.7'.06" b '.6" c. 5 o.7'.6" d. 5 o.7'.8" e. 5 o.8'.00" 8. 0 o.5'.09" jika diubah ke dalam satuan derajat desimal adalah. a. 0,75 o b. 0,75 o c. 0,75 o d. 0,755 o e. 0,75 o 9. Diketahui segitiga ABC, sudut B = 6 o. 8'. 6", sudut C = 76 o. 7'. 56". Besarnya sudut A adalah. a. 0 o. '. 8" c. o. '. 8" e. o. '. 9" b. 0 o. '. 9" d. o. '. 8" 0. Diketahui segiempat ABCD, sudut A = 85 o. 0'. 5", sudut B = 05 o. 8'. 50", dan sudut C = 78 o. 5'. 8". Besarnya sudut D adalah. a. 9 o. 6'. 07" c. 90 o. 6'. 07" e. 90 o. '. 07" b. 9 o. 5'. 07" d. 90 o. 5'. 07" B. Jawablah pertanyaan di bawah ini.. Ubah ke dalam satuan radian a. 0 o b. 50 g. Ubah ke dalam satuan DMS a. 5,5 o b. 67,785 o. Diketahui segitiga ABC, sudut A = o. 0'. 7", dan sudut C = 87 o. 8'. ". Tentukan besarnya sudut B. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 5

56 0.. Keliling Dan Luas Daerah 0.. Circle and Wide Area Indikator :. Suatu bangun datar dihitung kelilingnya. Daerah suatu bangun datar dihitung luasnya. Bangun datar tak beraturan dihitung luasnya Tujuan : Siswa dapat :. Menghitung keliling segi tiga, segi empat dan lingkaran. Menghitung luas segi tiga, segi empat dan lingkaran. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan keliling dan luas bangun datar. Menyelesaikan masalah pr ogram keahlian yang berkaitan dengan keliling dan luas bangun datar Uraian Materi :. Rumus keliling dan luas daerah. Formula circle and wide of area a. Segitiga (jumlah sudutnya 80 o ) Segitiga siku-siku L = ½. alat. tinggi b c L = ½. a. b Kel. = a + b + c a b t c t = a b t c Segitiga sama kaki L = ½. alas. tinggi L = ½. a. t (c) a ; b = c Segitiga sedmbarang dengan sudut diketahui L = ½. a. t t = b. sin α L = ½. a. b. sin α α a Segitiga sembarang dengan semua sisi diketahui L = s. (s a). (s b). (s c) b c Keliling = a + b + c s = ½. (a + b + c) a Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 55

57 Hukum Phytagoras untuk segitiga siku-siku : " Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya " Dari hukum Phytagoras tersebut ada beberapa perbandingan untuk segitiga siku-siku, yaitu ( : : 5) ; (5 : : ) ; (7 : : 5) ; (8 : 5 : 7) atau kelipatannya. b. Segiempat (jumlah sudutnya 60 o ). Persegi panjang p. Bujur sangkar a l L = panjang. lebar L = p. l Keliling =. (p + l) L = sisi. sisi L = a. a Keliling = a a. Jajaran genjang L = panjang alas. tinggi b t L = a. t? L = a. b. sin? a Keliling =. (a + b). Belah ketupat b L =. diagonal. diagonal a L = a. b 5. Trapesium c t jumlah sisi sejajar b L = x tinggi d L = (a + b). t a Keliling = a + b + c + d 6. Layang-layang b a L =. diagonal. diagonal L = a. b Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 56

58 c. Lingkaran L = x jari - jari x jari - jari 7 O r L =. r d. Ellips b a 7 Keliling lingkaran = L = π. a. b a = ½ sumbu panjang b = ½ sumbu pendek x x r 7 e. Segi n beraturan o n 80 n L =. a. ctg atau L =. r n Untuk segi enam beraturan r L =. a. atau L =. r. a a = r.sin 60 n o. Keliling dan luas daerah yang diarsir dari bidang datar. Circle and wide hatched area of flat Untuk menentukan keliling daerah yang diarsir adalah dengan menjumlahkan semua garis yang terkena arsiran. Untuk menentukan luas daerah yang diarsir adalah luas yang di luar dikurangi luas yang di dalam.. Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir pada gambar berikut cm 8 8 cm cm 0 cm cm Luas daerah yang diarsir = Luas Trapesium - Luas ½ lingkaran + L Trap. =. 0 = 9. 0 L Trap. =.80 cm L ½ ling = ½... r = 8/ = cm 7 =.77 cm L arsiran = = cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 57

59 Keliling daerah yang diarsir = jumlah semua garis yeng terkena arsiran. Sisi miring dapat dicari dengan perbandingan Phytagoras. Dari perbandingan 5 : : atau kelipatannya 50 : 0 : 0, maka sisi miring dari trapesium adalah 0 cm. Keliling daerah arsiran = ½. 8 7 = = 696 cm. Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir seperti terlihat pada gambar di bawah 8 cm 7 cm 5 cm Luas bujur persegi panjang = 8. 5 = 980 cm Luas lingkaran =.. = 66 cm 7 Luas daerah yang diarsir = = 6 cm Keliling lingkaran =. 8 = 88 cm 7 Keliling daerah yang diarsir = = 0 cm. Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir seperti terlihat pada gambar di bawah 7 cm Jari-jari lingkaran kecil r = 7 cm Jari-jari lingkaran besar R = cm Rumus luas lingkaran : L = π. r L = π. R π. r L = ( 7 ) 7 L =. (96 9) 7 L =. 7 7 L = 6 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 58

60 Keliling lingkaran besar =. 8 = 88 cm 7 Keliling lingkaran kecil =. = cm 7 Keliling daerah yang diarsir = 88 + = cm. Tentukan keliling daerah yang diarsir seperti pada gambar cm cm Rumus Keliling lingkaran = π. d panjang busur lingkaran yang berdiameter cm = 5 keliling lingkaran panjang busur lingkaran yang berdiameter 7 cm = keliling lingkaran 5 Keliling daerah yang diarsir = = 55 + = 77 cm Soal latihan :. Hitung luas segitiga ABC seperti terlihat pada gambar di bawah. C 8 cm 60 o A cm B. Hitung luas segitiga DEF seperti terlihat pada gambar berikut : F cm 0 cm D cm E. Hitung laus jaja ran genjang di bawah ini. D C cm 0 o A 9 cm B Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 59

61 EVALUASI 7 Pilihlah jawaban yang paling benar!. Keliling dari trapesium seperti terlihat pada gambar adalah. a. 9 cm b. cm c. cm d. 60 cm e. 90 cm. Luas segitiga sepe rti terlihat pada gambar adalah. a. cm b. 60 cm c. 7 cm d. 8 cm e. 96 cm cm 6 cm cm cm 0 cm 5 cm. Keliling daerah yang diarsir seperti gambar di bawah ini adalah. a. 7 cm 8 cm b. 86 cm c. 9 cm d. 96 cm cm e. 08 cm. Perhatikan gambar! Luas daerah yang diarsir adalah. A. 76,5 cm B. 80,5 cm C. 8,5 cm D. 87,5 cm E. 9,5 cm cm cm 5. Perhatikan gambar! Keliling daerah yang diarsir adalah. A. 6 cm B. 6 cm C. 7 cm D. 76 cm cm E. 8 cm 8 cm 6. Luas daerah yang diarsir seperti pada gambar adalah. a. 78 cm b. 66 cm c. 76 cm d. 08 cm e. 68 cm 8 cm 8 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 60

62 7. Keliling daerah yang diarsir seperti pada gambar adalah. a. cm b. cm c. 66 cm d. 87 cm cm e. 05,5 cm cm 8. Luas daerah yang diarsir dari gambar di bawah ini adalah... cm. a. 60 b. 96 c. 8 d cm e. 9 8 cm 9. Panjang besi beton yang diperlukan untuk membuat ring berdiameter cm, jika π = adalah. 7 a. 86 cm b. 9 cm c. cm d. 8 cm e. cm 0. Keliling daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah... cm. a. 77 b. 7 c. 66 d. cm e. cm B. Jawablah pertanyaan di bawah ini. Hitung luas segitiga ABC seperti terlihat pada gambar di bawah. C 6 cm 0 o A cm B. Tentukan luas dan keliling daerah yang diarsir dari gambar berikut 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

63 . Tentukan keliling daerah yang diarsir dari gambar di bawah ini..,5 cm cm 0.. Menerapkan Transformasi Geometri 0.. Apply Transformation Geometry Indikator :. Transformasi bangun datar didiskripsikan menurut jenisnya. Transformasi bangun datar digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program keahlian Tujuan : Siswa dapat :. Menjelaskan dan membedakan jenis-jenis transformasi bangun datar, yakni Translasi, Refleksi, Rotasi dan D ilatasi. Menggambar hasil transformasi bangun datar. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan transformasi bangun datar Uraian Maeri :. Jenis -Jenis Transformasi. Types of T ransformation a. Translasi (Pergeseran) Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang datar yang a jarak dan arahnya tertentu oleh translasi T =. b y P' (x', y') P (x, y)? P' (x + a, y + b) b P (x, y) a x -. Tentukan bayangan titik A (, ), B (-, ), dan C (5, -) oleh translasi T = A (, )? A' ( + ( -), + ) A' (, 6) B (-, ) B' (- + (-), + ) B' (-, 8) C (5, -) C' (5 + (-), - + ) C' (, ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

64 . Titik-titik P, Q, dan R dari segitiga PQR setelah ditranslasi T = bayangannya menjadi P' (, 6), Q' (, -), dan R' (-, 5). Tentuan koordinat tiik-titik P, Q, dan R. P' (, 6)? P (, 6 (-) P (-, 9) Q' (, -) Q (, - (-)) Q (-, ) R' (-, 5) R' (-, 5 (-)) R' (-7, 8). Bayangan titik-titik A (5, ), dan B (, -) oleh translasi T adalah A' dan B'. Jika A' (, 5), tentukan bayangan titik B' 5 A (5, ) A' (, 5), maka translasi T = = 5 B (, -) B' ( + (-), - + ) B' (0, ) b. Refleksi (Pencerminan) Refleksi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang datar dengan pencerminan yang menggunakan sifat dari cermin datar.. Pencerminan terhadap sumbu x y Perhatikan gambar di samping 0 P (x, y) P' =. P 0 x' 0 x =. x y' 0 y atau P (x, y) P' (x, y) P' (x, y) Tentukan banyangan titik A (, 5) yang dicerminkan terhadap sumbu x. A (, 5) A' (, 5). Pencerminan terhadap sumbu y y Perhaikan gambar di samping 0 P' =. P P (x, y) 0 x' 0 x =. y' 0 y P' ( x, y) x atau P (x, y) P' ( x, y) Tentukan bayangan titik B (, ) yang dicerminkan terhadap sumbu y B (, ) B' (, ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

65 . Pencerminan terhadap garis y = x 0 P' =. P 0 x' 0 x =. y' 0 y atau : P (x, y) P' (y, x) Tentukan bayangan titik C (, 7) yang diserminkan terhadap garis y = x C (, 7) C' (7, ). Pencerminan terhadap garis y = x 0 P' =. P 0 x' 0 x =. y' 0 y atau : P (x, y) P' ( y, x) Tentukan bayangan titik D (5, ) yang dicerminkan terhadap garis y = x D (5, ) D' ( 5, ) 5. Pencerminan terhadap garis x = a P (x, y) M. x = a P' (a x, y) Tentukan bayangan titik P (, ) jika dicerminkan terhadap garis x = P (, ) M. x = P' (., ) P' (, ) 6. Pencerminan terhadap garis y = b P (x, y) M. y = b P' (x, b y) Tentukan baynagna titik P (, -) jika dicerminkan terhadap garis y = P (, -) M. y = P' (,. (-)) P' (, 0) c. Rotasi (Perputaran) Rotasi adalah suatu tarnsformasi yang memindahkan setiap titik dengan cara memutar setiap ttiik tersebut denganm besar dan arah yang telah ditentukan. y Pada rotasi terhadap titik O (0, 0) sebesar? P' (x', y') dengan arah positif, maka titik P (x, y) menjadi titik P' (x', y') x' = x cos? y sin? y' = x sin? + y cos? P (x, y) x Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 6

66 . Rotasi sejauh 90 o 0, matriks transformasinya adalah : T = 0 x' 0 x =. y' 0 y. Rotasi sejauh 80 o 0, matriks transformasinya adalah : T = 0 x' 0 x =. y' 0 y. Rotasi sejauh 70 o 0, matriks transformasinya adalah ; T = 0 x' 0 x =. y' 0 y cosθ sin θ. Rotasi sejauh θ derajat, matriks transformasinya adalah : T = sin θ cosθ x' cosθ sin θ x =. y' sin θ cosθ y Untuk perputaran berlawanan arah jarum jam θ positif dan searah jarum jam θ negatif.. Titik A (, ) diputar 5 o searah jarum jam terhadap titik pusat O, tentukan bayangan titik A akibat rotasi.? = -5 o x' = x cos? y sin? =. cos (-5 o ) sin (-5 o ) =.. (- ) = + = y' = x sin? + y cos? =. sin (-5 o ) +. cos (-5 o ) =. ( - ) +. = - + = Jadi A' (, ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 65

67 . Titik P (, ) diputar 60 o berlawanan aran jarum jam terhadap titik pusat O. Tentukan bayangannya.? = 60 o x' = x cos? y sin? =. cos 60 o sin 60 o =. -. = y' = x sin? + y cos? =. sin 60 o +. cos 60 o =. +. = + Jadi P' (, + ). Tentukan persamaan bayangan garis y = 5x - karena rotasi dengan pusat O (0, 0) bersudut -90 o. Bayangan karena rotasi dengan pusat O (0, 0) bersudut -90 o (70 o ) adalah : x' 0 x y =. = y' 0 y x x' = y y = x' dan y' = -x x = -y y = 5x - y - 5x + = 0 Bayangan garisnya, y diganti dengan x dan x diganti dengan -y y - 5x + = 0 Bayangannya : x - 5( -y) + = 0 x + 5y + = 0 d. Dilatasi (perkalian) Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) dengan suatu faktor skala. P (x, y)? P' (x', y') dengan x' = kx dan y' = ky. Jika titik P (, ) didilatasi terhadap titik pusat O dengan faktor skala k =. Tentukan bayangannya. x' = k. x =. = y' = k. y =. = Jadi P' (, ). Tentukan bayangan titik Q (, -) oleh dilatasi {0, } x' = k. x =. = y' = k. y =. - = - Jadi Q' (, -) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 66

68 Soal latihan : Suatu segitiga ABC dengan A (, ), B (8, -) dan C (5, ). Tentukan bayangan segitiga ABC jika :. Ditranslasikan : T =. Dicerminkan terhadap garis x =. Dicerminkan terhadap garis y = -. Dirotasikan {0, 0 o } 5. Dilatasikan {0, }. Komposisi Transformasi. Composition of Transformation a. Komposisi dua Translasi berurutan a T = a dan T = b a? T o T = b a + b b (T o T ) A (x, y)? A" (x", y") dengan x" = x + (a + a ) dan y' = y + (b + b ). Tentukan bayangan dari titik Q (, 6) oleh translasi berurutan T = dan T = T o T = + = 6 x" = + = 8 dan y" = = Jadi Q" (8, ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 67

69 b. Komposisi dua Refleksi berurutan. Pencerminan terhada p garis x = k dan x = l M x o M x P (x, y) P" ( (l k) + x, y) x = k, x = l. Pencerminan terhadap garis y = m dan y = n M y o M y P (x, y) P" (x, (n m) + y) y = m, y = n. Tentukan bayangan titik A (-, ) oleh refleksi berurutan terhadap garis x = dan x = 5 A (-, ) M x o M x x =, x = 5 A" ( (5 ) + (-), ) A" (, ). Tentukan bayangan titik B (, 5) oleh refleksi berurutan terhadap garis y = dan y = -. B (, 5) M y o M y y =, y = - B" (, (- ) + 5) B" (, -5). Tentukan bayangan titik P (, -) oleh transformasi T o S (x, y) jika t pencerminan terhadap garis y = dan S pencerminan terhadap garis x = T o S titik P (, -)? P' (.,. (-)) P' (, ) c. Komposisi dua Rotasi berurutan Jika titik P (x, y) diputar sebesar? dan diteruskan ke? dengan arah positif sama dan titik pusat yang sama, maka bayangannya adalah : P" (x", y") Dimana : x" = x cos (? +? ) y sin (? +? ) y" = x sin (? +? ) + y cos (? +? ). Tentukan bayangan titik P (, ) yang diputar berlawanan arah jarum jam sebesar 0 o dan diteruskan sebesar 0 o. Karena diputarnya berlawanan arah jarum jam, maka sudut bertanda positif P (x, y)? P" (x", y") x" = x cos (? +? ) y sin (? +? ) =. cos (0 o + 0 o ). sin (0 o + 0 o ) =. cos 60 o. sin 60 o =.. = Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 68

70 y" = x sin (? +? ) + y cos (? +? ) =. sin (0 o + 0 o ) +. cos (0 o + 0 o ) =. sin 60 o +. cos 60 o =. +. = + P" {( ), ( + ) Soal Latihan : Diketahui segitiga ABC, titik A (, ), titik B (5, ) dan titik C (, 6). Tentukan bayangan titik A, B, dan C oleh :. Translasikan oleh T = dan dilanjutkan oleh T = 5. Pencerminkan terhadap garis x = dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5. Pencerminan terhadap garis x = dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis y =. Rotasi terhadap titik pusat sejauh 60 o berlawanan arah jarum jam dan dilanjutkan rotasi sejauh 0 o berlaawanan arah jarum jam. EVALUASI 8 A. Pilihlah jawaban yang anda anggap paling benar!. Bayangan dari titik P (, ) oleh translasi T = adalah. a. P' (6, 5) b. P' (6, -) c. P' (, -) d. P' (, ) e. P' (, 5). Bayanga n titik Q (-, ) oleh pencerminan terhadap garis x = 5 adalah. a. Q' (, ) b. Q' (9, ) c. Q' (6, ) d. Q' (, ) e. Q' (-5, ). Bayangan titik A yang dihasilkan dari pencerminan terhadap garis y = - adalah A' (, -5). Titik A adalah. a. A (, ) b. A (, ) c. A (, -) d. A (, -) e. A (, -7). Bayangan titik B (5, ) oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah. a. B' (, 5) b. B' (5, -) c. B' (-5, ) d. B' (-5, -) e. B' (-, -5) 5. Sebuah segitiga ABC yang mempunyai titik koordinat A (-, ), B (, -), C (6, 5). Jika ditranslasi oleh T =, maka bayangan titik A, B, dan C adalah. a. A' (, 5), B' (7, ), C' (9, 7) d. A' (, 5), B' (7, 0), C' (9, 7) b. A' (, 5), B' (7, 0), C' (9, 5) e. A' (-, 5), B' (7, ), C' (6, 7) c. A' (, ), B' (7, ), C' (6, ) 6. Bayangan titik Q yang dihasilkan oleh translasi T = adalah Q' (, -). Kordinat titik Q adalah. a. Q (, ) b. (, 5) c. (, -5) d. (-, 5) e. (-, ) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 69

71 7. Bayangan titik P (, 6) yang diputar terhadap titik pusat O sebesar 5 o berlawanan arah dengan jarum jam adalah. a. P' (, 5 ) c. P' ( 5, ) e. P' (, 5 ) b. P' (, 5 ) d. P' ( 5, ) 8. Titik B (, ) diputar terhadap titik pusat O sebesar 90 o berlawanan arah jarum jam. Bayangannya adalah. a. (, ) b. (-, ) c. (, ) d. (, -) e. (-, ) 9. Bayangan titik A (, 5) oleh pencerminan terhadap garis x = dan diteruskan ke garis x = - adalah. a. (, 5) b. (0, 5) c. (7, 5) d. (-, 5) e. (-7, 5) 0. Bayangan titik C (5, -6) oleh pencerminan terhadap garis x = - dan terhadap garis y = adalah. a. (, 0) b. (, -0) c. (-, 0) d. (-, -0) e. (0, -) B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! Diketahui segi empat ABCD, titik A (, ), B (6, ), C (5, ) dan D (, 5). Tentukan bayangan titik A, B, C, dan D jika :. Dicerminkan terhadap sumbu x Jawab ;. Didilatasi terhadap titik pusat dengan skala k =. Ditranslasi oleh T = dan dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x = Jawab ; Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 70

72 A. Pilihlah jawaban yang paling benar! ULANGAN HARIAN. Di bawah ini yang senilai dengan 5 π radian adalah. a. 88 o b. o c. 7 o d. 60 o e. 6 o. 00 derajat senilai dengan radian. 5 a. π b. π c. π d. π e. π 6 9. Perbandingan panjang dan lebar sebuah persegi panjang adalah :. Jika keliling persegi panjang 80 cm, maka luasnya adalah cm. a. 96 b. 8 c. 768 d..5 e..56. Perhatikan gambar di samping ini. Luas segi tiga tersebut adalah. C a. 8 cm b. 96 cm 0 cm 7 cm c. 0 cm d. cm e. 68 cm A cm B 5. Perhatikan gambar layang-layang di bawah ini, AB = 6 cm, BD = 0 cm dan BC = 7 cm. Luasnya adalah. a. 80 cm b. 85 cm c. 68 cm d. 70 cm e. 7 cm A C D B 6. Pada gambar di bawah ini luas daerah yang diarsir adalah cm. a. 5 b. 8 5 cm c. d. 68 e. cm 7. Perhatikan gambar berikut ini! Keliling daerah yang diarsir pada gambar tersebut adalah... cm. a. 8 cm b. c. 68 d. 70 e. 77 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

73 8. Diketahui lingkaran dengan jari-jari cm. Jika sudut AOB = 50 o, maka panjang busur AB adalah. a. cm b. 55 cm c. 66 cm d. 77 cm e. 88 cm 9. Diketahui trapesium sama kaki ABCD, AB = 76 cm dan CD = 0 cm. Jika tinggi trapesium cm, maka keliling trapesium adalah. a. 6 cm b. 66 cm c. 8 cm d. 696 cm e..9 cm 0. Dua buah lingkaran masing-masing berdiameter cm dan 0 cm. Jika jarak antara sumbu kedua lingkaran 5 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah. a. cm b. 6 cm c. 6 cm d. 0 cm e. 6 cm. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika jari-jari lingkaran cm dan sudut ACB = 6 o, maka panjang busur AB adalah. a. 8,8 cm C b. 7,6 cm c. cm d. cm e. cm O A B a. Titik A (, ) ditranslasikan oleh T = menghasilkan bayangan A' (, ). Nilai b a dan b adalah. a. dan 7 b. dan c. dan d. dan e. dan. Bayangan titik Q ( 9, 5) dicerminkan terhadap garis y = adalah. a. ( 9, ) b. ( 9, ) c. ( 9, 6) d. ( 9, 6) e. (, 5). Bayangan titik P (, 5) didilatasikan dengan pusat O dan faktor skala dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah. a. (6, 0) b. (0, 6) c. ( 6, 0) d. (6, 0) e. ( 6, 0) 5. Bayangan titik B (, 6) dirotasikan terhadap titik pusat O sejauh 90 o searah jarum jam adalah. a. (6, ) b. (, 6) c. (6, ) d. (, 6) e. ( 6, ) B. Jawablah pertanyaan di bawah ini.. Perhatikan gambar di bawah ini. cm Tentukan luas daerah yang diarsir cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

74 . Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan keliling daerah yang diarsir cm cm. Perhatikan gambar di bawan ini. Tentukan luas daerah yang diarsir. cm cm... Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan keliling daerah yang diarsir cm cm.. 5. Diketahui segitiga ABC, titik A (, ), B (, ) dan C (, 5). Tentukan bayangan titik A, B, dan C jika dicerminkan terhadap garis x = dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis y = 5.. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

75 KOMPETENSI GEOMETRI DIMENSI TIGA DIMENSION GEOMETRY THREE Standar Kompetensi :. Menerapkan konsep geometri dimensi tiga Kompetensi Dasar :.. Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya.. Menghitung luas permukaan bangun ruang.. Menerapkan konsep volum bangun ruang.. Menentukan hubungan antara unsur -unsur dalam bangun ruang Alokasi Waktu : jam pelajaran Dilaksanakan : Minggu ke 5 s.d. 8 Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konse p dasar geometri dimensi tiga dalam menyelesaiakan permasalahan baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari... Mengidentifikasi bangun ruang dan unsur-unsurnya.. Identify to wake up the element and room of Indikator :. Unsur-unsur bangun ruang diidentifikasi berdasar ciri-cirinya.. Jaring-jaring bangun ruang digambar pada bidang datar. Tujuan : Siswa dapat :. Menyebutkan macam-macam benda beraturan dalam ruang. Menjelaskan pengertian benda beraturan dalam ruang (kubus, balok, prisma, tabung, limas, kerucut, dan bola). Menggambar jaring-jaring benda beraturan dalam ruang Uraian Materi :. Unsur-unsur bangun ruang. Elements wake up room a. Kubus Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh enam bidang datar, dimana masingmasing bidang datar berbentuk bujur sangkar. Kubus disebut juga dengan Hexaeder. H G Perhatikan gambar kubus ABCD - EFGH Enam bidang datar adalah : E F ABCD, EFGH, A BEF, CDGH, BCFG, dan ADEH Kubus mempunyai rusuk, yaitu : AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, CG, BF, AE, dan DH D C Kubus juga mempunyai 8 titik sudut, yaitu titik : A, B, C, D, E, F, G, dan H. A Jika panjang sisi kubus = a, maka panjang diagonal bidangnya : BD = AB + AD AB = AD = a BD = a + a = a BD = a B Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 7

76 Panjang diagonal ruang : BH = BD + DH = a + a = a BH = a Conoh :. Perhaikan gambar berikut! E H N F G Jika panjang sisi kubus 8 cm, tentukan panjang BN dan tan GMC A D M B C FH = a = 8 cm FN = ½ FH = cm BN = BF + FN = 8 + ( ) = 6 + = 96 BN = 96 = 6 cm CG tan GMC = CG = 8 cm dan CM = FN = cm CM 8 tan GMC = =. b. Balok Balok adalah suatu bangun yang dibatasi oleh enam bidang datar yang berbentuk persegi panjang. Pada balok ukuran rusuknya tidak sama, yaitu terdiri dari panjang, lebar dan tinggi. Panjang, semua rusuk yang sejajar dengan bidang gambar Lebar, semua rusuk yang arahnya ke belakang bidang gambar Tinggi, semua rusuk tegak. Perhatikan gambar balok ABCD EFGH H G Panjang : AB, CD, EF, dan GH Lebar : BC, AD, FG, dan EH E F Tinggi : AE, BF, CG, dan DH Balok mempunyai sisi diagonal yang tidak sama D C panjangnya. A B AC = BD = EG = FH BG = CF = AH = DE AF = BE = CH = DG Diagonal ruang balok ada buah yang sama panjang, yaitu : AG, BH, CE, dan DF. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 75

77 c. Prisma Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar (bidang alas dan bidang atas) dan bidang tegak yang saling berpotongan menurut rusuk-rusuk sejajar. Prisma tegak segi empat bentuknya sama dengan balok. d. Limas Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang alas yang berbentuk segi-n dan bidang tegak yang berbentuk segitiga. Bentuk limas tergantung dari bentuk bidang alasnya. T T T A C D C A E D B A Perhatikan gambar Limas segi empat T ABCD Titik A, B, C, dan D merupakan titik sudut alas, sedangkan titik T merupakan titik puncak. ABCD disebut bidang alas, sedangkan TAB, TBC, TCD, dan TAD disebut bidang tegak. AB, BC, CD, dan DA disebut rusuk alas, TA, TB, TC, dan TD disebut rusuk tegak B B C e. Tabung Tabung adalah prisma yang bidang alasnya berbentuk lingkaran, yang dibatasi oleh dua bidang lingkaran sejajar (alas dan atas) dan sebuah bidang lengkung tegak r = jari-jari tabung t = tinggi tabung r t Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 76

78 f. kerucut Kerucut adalah bangun limas yang bidang alasnya berbentuk lingkaran dengan jari-jari r dan tinggi t. r = jari-jari kerucut t = tinggi kerucut t r g. Bola Bola adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama erhadap suatu titik pusat r.. Menghitung Luas Permukaan Bangun Ruang.. Calculating Wide of Surface Wake up Room Indikator :. Luas permukaan bangun ruang dihitung dengan cermat. Tujuan : Siswa dapat :. Menuliskan rumus luas selimut benda beraturan dalam ruang. Menuliskan rumus luas permukan benda beraturan dalam ruang. Menghitung luas selimut benda beraturan dalam ruang dengan menggunakan rumus. Menghitung luas permukaan benda beraturan dalam ruang dengan menggunakan rumus Uraian materi :. Kubus H G Jaring-jaring kubus E F H G D C D C G H D A B A B F E A E F Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 77

79 Jika panjang sisi kubus adalah "a", maka : Panjang diagonal bidang = a Luas bidang sisi L = a Luas bidang diagonal = a Luas permukaan kubus Lp = 6a. Diketahui kubus dengan sisi 6 cm. Hitung : a. Panjang diagonal bidang b. Panjang diagonal ruang c. Luas permukaan kubus a. Panjang diagonal bidang = a = 6 cm b. panjang diagonal ruang = a = 6 cm c. Luas permukaan kubus Lp = 6a = 6. 6 = 6 cm. Balok Jaring-jaring balok H G H G E F D C G H D A D B C A B F E A E F Luas permukaan balok : Lp = {(p. l) + (p. t) + (l. t)} Volume balok : V = p. l. t. Diketahui balok ABCD EFGH dengan ukuran panjang 5 cm, lebar 8 cm dan tinggi 6 cm. Hitung : a. panjang diagonal AC, AF, dan AH b. panjang diagonal ruang AG c. luas permukaan balok Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 78

80 H G E A D 5 cm F B 6 cm C 8 cm a. panjang diagonal AC AC = AB + BC = = = 89 AC = 7 cm AF = AB + BF = = = 6 AF = 9 cm AH = AD + DH = = = 00 AH = 0 cm b. panjang diagonal ruang AG AG = AC + CG = = = 5 AG = 5 cm c. luas permukaan balok Lp = {(p. l) + (p. t) + (l. t)} = ( ) = ( ) Lp = 56 cm. Prisma T Jaring-jaring prisma T R S T R S T Q O P Q O P Q Q Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 79

81 Luas selimut prisma segi-n = keliling bidang alas segi-n x tinggi prisma Luas permukaan prisma segi-n = luas selimut + luas alas + luas atas. Diketahui prisma segitiga OPQ RST, bidang alas prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 8 cm dan 6 cm. Jika tinggi prisma cm, hitung : a. luas selimut prisma b. luas permukaan prisma Bidang alas prisma berbentuk segitiga siku-siku Q OP = 8 cm dan OQ = 6 cm PQ = OP + OQ = = = 00 PQ = 0 cm O P a. Luas selimut = keliling segitiga. tinggi prisma = ( ). =. = 88 cm b. luas alas = luas atas = ½ = cm Luas permukaan prisma Lp = luas selimut + luas alas + luas atas = = 6 cm. Limas T Jaring-jaring limas T D C D C A B T T A B T Luas selimut = n. luas bidang segitiga n = jumlah segi bidang alas Luas permukaan = luas selimut + luas alas Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 80

82 . T Limas segi empat T ABCD, bidang alasnya berbentuk bujur sangkar dengan ukuran sisi cm. Jika tinggi limas cm, tentukan : a. Luas selimut cm b. Luas permukaan D C A cm B T cm Perhatikan segitiga TPO TP = + 7 = = 65 TP = 5 cm Luas bidang segitiga : 7 L = ½. alas. tinggi = ½.. 5 O P L = 75 cm a. Luas selimut : Ls = n. luas bidang segitiga =. 75 = 700 cm b. Luas permukaan : Lp = luas alas + luas selimut = x = 896 cm 5. Limas Terpancung H G Jaring-jaring limas terpancung H G E F D C D C H G A B E A B F E F Luas selimut = n. luas bidang trapesium n = jumlah segi bidang alas Luas permukaan = luas selimut + luas alas Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

83 . Sebuah kap lampu berbentuk limas segi empat terpancung, dengan ukuran alas (0 x 0) cm dan ukuran atas (0 x 0) cm. Jika tinggi kap lampu cm, Tentukan luas selimut kap lampu tersebut. Penyelesaian : Menentukan tinggi trapesium : h = + 0 = = 676 = 6 cm Luas trapesium : L T =. 6 = 780 cm Luas selimut : Ls =. L T =. 780 =.0 cm 0 0 h 6. Kerucut T Jaring-jaring kerucut T A t s s A r B r B kel. lingkaran alas Luas selimut : Ls = x luas lingkaran bidang tegak kel. lingkaran bidang tegak π r = x π s = π r s π s Luas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas = π r s + π r = π r (s + r) Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

84 . Kerucut dengan diameter alas 8 cm dan tinggi 8 cm. Hitung luas selimut, luas permukaannya dan volumenya. Dari perbandingan Pythagoras (7 : : 5) atau ( : 8 : 50), maka garis pelukis ( s ) = 50 cm. s Luas selimut = π r s 8 = =.00 cm 8 Luas alas = π r =.. 7 = 66 cm Luas permukaan = luas selimut + luas alas = =.86 cm 7. Kerucut terpotong T r s s Jaring-jaring kerucut terpotong T r s R s R Luas selimut = π (R + r) s Luas permukaan = luas selimut + luas alas + luas atas. Diketahui kerucut seperti terlihat pada gambar. Jika diameter alas 50 cm, diameter atas 0 cm, dan tinggi 0 cm, hitung luas selimut dan volumenya. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

85 Dari perbandingan Pythagoras ( : : 5) atau (5 : 0 : 5), maka garis pelukis s = 5 cm. Luas selimut = π (R + r) s = (5 + 0). 5 7 = =.750 cm 8. Tabung Jaring-jaring tabung r t r t π r Luas selimut : Ls = keliling lingkaran alas x tinggi tabung = π. r. t Luas permukaan : Lp = luas selimut + luas alas + luas atas.. Tabung tanpa tutup mempunyai ukuran diameter 8 cm dan tinggi 0 cm. Hitung luas permukaan dan volumenya. Luas selimut = π. r. t = =.60 cm Luas alas = π. r =.. 7 = 66 cm Luas permukaan = luas selimut + luas alas = =.56 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 8

86 9. Bola Luas permukaan = π. r Volume : V = /. p. r r. Tentukan luas permukaan bola jika diameter bolanya cm Jawab ; Luas permukan = π. r =.. 0,5. 0,5 7 =.86 cm Volume : V = /. p. r =. 7. 0,5 =.85 cm EVALUASI 9 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar!. Sebuah kubus ABCD EFGH ukuran rusuknya 6 cm. Panjang diagonal ruangnya adalah. a. 6 cm b. 6 cm c. 6 cm d. 6 cm e. cm. Diketahui kubus ABCD EFGH, panjang rusuknya cm. Luas bidang diagonal ACEG adalah cm. a. b. c. d. 80 e. 5. Perhatikan gambar limas T ABCD di bawah ini. Luas permukaannya adalah cm. a. 0 T b. 60 c. 00 cm d. 0 e. 60 D C 0 cm A B 0 cm. Saluran air terbuat dari plat dengan diameter 5 cm dan panjang 6 m. Luas bahan untuk membuat saluran air tersebut adalah. a. m b. 66 m c. 70 m d. m e. 0 m Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 85

87 5. Limas T ABCD dengan alas bujur sangkar (persegi) T panjang AB = 0 dm dan tinggi limas = dm. Luas permukaan limas adalah. TO = dm a. 60 dm b. 0 dm D C c. 80 dm d. 0 dm O e. 60 dm A 0 dm B 6. Tempat air yang terbuat dari plat berbentuk balok tanpa tutup. Jika ukuran panjang m, lebar, m dan tinggi 0,8 m maka luas bahan dari tempat air tersebut adalah. a. 9,9 m b. 7,5 m c. 5, m d.,5 m e.,9 m 7. Saluran air dengan diameter cm dan panjang, m. Luas permukaannya adalah. a. 5,5 m b. 9,856 m c. 55, m d. 98,56 e. 55, m 8. Seorang pengrajin kompor minyak tanah akan membuat tabung tanpa tutup dari kaleng untuk tempat penampungan minyak tanah dengan ukuran diameter 8 cm dan tinggi 0 cm. Luas permukaan 0 buah tabung adalah cm. a..00 b..96 c.. d..960 e Luas permukaan sebuah kaleng berbentuk tabung dengan sisi atasnya tanpa tutup seperti terlihat pada gambar adalah. a cm b cm c cm 60 cm d. 8.9 cm e. 8. cm cm 0. Luas selimut kerucut tersebut adalah. a. 0 cm b. 80 cm c. 0 cm d. 560 cm e. 880 cm 0 cm cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 86

88 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar!. Diketahui kubus ABCD EFGH seperti terlihat pada gambar. Jika panjang rusuknya 0 cm, tentukan luas bidang BCEH H G E F D C A B. Diketahui balok dengan ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm, dan tinggi cm. Hitung luas permukaannya... Diketahui kerucut dengan diameter alas cm dan tingginya 8 cm. Hitung luas selimutnya... Saluran air yang berbentuk tabung mempunyai ukuran diameter 8 cm dan panjang m. Hitung luas permukaan dari saluran air tersebut.. 5. Limas segitiga sama sisi T ABC, mempunyai ukuran panjang sisi alas 0 cm dan rusuk tegak cm. Hitung luas selimutnya.. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 87

89 .. Menerapkan konsep volum bangun ruang.. Apply concept of volum wake up room Indikator :. Volum bangun ruang dihitung dengan cermat. Tujuan : Siswa dapat :. Menuliskan rumus volume benda beraturan dalam ruang (kubus, balok, prisma, tabung, limas, kerucut, dan bola). Menghiung volume benda beraturan dalam ruang dengan menggunakan rumus. Menyelesaikan masalah program keahlian yang berkaitan dengan transformasi bangun datar Uraian Materi :. Kubus Volume kubus : V = s. s. s s = s. Diketahui kubus dengan ukuran rusuknya cm.hitung volumenya. V = s = = 78 cm. Balok t Volume balok : V = panjang x lebar x tinggi = p x l x t p l. Tempat air yang berbentuk balok mempunyai ukuran panjang,5 m, lebar, m dan tinggi m. Hitung berapa liter volume tempat air tersebut. V = p x l x t =,5 x, x =,8 m =.800 liter Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 88

90 . Prisma Volume prisma : V = luas alas x tinggi. Prisma segitiga siku-siku dengan ukuran rusuk siku-sikunya 0 cm dan 5 cm. Jika tinggi prisma 0 cm, berapa volumenya. V = luas alas x tinggi = ½ x 0 x 5 x 0 =.500 cm. Limas D T Volume limas : C V = x luas alas x tinggi A M B. Limas segi empat T ABCD, mempunyai ukuran alas panjang 6 cm dan lebar cm. Jika panjang rusuk tegak 6 cm, hitung volumenya D C Dari perbandingan Pythagoras ( : 6 : 0), maka panjang diagonal alas = 0 cm cm A t T 6 cm 6 cm B Dari perbandingan Pythagoras (0 : : 6), maka tinggi lias = cm M 0 cm C Volume limas : V = x luas alas x tinggi = x 6 x x = 56 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 89

91 5. Limas Terpancung E D H a t G a F C b A b B Volume limas terpancung : V =. t. (b. b + b. a + a. a). Diketahui limas tegak terpancung ABCD-EFGH. Bentuk alas dan atas adalah bujur sangkar dengan panjang AB = BC = 0 cm dan panjang EF = FG = 0 cm. Jika tinggi limas 0 cm, berapa cm volume limas tersebut. Penyelesaian : b = 0 cm ; a = 0 cm ; t = 0 cm V =. t. (b. b + b. a + a. a) V =. 0. ( ) V = 0 ( ) V = 0 (800) V = cm 6. Kerucut Volume kerucut V = x luas alas x tinggi =. π. r. t. Kerucut dengan diameter cm dan tinggi 0 cm. Hitung volumenya. V =. π. r. t = =.50 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 90

92 7. Kerucut terpotong Volume kerucut terpotong : r V =. π. t. (R + R. r + r ) t R. Sebuah ember dengan ukuran diameter atas 0 cm dan diameter alasnya 0 cm. Jika tinggi ember cm, berapa liter volume ember. V =. π. t. (R + R. r + r ) R = 0 cm dan r = 5 cm =... ( ) 7 = ( ) = =.00 cm V =, liter 8. Tabung Volume tabung : V = luas alas x tinggi V = π. r. t. Tempat air yang berbentuk tabung mempunyai ukuran diameter 00 cm dan tinggi 0 cm. Jika diisi air hanya ¾ bagian saja, berapa liter volume air di dalam tempat air tersebut. Volume tabung : V = π. r. t r = 50 cm = = cm =.00 liter Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

93 Volume air : V =. volume tabung =. 00 = 85 liter 9. Bola Volume bola : π V =. r atau π V =. d 6. Bola dengan diameter cm akan diisi dengan udara sampai penuh. Tentukan volume udara dalam bola. V = 6 π. d = 7 6 =.85 cm V =,85 liter x = x x x Soal latihan :. Diketahui limas segiempat T -ABCD dengan alas berbentuk bujur sangkar. Jika panjang sisi alas cm dan volume limas.00 cm, tentukan tinggi limas tersebut..... Sebuah ember dengan ukuran diameter alas 0 cm dan diameter atas 50 cm. Jika tinggi ember cm, tentukan berapa liter volume ember tersebut..... Prisma tegak ABC-DEF dengan alas berbentuk segitiga siku-siku. Jika sisi siku-siku AB = 8, AC = 5 cm, dan tinggi AD = cm, tentukan berapa cm volume prisma..... Bak air yang berbentuk kubus dengan ukuran sisinya 00 cm. Jika bak tersebut hanya terisi oleh air ¾ bagiannya, berapa liter air yang ada di dalam bak Diketahui kerucut dengan volume. cm. Jika tinggi kerucut 8 cm, tentukan diameter kerucut tersebut.... Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

94 EVALUASI 0 Pilihlah jawaban yang paling benar!. Volume pondasi tiang penyangga yang mempunyai ketentuan seperti gambar berikut adalah. a. 0,09500 m 0 cm b. 0,08000 m c. 0,0800 m 5 cm d. 0,0575 m e. 0,050 m 0 cm 0 cm. Diketahui panjang sisi prisma segi empat 8 cm, lebar 5 cm, dan tinggi 6 cm. Jika bangun tersebut dibagi menjadi bagian yang sama besar, maka volume masingmasing bagian adalah. a. 0 cm b. 80 cm c. 00 cm d. 0 cm e. 60 cm. Volume limas pada gambar di samping adalah. a. 6 dm b. 576 dm c. dm dm d. 08 dm e. 9 dm 6 dm 8 dm. Volume dari balok terpancung seperti pada gambar di samping adalah a..500 cm b cm c cm d..50 cm e cm 50 cm 5 cm 5 cm 5 cm 0 cm 5. Volume bak yang berbentuk balok dengan tebal 0 cm seperti terlihat pada gambar adalah., m a..00 liter m b..000 liter c. 800 liter, m d. 70 liter e. 60 liter Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

95 6. Volume dari kerucut terpancung dengan diameter kecil 0 cm, diameter besar 0 cm dan tinggi cm seperti terlihat pada gambar di samping adalah. a cm b cm c cm d cm e cm 7. Diketahui prisma ABC DEF dengan alas berbentuk siku-siku yang ukuran sisi sikusikunya 8 cm dan 5 cm. Jika tinggi prisma 0 cm, maka volume prisma adalah. a..500 cm b..800 cm c..00 cm d..00 cm e..600 cm 8. Kerucut dengan diameter alas 8 cm dan tinggi 5 cm. Volume kerucut adalah liter. a.,5 b.,6 c.,08 d.,6 e. 6,6 9. Limas segitiga sama sisi, de ngan ukuran rusuk alasnya cm. Jika tinggi limas 8 cm, maka volume limas adalah cm a. b. 6 c. 8 d. 08 e Tempat air yang berbentuk tabung mempunyai ukuran diameter 70 cm dan tinggi 60 cm. Volume empay air tersebut adalah liter. a. 0, b., c., d. e..0 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar!. Ember dengan diameer alas cm, diameter atas cm dan tinggi cm. Berapa liter volume ember tersebut... Kaleng susu yang berbentuk silinder mempunyai ukuran diameter 0 cm dan tinggi cm. Hitung volumenya... Limas T ABCD dengan alas berbentuk bujur sangkar yang ukuran sisinya 0 cm. Jika tinggi limas 5 cm, hitung volumenya... Sebuah bola mempunyai ukuran diameternya 8 cm. Hitung volumenya.. 5. Tempat air yang berbentuk balok mempunyai ukuran bagian dalamnya adalah panjang 50 cm, lebar 0 cm dan tinggi 60 cm. Berapa liter air yang ada di dalam bak jika diisi hanya / bagian saja.. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 9

96 .. Hubungan antara unsur-unsur dalam bangun ruang.. Relation between elements in awaking up room Indikator :. Jarak antar unsur dalam ruang dihitung sesuai ketentuan. Besar sudut antar unsur dalam ruang dihitung sesuai ketentuan Tujuan : Siswa dapat :. Menentukan jarak titik pada bangun ruang ke bidang. Menghitung besarnya sudut antara garis dan bidang pada bangun ruang. Menghitung besarnya sudut antara bidang dengan bidang pada bangun ruang Uraian Maeri :. Jarak pada bangun ruang. Distance at awaking up room a. Jarak titik ke titik Jarak antara titik A ke titik B adalah penghubung terpendek antara A dan B, yaitu garis AB. B E A Diketahui kubus ABCD-EFGH, panjang rusuknya cm. Tentukan jarak antara titik A ke titik G H G Perhatikan segitiga ABC : D F C Jarak AC = + = = cm Perhatikan segitiga ACG : Jarak AG = ( ) + = 8 = cm A B b. Jarak titik ke garis Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan antara titik P ke garis g. P PP' adalah jarak antara titik P ke garis g P' g Diketahui kubus ABCD-EFGH, panjang ruruknya 6 cm. Tentukan jaraj antara titik H ke garis AC. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 95

97 E H F G Panjang AC = 6 cm AH = ½ AC = cm A D H' B C HH' = (AH) (AH') = ( 6 ) ( ) HH' = 7 8 = 5 = 6 cm c. Jarak titik ke bidang Jarak titik ke bidang adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik P ke bidang. P P' Diketahui balok ABCD-EFGH dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm dan AE = cm. Tentukan jarak titik H ke bidang a. ABCD b. BCGF c. ABFE H G a. Jarak titik H ke bidang ABCD adalah HD = cm b. Jarak titik H ke bidang BCGF adalah HG = 8 cm E F c. Jarak titik H ke bidang ABFE adalah HE = 6 cm D C A B. Sudut pada bangun ruang. angle at awaking up room a. Sudut dua garis bersilangan sudut pada dasarnya terbentuk oleh dua garis yang saling berpotongan. Dengan demikian sudut dua garis yang bersilangan sama artinya dengan membentuk sudut dua garis yang berpotongan. Dikeahui kubus ABCD-EFGH. Hitung besar sudut antara garis CH dan BD. H G garis CH sejajar dengan garis BE dan memotong garis BD E F Jadi (CH. BD) = (BE. BD) = 60 o (segitiga BED merupakan segitiga sama sisi) D C A B Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 96

98 b. Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang adalah sudut yang terbentuk oleh perpotongan antara garis dengan garis lain yang menempel pada bidang. Diketahui kubus ABCD-EFGH. Jika rusuk kubus 6 cm, hitung sudut antara garis BG dengan bidang ACGE. H G - garis GM merupakan proyeksi garis BG pada bidang ACGE. E F - (BG. ACGE) = (BG. GM) = α - AC = BD = BG = 6 cm D C - BM = ½ BD = cm M A B Menghitung sudut α : Perhatikan BMG BM sin α = = BG 6 = α = 0 o c. Sudut antara dua bidang Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk dari perpotongan dua garis yang terletak pada bidang. Diketahui kubus ABCD-EFGH, dengan pa njang rusuk kubus 8 cm. Jika α adalah merupakan sudut antara bidang BDG dan ABCD, tentukan nilai dari cos α. H G - garis BD merupakan perpotongan antara bidang BDG dan ABCD E F - garis GT dan CT terleak pada bidang BDG dan ABCD - (BDG. ABCD) = (GT. CT) = α D α C - AC = 8 cm ; CT = ½ AC = cm T A B - GT = (CT) + (CG) = ( ) + (8) = + 6 = 96 = 6 cm CT - cos α = = = GT 6 = Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 97

99 Soal latihan :. Diketahui balok ABCD-EFGH, dengan AB = 6 cm, AD = 8 cm, dan AE = 5 cm. Tentukan jarak antara titik A ke : a. titik C b. titik G. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD-EFGH adalah cm. Tenukan jarak antara titik A ke : a. titik F b. titik G.... Diketahui kubus ABCD-EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik F ke : a. garis EG b. garis AC.. Diketahui balok ABCD-EFGH, dengan AB = AD = cm, dan BF = cm. Tenukan nilai tangen sudut yang dibentuk antara garis : a. BG dengan AC b. EG dengan AH. 5. Diketahui panjang rusuk ABCD-EFGH adalah 6 cm. Tentukan nilai : a. tangen bidang BDG dan ABCD b. sin bidang BDG dengan ABCD. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 98

100 ULANGAN HARIAN A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Sebuah kubus mempunyai volume 79 cm. Ukuran rusuknya adalah. a. cm b. 9 cm c. cm d. 9 cm e. 7 cm. Kubus mempunyai ukuran rusuk 6 cm. Panjang diagonal bidangnya adalah. a. 8 cm b. 0 cm c. cm d. 6 cm e. 6 cm. Kotak yang berbentuk kubus mempunyai ukuran rusuk 0 cm. Jika kotak tersebut tanpa tutup, maka luas permukaannya adalah cm a..000 b..00 c..000 d..800 e Kap lampu yang berbentuk kerucut terpotong mempunyai ukuran diameter alas 8 cm dan diameter aas cm. Jika tinggi kap lampu cm, maka luas selimutnya adalah. a..00 cm b..86 cm c..500 cm d..50 cm e..650 cm 5. Tabung dengan ukuran diameter 0 cm dan tinggi 8 cm. Luas selimutnya adalah. a. 9 cm b..500 cm c..760 cm d. 8 cm e..07 cm 6. Limas T ABC sama sisi dengan ukuran rusuk alasnya 6 cm. Jika ukuran rusuk tegaknya 7 cm, maka luas selimutnya adalah. a. 7 cm b. 60 cm c. 08 cm d. 66 cm e. 70 cm 7. Kerucut dengan diameter alas cm. Jika tinggi kerucut 8 cm, maka luas selimutnya adalah. a..0 cm b..696 cm c..960 cm d..60 cm e cm 8. Ember dengan diameter alas 0 cm dan diameter atas 50 cm. Jika tinggi ember cm, maka volumenya adalah liter. a. b. 8,5 c. 5,9 d. 6 e Tabung dengan diameter alas 0 cm dan tinggi cm. Volumenya adalah liter. a..850 b..85 c. 8,5 d.,85 e.,85 0. Limas T ABCD dengan alas berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 0 cm dan lebar cm. Jika tinggi limas 0 cm, maka volumenya adalah cm. a..00 b..600 c..00 d..600 e Limas segi empat dengan alas berbentuk bujur sangkar mempunyai volume 500 cm dan ukuran rusuk alasnya 0 cm, maka tinggi limas adalah. a. 5 cm b. 0 cm c. 5 cm d. 0 cm e. 0 cm. Kerucut mempunyai volume 70π cm. Jika tinggi kerucut 5 cm, maka diameer alas kerucut adalah. a. 8 cm b. cm c. 6 cm d. 0 cm e. cm. Tabung mampunyai volume.850 cm. Jika tinggi tabung cm, ma ka diameter tabung adalah. a. cm b. 5 cm c. 6 cm d. cm e. 0 cm. Diketahui kubus KLMN OPQR seperti terlihat pada gambar. Jika panjang rusuknya 8 cm, maka besarnya tg KMO adalah. a. R Q b. O P c. N M d. K L e. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 99

101 5. Perhatikan gambar kubus ABCD EFGH di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus 0 cm, dan titik P tengah-tengah BC, maka panjang MP adalah. a. 5 cm H G b. 5 cm M c. 5 6 cm E F d. 0 cm e. 0 cm D C N P A B B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.. Diketahui kubus ABCD EFGH. Jika panjang rusuk kubus 8 cm, tentukan luas bidang BCEH. H G E F D C A B. Tabung lengkap dengan tutup mempunyai ukuran diameter 8 cm. Jika inggi tabung 5 cm. hitung luas permukaan tabung... Tempat air dengan tutup yang ber bentuk kotak mampunyai ukuran panjang 0 cm, lebar 80 cm dan tinggi 50 cm. Jika empa air tersebut terbuat dari plat, berapa luas bahannya... Limas T ABC dengan alas berbentuk segitiga sama sisi. Jika panjang sisi alas cm dan tinggi limas 5 cm, hitung volumenya. 5. Adi mampunyai sebuah bola dengan diameter 8 cm. Jika bola diisi dengan udara sampai penuh, berapa volume udara dalam bola.. Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 00

102 LATIHAN ULANGAN UMUM SEMESTER GASAL Pilihlah jawaban yang benar!. Persamaan garis yang melalui titik P (-8, 7) dan Q (-, ) adalah. a. x + y + 5 = 0 c. x + y 5 = 0 e. y = x = 0 b. x + y + = 0 d. x + y + 7 = 0. Persamaan garis yang melalui titik P (, ) dan tegak lurus garis y + x 7 = 0 adalah. a. y + x + = 0 c. y x + 7 = 0 e. y + x + = 0 b. y x + 8 = 0 d. y + x = 0. Persamaan parabola y = ax + bx + c yang melalui titik (, ), (, ) dan (, 8) mengakibatkan nilai a, b, dan c berturut-turut adalah. a. -,, dan c., -, dan e. -, -, dan b. -,, dan - d., -, dan -. Grafik fungsi kwadrat f(x) = x x, memotong sumbu x pada titik... a. ( 0,0 ) dan ( -, 0) c. ( 0, ) dan ( 0, - ) e. (0, 0) dan (0, ) b. (, 0 ) dan (-, 0 ) d. (0, 0) dan (, 0) 5. Perhatikan gambar! y 0 x (, ) Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar diatas adalah. a. y = x + x + d. y = x + x b. y = x x e. y = x x + c. y = x x + 6. Persamaan fungsi kuadrat yang memenuhi pada grafik disamping adalah... a. y = x + x + y b. y = x x + c. y = x + x + d. y = x x + e. y = x + x x 7. Fungsi kuadrat dari gambar berikut adalah. a. y = x - x - 6 y b. y = x + x - 6 c. y = -x x + x - 6 d. y = x + x - 6 e. y = x - x (, 8) 8. Titik balik dari f(x) = -x - 8x - 6 adalah... a. (-, ) b. (-, ) c. (, -) d. (, -) e. (-, ) 9. Nilai x dari persamaan () x + 0 = adalah. a. b. 0 c. d. e. 6 Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

103 0. 7 Nilai x dari persamaan 8 x + = adalah. a. 7 5 b. c. d. e.. Gaji seorang karyawan pada ta hun pertama adalah Rp ,- per bulan. Pada tahun berikutnya tiap tahun gaji tersebut naik Rp ,-. Jumlah gaji karyawan tersebut selama tahun adalah... a. Rp ,- c. Rp ,- e. Rp ,- b. Rp ,- d. Rp ,-. Suatu barisan Aritmetika, diketahui besar U = - dan U 5 =. Besar suku ke-0 dari barisan tersebut adalah... a. -8 b. c. d. 8 e.. Pada minggu pertama seorang pedagang roti dapat menjual 50 potong. Untuk mingguminggu berikutnya ia dapat menjual roti sebanyak dua kali lipat dari penjualan minggu sebelumnya begitu seterusnya. Banyaknya roti yang dapat dijual pada minggu ke -5 adalah... potong. a. 58 b..000 c..50 d..000 e Dari deret aritmetika, diketahui rumus suku ke-n Un = n +. Jumlah 0 suku pertama adalah... a. b. 96 c. 65 d. 85 e Jumlah tak terhingga deret geometri adalah. Jika rasionya /, maka suku pertamanya adalah... a. b. 6 c. 8 d. 8 e Dari deret aritmetika, diketahui rumus jumlah n suku pertama adalah Sn = n + n. U 0 =... a. 5 b. 9 c. 55 d. 7 e Diketahui deret geometri, U = 6 dan U = 5. Jumlah 6 suku pertama adalah... a. 6 b. c. d. 86 e Luas daerah terarsir pada gambar disamping adalah cm. a. 0π b. π c. 5π d. 0π e. 50π 0 cm 9. Perhatikan gambar di bawah. Jajaran genjang ABCD mempunyai keliling 60 cm dan CE : ED = :. Jika panjang BC = 0 cm, maka jarak d ke BC adalah. a. cm D E C b. 0 cm c. 9 cm d. 8 cm e. 6 cm A B 0. Disamping ini adalah gambar layang-layang dengan ukuran AE = 8 cm, BD = cm, DE = 6 cm. Keliling layang-layang tersebut adalah... a. 0 cm A b. 5 cm D c. 68 cm d. 68 cm E e. 6 cm C B Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

104 . Keliling daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah... a. 7 cm 0 cm b. 60 cm c. 5 cm cm 6 cm d. 6 cm e. 08 cm 6 cm Keliling daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah cm. a. 8 b. c. 68 d. 70 e. 77. Perhatikan gambar berikut ini! 7 cm 7 cm cm 9 cm 7 cm Keliling bangun pada gambar di atas adalah. a. 99 cm b. 0 cm c. 0 cm d. 08 cm e. 0 cm. Titik P (, 5) dicerminkan terhadap garis x = dan dilanjutkan dicerminkan terhadap garis x = 5. Bayangan titik P adalah... a. P" (9, 5) b. P" (, 5) c. P" (6, 5) d. P" (, 5) e. P" (, 5). Titik Q (, ) dicerminkan terhadap garis y = dan dilanjutkan dengan translasi T =. Bayangan titik Q adalah... 5 a. Q" (, 0) b. Q" (5, 5) c. Q" (, 5) d. Q" (7, 9) e. Q" ( 5, 5) 5. Tabung tanpa tutup mempunyai ukuran diameter 8 cm dan tinggi 0 cm. Luas permukaan tabung tersebut adalah... cm. a..87 b..56 c..60 d..68 e Limas T.ABCD beraturan AB = 0 cm dan TC = cm. Luas permukaan limas adalah cm. a. 90 b. 0 c. 60 d. 80 e Sebuah kap lampu dengan atap yang tertutup terbuat dari bahan tertentu seperti tampak pada gambar. 0 cm cm 0 cm Luas bahan yang diperlukan untuk membuat kap lampu itu adalah cm. a. 6 p b. 5 p c. 50 p d. 55 p e. 55 p Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

105 8. Luas selimut sebuah kerucut adalah cm sedangkan jari-jarinya adalah,5 cm. Panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah. (p = ) 7 a. cm b. cm c. cm d.,5 cm e. cm 9. Diketahui prisma tegak ABC-DEF dengan panjang rusuk bidang alas AB = 6 cm, BC = 8 cm dan AC = 0 cm. Jika panjang AD = 5 cm, volume prisma adalah cm. a. 80 b. 0 c. 50 d. 80 e Volume suatu balok adalah 8 cm. Jika perbandingan panjang, lebar, dan tinggi balok itu adalah : :, maka tinggi balok adalah. a. 6 cm b. 8 cm c. cm d. cm e. cm. Perhatikan gambar berikut! 6 cm cm Sebuah benda berbenuk kapsul seperti tampak pada ambar di atas. Volume kapsul tersebut adalah. a. p cm b. 5 p cm c. 50 p cm d. 60 p cm e. 7 p cm. Perhatikan gambar layang-layang di bawah ini. Panjang rusuk AB = cm dan CD = cm. Jika CE : DE = : 5 maka keliling layang-layang tersebut adalah... a. 7 cm C b. 96 cm c. 08 cm d. 8 cm e. cm A E B. Keliling daerah yang diarsir dari gambar berikut adalah... a. 58 cm b. 7 cm c. 76 cm d. 80 cm cm e. 88 cm D 0 cm 7 cm. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah... cm. a. 08 b. 8 c. 66 d. 78 e.. 8 cm 8 cm Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 0

106 5. Keliling daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini adalah cm. a. 88 b. 6 cm c. d. 5 e. 76 cm 8 cm 6. Diketahui limas T-ABCD dengan alas berbentuk persegi panjang. Panjang AB = 6 cm dan BC = cm. Jika panjang rusuk TC = 6 cm, volume limas adalah... cm. a..99 b..608 c..080 d..66 e Untuk membuat 0 buah ring basket yang diameternya cm dibutuhkan besi beton dengan panjang meter. a., b.,6 c., d.,86 e. 6, 8. Volume sebuah kerucut adala h 500π cm. Jika tinggi kerucut 0 cm maka diameter kerucut tersebut adalah cm. a. 0 b. 0 c. 0 d. 5 e Luas selimut dari tabung terpancung di bawah ini adalah cm. a..60 b..56 c..87 d cm e cm 8 cm 0. Perhatikan gambar kubus ABCD-EFGH di bawah ini. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, maka nilai sinus antara bidang ACH dan bidang ABCD adalah. a. H G b. E F c. d. 6 D T C e. 6 A B Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 05

107 DAFTAR PUSTAKA Wiyoto dkk, 000. Matematika untuk SMK Teknik Jilid I dan II. Angkasa Bandung Tim Matemaika SMK Teknik, 005. Matematika untuk SMK Teknik Jilid II. PT. Galaxy Puspa Mega Jakarta. Sri Kurnianingsih dkk, 00. Metamatika untuk SMA Jilid I. ESIS Jakarta. Suwah Sembiring, 00. Matemaika untuk SMA Jilid III. CV. YRAMA WIDYA. Bandung. Lembaga Pendidikan PRIMAGAMA, 00. Matematika Metode Smart Solution. Andi Yogyakarta Dokumen LPIP, 006. Kumpulan Simulasi Ujian Nasional Matematika untuk SMK Teknik. LPIP Gajah Mada Yogyakarta. Kumpulan Naskah soal Ujian Nasional Matemaika untuk SM Cermat : Modul dan LKS Mat. Teknik Tk. Sm. 06