LOGIKA MATEMATIKA Talisadika Maifa

Transkripsi

1 22 BAB II LOGIKA MATEMATIKA Talisadika Maifa A. PENDAHULUAN Pembahasan mengenai logika sudah ada sejak lama bahkan sebelum manusia mengenal istilah logika itu sendiri. Menilik kembali kepada sejarahnya, logika memiliki pertumbuhan dan perkembangannya yang berawal dari jaman Yunani tua, abad pertengahan dan logika dalam dunia modern ( Poespoprodjo, 1999 ). Istilah Logika yang berasal dari kata Yunani Kuno, logos yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa dan yang diartikan juga sebagai suatu pemikiran yang sistematik untuk menarik kesimpulan baru dari informasi-informasi sebelumnya ini pertama kali digunakan oleh tokoh Stoa menurut sebagian kisah sejarah Zeno dari Citium (± ). Namun demikian, akar logika sudah terdapat dalam pikiran dialektis para filsuf mazhab Elea. Perkembangan pun berlanjut pada masa Sokrates ( ) yang dengan metode Sokratesnya mengembangkan metode induktif. Dalam metode inilah dikumpulkan contoh dan peristiwa konkret untuk kemudian dicari cirri umumnya. Oleh Aristoteles metode Sokrates ini dikembangkan menjadi teori ilmu yang dalam karyanya, Aristoteles telah menggarap masalah kategori struktur bahasa, hukum formal konsistensi proposisi, silogisme kategoris, pembuktian ilmiah, pembedaan atribut hakiki dan atribut bukan hakiki sebagai kesatuan pemikiran, bahkan telah menyentuh bentuk-bentuk dasar simbolisme. Pada abad pertengahan yang bermula dri tahun 1141 dimana penggarapan logika hanya berkisar pada karya Aristoteles yang berjudul Kategoriai dan Peri Hermeneias, berlanjut pada perkembangan setelah masa itu dengan munculnya Thomas Aquinas dkk yang mengusahakan sistematisasi dan mengajukan komentarkomentar dalam usaha mengembangkan logika yang telah ada. Inilah menjadi awal

2 23 lahirnya logika modern dengan tokoh-tokohnya seperti: Petrus Hispanus ( ), Roger Bacon ( ), Raymundus Lullus ( ) yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian dan William Ocham ( ). Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni selanjutnya diteruskan oleh Thomas Hobbes ( ) dengan karyanya Leviatan dan John Locke ( ) dalam An Essay Concerning Human Understanding. Secara singkat Logika didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari caracara yang meliputi kaidah dan aturan untuk membuat penarikan kesimpulan yang beralasan dengan menggunakan penalaran yang logis. B. LOGIKA 1. Pernyataan (deklaratif/proposisi) Terdapat beberapa bentuk kalimat yang digunakan orang untuk berkomunikasi baik secara lisan maupun tulisan. Salah satu bentuk kalimat adalah kalimat pernyataan (deklaratif/proposisi). Definisi 2.1 Pernyataan adalah kalimat yang benar atau salah, tetapi tidak kedua-duanya. Kalimat interogatif, imperative, dan ekslamatori tidak dianggap sebagai pernyataan. Contoh 2.1. Berikut beberapa contoh pernyataan. a. Ibu kota Sumatera Selatan adalah Palembang b. Himpunan {1,2,3} memiliki 3 buah anggota. c. Semua bilangan genap dapat dibagi 2. d. 5+3=10 e. 4=9 Contoh 2.2. Berikut contoh-contoh kalimat bukan pernyataan. a. Pergilah ke pasar. b. Dimanakah rumah Ibu Ana? c. Tambahkan 5 kepada ruas kanan dan kiri

3 24 d. 109 e. Apakah solusi dari 2x=40? Pernyataan dinyatakan dengan huruf kecil p, q, r, Contoh 2.3. Pernyataan dinyatakan sebagai berikut. p : Semua bilangan genap dapat dibagi 2 r: Jika sebuah bilangan bulat x adalah kelipatan dari 6, maka x adalah bilangan genap. Jika sebuah pernyataan berisikan sebuah variabel misalkan x, maka dinotasikan p(x) untuk menyatakan sesuatu tentang x. Pernyataan r diatas dapat dituliskan r(x): sebuah bilangan bulat x adalah kelipatan dari 6, maka x adalah bilangan genap. Jika mengandung 2 variabel dapat dinotasikan p(x,y) begitu pula untuk 3 variabel atau lebih. Dari pernyataan-pernyataan tunggal dapat dibentuk pernyataan-pernyataan majemuk dengan menggunakan konektor atau operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah tidak (not), dan (and), dan atau (or). Operator pertama dinamakan operator uner karena hanya membutuhkan satu buah pernyataan, sedangkan dua operator berikut adalah operator biner karena mengoperasikan dua pernyataan. Nilai kebenaran pernyataan majemuk tergantung pada nilai kebenaran pernyataan-pernyataan tunggal yang membentuknya. Selanjutnya, terdapat tabel yang disebut dengan tabel kebenaran. Tabel ini merupakan tabel yang berisi nilai kebenaran pernyataan majemuk berdasarkan semua kombinasi nilai pernyataan yang membentuknya Negasi (Ingkaran) Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran dinotasikan dengan ~p (dibaca : negasi p). Apabila pernyataan p bernilai benar, maka ~p bernilai salah begitu pula sebaliknya. Tabel kebenaran dari ingkaran adalah sebagai berikut : p ~p B S

4 25 S B Tabel 2.1: Tabel kebenaran ~p Contoh 2.4. Berikut ini adalah contoh negasi. p : Kupang adalah ibukota provinsi Nusa Tenggara Timur. ~p : Tidak benar Kupang adalah ibukota provinsi Nusa Tenggara Timur Atau Kupang bukan ibukota provinsi Nusa Tenggara Timur Konjungsi Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung dan serta disimbolkan dengan. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam p q dibaca p dan q. Tabel kebenaran konjungsi disajikan pada tabel berikut. p q p q B B B B S S S B S S S S Tabel 2.2: Tabel kebenaran p q Contoh 2.5. Berikut ini adalah contoh konjungsi p : Pantai Nembrala terletak di pulau Rote. q : Pantai Lasiana terletak di pulau Timor. p q: Pantai Nembrala terletak di pulau Rote dan Pantai Lasiana terletak di pulau Timor Disjungsi Dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata atau disebut disjungsi dan ditulis dengan notasi p q. p q p q B B B B S B S B B

5 26 S S S Tabel 2.3: Tabel kebenaran p q Contoh 2.6. Berikut ini adalah contoh disjungsi. p : Hari ini hari Jumat q : Cuaca cerah. p q: Hari ini hari Jumat atau cuaca cerah. Contoh 2.7 Berikut contoh lain dari disjungsi p : > 0 q : < 1 p q: > 0 atau < 1 Perhatikan perbedaan antara kedua disjungsi ini. Pada contoh 2.6, terbuka kemungkinan pernyataan p dan q kedua-duanya bernilai benar, yaitu cuaca cerah pada hari Jumat, sedangkan pada contoh 2.7, p dan q tidak mungkin kedua-duanya benar secara bersama-sama sebab bila > 0 tidak mungkin < 1. Dalam hal ini kharus dipilih salah satu di antara dua. Disjungsi terakhir ini disebut dengan disjungsi eksklusif. Sedangkan disjungsi sebelumnya biasa disebut dengan disjungsi inklusif. Untuk membedakan kedua disjungsi ini hanya digunakan tanda pada operator yang berbeda. Berikut adalah tabel kebenaran untuk disjungsi eksklusif. p q p q B B S B S B S B B S S S Tabel 2.4: Tabel kebenraran p q 2. Pernyataan Bersyarat Implikasi merupakan pernyataan majemuk dengan kata hubung jika..., maka... serta disimbolkan dengan. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam dibaca jika p, maka q. Pernyataan disebut sebagai implikasi

6 27 atau kondisional atau pernyataan bersyarat. Pernyataan p disebut hipotesis/ antiseden/sebab sedangkan q disebut konsekuen/konklusi/kesimpulan/akibat. Selain dibaca jika p maka q, implikasi dapat juga dibaca sebagai: a) q jika p b) p hanya jika q c) p syarat cukup bagi q d) q syarat perlu bagi p Berikut tabel kebenaran implikasi P q B B B B S S S B B S S B Tabel 2.5: Tabel kebenaran Contoh 2.8. Berikut ini adalah contoh implikasi. p : Alvin lulus SPMB q : Alvin mentraktir teman sekelasnya. : Jika Alvin lulus SPMB maka ia akan mentraktir teman sekelasnya. Pernyataan Jika Alvin lulus SPMB maka ia akan mentraktir teman sekelasnya selalu benar pada saat Alvin tidak lulus SPMB tanpa menghiraukan ia mentraktir ataupun tidak teman sekelasnya. Sama halnya dengan pernyataan Alvin mentraktir teman sekelasnya tetapi ia tidak lulus. Pernyataan ini hanya akan bernilai salah bila Alvin lulus SPMB tapi tidak mentraktir teman sekelasnya. Dalam implikasi tidak selalu perlu adanya hubungan sebab akibat. Perhatikan contoh 2.9. dimana dapat dilihat bahwa pernyataan tetap bernilai benar sekalipun pernyataan q bukanlah akibat dari pernyataan p. Contoh 2.9. Pernyataan implikasi p : 3 3 = 9

7 28 q : = 4 : Jika 3 3 = 9 maka = 4 Pengertian syarat cukup dan syarat perlu dapat dilihat pada contoh berikut ini. Contoh Misalkan p : y adalah ayam q : y adalah hewan berkaki dua Pernyataan ayam berkaki dua dapat dipandang sebagai impikasi Perhatikan bahwa ayam adalah syarat cukup untuk hewan berkaki dua sekalipun tidak penting. Hal ini nampak jelas bahwa untuk hewan yang berkaki dua tidak hanya ayam dan ayam bukanlah syarat yang penting bagi hewan berkaki dua. Sedangkan berkaki dua adalah syarat perlu bagi ayam, namun tidak cukup. Jelas bahwa syarat perlu untuk seekor binatang disebut ayam haruslah berkaki dua namun ini tidak cukup sebab masih banyak lagi ciri atau syarat lain seekor hewan disebut ayam. 3. Invers, Konvers, dan Kontraposisi Dari implikasi dapat dibentuk pernyatan baru yang dapat dinyatakan dalam skema yaitu: konvers invers kontraposisi invers ~ ~ konvers ~ ~ Invers dari implikasi adalah ~ ~, sedangkan konversnya adalah dan kontraposisinya adalah ~ ~.

8 29 Contoh Misalkan p : Bryan rajin belajar q : Bryan mendapatkan nilai yang memuaskan. Maka, : Jika Bryan rajin belajar maka ia mendapatkan nilai yang memuaskan. ~ ~ : Jika Bryan malas belajar maka ia tidak mendapatkan nilai yang memuaskan : Jika Bryan mendapatkan nilai yang memuaskan maka ia rajin belajar ~ ~ : Jika Bryan tidak mendapatkan nilai yang memuaskan maka ia malas belajar. Berikut tabel kebenaran untuk implikasi, invers, konvers, dan kontraposisi. p q ~ ~ ~ ~ ~ ~ B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B S B B B Tabel 2.6: Implikasi, Invers, Konvers, dan Kontraposisi. Jika diperhatikan maka akan nampak bahwa implikasi memiliki nilai kebenaran yang sama dengan kontraposisinya ~ ~. Begitupun dengan memiliki nilai kebenaran yang sama dengan ~ ~. Pernyataan-pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut dengan pernyataan yang ekivalen. 4. Ekivalensi Logis dan Tautologi Pernyataan-pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang selalu sama disebut pernyataan yang ekivalen dengan kata lain dua pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut ekivalen secara logis. Notasi yang digunakan. Ekivalensi logis juga dapat dituliskan sebagai implikasi dua arah dengan notasi. Implikasi dua arah, ini dibaca p jika dan hanya jika q atau

9 30 p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Implikasi dua arah ini disebut juga dengan biimplikasi. Tabel kebenaran biimplikasi diberikan pada tabel berikut. p q B B B B S S S B S S S B Tabel 2.7: Tabel kebenaran biimplikasi Contoh Berikut ini adalah contoh biimplikasi. p : Felix lulus Ujian Akhir Nasional q : Felix belajar dengan giat : Felix lulus Ujian Akhir Nasional jika dan hanya jika Felix belajar dengan giat. Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar apapun kombinasi nilai kebenaran pernyatan-pernyataan yang ada didalamnya. Sebaliknya pernyatan yang selalu salah disebut kontradiksi dan pernyataan yang bukan tautologi ataupun kontradiksi disebut kontingensi. Contoh Berikut ini adalah contoh tautologi, kontradiksi dan kontingensi. 1. Tautologi ( ) ( p q ) p q p p q ( ) ( p q ) B B B S B B B S S S S B S B B B B B S S B B B B

10 31 2. Kontradiksi ( ) ( ) p q ( ) ( ) ( ) B B B S S S B S S B S S S B S B S S S S S B B S 3. Kontingen p p q p Q p q p p q B B S S S B S S S S S B B S B S S B S B C. NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK a. Negasi Konjungsi. ~ ( p ^ q ) ~P v ~q. b. Negasi Disjungsi. ~ ( p v q ) ~ p ^ ~ q c. Negasi Implikasi. ~(p q ) p ^ ~q d. Negasi Biimplikasi. ~(p q ) ~[(~pvq)^(pv~q)]

11 32 D. SIFAT-SIFAT OPERASI PERNYATAAN MAJEMUK Operasi pernyataan memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. Idempoten.. 2. Komutatif.. 3. Asosiatif. ( ) ( ). ( ) ( ) 4. Distributif. ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 5. Sifat Negasi. ( ) 6. Sifat Identitas Hukum de Morgan. ( ). ( ) E. PERNYATAAN BERKUANTOR Untuk menyatakan apakah sebuah pernyataan bervariabel benar untuk semua harga variabel atau untuk sebagian harga variabel, kita menggunakan dua macam kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Misalkan,

12 33 ( ): + 3 < 2 ( ): + 2 = 5 Pernyataan ( ) benar untuk semua harga x yang diberikan, sedangkan pernyataan ( ) benar hanya untuk harga x tertentu, dalam hal ini ( 7) dan salah untuk nilai x yang lainnya. 1. Kuantor universal Kuantor universal digunakan untuk menyatakan bahwa ( ) benar untuk semua harga x dalam himpunan semesta. Kuantor ini dilambangkan dengan yang dibaca untuk semua atau untuk setiap. Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor universal, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut : ( x), p(x) Notasi ini dibaca untuk semua x, ( ) benar atau ( ) berlaku untuk semua x. Contoh Berikut ini adalah contoh kuantor universal., + 4 > 3 Dibaca + 4 > 3 berlaku untuk semua bilangan asli., + 4 > 3 adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena HP={1,2,3,4, }=A. 2. Kuantor eksistensial Kuantor eksistensial digunakan untuk menyatakan bahwa ( ) benar untuk sebagian (minimal satu) harga x dalam himpunan semesta. Dilambangkan dengan yang dibaca ada atau beberapa. Jika p(x) adalah suatu kalimat terbuka dan diberi kuantor eksistensial, maka akan menjadi suatu pernyataan berikut : Contoh Berikut ini adalah contoh kuantor eksistensial ( )( + 4 < 7) ( x), p(x)

13 34 Dibaca "ada bilangana asli sedemikian hingga + 4 < 7 ( )( + 4 < 7) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar, karena ( + 4 < 7) = {1,2} F. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR 1) Negasi pernyataan kuatrol universal ~ ( x), p(x) = ( x), ~ p(x) Ingkaran dari pernyataan untuk semua x di dalam S, berlaku p(x) adalah: a. Tidak benar bahwa semua x di dalam S, berlaku p(x) b. Ada x di dalam S sedemikian sehingga p(x) tidak berlaku c. Beberapa x di dalam S tidak berlaku p(x). Contoh Berikut ini adalah contoh pernyataa berkuantor universal Ingkaran dari pernyataan Semua orang akan meninggal dunia adalah a. Tidak benar bahwa setiap orang akan meninggal dunia b. Ada (paling sedikit satu) orang tidak akan meninggal dunia atau c. Beberapa orang tidak akan meninggal dunia. 2) Negasi pernyataan kuantor eksistensial ~ ( x), p(x)= ( x), ~ p(x) Ingkaran dari pernyataan ada x di dalam S, berlaku p(x) adalah: a. untuk semua x di dalam S, p(x) tidak berlaku b. Tidak ada x di dalam S, p(x) berlaku c. Jika x di dalam S, p(x) tidak berlaku. Contoh Berikut ini adalah contoh pernyataa berkuantor eksistensial Ingkaran dari pernyataan Ada bintang yang memiliki cahaya adalah a. Semua bintang tidak memiliki cahaya b. Tidak ada bintang yang memiliki cahaya atau c. Jika bintang itu ada maka ia tidak memiliki cahaya.

14 35 G. ARGUMENTASI LOGIS Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis. Suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedang argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti dan suatu konklusi. Konklusi ini diturunkan dari premis-premis. Sebuah argumen dikatakan valid apabila konklusi bernilai benar jika setiap premis yang digunakan di dalam argumen juga bernilai benar. Untuk menentukan validitas suatu argumen dapat dikerjakan dengan menggunakan tabel kebenaran. Jika terdapat n premis,,,,. dan konklusinya q, maka argumentasi disebut valid jika q benar bilamana premispremis,,,,. benar dengan menunjukkan bahwa adalah sebuah tautologi. Namun, terkadang dengan menggunakan tabel kebenaran tidaklah praktis. Cara yang lainnya adalah dengan menggunakan bentukbentuk argument yang ada. Bentuk argumen yang paling sederhana dan klasik adalah Modus ponens dan Modus tolens. 1. Modus Ponens i. Premis 1 : p q ii. Premis 2 : p iii. Konklusi : q 2. Modus tolens i. Premis 1 : p q ii. Premis 2 : ~q iii. Konklusi : ~p 3. Tautologi i. Premis 1 : p q ii. Premis 2 : p iii. Konklusi : q

15 36 4. Silogisme i. Premis 1 : p q ii. Premis 2 : q r iii. Konklusi : p r 5. Silogisme Disjungtif i. Premis 1 : p q ii. Premis 2 : ~ q iii. Konklusi : p 6. Penambahan Disjungtif i. Premis 1 : p ii. Konklusi : p q 7. Penyederhanaan Konjungtif i. Premis 1 : p ii. Konklusi : p q 8. Dilema Konstruktif i. Premis 1 : (p q) (r s) ii. Premis 2 : p r iii. Konklusi : q s Dilema konstruktif ini merupakan kombinasi dua argumen modus ponen (periksa argumen modus ponen). 9. Dilema Konstruktif i. Premis 1 : (p q) (r s) ii. Premis 2 : ~ q ~ s iii. Konklusi : ~ p ~ r Dilema destruktif ini merupakan kombinasi dari dua argumen modus tolens (perhatikan argumen modus tolen). Contoh Periksa apakah argumentasi-argumentasi berikut valid. i. (p q) [p (s t)] ii. (p q) r

16 37 iii. s t Berikut ini adalah langkah-langkah pembuktian yang dilakukan : (p q) [p (s t) Premis (p q) r Premis p q 2, Penyederhanaan p (s t) 1, 3, Modus Ponen p 3, Penyederhanaan s t 4, 5, Modus Ponen s 6, Penyederhanaan s t 7, Tambahan Jadi argumen tersebut di atas adalah absah (valid). Contoh Periksa apakah argumentasi-argumentasi berikut valid. Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan geometri diperlukan. Karena itu semua mahasiswa akan belajar matematika. Validkah argumentasi di atas? Menerjemahka argumen- argumen di atas ke bentuk simbol-simbol. Misal : l = pengetahuan logika diperlukan, a = pengetahuan aljabar diperlukan, m = Semua orang akan belajar matematika, g = pengetahuan geometri diperlukan. Maka : (l a) m Premis l g Premis l 2, Penyederhanaan l a 3, Tambahan m 1, 4, Modus Ponen Jadi argumen di atas adalah valid.

17 38 H. SOAL-SOAL BERDASARKAN KEMAMPUAN MATEMATIS DAN BERFIKIR MATEMATIS 1) Kemampuan Pemahaman Matematis Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan yang dikembangkan berdasarkan indikator kemampuan pemahaman matematis antara lain sebagai berikut 1. Menyatakan ulang sebuah konsep Contoh soal: Nyatakan apakah kalimat berikut termasuk pernyataan atau bukan. Berikan alasanmu. a) Setiap bilangan real adalah bilangan bulat genap b) Jika x dan y adalah bilangan real dan 5x = 5y, maka x = y c) cos (x) = -1 d) Berapakah hasil dari 2+3? e) Pergilah ke pasar untuk membeli sayur dan buah. Jawaban : a) Pernyataan. Karena dapat diketahui nilai kebenarannya. b) Pernyataan. Karena dapat diketahui nilai kebenarannya. c) Pernyataan. Karena dapat diketahui nilai kebenarannya. d) Bukan Pernyataan. Karena, kalimat tersebut tidak mengandung nilai kebenarannya. e) Bukan Pernyataan. Karena, kalimat tersebut tidak mengandung nilai kebenarannya. 2. Mengklasifikasikan objek-objek menurut sifat-sifat tertentu. Contoh soal: Kelompokanlah kalimat-kalimat berikut, yang termasuk pernyataan dan bukan pernyataan! a) Inggris lebih kecil daripada Cina b) Saya benci memasak mie c) Apakah kota New Jersey sebelah Timur kota Wisconsin?

18 39 d) Nomor atom dari helium adalah p Jawaban : Pernyataan : a dan d Bukan pernyataan: b dan c 3. Memberikan contoh dan non contoh dari konsep. Contoh soal: 1) Buatlah masing-masing 1 contoh negasi dari pernyataan majemuk dengan kata hubung konjungsi, disjungsi, dan implikasi. 2) Buatkanlah satu contoh pernyataan majemuk implikasi dan buatkan invers, konvers dan kontraposisinya Alternatif jawaban : 1. a. Konjungsi Pernyataan : Ibu membeli ayam dan ikan Negasi Pernyataan : Ibu tidak membeli ayam atau ikan. b. Disjungsi Pernyataan : Ibu membeli ayam atau ikan Negasi Pernyataan : Ibu tidak membeli ayam dan tidak membeli ikan. c. Implikasi Pernyataan: Jika cuaca cerah maka Ana ke pasar Negasi Pernyataan: Cuaca cerah dan Ani tidak ke pasar 2. Pernyataan majemuk implikasi : Jika langit mendung maka hujan. Konvers: Jika hujan maka langit mendung Invers : Jika langit cerah maka tidak hujan Kontraposisi: Jika tidak hujan maka langit cerah 4. Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis. Contoh soal: Buatlah pernyataan yang equivalen dengan p q Alternatif jawaban: P Q p q

19 40 B B B B B S S S S B B B S S B B 5. Mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup suatu konsep. Contoh soal: Terdapat dua buah premis dibawah ini. Cukupkah hanya dengan mengetahui bahwa nilai kebenaran dari konjungsi premis 1 dan premis 2 adalah BSSS maka argumentasinya dapat dikatakan valid? Premis 1 : Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar) Premis 2 : Saya belajar (benar) Konklusi : Saya lulus ujian (benar) Alternatif jawaban : Belum cukup. Karena untuk menentukan valid tidaknya suatu argumentasi harus diketahui apakah implikasi dari konjungsi premis 1 dan premis 2 dengan konklusinya haruslah tautology. 6. Menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur atau operasi tertentu Contoh soal: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan yang diberikan (p q) ( q p) Jawaban: p Q p q p q q p (p q) ( q p) B B S S B B B B S S B S S B S B B S S B B S S B B S B B

20 41 7. Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah Contoh soal: 1. Tentukan kesimpulan yang sah dari premis-premis berikut a. Jika Tono berbaju putih, maka hari ini Selasa b. Jika Tono berbaju putih dan hari ini Selasa, maka Tono berangkat sekolah c. Jika Tono berbaju putih dan berangkat sekolah, maka ia harus membawa payung d. Jika Tono berbaju putih dan membawa payung, maka hari ini akan panas e. Kenyataannya, Tono tidak membawa payung atau hari ini tidak panas Jawaban : a. p q b. p & q r c. p & r s d. p & s t e. ~s V ~t s ~t t ~s (e, d) : p & s ~s ~p V ~s V ~s ~p V ~s p ~s s ~p (e, d, c) : p & r ~p ~p V ~r V ~p ~p V ~r p ~r r ~p (e, d, c, b) : p & q ~p ~p V ~q V ~p ~p V ~q p ~q q ~p (e, d, c, b, a) : p ~p ~p Jadi, Tono tidak berbaju putih 2. Diketahui m(x,y) = x m y = x mencintai y Tuliskanlah kalimat berkuantor dari kalimat berikut. a. Semua orang mencintai semua orang b. Ada orang yang tidak dicintai semua orang

21 42 c. Ada orang yang tidak mencintai semua orang Alternatif jawaban: a. ( (, )) b. ( (, )) c. ( (, )) 2) Kemampuan Koneksi Matematis Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan yang dikembangkan berdasarkan indikator kemampuan pemahaman konsep antara lain sebagai berikut. 1. Mengenali dan memanfaatkan hubungan-hubungan antara gagasan dalam matematika. Contoh soal : Ubah ke dalam ekspresi logika: Anda mempunyai akses internet hanya jika anda mahasiswa Matematika ITB atau anda bukan mahasiswa TPB Alternatif jawaban: Misal a : Anda punya akses internet m: Anda mhs Matematika ITB f : Anda mhs TPB a (m f) 2. Memahami bagaimana gagasan-gagasan dalam matematika saling berhubungan dan mendasari satu sama lain untuk menghasilkan suatu keutuhan koheren. Contoh soal: Diketahui premis-premis berikut! i. Jika sebuah segitiga siku-siku, maka salah satu sudutnya 90. ii. Jika salah satu sudut segitiga 90, maka berlaku theorema Phytagoras. Ingkaran dari kesimpulan yang sah pada premis-premis diatas adalah. a. Jika sebuah segitiga siku-siku, maka berlaku theorem Phytagoras

22 43 b. Jika sebuah segitiga bukan siku-siku, maka berlaku theorem Phytagoras c. Sebuah segitiga siku-siku atau tidak berlaku theorem Phytagoras d. Sebuah segitiga siku-siku dan tidak berlakutheorema Phytagoras e. Sebuah segitiga siku-siku dan berlaku theorem Phytagoras\ Alternatif jawaban: Kesimpulan yang sah adalah dengan penarikan kesimpulan Silogisme Jika sebuah segitiga siku-siku maka berlaku theorem Phytagoras merupakan pernyataan implikasi. Dengan p: Jika sebuah segitiga siku-siku q: berlaku theorema Phytagoras Ingkaran dari pernyataan implikasi ~(p q ) adalah p ^ ~q maka ingkarannya adalah Segitiga siku-siku dan tidak berlaku theorema Phytagoras 3. Mengenali dan menerapkan matematika dalam konteks-konteks di luar matematika. Contoh soal: Tentukanlah pernyataan atau simbol logika pada rangkaian listrik berikut Alternatif jawaban: Untuk rangkaian seri simbol logika yang digunakan adalah dan, dan untuk rangkaian paralel simbol logika yang digunakan adalah atau. Maka, rangkaian listrik diatas dapat dituliskan sebagai berikut: ( ) (( ) ( ))

23 44 3) Kemampuan Berpikir Reflektif Berikut ini adalah contoh soal dan pembahasan yang dikembangkan berdasarkan indikator kemampuan berpikir reflektif antara lain sebagai berikut. 1. Memilih tindakan yang akan dilakukan atau alternatif penyelesaian. Contoh soal: Pada suatu hari, anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa anda tidak memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang anda pastikan kebenarannya a. Jika kacamata ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi b. Aku membaca koran di ruang tamu atau membacanya di dapur c. Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu d. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi e. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping ranjang f. Jika aku membaca koran di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan di mana letak kacamata tersebut! Jawaban: Simbol-simbol Logika : p : Kacamataku ada di meja dapur. q: Aku melihat kacamataku ketika sarapan pagi r : Aku membaca koran di ruang tamu. s : Aku membaca koran di dapur. t : Kacamata kuletakkan di meja tamu. u : Aku membaca buku di ranjang. w: Kacamata kuletakkan di meja samping ranjang

24 45 Maka fakta-fakta dapat ditulis sbb : (a) p q (d) ~q (b) r v s (c) r t (e) u w (f) s p Inferensi yang dapat dilakukan adalah sbb 1. p q 2. s 3. r 4. r q p p s s r r p s t fakta (a) fakta (d) dengan Modus Tollen fakta (f) kesimpulan dari (1) dengan Modus Tollen fakta (b) kesimpulan dari (2) dengan Silogisme Disjungtif fakta (c) kesimpulan dari (3) t dengan Modus Ponen Kesimpulan kacamata ada di meja tamu 2. Membuat keputusan terhadap sebuah tindakan atau solusi. Contoh soal: Tentukan apakah argumen di bawah ini Valid/Invalid p q ~q p Alternatif jawaban: Untuk menentukan valid atau tidaknya sebuah argument maka harus dibuktikan apakah implikasi dari konjungsi premis 1 dan premis 2 dengan konklusinya adalah sebuah tautologi.

25 46 Tabel kebenaran ((p q) ~q) p P q ~q p q (p q) ~q ((p q) ~q) p B B S B S B B S B B B B S B S B S B S S B S S B Karena nilai kebenarannya semua bernilai benar maka argumentasi tersebut dikatakan valid. I. TES FORMATIF Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan menyertakan alasan yang jelas. 1. Untuk proposisi-proposisi berikut: p: 3+4 = 8 q: Satu minggu sama dengan 7 hari Tentukanlah Konjungsi, Disjungsi, Negasi beserta nilai kebenarannya 2. Tentukan negasi pernyataan-pernyataan berikut a. x (x + 1 >2) dalam himpunan X = {1, 2, 3,...} b. n (3 + n > 5) dalam himpunan bilangan asli. c. ( x R) ( 0); R = {bilangan cacah} d. x 0 dalam himpunan bilangan real. e. ( x R) ( > x); R = {bilangan real}. 3. Tentukan apakah Argumen di bawah ini Valid/Invalid p (q r) ~r p q 4. Premis 1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar) Premis 2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar) Buktikan bahwa Chairil Anwar tidak hidup kekal (premis 3) dengan melakukan pembuktian tidak langsung. 5. Tentukan tabel kebenaran dari ((p ~q) q) p