BAB IV LOGIKA A. Pernyataan B. Operasi uner

Transkripsi

1 BAB IV LOGIKA A. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat matematika tertutup yang benar atau yang salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang bersamaan. Pernyataan biasa dilambangkan dengan p, q, r,... Contoh pernyataan antara lain: p: Herman adalah siswa sekolah dasar kelas 6 s: = 35 sedangkan contoh bukan pernyataan antara lain: 1. Apakah hari ini akan hujan? 2. 9x 5 = 4x + 2 Pernyataan dikelompokkan menjadi 2, yaitu pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya. Pernyataan majemuk merupakan kalimat baru yang diperoleh dari berbagai penggabungan pernyataan tunggal. Suatu pernyataan hanya bisa benar saja atau salah saja. Kebenaran atau kesalahan dari suatu pernyataan disebut nilai kebenaran dari pernyataan itu.nilai kebenaran dari suatu pernyataan dilambangkan dengan τ (p). B. Operasi uner Operasi uner yaitu operasi negasi atau ingkaran. Operasi negasi merupakan operasi yang hanya berkenaan dengan satu unsur. Operasi negasi biasa dilambangkan dengan ~. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh pernyataannya. p ~p B S 1

2 C. Operasi Biner Operasi biner adalah operasi yang berkenaan dengan dua unsur. Operasi biner berkenaan dengan dua pernyataan. Ada 4 macam opersi biner yang akan dipelajari: a. Operasi konjungsi Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan. Sebuah konjungsi benar jika konjung-konjungnya benar, tetapi salah jika salah satu atau kedua-duanya salah. Tabel kebenaran untuk operasi konjungsi adalah sebagai berikut: B B B B S S S B S S S S b. Operasi disjungsi Suatu pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan. Sebuah disjungsi inklusif benar jika paling sedikit satu disjungnya benar atau kedua-duanya, dan sebuah disjungsi ekslusif benar jika paling sedikit satu disjungnya benat tetapi tidak kedua-duanya. Tabel kebenaran untuk operasi disjungsi adalah sebagai berikut: B B B B S B S B B S S S 2

3 c. Operasi implikasi Pernyataan implikasi atau conditional statement atau pernyataan bersyarat merupakan pernyataan majemuk yang berbentuk jika p maka q dinyatakan dengan atau., dimana disebut anteseden dan disebut konsekwen. Suatu pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan yang lain pernyataan implikasi itu adalah benar. Tabel kebenaran untuk operasi implikasi adalah sebagai berikut: B B B B S S S B B S S B d. Operasi biimplikasi Pernyataan biimplikasi atau biconditional statement atau pernyataan bersyarat merupakan pernyataan majemuk yang berbentuk p jika dan hanya jika q dinyatakan dengan. Suatu pernyataan biimplikasi benar jika nilai kebenaran p sama dengan nilai kebenaran q. Tabel kebenaran untuk operasi biimplikasi adalah sebagai berikut: B B B B S S S B S S S B 3

4 D. Tautology, Kontradiksi, Kontingensi Perhatikan tabel kebenaran berikut ini: p ~p p ~p B S B S B B Nilai kebenaran dari p ~p bernilai Benar semua. Penyataan yang semua nilai kebenarannya Benar tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponen pembentuknya dinamakan Tautology. Untuk lebih jelas kita dapat juga menentukan dan membuktikan nilai kebenaran dari memiliki nilai kebenaran Benar semua. Sehingga pernyataan tersebut termasuk Tautology. Sebaliknya pada saat kita menentukan nilai kebenaran dari memiliki nilai kebenaran Salah semua. Penyataan yang semua nilai kebenarannya Salah tanpa memandang nilai kebenaran komponen-komponen pembentuknya dinamakan Kontradiksi. Sedangkan Kontingensi merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya merupakan kumpulan dari Benar dan Salah di luar Tautologi dan Kontradiksi. E. Konvers, Invers, dan Kontrapositif Bila p dan q adalah bentuk-bentuk pernyataan dan untuk pernyataan implikasi merupakan suatu Tautologi, maka dinamakan implikasi logis. Bila p dan q adalah bentuk-bentuk pernyataan dan untuk pernyataan implikasi merupakan suatu Tautologi, maka dinamakan ekivalensi logis. Perhatikan pernyataan kondisional ( berikut ini: Jika hari ini hujan maka saya berada di rumah. Kemudian perhatikan pernyataan-pernyataan berikut ini: a. Jika saya berada di rumah maka hari ini hujan ( ) b. Jika hari ini tidak hujan maka saya tidak berada di rumah ( c. Jika saya tidak berada di rumah maka hari ini tidak hujan. ( 4

5 Pernyataan (a) dinamakan Konvers, pernyataan (b) dinamakan Invers, dan pernyataan (c) dinamakan Kontrapositif. Dari perrnyataan tersebut, diperoleh pernyataan-pernyataan yang saling ekuivalen (nilai kebenaran dari dua pernyataan tersebut sama), yaitu: a. ( ( b. ( ( F. Penarikan Kesimpulan Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarkan kesimpulan. Suatu argumen shahih apabila hipotesisnya benar, sehingga menurunkan kesimpulan (konklusi) benar. Dalam logika dikenal beberapa cara dalam pengambilan kesimpulan, yaitu: a. Modus Ponens Modus Ponens adalah penerikan kesimpulan berdasarkan prinsip: atau. Argumen tersebut ditulis sebagai berikut:... premis 1... premis 2... kesimpulan Contoh: Tentukan kesimpulan dari: (1) Jika hari ini hujan, maka Andi berada di rumah (2) Jika Andi berada di rumah, maka Andi akan tidur (3) Hari ini hujan Dari pernyataan (1) dan (3) diperoleh (4) Andi berada di rumah Dari pernyataan (2) dan (4) diperoleh Andi akan tidur. b. Modus Tolens Modus Tolens adalah penerikan kesimpulan berdasarkan prinsip: atau. 5

6 Argumen tersebut ditulis sebagai berikut:... premis 1... premis 2... kesimpulan c. Silogisme Silogisme adalah penerikan kesimpulan berdasarkan prinsip:. Argumen tersebut ditulis sebagai berikut:... premis 1... premis 2... kesimpulan Contoh: Tentukan Kesimpulan dari: (1) Jika Pak Herman pergi ke Jakarta maka Intan akan pergi ke Surabaya. (2) Jika Intan pergi ke Surabaya maka Intan menginap di rumah Sandra. (3) Jika Intan menginap di rumah Sandra maka Intan bertemu Kiki. Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh: (4) Jika Pak Herman pergi ke Jakarta maka Intan menginap di rumah Sandra Dari pernyataan (4) dan (3) diperoleh: Jika Pak Herman pergi ke Jakarta maka Intan bertemu Kiki. Selain contoh silogisme di atas, terdapat jenis silogisme yang lain. Perhatikan contoh berikut ini: Tentukan kesimpulan dari: (1) Semua segi empat adalah poligon. Semua persegi panjang adalah segi empat (2) Beberapa guru adalah bukan sarjana Semua guru adalah pendidik Jika diperhatikan, pernyataan-pernyataan tersebut mengandung kata semua, beberapa, bukan. 6

7 Berikut adalah beberapa contoh penerikan kesimpulan yang lain, antara lain: (1) Semua A adalah B Semua C adalah A Jadi Semua C adalah B (2) Beberapa A adalah bukan B Semua A adalah C Jadi Beberapa C adalah bukan B (3) Semua A adalah B Beberapa C adalah bukan B Jadi, beberapa C adalah bukan A (4) Semua A adalah B Beberapa C adalah A Jadi, Beberapa C adalah B (5) Tak ada A yang merupakan B Semua A adalah C Jadi, Beberapa C adalah bukan B 7

8 8

9 9