PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA-WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES

Transkripsi

1 HALAMAN JUDU L PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA-WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES (Studi Kasus: Peutupa Ideks Harga Saham Haria Jakarta Islamic Idex (JII) Periode 1 Jauari April 2016) SKRIPSI Diajuka kepada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta utuk Memeuhi Sebagia Persyarata gua Memperoleh Gelar Sarjaa Sais Oleh : Joko Ady Saputra NIM : PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2016

2 HALAMAN P ERSETUJUAN ii

3 HALAMAN P ENGESA HAN iii

4 HALAMAN PERNYATAAN Yag bertada taga dibawah ii, saya: Nama : Joko Ady Saputra NIM : Program Studi : Matematika Fakultas : Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Judul Skripsi :PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA- WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES Meyataka bahwa skripsi ii bear-bear karya saya sediri da sepajag pegetahua saya, tidak terdapat karya atau pedapat yag ditulis atau diterbitka orag lai, kecuali pada bagia-bagia tertetu yag diambil sebagai acua atau kutipa dega megikuti tata peulisa karya ilmiah yag telah lazim. Apabila terbukti peryataa saya ii tidak bear maka sepeuhya mejadi taggug jawab saya da saya bersedia meerima saksi sesuai ketetua yag berlaku. Yogyakarta,... agustus 2016 Yag meyataka, Joko Ady Saputra NIM iv

5 MOTTO Boleh jadi kamu membeci sesuatu, padahal ia amat baik bagimu, da boleh jadi (pula) kamu meyukai sesuatu, padahal ia amat buruk bagimu, Allah megetahui, sedag kamu tidak megetahui. (Q.S Al-Baqarah 216) Sesugguhya sesudah kesulita itu ada kemudaha. Maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusa), kerjakalah dega sugguh-sugguh (urusa) yag lai. (Q.S Al-Isyirah 6-7) Berusahalah jaga sampai terlegah walau sedetik saja, karea atas kelegaha kita tak aka bisa dikembalika seperti semula (Joko Ady Saputra) v

6 HALAMAN PERSEMBAHAN Alhamdulillahirabbil alami, dega megucap rasa syukur kepada Allah SWT skripsi ii telah selesai disusu. Skripsi ii dipersembahka utuk: Ibu da Ayah, oragtua yag telah memberika kasih sayag, asihat, tegura, motivasi, doa yag tiada hetiya, da selalu memberika kekuata utuk mecapai kesuksesaku Lala, siti, Fatma, uri, tyas, humam, muhsi, yoga, da fajar sahabat yag terus memberika cadaa, hibura, semagat da sudah mejadi saudaraku sediri Bu Edag, dose pembimbig yag telah membimbigku selama ii dega kesabara da dukuga beliau lah yag telah memberika mafaat besar bagiku Tema-Tema Matsub 2012, yag telah memberikaku kesadara betapa petigya kerjasama itu vi

7 PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA- WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES (Studi Kasus: Peutupa Ideks Harga Saham Haria Jakarta Islamic Idex (JII) Periode 1 Jauari April 2016) Oleh: JOKO ANDY SAPUTRA ABSTRAK Regresi oparametrik merupaka aalisis regresi dega pedugaa model dilakuka berdasarka pedekata yag tidak terikat asumsi betuk kurva regresi tertetu, amu dibetuk sesuai dega iformasi yag ada dalam data. Salah satu jeis fugsi yag dapat diguaka utuk meduga betuk regresi oparametrik adalah fugsi kerel Gaussia. Pada regresi kerel, terdapat beberapa estimator yag dapat diguaka utuk memodelka harga saham Jakarta Islamic Idex (JII) dalam retag waktu 1 jauari 2016 sampai dega 30 april 2016, salah satuya adalah estimator Nadaraya-Watso. Dalam melakuka aalisis regresi kerel, diperluka suatu kostata peghalus yag disebut dega badwidth. Beberapa metode yag dapat diguaka utuk medapatka ilai badwidth yag sesuai dega data adalah metode badwidth Rule of Thumb, metode Ubiased Cross Validatio (UCV), metode Biased Cross Validatio (BCV), da metode Complete Cross Validatio (CCV). Perhitugaya megguaka batua software R da SPSS versi 20. Utuk megetahui metode yag lebih baik dalam megestimasi kasus harga saham Jakarta Islamic Idex (JII) tersebut diguaka perbadiga ilai Mea Square Error (MSE). Nilai MSE yag palig kecil diperoleh megguaka metode badwidth Complete Cross Validatio. Hasil estimasi meujukka bahwa pada ilai parameter badwidth Complete Cross Validatio meghasilka kurva yag tidak cukup mulus tetapi ilai hasil estimasiya dekat dega titik data aktual. Kata kuci: Regresi Noparametrik, Regresi Kerel, Fugsi Gaussia, Estimator Nadaraya-Watso, Cross Validatio, Badwidth. vii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi berjudul PEMILIHAN BANDWIDTH PADA ESTIMATOR NADARAYA- WATSON DENGAN TIPE KERNEL GAUSSIAN PADA DATA TIME SERIES. Peulisa skripsi ii dibuat utuk memeuhi sebagia persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sais Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta. Skripsi ii tidak dapat diselesaika tapa batua, dukuga serta bimbiga beberapa pihak. Peulis megucapka terimakasih kepada: 1. Bapak Dr. Hartoo selaku Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta yag telah memberika kelacara pelayaa dalam urusa akademik. 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusa Pedidika Matematika Uiversitas Negeri Yogyakarta yag telah memberika kelacara pelayaa dalam urusa akademik. 3. Bapak Dr. Agus Mama Abadi, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Uiversitas Negeri Yogyakarta serta Peasehat Akademik yag telah memberika serta motivasi selama studi. 4. Ibu Edag Listyai, M.S dose pembimbig yag telah berkea memberika waktu luag, araha, bimbiga serta dega peuh kesabara meeliti setiap kata demi kata dalam skripsi ii. 5. Seluruh dose Jurusa Pedidika Matematika Uiversitas Negeri Yogyakarta yag telah memberika ilmu kepada peulis. viii

9 6. Oragtua da keluarga yag telah memberika doa, dukuga, serta semagat kepada peulis. 7. Seluruh tema-tema matematika agkata 2012 yag telah meghibur serta meyemagati peulis. 8. Semua pihak yag telah membatu peulisa skripsi ii higga selesai. Peulis meyadari adaya ketidaktelitia, kekuraga da kesalaha dalam peulisa tugas akhir skripsi ii. Oleh karea itu, peulis meerima kritik da sara yag bersifat membagu. Semoga peulisa tugas akhir ii dapat bermafaat bagi pembaca da pihak yag terkait. Yogyakarta,... Agustus 2016 Peulis Joko Ady Saputra ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN PERNYATAAN... iv MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR TABEL... xiii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakag Masalah... 1 B. Rumusa Masalah... 6 C. Tujua Peelitia... 6 D. Mafaat peelitia... 6 BAB II LANDASAN TEORI... 7 A. Itegral Tak Tetu... 7 B. Variabel Radom... 9 C. Ekspektasi da Variasi Variabel Radom D. Distribusi Peluag Bersama E. Distribusi Bersyarat F. Mea Square Error (MSE) G. Uji Normalitas H. Uji Kolmogorov Smirov I. P-value J. Aalisis Regresi Liear Sederhaa K. Metode Kuadrat Terkecil L. Saham M. Ideks Harga Saham BAB III PEMBAHASAN A. Estimasi Noparametrik B. Estimator Desitas Kerel x

11 C. Estimasi Bias D. Mea Square Error da Mea Itegrated Square Error E. Regresi Kerel F. Estimator Nadaraya-Watso G. Estimator Nadaraya-Watso dega Tipe Kerel Gaussia H. Pemiliha Badwidth I. Deskripsi Data J. Uji Liearitas da Uji Normalitas K. Deskripsi Regresi Kerel L. Pemiliha Badwidth Pada Data Harga Saham Jakarta Islamic Ideks. 51 M. Estimator Nadaraya-Watso N. Perbadiga MSE O. Hasil Estimasi Harga Saham Jakarta Islamic Ideks BAB IV PENUTUP A. Kesimpula B. Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Grafik Residual Gambar 3.1 Plot Harga Saham Jakarta Islamic Idex Gambar 3.2 Kurva Hasil Estimasi Harga Saham Jakarta Islamic Idex xii

13 DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Macam-macam Fugsi Kerel Tabel 3.2 Nilai (K(u)) 2 du da u 2 K(u)du fugsi kerel Tabel 3.3 Nilai Parameter Badwidth utuk data Jakarta Islamic Idex Tabel 3.4 Nilai MSE Tabel 3.5 Hasil Estimasi Harga Saham Jakarta Islamic Idex xiii

14 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Aalisis regresi merupaka metode aalisis data yag meggambarka hubuga atara variabel respo dega satu atau beberapa variabel prediktor. Misalka X adalah variabel prediktor da Y adalah variabel respo utuk pegamata berpasaga {x, y}, maka hubuga liear atara variabel prediktor da variabel respo tersebut dapat diyataka sebagai berikut: Y i = m(x i ) + ε i,, 2, 3,,, dega ε i adalah sisaa yag diasumsika idepede dega mea ol da variasi σ i, serta m(x i ) adalah fugsi regresi atau kurva regresi. Meurut Hardle (1990:4) megugkapka bahwa utuk megestimasi m(x i ) ada dua pedekata yag dapat diguaka dalam meetuka kurva regresi yaitu pedekata regresi parametrik da pedekata regresi oparametrik. Pedekata regresi parametrik megasumsika betuk hubuga atara variabel respo da variabel prediktor diketahui atau diperkiraka dari kurva regresi. Meurut Hardle (1990:6) megugkapka bahwa pedekata regresi oparametrik diguaka utuk megestimasi kurva regresi memiliki beberapa tujua utama, yaitu memberika metode utuk meghubuga atara dua variabel secara umum, meghasilka prediksi dari observasi walaupu dibuat tapa referesi, serta merupaka metode yag fleksibel utuk mesubstitusi ilai-ilai yag hilag atara variabel prediktor yag berdekata. Pedekata regresi 1

15 oparametrik merupaka pedekata regresi yag sesuai utuk pola data yag tidak diketahui betukya, atau tidak terdapat iformasi masa lalu tetag pola data, I Nyoma Budiatara (2010:1). Dalam jural Siaa Halim da Idriati Bisoo (2006:74) yag berjudul Fugsi-Fugsi Kerel pada Metode Regresi Noparametrik da Aplikasiya pada Priest River Experimetal Forest s Data memberika kesimpula jika asumsi terhadap sebuah model parametrik dibearka, maka fugsi regresi dapat diestimasi dega cara yag lebih efisie jika dibadigka dega megguaka sebuah metode oparametrik. Tetapi jika asumsi terhadap model parametrik salah, maka hasilya aka memberika kesimpula yag salah terhadap fugsi regresi. Meurut I Komag Gede Sukarsa (2012:21) dalam juralya yag berjudul regresi kerel dalam model regresi oparametrik megugkapka bahwa regresi kerel adalah tekik statistik oparametrik utuk megestimasi ilai E(Y X) = m(x) atau y = m(x) dalam suatu variabel. Tujua regresi kerel yaitu utuk memperoleh hubuga oliear atara X dega Y. Pada regresi oparametrik data aka mecari betuk estimasiya sediri tapa di pegaruhi oleh subjektifitas dari peeliti, sehigga pedekata regresi oparametrik memiliki fleksibilitas yag tiggi, Eubak (1988:3). I Nyoma Budiatara (2010:1) megugkapka bahwa terdapat beberapa tekik utuk megestimasi kurva regresi dalam regresi oparametrik, yaitu kerel, histogram, splie, Deret Fourier, Wavelets, orthogoal. Salah satu pedekata regresi oparametrik yag diguaka dalam peelitia ii adalah regresi kerel. Regresi kerel merupaka salah satu aalisis oparametrik dega metode smoothig. Smoothig telah mejadi sioim dega metode metode 2

16 oparametrik yag diguaka utuk megestimasi fugsi-fugsi. Tujua dari smoothig adalah utuk membuag variabilitas dari data yag tidak memiliki efek sehigga ciri-ciri dari data aka tampak jelas. Regresi kerel memiliki betuk yag fleksibel da perhituga matematisya mudah disesuaika. Pada regresi kerel dikeal suatu estimator yag biasaya diguaka utuk megestimasi fugsi regresi yaitu estimator Nadaraya-Watso. Estimasi dega pedekata kerel tergatug pada dua parameter yaitu badwidth da fugsi kerel. Ada tujuh fugsi kerel atara lai Uiform, Triagle, Epaechicov, Quartic, Triweight, Gaussia, da Cosiics. Diatara ke-tujuh fugsi kerel tersebut pada peelitia ii dipilih fugsi kerel Gaussia. Sedagka badwidth adalah parameter pemulus (smoothig) yag berfugsi utuk megotrol kemulusa kurva yag diestimasi. Badwidth yag terlalu kecil aka meyebabka fugsi yag diestimasi tersebut mejadi sagat kasar sehigga hubuga variasiya tiggi da memiliki potesi bias yag redah. Sebalikya jika badwidth yag terlalu besar meyebabka fugsi yag diestimasi tersebut mejadi sagat mulus sehigga hubuga variasiya redah da memiliki potesi bias yag besar. Oleh karea itu, diperluka pemiliha badwidth optimal. Pemiliha badwidth yag optimal dilakuka dega cara memperkecil tigkat kesalaha. Semaki kecil tigkat kesalaha semaki baik estimasiya. Utuk megetahui ukura tigkat kesalaha suatu estimator dapat dilihat dari Mea Squared Error (MSE). Badwidth yag diguaka pada jural Guidom (2015: 1-22) yaitu Badwidth Rule of Thumb, Ubiased Cross Validatio, Biased Cross Validatio, Complete Cross Validatio. Dari ke-empat badwidth tersebut aka dipilih badwidth yag memiliki ilai MSE yag palig kecil. 3

17 Pada regresi oparametrik kerel Gaussia dega estimator Nadaraya- Watso dalam data time series dapat meggguaka data harga saham Jakarta Islamic Idex (JII). Saham adalah tada bukti peyertaa atau kepemilika seseorag atau sesuatu istitusi dalam suatu bada usaha atau perusahaa dega meerbitka saham, memugkika perusahaa-perusahaa yag membutuhka pedaaa jagka pajag utuk mejual kepetiga dalam bisis saham dega imbala uag tuai. Idikator atau cermia harga saham disebut ideks harga saham. Ideks harga saham merupaka salah satu pedoma bagi ivestor utuk melakuka ivestasi di pasar modal, khususya saham. Saham merupaka salah satu komoditas yag diperdagagka dipasar modal yag palig popular. Ivestasi saham oleh ivestor diharapka memberika keutuga yag sudah barag pasti dalam saham juga megadug risiko. Pegertia saham adalah surat berharga yag dapat dibeli atau dijual oleh peroraga atau lembaga di pasar tempat surat tersebut diperjual-belika. Saham merupaka istrume ekuitas, yaitu tada peyertaa atau kepemilika seseorag atau bada usaha dalam suatu perusahaa atau perseroa terbatas. Jadi, saham merupaka surat berharga sebagai bukti peyertaa atau kepemilika idividu maupu istitusi dalam suatu perusahaa. Dega meyertaka modal tersebut, maka pihak tersebut memiliki klaim atas pedapata perusahaa, klaim atas asset perusahaa da berhak hadir dalam Rapat Umum Pemegag Saham (RUPS). Berkembagya pasar modal yag telah megembagka pegertia megeai pasar modal berbasis syariah. Pasar modal syari ah merupaka pasar modal berbasis syariah. Pasar modal syari ah merupaka pasar modal yag meerapka prisip-prisip syari ah dalam trasaksi ekoomi. 4

18 Pasar modal syari ah megguaka prisip, prosedur, asumsi da aplikasi bersumber dari epistemologi islam. Di duia iterasioal ideks saham syari ah telah berkembag di Negara bagia Timur Tegah maupu Barat. Seirig dega perkembaga ekoomi Islam secara global, ideks syariah merupaka alteratif ivestasi yag ama khususya bagi kaum muslim yag igi berivestasi secara syari ah. Idoesia yag sebagia besar pedudukya muslim, memuculka istrume pasar modal yag megguaka prisip syari ah, salah satuya dega adaya Jakarta Isamic Idex (JII) yag dikhususka utuk perusahaa-perusahaa dega prisip syari ah. Salah satu ideks saham yag meujukka pergeraka harga saham yaitu Jakarta Islamic Idex (JII). Jakarta Islamic Idex (JII) merupaka suatu ragkaia iformasi historis megeai pergeraka harga saham JII yag mecermika suatu ilai yag berfugsi sebagai pegukur kierja suatu saham. Saham JII sebagai acua ivestasi yag berbasis syari ah gua melihat pergeraka harga saham syari ah, sehigga utuk megetahui kemugkia keaika atau peurua harga saham diperluka suatu metode aalisis. Dega melihat kodisi-kodisi di atas, maka peulis aka membahas cara megestimasi harga saham Jakarta Islamic Ideks megguaka regresi oparametrik kerel Gaussia dega estimator Nadaraya-Watso serta metode pemiliha badwidth adalah badwidth Rule of Thumb, Ubiased Cross Validatio, Biased Cross Validatio da Complete Cross Validatio. 5

19 B. Rumusa Masalah Berdasarka latar belakag di atas, maka dapat dirumuska masalah sebagai berikut: 1. Bagaimaa aalisis estimator Nadaraya-Watso dega tipe kerel Gaussia? 2. Bagaimaa pemiliha badwidth pada Rule of Thumb, Ubiased Cross Validatio, Biased Cross Validatio da Complete Cross Validatio? 3. Bagaimaa hasil estimasi setelah dilakuka pemiliha badwidth? C. Tujua Peelitia Sesuai dega rumusa masalah, maka tujua peulisa skripsi ii adalah: 1. Mejelaska aalisis estimator Nadaraya-Watsom dega tipe kerel Gaussia 2. Mejelaska pemiliha badwidth pada Rule of Thumb, Ubiased Cross Validatio, Biased Cross Validatio da Complete Cross Validatio 3. Meetuka hasil estimasi setelah dilakuka pemiliha badwidth. D. Mafaat peelitia Peulisa skripsi ii diharapka dapat memberika mafaat diataraya: 1. Bagi mahasiswa dapat memberika gambara da ilmu tetag pegguaa Estimator Nadaraya-Watso dega tipe kerel Gaussia. 2. Bagi perpustakaa Jurusa Pedidika Matematika UNY, dapat dijadika sebagai referesi maupu meambah wawasa. 6

20 BAB II LANDASAN TEORI A. Itegral Tak Tetu Defiisi 2.1 Itegral Tak Wajar Tipe 1 (Purcell da Varberg, 2010: 37) Jika f kotiu pada selag [, ], da haya jika f(x) dx dapat dikataka koverge da berilai 0 f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx 0 lim f(x) =, maka x c f(x) dx = lim 0 c c f(x) dx + lim c f(x) dx c + 0 (2.1) Cotoh 2.1 Tetuka apakah itegral berikut koverge atau diverge,jika koverge tettuka ilaiya xe x2 dx! Peyelesaia : 1 1 xe x2 dx = 1 2 e x2 ( 2x dx) a a 1 1 a 1 xe x2 dx = [ 1 2 e x2 ] a maka, xe x2 dx = 1 2 e e a2 a 1 xe x2 dx = a lim a 1 2 e e a2 = 1 2e Dapat disimpulka bahwa itegral koverge da berilai 1 2e. Defiisi 2.2 Itegral Tak Wajar Tipe 2 (Purcell da Varberg, 2010: 47) Jika f kotiu pada selag [a, b], kecuali di suatu bilaga c dega a < c < b, da haya jika lim x c f(x) =, maka 7

21 b a c a f(x) dx = f(x) dx b + f(x) dx c b a f(x) dx = lim u c u a f(x) dx + lim u c + b u f(x) dx (2.2) asalka kedua itegral di ruas kaa koverge. Jika tidak demikia, maka dapat b dikataka f(x) dx a Cotoh 2.2 diverge. Tetuka apakah itegral berikut koverge atau diverge, jika koverge tetuka ilaiya! Peyelesaia : xe x2 dx xe x2 dx 0 = xe x2 dx + xe x2 dx 0 0 xe x2 dx = lim x xe x2 dx + lim xe x2 dx x 0 xe x2 dx xe x2 dx = lim 1 0 x 2 e x2 ]t + lim 1 t x 2 e x2 ]0 = lim ( 1 x e t2 ) + lim ( 1 x 2 e t2 + 1 t 2 )] 0 xe x2 dx = xe x2 dx = 0 Jadi itegral tersebut koverge da ilaiya adalah 0. 8

22 B. Variabel Radom Defiisi 2.3 (Bai da Egelhardt, 1992:53) Variabel radom X adalah suatu fugsi yag didefiisika pada ruag sampel S yag meghubugka setiap hasil yag mugki e di S dega suatu bilaga riil, yaitu X(e) = x. Defiisi 2.4 (Bai da Egelhardt, 1992:56) Jika himpua hasil yag mugki dari variabel radom X merupaka himpua terhitug, {x 1, x 2,, x } atau {x 1, x 2, } maka X disebut variabel radom diskrit. Fugsi f(x) = P[X = x]; x = x 1, x 2,, x yag meetuka peluag utuk masig masig ilai x yag mugki disebut dega fugsi desitas peluag diskrit. Cotoh 2.3 Misalka x 1 < x 2 < x 3 <... barisa bilaga real da p, = 1,2,3, barisa =1 bilaga real oegatif sedemikia higga p = 1. Dapat diyataka F(x) = { p i x x < x +1, = 1,2,3, 0 < x < x 1 Dega demikia, F(x) merupaka fugsi distribusi kumulatif tagga. Fugsi tersebut mempuyai lompata dega ukura p pada setiap x da medatar diatara x da x +1, = 1,2,3,.Fugsi distribusi kumulatif sedemikia disebut fugsi distribusi kumulatif diskrit da variabel radom yag bersesuaia merupaka variabel radom diskret. 9

23 Sebalikya, misalka ada fugsi distribusi kumulatif F(x) dalam fugsi F(x). Misalka S = {x 1, x 2, x 3, }, A = 2 S, da dapa diyataka P(A) = p i, A A i:x i εa da X(ω) = ω, maka P adalah ukura probabilitas da fugsi distribusi kumulatif x adalah F(x). Defiisi 2.5 (Bai da Egelhardt, 1992:57) Suatu fugsi dapat dikataka sebagai distribusi peluag dari variabel radom diskrit jika da haya jika memeuhi kedua persamaa berikut utuk semua ilai x: f(x i ) 0 utuk semua x i (2.3) f(x i ) = 1 (2.4) Bukti: Dega megikuti persamaa (2.7), diketahui bahwa ilai pdf diskrit merupaka suatu peluag yag positif. Karea [X = x i ],..., [X = x ] merupaka suatu partisi legkap dari ruag sampel. Sehigga, f(x i ) = P[X = x i ] = 1 (2.5) Akibatya, setiap fugsi desitas harus memeuhi sifat (2.3) da (2.4) da setiap fugsi yag memeuhi sifat (2.3) da (2.4) aka meetapka defiisi peluag. 10

24 Cotoh 2.4 Misalka p(x) = c ( 2 3 )2, x = 1,2,3, aka meetuka c agar p(x) merupaka fugsi massa probabilitas. Dega sediriya c ( 2 3 )x > 0 utuk c positif. Supaya x=1 x=1. p(x) merupaka fugsi massa probabilitas, p(x) = c ( 2 3 )x = 1 1 Karea ( 2 x=1 3 )x = = 3, yag berati ( 2 x=1 3 )x = 3 1 = 2, maka c ( 2 x=1 3 )x = c. 2 = 1 atau c = 1. 2 Defiisi 2.6 (Bai da Egelhardt, 1992:58) Fugsi distribusi kumulatif dari variabel radom X yag didefiisika utuk bilaga riil x adalah sebagai berikut : F(x) = P(X x) (2.6) Cotoh 2.5 F(2,4) = P(X 2,4) = f(0) + f(1) = ( 1 3 ) + (1 2 ) = 5 6 Defiisi 2.7 (Bai da Egelhardt, 1992:61) Jika X variabel radom diskrit dega fugsi desitas peluag dari (X), maka ilai ekspektasi dari X didefiisika sebagai berikut : Defiisi 2.8 (Bai da Egelhardt, 1992:67) E(x) = xf(x) x (2.7) Jika X variabel radom kotiu dega fugsi desitas peluag dari (X), maka ilai ekspektasi dari X didefiisika sebagai berikut : E(x) = xf(x) dx (2.8) E(X) dapat ditulis dega μ atau μ x. 11

25 Cotoh 2.6 Misalka X mempuyai fugsi kepadata probabilitas dega demikia, 2(1 x) 0 < x < 1 f(x) = { 0 yag lai 1 E(X) = xf(x) dx = (x) 2(1 x) dx = Defiisi 2.9 (Wad da Joes, 1995:14) Jika X suatu variabel radom kotiu dega pdf f(x), maka var[f (x)] = E [f (x) E[f (x)]] 2 (2.9) Defiisi 2.10 (Wad da Joes, 1995:15) Jika X suatu variabel radom maka bias dari estimator fugsi kepadata dari f(x) adalah [Bias[f (x)]] 2 = [E[f (x)] f (x)] 2 (2.10) C. Ekspektasi da Variasi Variabel Radom Defiisi 2.11 (Bai da Egelhardt, 1992:72) Jika X adalah variabel radom dega fugsi desitas peluag f(x), maka ilai ekspektasi dari X didefiisika sebagai berikut: E(X) = xf(x), x xf(x)dx, { jika x diskrit jika x kotiu Jika X variabel radom dega fugsi desitas f(x) da u(x) adalah fugsi riil dega domai eleme dari X, maka: 12

26 E[u(X)] = u(x)f(x), x u(x)f(x)dx, { jika x diskrit jika x kotiu Jika X variabel radom dega fugsi desitas f(x), a da b suatu kostata, da g(x) da h(x) fugsi real dega domai eleme dari X, maka E[ag(x) + bh(x)] = ae[g(x)] + be[h(x)] (2.11) E(aX + b) = ae(x) + b (2.12) Sifat-sifat ekspektasi adalah sebagai berikut: 1. E(X + Y) = E(X) + E(Y) 2. E(X Y) = E(X) E(Y) 3. E(aX + b) = ae(x) + b, dega a da b adalah kostata 4. E(XY) = E(X)E(Y), jika X da Y idepede. Cotoh 2.7 Misalka X mempuyai fugsi kepadata probabilitas dega demikia, 2(1 x) 0 < x < 1 f(x) = { 0 yag lai 1 E(X) = xf(x) dx = (x) 2(1 x) dx = E(X 2 ) = x 2 f(x) dx = (x 2 ) 2(1 x) dx = 1 6 Dega megguaka defiisi 2.11 maka, 0 E(6x + 3x 2 ) = 6 ( 1 3 ) + 3 (1 6 ) =

27 Teorema 2.1 (Bai da Egelhardt, 1992:74) Jika X adalah variabel radom, maka : Var(X) = E[(x μ) 2 ] (2.13) Bukti Var(X) = E(X 2 2μX + μ 2 ) Var(X) = E(X 2 ) 2μE(X) + μ 2 Var(X) = E(X 2 ) 2μ 2 + μ 2 Var(X) = E(X 2 ) μ 2 Teorema 2.2 (Bai da Egelhardt, 1992:74) Jika X adalah variabel radom a da b adalah kostata, maka : Var(aX + b) = a 2 Var(X) (2.14) Bukti Var(aX + b) = E[((aX + b) (aμ + b)) 2 ] Var(aX + b) = E[(aX + b aμ b) 2 ] Var(aX + b) = E[a 2 (X μ) 2 ] Var(aX + b) = a 2 E[(X μ) 2 ] Var(aX + b) = a 2 Var(X) D. Distribusi Peluag Bersama Defiisi 2.12 (Walpole da Raymod, 1995:105) 14

28 Distribusi peluag bersama merupaka suatu tabel atau rumus yag medaftarka semua kemugkia ilai x da y bagi variabel radom diskrit X da Y berikut peluag padaaya f(x, y). Bila X da Y adalah dua variabel radom diskrit, distribusi peluag bersamaya dapat diyataka sebagai sebuah fugsi f(x, y) utuk sembarag pasaga ilai (x, y) yag dapat diambil oleh variabel radom X da Y. Jadi, dalam kasus variabel radom diskrit, f(x, y) = P(X = x, Y = y) (2.15) ilai f(x, y) meyataka peluag bahwa x da y terjadi secara bersamaa. Cotoh 2.8 Empat mata uag seimbag dilemparka secara idepede. Probabilitas medapatka dua muka da dua belakag adalah P(x = 2) = ( ) (1 2 ) ( ) = 3 8 E. Distribusi Bersyarat Defiisi 2.13 (Walpole da Raymod, 1995:113 ) Distribusi bersyarat utuk variabel radom diskrit Y, utuk X = x, diberika rumus sebagai berikut: f(y x) = f(x,y) f(x), f(x) > 0 (2.16) Begitu pula distribusi bersyarat utuk variabel radom diskrit X, utuk Y=y, diberika rumus sebagai berikut: f(x y) = f(x,y) f(y), f(y) > 0 (2.17) 15

29 Cotoh 2.9 Misalka bahwa X bagia dari pelari pria da Y bagia dari pelari waita yag meyelesaika lomba-lomba marato dapat diyataka sebagai fugsi padat gabuga Hituglah f(x), f(y x)! Peyelesaia : 8 xy, 0 x 1 0 y x f(x, y) = { 0 utuk ilai x, y laiya f(x) = f(x, y) dy = 8 xy dy f(x) = 4xy 2 ] y=x y=0 = 4x 3, 0 < x < 1 lalu, 0 x f(y x) = f(x, y) f(x) = 8 xy 4 x 3 = 2y x 2, 0 < y < x F. Mea Square Error (MSE) Kesalaha kuadrat rerata atau mea square error (MSE) adalah ilai harapa dari kuadrat perbedaa atara estimator dega parameter populasi. Teorema 2.3 (Haeruddi, 1997:14) Diketahui θ merupaka suatu parameter da θ merupaka taksira dari parameter θ, maka MSE dari suatu taksia parameter θ didefiisika sebagai berikut: MSE[θ ] = E [(θ θ) 2 ] MSE[θ ] = Var[θ ] + [bias[θ ]] 2 (2.18) 16

30 Bukti terdapat Var[θ ] = E [θ E[θ ]] 2 [bias[θ ]] 2 = [E[θ ] θ] 2 dega memisalka E[θ ] = m sehigga MSE[θ ] = E [(θ θ) 2 ] MSE[θ ] = E [(θ E[θ ] + E[θ ] θ) 2 ] MSE[θ ] = E [(θ m + m θ) 2 ] MSE[θ ] = E [(θ m) 2 + 2(θ m)(m θ) + (m θ) 2 ] MSE[θ ] = E [(θ m) 2 ] + 2E[(θ m)(m θ)]+(m θ) 2 MSE[θ ] = E [(θ m) 2 ] +(m θ) 2 + 2E[(θ m)(m θ)] MSE[θ ] = E [(θ m) 2 ] + (m θ) MSE[θ ] = Var[θ ] + [bias[θ ]] 2 Jadi MSE[θ ] sama dega varias ditambah bias kuadrat. Jika θ adalah peduga yag tak bias maka MSE[θ ] merupaka variaya. Dega kata lai, MSE adalah jumlah dari dua kuatitas, yaitu varias da bias kuadrat. 17

31 G. Uji Normalitas Meurut Imam Ghozali (2013:160) meyataka bahwa uji ormalitas diguaka utuk meguji apakah dalam model regresi, variabel depedeya memiliki distribusi ormal atau tidak. Model regresi yag baik adalah memiliki distribusi data ormal atau medekati ormal. Pada prisipya ormalitas data dapat diketahui dega melihat peyebara data (titik) pada sumbu diagoal dari grafik depedeya seperti gambar 2.1 Gambar 2. 1 Grafik Residual Normal Data ormal da tidak ormal dapat diuraika sebagai berikut: 1. Jika data meyebar di sekitar garis diagoal da megikuti arah garis diagoal atau grafik histogramya, meujuka pola berdistribusi ormal, maka model regresi memeuhi asumsi ormalitas. 18

32 2. Jika data meyebar jauh dari garis diagoal da tidak megikuti arah garis diagoal atau grafik histogramya, tidak meujukka pola terdistribusi ormal, maka model regresi tidak memeuhi asumsi ormalitas. Uji ormalitas dega grafik dapat meyesatka apabila tidak hati-hati, secara visual kelihata ormal, amu secara statistik bisa sebalikya. Oleh sebab itu diajurka selai megguaka uji grafik dilegkapi dega uji statistik. Uji statistik sederhaa yag serig diguaka utuk meguji asumsi ormalitas adalah dega megguaka uji ormalitas dari Kolmogorov-Smirov. Metode pegujia ormal tidakya distribusi data dilakuka dega melihat ilai sigifika variabel (p-value). Jika residualya tidak ormal, maka dapat dilakuka beberapa lagkah yaitu: 1. Data tidak berdistribusi ormal 2. Melakuka trasformasi data 3. Megguaka alat aalisis oparametrik. H. Uji Kolmogorov Smirov Prosedur ii diperkealka pada tahu 1933 oleh ahli matematik Rusia A.N. Kolmogorov. Meurut Imam Ghozali (2013:165) megugkapka bahwa metode Kolmogorov-Smirov megguaka data dasar yag belum diolah dalam tabel distribusi frekuesi. Data ditrasformasika dalam ilai Z utuk dapat dihitug luasa kurva ormal sebagai probabilitas kumulatif ormal. Probabilitas tersebut dicari bedaya dega probabilitas kumulatif empiris. Uji Kolmogorov-Smirov dilakuka dega membuat hipotesis dega membuat hipotesis: H 0 Data berdistribusi ormal 19

33 H 1 Data tidak berdistribusi ormal Statistik uji: D = max((fy) (FY i )) (2.19) dega F adalah distribusi kumulatif teoritis dari distribusi yag sedag diuji. Dari statistik uji tersebut didapatka ilai kritisya yaitu jika ilai D lebih besar dari ilai kritis yag diperoleh dari tabel. Seirig berkembagya tekologi, kii pegujia ormalitas bisa dilakuka dega memafaatka software yag megadug aalisis pegujia ormalitas. Peerapa pada uji Kolmogorov-Smirov adalah jika sigifikasi dibawah 0,05 maka uji tersebut meolak hipotesis ol yag meyataka data tidak berdistribusi ormal. I. P-value P-value adalah peluag terkecil sehigga ilai suatu uji statistik yag sedag diamati masih mempuyai arti. P-value lebih bayak diguaka daripada kriteria uji lai seperti tabel distribusi da selag kepercayaa. Hal ii disebabka karea p-value memberika dua iformasi sekaligus, disampig petujuk apakah H 0 patas ditolak, p-value juga memberika iformasi megeai peluag terjadiya kejadia yag disebutka di dalam H 0 (dega asumsi H 0 diaggap bear). P-value dapat juga diartika sebagai besarya peluag melakuka kesalaha pada saat memutuska utuk meolak H 0. Pada umumya p-value dibadigka dega taraf yata a tertetu, biasaya 0,05 atau 5%. Taraf yata a diartika sebagai peluag melakuka kesalaha utuk meyimpulka bahwa H 0 salah, padahal H 0 bear. Kesalaha semacam ii dikeal sebagai galat atau kesalaha jeis I. 20

34 J. Aalisis Regresi Liear Sederhaa Aalisis regresi adalah aalisis statistik yag mempelajari bagaimaa memodelka sebuah model fugsioal dari data mejelaska ataupu meramalka suatu feomea alami atas dasar feomea lai. Aalisis regresi juga merupaka salah satu tekik statistika yag diguaka secara luas dalam ilmu pegetahua terapa dalam bidag ekoomi maupu eksakta. Aalisis regresi merupaka alat statistika yag bermafaat utuk megetahui hubuga atara dua variabel atau lebih, sehigga salah satu variabel dapat diduga dua variabel laiya. Model regresi dasar yag melibatka satu variabel idepede da fugsi regresiya liear dapat ditulis sebagai berikut : Y i = β 0 + β 1 X i + ε i, i = 1,, (2.20) dega, Y i adalah ilai variabel respo pada pegamata ke-i X i adalah variabel prediktor pada pegamata ke-i β 0 da β 1 adalah parameter-parameter yag tidak diketahui ε i adalah error atau galat K. Metode Kuadrat Terkecil Utuk medapatka estimasi yag baik bagi parameter koefisie regresi β 0 da β 1, diguaka metode kuadrat terkecil (LSE). Metode kuadrat terkecil adalah metode yag diguaka utuk meduga parameter dega cara memiimumka ilai ε i 2 dega ε adalah galat atau error, Supramoo (1993:210). Metode 21

35 kuadrat terkecil dapat meduga parameter dari model regresi liear. Misalka terdapat model regresi liear sederhaa yaitu Y i = β 0 + β 1 X i + ε i Persamaa diatas kemudia dibetuk mejadi persamaa sebagai berikut: ε i = Y i β 0 β 1 X i jika ε i adalah galat yag terkecil, maka kuadrat da jumlah kuadratya adalah yag palig kecil. Pada persamaa tersebut mempuyai parameter β 0 da β 1 yag belum diketahui. Maka dega metode kuadrat terkecil aka ditetuka peduga utuk parameter β 0 da β 1 adalah b 0 da b 1, meetuka persamaa ε i kemudia dikuadratka, sehigga diperoleh: 2 ε i = (Y i b 0 b 1 X i ) 2 = Q Utuk meetuka peduga parameter b 0 da b 1 yag meghasilka ilai Q yag miimum maka diselesaika sistem persamaa berikut: Q = 2 (Y b i b 0 b 1 X i )( 1) = 0 0 Q = 2 (Y b i b 0 b 1 X i )(X i ) = 0 1 Dari kedua persamaa diatas diperoleh peduga parameter b 0 da b 1, sebagai berikut: 1. Pedugaa Parameter b 0 Q = 2 (Y b i b 0 b 1 X i )( 1) =

36 Q = (Y b i b 0 b 1 X i ) = 0 0 Q = Y b i b 0 b 1 X i = 0 0 Q = Y b i b 0 b 1 X i = 0 0 b 0 + b 1 X i = Y i b 0 = Y i b 1 X i b 0 = Y b 1 X 2. Pedugaa parameter b 1 Q = 2 (Y b i b 0 b 1 X i )( X i ) = 0 1 Q = (Y b i b 0 b 1 X i )(X i ) = 0 0 Q = Y b i X i b 0 X i 0 Q = Y b i X i b 0 X i 0 b 0 X i 2 b 1 X i = Y i 2 b 1 X i 2 b 1 X i X i = 0 = 0 23

37 2 Y b 1 X X i b 1 X i = Y i 2 Y X i b 1 X X i b 1 X i = Y i X i 2 b 1 ( X i X X i ) = Y i X i Y X i X i b 1 = Y i X i Y X i 2 X i X X i = Y i X i Y X i 2 X i X 2 L. Saham Saham adalah surat berharga yag meujukka kepemilika terhadap sebuah perusahaa. Masig-masig lembar saham biasa mewakili suatu suara tetag segala hal dalam pegurusa perusahaa da megguaka suara tersebut dalam rapat tahua perusahaa da pembagia keutuga (Nor Hadi, 2013:85). Saham berwujud selembar kertas yag meeragka bahwa pemilik kertas tersebut adalah pemilik perusahaa yag meerbitka surat berharga tersebut. Porsi kepemilika ditetuta oleh seberapa besar peyertaa yag ditaamka di perusahaa tersebut. Walaupu demikia tidak semua saham memiliki hak tersebut. Tergatug dari jeis saham yag dimiliki oleh seorag ivestor. Ada beberapa sudut padag utuk membedaka saham (Warsii, 2009:32): 1. Berdasarka cara pegaliha/pemidaha taga dibedaka: a. Saham atas ama (registered stocks) yaitu dimaa idetitas pemilikya tertera pada lembara saham. 24

38 b. Saham atas ujuk (bearer stock), tapa idetitas pemilik, sehigga pemegag saham itulah pemilik saham. 2. Berdasarka hak tagiha ada dua jeis saham: a. Saham Biasa (commo stocks) Saham biasa merupaka jeis efek yag palig serig diperguaka oleh emite utuk memperoleh daa dari masyarakat da merupaka jeis yag palig populer di pasar modal. b. Saham Prefere (preferred stocks) Pemegag saham prefere tidak mempuyai hak suara didalam RUPS tetapi mempuyai hak utuk didahuluka dalam hal pembagia devide maupu klaim terhadap aktiva perusahaa. M. Ideks Harga Saham Defiisi 2.14 Pegertia Ideks Harga Saham Ideks saham adalah harga saham yag diyataka dalam agka ideks. Ideks saham diguaka utuk tujua aalisis da meghidari dampak egatif dari pegguaa harga saham (Hadi, 2013:96). Corporate actio merupaka salah satu tidaka yag dilakuka oleh perusahaa yag dapat merusak aalisis apabila megguaka harga saham dalam rupiah tapa korekai terlebih dahulu. Dega megguaka ideks saham dalam dapat dihidari kesalaha aalisis walaupu tapa koreksi. Setiap bursa efek aka meetapka agka basis ideks yag berbeda, yaitu ada yag dimulai dega basis 100, 500, atau Pada taggal 10 agustus

39 ditetapka sebagai hari dasar (ilai ideks = 100). Sebelum trasaksi pertama terjadi di bursa efek, saham tersebut diberi ideks harga sebagai agka dasar. Kemudia ketika jam perdagaga mulai berlagsug dari pagi pukul da berakhir pada sore pukul 16.00, sudah pastipuluha kali harga terbetuk dalam trasaksi pada hari tersebut. Dari sekia bayak harga yag terbetuk lalu dibagi mejadi tiga, yaitu harga teredah (low), harga tertiggi (high) da harga peutup (close). Ketiga jeis harga tersebut tertera dala Daftar Iformasi Perdagaa Efek Haria (DIPEH) yag ditertibka oleh bursa efek. Ideks harga saham dihitug berdasarka harga pasar peutupa (closig price). Defiisi 2.15 Jakarta Islamic Idex (JII) Jakarta Islamic Idex (JII) merupaka salah satu ideks saham yag ada di Idoesia yag meghitug ideks dega rata-rata saham utuk jeis sahamsaham yag memeuhi kriteria syari ah (Hadi, 2013:136). Pembetuka JII tidak lepas dari kerja sama atara Pasar Modal Idoesia (dalam hal ii Bursa Efek Jakarta) dega PT Daareksa Ivesmet Maagemet (PT DIM). JII telah dikembagka sejak taggal 3 juli Setiap periodeya, saham yag masuk JII berjumlah 30 (tiga puluh saham) yag memeuhi kriteria syari ah da aka diperbarui setiap tiga bula sekali. Peetua kriteria dalam pemiliha saham dalam JII melibatka Dewa Pegawas PT DIM, ada 4 syarat yag harus dipeuhi agar saham-saham tersebut dapat masuk JII: 1. Emite tidak mejalaka usaha perjudia da permaia yag tergolog judi atau perdagaga yag dilarag. 26

40 2. Buka lembaga keuaga kovesioal yag meerapka sistem riba, termasuk perbaka da asurasi kovesioal. 3. Usaha yag dilakuka buka memproduksi, medistribusi, da memperdagagka makaa/miuma yag haram. 4. Tidak mejalaka usaha memproduksi, medistribusi, da meyediaka bara/jasa yag merusak moral da besifat mudharat. 27

41 BAB III PEMBAHASAN A. Estimasi Noparametrik Tujua dasar dalam sebuah aalisa regresi adalah utuk mempelajari bagaimaa respo sebuah peubah Y terhadap perubaha yag terjadi pada peubah lai yaitu X. Hubuga atara X da Y dapat ditulis sebagai berikut: Y i = m(x i ) + ε i ; i = 1,2,3,, (3.1) Dimaa m(x i ) adalah fugsi matematik yag disebut sebagai fugsi regresi da ε i adalah sisaa yag diasumsika idepede dega mea ol. Pada aplikasi, terdapat sekumpula data {(X 1,Y 1 ),..,(X i, Y i )} yag berisi iformasi tetag fugsi m(x i ). Dari data-data ii diduga ataupu diestimasi fugsi m(x i ) tersebut. Dalam beberapa peelitia, serig dijumpai permasalaha pada hubuga fugsioal atara 2 variabel Y da X di maa betuk betuk hubuga secara parametrik tidak dapat diguaka yag diakibatka dari sedikitya pegetahua yag diperoleh tetag fugsi m(x i ) ii, maka estimasi terhadap fugsi m(x i ) ii dapat didekati secara oparametrik. Agar pedekata oparametrik ii meghasilka estimasi terhadap fugsi m(x i ) yag masuk akal, maka hal yag harus diperhatika adalah asumsi bahwa m(x i )memiliki derajat kemulusa. Biasaya kotiuitas dari m(x i ) merupaka syarat yag cukup utuk mejami sebuah estimator aka koverge pada m(x i ) yag sesugguhya bila jumlah data bertambah tapa batas. Estimasi oparametrik secara umum tidaklah efektif diguaka utuk ukura sampel yag kecil (Suyoo, 1997:3). Dalam aplikasi-aplikasi yag lai, dapat diguaka kemajua fasilitas-fasilitas perhituga da metode-metode perhituga utuk 28

42 megembagka hubuga fugsioal atara Y da X. Hal iilah yag mugki mejadi pertimbaga utuk megguaka metode da tekik oparametrik. Kelebiha statistika oparametrik dibadig dega statistika parametrik adalah : 1. Asumsi yag diguaka miimum sehigga meguragi kesalaha pegguaa 2. Perhituga dapat dilakuka dega cepat da mudah 3. Kosep da metode oparametrik mudah dipahami 4. Dapat diterapka pada skala kualitatif (omial da ordial). Estimator-estimator oparametrik yag bayak diguaka adalah estimatorestimator smoothig, dimaa error dari observasi direduksi dari rata-rata data dega bermacam cara. B. Estimator Desitas Kerel Estimator desitas kerel merupaka pegembaga dari estimator histogram. Estimator desitas kerel adalah suatu metode pedekata terhadap fugsi desitas yag belum diketahui dega megguaka fugsi kerel. Estimator diperkealka oleh Roseblatt (1956), Parze (1962) sehigga disebut estimator desitas kerel Roseblatt-Parze (Hardle, 1994). Peghalusa dega pedekata kerel selajutya dikeal sebagai peghalusa kerel (kerel smoother) sagat tergatug pada fugsi kerel da badwidth. Defiisi (Hardle, 1994:32) Didefiisika X adalah variabel radom dega distribusi kotiu F(x) da desitas f (x) = d F(x). Estimator desitas kerel utuk fugsi f (x) adalah dx f (x) = 1 K h(x i x) K (X i x h ) f (x) = 1 h (3.2) 29

43 dega x adalah sebuah agka spesifik yag ilaiya tetap. Persamaa (3.2) dapat disederhaaka dega K h (u) = 1 h (u ), dega memisalka h u = X i x sehigga dapat ditulis f (x) = 1 K h(x i x) (3.3) dega K adalah sebuah fugsi yag merupaka fugsi kotiu, berharga real, terbatas da memeuhi K(x)dx = 1, fugsi ii diamaka fugsi kerel, da h adalah bilaga positif yag disebut dega badwidth. Jika K(u) adalah fugsi desitas kerel, maka K h (u) juga. Estimator kerel memeuhi asumsi-asumsi sebagai berikut: (Silverma, 1986) (i) (ii) K h (x) 0, utuk semua x K(x) bersifat simetris K( x) = K(x), utuk semua x (iii) K(x)dx = 1 (iv) xk(x)dx = 0 (v) x 2 K(x)dx = μ 2 (K) 0, dega μ 2 (K) mome kedua tertetu (vi) [K(x)] 2 dx = K 2 (x) dx = K 2 2 = R(K) Jika fugsi kerel merupaka fugsi desitas, maka estimator fugsi dega megguaka fugsi kerel juga merupaka suatu fugsi desitas probabilitas. Aka dibuktika fugsi desitas kerel memag memeuhi f (x)dx = 1. Bukti f (x)dx = 1 K h(x i x)dx 30

44 f (x)dx = 1 1 h K (X i x h ) dx dega subtitusi : u = X i x h da dx = h du maka diperoleh f (x)dx = 1 K( u)du f (x)dx = 1 K(u)du f (x)dx = 1 1 f (x)dx = 1 f (x)dx = 1 Jadi, f (x) merupaka suatu fugsi desitas. Aka diguaka kembali subtitusi u = X i x, maka mea desitas yag di estimasi adalah h xf (x)dx = 1 x 1 h K (X i x h ) dx xf (x)dx = 1 (X i + uh)k(u)du xf (x)dx = 1 X i K(u)du + 1 h uk(u)du 31

45 xf (x)dx = 1 X i merupaka mea sampel dari X i. Mome kedua dari x dega pdf merupaka desitas yag diestimasi, yaitu x 2 f (x)dx = 1 1 x2 h K (X i x h ) dx x 2 f (x)dx = 1 (X i + uh) 2 K(u)du x 2 f (x)dx = 1 X i 2 K(u)du + 2 X ih uk(u)du + 1 h2 u 2 K(u)du x 2 f (x)dx = 1 X i 2 + h 2 μ 2 (K) dega μ 2 (K) = u 2 K(u)du adalah mome kedua dari u. Selajutya, dapat dicari variasi dari desitas f (x) sebagai berikut 2 2 x 2 f (x)dx ( x 2 f (x)dx) = 1 X i 2 + h 2 μ 2 (K) ( 1 X i) 2 x 2 f (x)dx ( x 2 f (x)dx) = σ 2 + h 2 μ 2 (K) 32

46 dega σ adalah variasi sampel. Dega demikia, estimasi desitas meaikka variasi sampel sebesar h 2 μ 2 (K). Meurut Sukarsa da Sriadi (2012:20) meyataka bahwa fugsi kerel ada bermacam-macam, cotohya kerel Gaussia, kerel Uiform, kerel Biweight. Tabel 3.1 meyajika bermacam-macam fugsi kerel da betukya, sebagai berikut: Tabel 3.1 Macam-macam Fugsi Kerel Tipe Kerel Uiform Triagular Biweight (Quadratik) Triweight Gaussia Epaechikov Fugsi Kerel K(u) = 1 2 I ( 1,1)(u) K(u) = (1 u )I ( 1,1) (u) K(u) = (1 u2 )I ( 1,1) (u) K(u) = (1 u2 ) 3 I ( 1,1) (u) K(u) = 1 2π e u2 2 I (,) (u) K(u) = 3 4 (1 u2 )I ( 1,1) (u) dega I adalah Idikator. C. Estimasi Bias Estimator desitas kerel f (x) merupaka estimator tak bias asimtotik dari suatu fugsi kepadata f(x). Meurut Haeruddi (1997:27) adaika f (x) adalah estimator desitas kerel dari suatu fugsi kepadata f(x) pada titik x R da adaika X i berdistribusi idetik dega fugsi kepadata f(x), maka E[f (x)] = E [ 1 h K (X i x h ) ] 33

47 E[f (x)] = 1 h E [K (X i x h )] E[f (x)] = 1 h E [K (X i x h )] E[f (x)] = 1 h x K (y h ) f(y)dy misalka s = y x, maka dy = hds. Sehigga, h E[f (x)] = 1 K(s)f(x + sh)hds h E[f (x)] = K(s)f(x + sh) ds itegral tersebut tidak dapat diselesaika kecuali megguaka pedekata ekspasi taylor dari f(x + sh) dega sh = 0, ketika h 0. Utuk setiap kerel order ke v, maka dapat megguaka atura sebagai berikut f(x + sh) = f(x) + f (x)sh f (x)h 2 s ! f (x)h 3 s v! fv (x)h v s v + o(h v ) o(h v ) adalah sisa dari order yag lebih redah dari h v saat h 0. Maka, ekspasi taylor order dua utuk f(x + sh) sebagai berikut: f(x + sh) = f(x) + f (x)sh f (x)h 2 s 2 + o(h 2 ) Selajutya, dega atura K(s)ds = 1 da s j K(s)ds = μ j (K), maka 34

48 E[f (x)] = K(s) [f(x) + f (x)sh f (x)h 2 s 2 + o(h 2 )] ds E[f (x)] = f(x) K(s)ds + f (x)h s K(s)ds f (x)h 2 s 2 K(s)ds + o(h 2 ) K(s)ds E[f (x)] = f(x)(1) + f (x)h(0) f (x)h2 s 2 K(s)ds + o(h 2 ) (1) E[f (x)] = f(x) f (x)h 2 μ 2 (K) + o(h 2 ) (3.4) Aka dihitug bias, itegrated squared bias, da variasi dari f (x) sebagai berikut (i) Bias dari f (x) Bias f (x) = E(f (x)) f(x) Bias f (x) = f(x) f (x)h 2 μ 2 (K) + o(h 2 ) f(x) Bias f (x) = 1 2 f (x)h 2 μ 2 (K) + o(h 2 ) (3.5) (ii) Itegrated Squared Bias dari f (x) Bias (f (x)) 2 dx = h4 4 μ 2 (K)2 (f (x)) 2 dx + (o (h 2 )) 2 Bias (f (x)) 2 dx = h4 4 μ 2 (K)2 R (f ) + o(h 4 ) (3.6) (iii) Variasi dari f (x) Selajutya aka dihitug variasi dari f (x). Aka diguaka pedekata Taylor order satu. Faktaya 1 lebih kecil dari (h) 1 jika h 0 da. 35

49 Var(f (x)) = 1 2 Var ( K h(x i x) ) Var(f (x)) = 1 2 Var(K h(x i x)) Var(f (x)) = 1 Var(K h(x i x)) Var(f (x)) = 1 {E[K h 2 (X i x)] (E[K h (X i x)]) 2 } Var(f (x)) = 1 { 1 h 2 y x K2 ( h ) f(y)dy (f(x) + o(h))2 } Substitusi s = y x h da dy = hds, maka Var(f (x)) = 1 h 2 K2 (s)f(x + sh)hds 1 (f(x) + o(h))2 Var(f (x)) = 1 h K2 (s)ds f(x + sh) 1 (f(x) + o(h))2 Var(f (x)) = 1 h R(K)f(x) + o(h) 1 (f(x) + o(h))2 Var(f (x)) = 1 1 f(x)r(k) + o ( ) h h Var(f (x)) = ((h) 1 )f(x)r(k) + o((h) 1 ), h (3.7) dega R(K) = K 2 (s)ds D. Mea Square Error da Mea Itegrated Square Error Meurut Suyoo (1997:41) megugkapka bahwa suatu estimasi desitas kerel yag dibuat tergatug dari beda atara desitas yag sebearya f dega hasil estimasi f. Cara pegukura beda atara desitas sebearya f dega hasil estimasi f adalah dega square error (SE) di suatu titik 36

50 SE x (f ) = {f (x) f(x)} 2 (3.8) Sehigga mea square error (MSE) dapat dirumuska MSE x (f ) = E [{f (x) f(x)} 2 ] MSE x (f ) = E{f (x) E[f (x)] + E[f (x)] f(x)} 2 MSE x (f ) = E [(f (x) E[f (x)]) 2 ] + E [{E[f (x)] f(x)} 2 ] + 2E{(f (x) E[f (x)])(f (x) f(x))} MSE x (f ) = E [(f (x) E[f (x)]) 2 ] + [{E[f (x)] f (x)} 2 ] MSE x (f ) = var f (x) + (bias f (x)) 2 (3.9) Maka, berdasarka persamaa (3.9) dapat dicari ilai MSE dari f (x) sebagai berikut: MSE (f (x)) = varf (x) + [bias 2 f (x)] 2 MSE (f (x)) = 1 h f(x)r(k) + o((h) 1 ) + [ f (x)h 2 ì 2 (K) + o(h 2 )] MSE (f (x)) = 1 h4 f(x)r(k) + h 4 (f (x)ì 2 (K)) 2 + o((h) 1 ) + o(h 4 ) (3.10) utuk h 0, h sedagka pegukura keseluruha beda atara desitas yag sebearya f dega hasil estimasi f disebut MISE yaitu mea itegrated square error (Haeruddi,1997:17). 37

51 MISE(f ) = MSE x (f )dx MISE(f ) = E{f (x) f(x)} 2 dx MISE(f ) = E [(f (x) E[f (x)]) 2 ] dx + E [{E[f (x)] f(x)} 2 ] dx MISE(f ) = varf (x) dx + (bias f (x)) 2 dx (3.11) Maka, MISE[f (x)] = MSE[f (x)]dx MISE[f (x)] = { 1 h f(x)r(k) + h4 4 (f (x)μ 2 (K)) 2 + o((h) 1 ) + o(h 4 )} dx MISE[f (x)] = 1 h f(x)r(k)dx + + o(h 4 ) h4 4 (f (x)μ 2 (K)) 2 dx + o((h) 1 ) MISE[f (x)] = 1 h R(K) f(x)dx + o(h 4 ) + h4 4 μ 2(K) 2 (f (x)) 2 dx + o((h) 1 ) MISE[f (x)] = 1 h4 R(K) + h 4 μ 2(K) 2 (f (x)) 2 dx + o((h) 1 ) + o(h 4 ) 38

52 MISE[f (x)] = 1 h4 R(K) + μ h 4 2(K) 2 R(f ) + o((h) 1 ) + o(h 4 ) (3.12) utuk h 0, h E. Regresi Kerel Salah satu tekik smoothig utuk megestimasi fugsi peghalus m pada persamaa (3.1) adalah regresi kerel. Dalam jural Sukarsa da Sriadi (2012:21), Regresi kerel merupaka metode utuk memperkiraka ekspektasi bersyarat dari variabel acak dega megguaka fugsi kerel. Metode alteratif dalam pedekata regresi oparametrik ii megguaka pemulus kerel, yag megguaka rata-rata terbobot dari data. Tujua aalisis regresi adalah meemuka hubuga atara sepasag variabel acak X da Y, utuk medapatka da megguaka bobot yag sesuai. Meurut Hardle (1994:26), dalam setiap regresi oparametrik, harapa bersyarat dari variabel Y relatif terhadap variabel X dapat ditulis E(Y X) = m (x) atau E(Y X = x) = y f(x,y)dy f(x). Dimaa m adalah fugsi yag tidak diketahui utuk medapatka da megguaka bobot kerel yag sesuai. Dalam regresi kerel terdapat berbagai estimator yag dapat diguaka utuk meduga betuk m, diataraya adalah estimator Nadaraya-Watso, estimator Poliomial Lokal, estimator Pristly-Chao da estimator Gasser-Muller. Dalam bab ii aka dibahas megeai estimator Nadaraya-Watso. F. Estimator Nadaraya-Watso Nadaraya da Watso pada tahu 1964 medefiisika estimator regresi kerel sehigga disebut estimator Nadaraya-Watso (Wad da Joes, 1995:130). Nilai dari fugsi m(x) sesuai dega ilai prediktor yag ekuivale dega 39

53 ekspektasi dari variabel target dibawah kodisi ilai dari prediktor tetap yaitu x, maka m (x) = E(Y X = x) m (x) = yf(y x)dy m (x) = yf(x, y)dy f(x) (3.13) Selajutya, Oryza (2013:22) meyataka bahwa aka diguaka estimator desitas kerel sebagai metode yag sederhaa utuk megestimasi f(x, y) da f(x). Estimasi dari f(x, y) da f(x) diotasika sebagai f (x, y) da f (x). f (x, y) = 1 K h x h x ( X i x ) K y h y ( Y i y ) x h y (3.14) f x (x) = 1 K h x ( X i x ) x h x (3.15) dimaa K x ( X i x h x ) da K y ( Y i y ) merupaka fugsi kerel, h x da h y merupaka h y kosta yag berilai positif disebut dega badwidth. Telah disebutka bahwa fugsi kerel memeuhi K x (u)du = K y (u)du = 1 uk x (u)du = uk y (u)du = 0 (3.16) (3.17) u 2 K x (u)du < (3.18) 40

54 u 2 K y (u)du < (3.19) dari persamaa (3.16) da persamaa (3.17) diperoleh mejadi persamaa di bawah ii: 1 h x K x ( X i x ) dx = 1 h x h y K y ( Y i y ) dy = 1 h y (3.20) 1 (h x ) 2 xk x ( x ) dx = 1 h x (h y ) 2 yk y ( y ) dy = 0 h y (3.21) utuk mecari perhituga yag sederhaa yaitu m (X) dapat megguaka subtitusi dari persamaa (3.14) da persamaa (3.15) ke dalam persamaa (3.13) sebagai berikut: m (x) = yf (x, y)dy f (x) m (x) = y 1 K h x h x ( X i x ) K y h y ( Y i y ) dy x h y 1 K h x ( X i x ) x h x m (x) = K x ( X i x ) yk h y ( Y i y ) dy x h y K x ( X i x h x ) h y (3.22) Selajutya, jika dimisalka Z = Y i y, maka dy = h h y dz y 1 h y yk y ( Y i y ) dy = h y h y h y (Y i + h y Z)K y (Z)dZ 41

55 1 h y 1 h y yk y ( Y i y ) dy = Y i K y (Z)dZ + ZK y (Z)h y dz h y yk y ( Y i y ) dy = Y h i (1) + h y (0) y 1 h y yk y ( Y i y ) dy = Y i (3.23) h y Substitusi dari persamaa (3.23) ke dalam persamaa (3.22), da peyederhaaa dari K x (. ) mejadi K(. ) da dari h x mejadi h meghasilka: 1 m (x) = 1 K x ( X i x h ) Y i K x ( X i x h ) m (x) = K ( X i x h ) Y i K ( X i x h ) (3.24) dega mesubtitusika persamaa (3.24) terhadap model regresi pada persamaa (3.1), maka estimator Nadaraya-Watso dari model regresi (3.1) adalah m (x) = K ( X i x h ) Y i K ( X i x h ) + ε i, i = 1,2,3,..., (3.25) dega, K : fugsi kerel h : ilai badwidth tertetu X i : ilai amata variabel prediktor ke-i 42

56 Y i : ilai amata variabel respo ke-i x : ilai radom varibael X atau dapat dega ilai tertetu dari variabel X m (x) : estimator Nadaraya-Watso dari x G. Estimator Nadaraya-Watso dega Tipe Kerel Gaussia Pada persamaa (3.25) diketahui bahwa estimator Nadaraya-Watso membutuhka fugsi kerel, K(x). Pada pembahasa ii haya diguaka satu jeis fugsi bobot kerel, yaitu Kerel Gaussia. Alasa pemiliha kerel Gaussia, karea fugsi bobot kerel tersebut terdefiisi atau memiliki ilai pada semua bilaga riil. Jika megguaka estimator Nadaraya-Watso da Tipe kerel Gaussia, maka model peduga m (X i ) aka berbetuk sebagai berikut : m (x) = K ( X i x h ) Y i K ( X i x h ) dega, K(x) = 1 2π exp (1 2 ( x2 )) = 1 2π exp ( 1 2 x2 ) maka m (x) = 1 2π exp ( 1 2 (X i x 2) h ) Y i 1 2π exp ( (X i x h ) ) (3.26) H. Pemiliha Badwidth Meurut Silverma (1986), tigkat kemulusa f ditetuka oleh fugsi kerel K da badwidth h, tetapi pegaruh fugsi kerel kurag sigifika dibadig pegaruh badwidth. Badwidth h pada estimator kerel berfugsi utuk meyeimbagka atara bias da variasi dari fugsi tersebut. Nilai h yag kecil aka memberika grafik yag kurag mulus amu memiliki bias yag kecil. 43

57 Sebalikya jika badwidth yag terlalu besar meyebabka fugsi yag diestimasi terlalu mulus, sehigga hubuga variasiya redah da memiliki potesi bias yag besar. Tujua estimasi kerel adalah memperoleh kurva yag mulus amu memiliki ilai MSE yag tidak terlalu besar, maka perlu dipilih ilai h optimal utuk medapatka grafik optimal. Pemiliha badwidth h merupaka masalah utama dari estimator desitas kerel. Pemiliha badwidth yag optimum dilakuka dega cara memperkecil tigkat kesalaha. Semaki kecil tigkat kesalaha maka semaki baik estimasiya. Utuk megetahui ukura tigkat kesalaha suatu estimator dapat dilihat dari MSE (Mea Square Error) atau MISE (Mea Itegrated Square Error). 1. Badwidth Rule of Thumb Meurut Wad (1995), formula-formula utuk badwidth yag optimal yaitu dega memiimalka Asymptotic Itegrated Mea Square Error (AMISE) terhadap h. AMISE adalah persamaa yag dihasilka dega meghilagka order tertiggi dari pedekata formula Mea Itegrated Square Error (MISE) pada persamaaa (3.12). Maka, ilai AMISE adalah sebagai berikut: AMISE (f (x)) 1 h4 R(K) + h 4 μ 2(K) 2 R(f ) (3.27) Utuk meghasilka ilai badwidth optimal, maka 0 = AMISE h 0 = ( 1 h4 R(K) + h 4 μ 2(K) 2 R(f )) h 0 = 1 h 2 R(K) + h3 μ 2 (K) 2 R(f ) 44

58 1 h 2 R(K) = h3 μ 2 (K) 2 R(f ) R(K) = h 2 h 3 μ 2 (K) 2 R(f ) R(K) = h 5 μ 2 (K) 2 R(f ) h 5 R(K) = μ 2 (K) 2 R(f ) R(K) h = ( μ 2 (K) 2 R(f ) ) sehigga, 1 5 h opt = R(K) μ 2 (K) 2 5 R(f " ) 1 5 (3.28) persamaa diatas tidak dapat lagsug diguaka karea terdapat parameter yag tidak diketahui yaitu R(f ). Nilai R(f ) dapat dipermudah dega megguaka pedekata kelompok distribusi stadar. Sebagai cotoh adalah distribusi ormal dega variasi σ 2, jika P merupaka desitas ormal stadar, maka P(x) = 1 e x2 2σ 2 2πσ Sehigga, f (x) 2 dx = P (x) 2 dx f (x) 2 dx = 3 8 π 1 2σ 5 (3.29) f (x) 2 dx 0.212σ 5 45

59 Jika megguaka kerel Gaussia, maka badwidth optimal dapat diperoleh dega mesubtitusika persamaa (3.29) ke dalam persamaa (3.28), sehigga dapat diperoleh h opt = (1) 2 5(2 π) 1 5 (0.212) 1 5 σ 1 5 = 1.06σ 1 5 pada persamaa (3.28) terdapat μ 2 K da K(x) 2 dx yag dapat disubtitusika dega ilai yag teragkum pada tabel (3.2) Tabel 3.2 Nilai (K(u)) 2 du da u 2 K(u)du fugsi kerel Tipe Kerel K(u) (K(u)) 2 du u 2 K(u)du Uiform K(u) = 1 2 I ( 1,1)(u) Triagular K(u) = (1 u )I ( 1,1) (u) 2 3 Biweight (Quadratik) Triweight Gaussia Epaechikov K(u) = (1 u2 )I ( 1,1) (u) K(u) = (1 u2 ) 3 I ( 1,1) (u) K(u) = 1 2π e u2 2 I ( ~,~) (u) K(u) = 3 4 (1 u2 )I ( 1,1) (u) ð Sumber : Multivariat Desity Estimatio: Theory, Practice, ad Visualizatio (Scott,1987) 2. Ubiased Cross Validatio (UCV) Meurut Guidoum (2015:13), metode ii pertama kali diperkealka oleh Rudemo (1982), kemudia dikembagka oleh Scott (1987). Metode Ubiased Cross Validatio (UCV) merupaka metode pemiliha badwidth yag bertujua utuk megestimasi h dega cara memiimalka Itegrated Square Error (ISE), dega fugsi berikut:

60 (r) 2 UCV(h, r) = (f ĥ (x)) 2 1 ( 1) r (2r) f ĥ,i (Xi ) (3.30) dega, (r) 2 R(K (r) ) (f h (x)) = h 2r+1 + r ( 1) ( 1)h 2r+1 K(r) K (r) ( X j X i h j=1 j 1 ) (2r) (Xi ) f h,i = 1 ( 1)h 2r+1 K(2r) ( X j X i ) h j i Badwidth yag memiimalka fugsi ii adalah: h ucv = argmiucv(h, r) UCV(h, r) = R(K(r) ) h 2r+1 + ( 1) r 3. Biased Cross Validatio (BCV) ( 1)h 2r+1 (K(r) K (r) 2K (2r) ) ( X j X i j=1 ) (3.31) h j 1 Meurut Guidoum (2015:11), metode ii dikembagka oleh Scott, George, Joes da Kappema. Metode ii baik diguaka ketika jumlah sampel besar. Metode ii hampir sama dega metode Rule of Thumb, didasarka pada formula yag memiimalka Asymptotic Mea Itegrated Square Error (AMISE). Pada persamaa AMISE, fugsi objektif BCV diperoleh dega meggati R(f (r+2) ) yag tidak diketahui ilaiya dega estimator sebagai berikut: ( 1)r+2 R (f (r+2) ) = ( 1)h 2r+5 K(r+2) K (r+2) ( X j X i j=1 h ) (3.32) j 1 Maka didapatka persamaa sebagai berikut, 47

61 BCV(h, r) = R(K(r) ) h + μ 2(K) 2 4 ( 1) r+2 ( 1)h 2r+1 K(r+2) K (r+2) ( X j X i ) h j=1 (3.33) j 1 4. Complete Cross Validatio (CCV) Meurut Guidoum (2015:13), metode ii dikembagka oleh Joes da Kappema. Metode ii didasarka pada estimasi turua Itegrated Square Desity Derivative. Berikut metode CCV yag memiimalka h: CCV(h, r) = R(f (r) ĥ ) θ r(h) + 1 μ 2 2(K)h 2 θ r+1(h) + 1 (μ 24 2(K) 2 δ(k))h 4 θ r+2 (h) (3.34) dega, h adalah ilai badwidth r adalah order derivative μ 2 (K) = x 2 K(x)dx R(K (r) ) = K r (x) 2 dx δ(k) = x 4 K(x)dx (r) R(K (r) ) R(f ĥ ) = h 2r+1 + ( 1) r ( 1)h 2r+1 K(r) K (r) ( X j X i ) h j=1 j 1 ( 1) r θ r(h) = ( 1)h 2r+1 K(2r) ( X j X i ) h I. Deskripsi Data j=1 j 1 Dalam studi kasus ii, data bersumber dari Data historis diambil dari data harga saham Jakarta Islamic Idex. Data yag diperluka dalam permodela ii adalah data harga saham Jakarta Islamic Idex. Data yag diguaka data historis haria dalam retag waktu 1 jauari 2016 sampai dega 48

62 30 april 2016 dega jumlah data 82. Selama retag waktu tersebut, bahwa harga saham JII berada pada kisara 581,78 683,12. Nilai JII teredah tersebut terjadi pada taggal 21 jauari 2016 da ilai JII tertiggi pada taggal 22 april Data terdiri dalam dua variabel yaitu variabel Jakarta Islamic Idex da variabel waktu (dalam haria). J. Uji Liearitas da Uji Normalitas Dega megguaka data tersebut da megguaka software SPSS versi 20 yag dapat dilihat pada lampira 3 bagia 1 da 2, terlebih dahulu aka dilakuka aalisis data awal. Aalisis regresi harus memeuhi asumsi liearitas da ormalitas. Uji liearitas dilakuka dega membuat plot data, plot data tersebut diguaka utuk melihat apakah ada hubuga liear atara variabel X da Y, selai itu dapat diguaka utuk meduga betuk fugsi data yag medekati da melihat bagaimaa perubaha pola perilaku kurva. Bayak djumpai betuk fugsi yag dapat meggambarka hubuga atara peubah sehigga dalam megaalisis suatu hasil peelitia haruslah ditetuka terlebih dahulu betuk kurva yag sesuai utuk merepresetasika data. Gambar (3.1) berikut meujukka pola hubuga atara harga saham JII da waktu (dalam haria): 49

63 Hargasaham.JII Waktu.Haria. Gambar 3.1 Plot Harga Saham Jakarta Islamic Ideks (JII) Plot tersebut meujukka bahwa variabel waktu da variabel harga saham JII tidak berhubuga secara liear. Dari plot dapat diketahui bahwa pada waktu haria pertama, harga saham JII aik secara sigifika seirig dega waktu demi waktu dega keaika ilai harga saham. Dari output diperoleh ilai p-value sebesar 0,000 maka H 0 ditolak. Jadi, dapat disimpulka bahwa tidak terdapat hubuga liear atara waktu (haria) da harga saham JII. Selajutya perlu dilakuka uji iferesi ormalitas agar diperoleh hasil yag pasti apakah asumsi keormala terpeuhi atau tidak. Aka dilakuka uji hipotesis asumsi ormalitas terhadap data variabel respo (harga saham JII). Jumlah sampel yag diaalisis sebayak 82 harga saham JII, maka uji ormalitas dilakuka dega megguaka uji Kolmogorov-Smirov. Dari statistik uji p-value, diperoleh ilai p-value adalah 0,001. Nilai ii lebih kecil dibadigka dega ilai alpha sebesar 0,05. Oleh karea itu H 0 ditolak, jadi dapat disimpulka bahwa data harga saham JII tidak berdistribusi ormal. 50

64 K. Deskripsi Regresi Kerel Setelah diketahui bahwa variabel respo tidak memeuhi asumsi liearitas, da tidak berdistribusi ormal, maka dapat diguaka solusi alteratif yaitu regresi oparametrik dega fugsi peduga kerel. Dalam kasus ii, fugsi kerel yag diguaka adalah kerel Gaussia. Estimator yag diguaka adalah estimator Nadaraya-Watso. Order derivatif yag diguaka adalah order ol. L. Pemiliha Badwidth Pada Data Harga Saham Jakarta Islamic Ideks Dalam suatu Regresi Kerel, hal yag palig petig terletak pada besarya ilai parameter badwidth-ya. Oleh sebab itu, dalam pembahasa berikut ii aka dihitug ilai parameter badwidth utuk masig-masig metode. Metode yag diguaka dalam meetuka besaya ilai parameter badwidth pada kasus ii adalah badwidth Rule of Thumb, Ubiased (Least Square) Cross Validatio, Biased Cross Validatio da Complete Cross Validatio. Fugsi kerel yag diguaka utuk mecari badwidth adalah fugsi kerel Gaussia. Badwidth utuk Data Harga Saham Jakarta Islamic Ideks sebagai berikut: Dega megguaka batua software R da utuk hasil output pada lampira 3 bagia 3, dihasilka ilai parameter badwidth utuk data harga saham JII dega metode badwidth Rule of Thumb sebesar 22,50611, metode Ubiased (Least Square) Cross Validatio sebesar 11,79575, metode Biased Cross Validatio sebesar 15,23938, sedagka utuk perhituga metode Complete Cross Validatio dihasilka badwidth sebesar 4, Nilai-ilai parameter smoothig yag telah dihasilka, maka dapat diragkum dalam sebuah tabel berikut ii : 51

65 Tabel 3.3 Nilai parameter Badwidth utuk Data Harga Saham JII Metode Badwidth Badwidth Rule of Thumb 22,50611 Ubiassed Cross Validatio 11,79575 Biassed Cross Validatio 15,23938 Complete Cross Validatio 4, Besarya ilai parameter badwidth tersebut, selajutya diguaka pada metode kerel yag aka diguaka dega cara mesubtitusika ilai badwidth tersebut pada estimator Nadaraya-Watso. Selajutya aka dicari model estimasi harga saham Jakarta Islamic Ideks megguaka estimator Nadaraya Watso dega tipe Kerel Gaussia da parameter badwidth yag telah dihasilka pada tabel 3.3. M. Estimator Nadaraya-Watso Dalam pembahasa ii, aka dilakuka perhituga ilai estimasi harga saham JII megguaka software R Setelah dilakuka ruig program, maka dihasilka ilai estimasi yag tercatum pada lampira 3 bagia 5. Berikut perbadiga kurva atar metode pemiliha badwidth (metode Rule of Thumb, metode Ubiased (Least Square) Cross Validatio, metode Biased Cross Validatio da metode Complete Cross Validatio) dega megguaka estimator Nadaraya-Watso utuk data harga saham Jakarta Islamic Ideks : 52

66 HargaSaham Time(Waktu) Gambar 3.2 Kurva Hasil Estimasi Harga Saham Jakarta Islamic Ideks (JII) Keteraga: Rule of Thumb = Berwara Biru Ubiassed Cross Validatio = Berwara Merah Biassed Cross Validatio Complete Cross Validatio = Berwara Hijau = Berwara Kuig Dari gambar 3.2 dapat dilihat bahwa kurva estimator Nadaraya-Watso dega metode pemiliha badwidth yaitu badwidth Rule of Thumb meghasilka kurva yag cukup mulus. Berbeda dega metode-metode yag lai, yaitu metode Ubiased (Least Square) Cross Validatio, Biased Cross Validatio maupu Complete Cross Validatio meujukka bahwa kurva regresi tidak cukup mulus. Aka tetapi, dega badwidth Complete Cross Validatio yag palig medekati hasil estimasi dega titik data aktual. N. Perbadiga MSE Pada pembahasa ii, aka dibahas perbadiga metode yag diguaka terhadap data harga saham Jakarta Islamic Ideks. Dega perbadiga ii, maka 53

67 aka diketahui metode pemiliha badwidth yag lebih akurat dalam megestimasi data harga saham Jakarta Islamic Ideks. Dega perbadiga ii, aka dilihat plot grafik metode (gambar 3.2) terhadap data harga saham JII yag ada da megguaka tigkat besarya error. Dikareaka megguaka plot grafik aka cukup meyulitka disaat terdapat plot yag berhimpit, maka diguaka cara melihat besarya error yag dihasilka dari estimator tersebut. Metode yag meghasilka besarya error yag palig kecil meadaka bahwa metode tersebut adalah metode yag lebih baik utuk megestimasi data harga saham Jakarta Islamic Ideks. Dega estimator Nadaraya-Watso da berbagai metode pemiliha badwidth, maka dihasilka ilai MSE sebagai berikut : Tabel 3.4 Nilai MSE Metode Jakarta Islamic Ideks Rule of Thumb 95,36849 Ubiassed Cross Validatio 57,42625 Biassed Cross Validatio 71,52251 Complete Cross Validatio 19,36044 Dari tabel 3.4 dapat dilihat bahwa pemiliha badwidth dega metode Rule of Thumb memiliki ilai MSE yag palig kecil utuk data harga saham JII. Nilai MSE data estimasi harga saham JII yaitu sebesar 19, Oleh karea itu dapat dikataka bahwa metode pemiliha badwidth Complete Cross validatio merupaka metode pemiliha badwidth yag palig tepat diguaka utuk megestimasi harga saham Jakarta Islamic Ideks. 54

68 O. Hasil Estimasi Harga Saham Jakarta Islamic Ideks Berikut hasil estimasi harga saham Jakarta Islamic Ideks (JII) megguaka metode pemiliha badwidth Complete Cross Validatio : Tabel 3.5 Hasil estimasi harga saham JII Waktu (dalam haria) Harga Saham JII 1 598, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

69 Waktu (dalam haria) Harga Saham JII , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

70 Waktu (dalam haria) Harga Saham JII , , , , , , , ,2938 Dari tabel 3.5 dapat dilihat bahwa harga saham Jakarta Islamic Ideks dega waktu ke 36 hari yaitu 626,6908. Harga saham JII aka terus megalami keaika sesuai dega rutu waktu pada harga saham. Higga waktu ke 82 hari, harga saham berada pada kisara 658,2938. Dega hasil estimasi JII megguaka badwidth Complete Cross Validatio. Harga saham JII pada setiap waktuya yag berbeda dari hasil estimasi badwidth ubiased cross validatio, biased cross validatio, Rule of Thumb. 57

71 BAB IV PENUTUP Setelah dilakuka pembahasa tetag metode yag diguaka dalam pegestimasia harga saham da dilakuka studi kasus terhadap data harga saham Jakarta islamic ideks, maka dapat diperoleh beberapa kesimpula da sara sebagai berikut: A. Kesimpula Kesimpula yag diperoleh setelah dilakuka pembahasa utuk metode yag diguaka da studi kasus yag telah dilakuka pada bab-bab sebelumya adalah sebagai berikut: 1. Aalisis estimator Nadaraya-Watso dega tipe Kerel Gaussia dapat megguaka regresi oparametrik. Regresi oparametrik adalah prosedur statistik yag tidak megacu pada parameter tertetu. Estimasi desitas kerel adalah suatu metode pedekata terhadap fugsi desitas yag belum diketahui dega megguaka fugsi kerel. Fugsi kerel yag diguaka dalam skripsi ii adalah fugsi kerel Gaussia megguaka data harga saham JII. Data harga saham Jakarta Islamic Ideks pada periode 1 jauari 2016 sampai dega 30 april 2016 megikuti asumsi liearitas tetapi tidak megikuti asumsi ormalitas. Maka regresi oparametrik kerel bisa mejadi solusi masalah tersebut. 2. Metode Badwidth Complete Cross Validatio memberika hasil estimasi dega ilai MSE palig kecil dibadigka dega metode lai. Sehigga metode tersebut merupaka metode pemiliha badwidth terbaik utuk 58

72 megestimasi data harga saham Jakarta Islamic Ideks pada periode 1 jauari 2016 sampai dega 30 april Hasil estimasi pada skripsi ii dapat diguaka secara umum utuk meduga harga saham berdasarka waktuya. Misalka igi megetahui harga saham Jakarta Islamic Ideks pada waktu ke 36 hari, maka dari tabel tersebut dapat ditemuka jawabaya bahwa harga saham Jakarta Islamic Ideks pada waktu ke 36 hari adalah 626,6908. B. Sara Aalisis regresi oparametrik khususya aalisis regresi oparametrik kerel telah berkembag begitu pesat. Bayak ilmuwa yag telah megembagka betuk regresi oparametrik kerel, baik estimator ataupu fugsi kerel. Dari hasil di atas. Peulis memberika beberapa sara diataraya: 1. Jika data tidak dapat diaalisis megguaka regresi parametrik, maka dapat diguaka regresi oparametrik. Karea regresi oparametrik tidak megikuti asumsi-asumsi baku seperti halya regresi parametrik. 2. Sebaikya dalam pemiliha badwidth harus hati-hati, karea badwidth sagat berpera petig dalam estimator da fugsi kerel. Nilai badwidth aka mempegaruhi tigkat kemulusa da besarya ilai MSE hasil estimasi. 3. Pada peelitia ii diguaka estimator Nadaraya-Watso utuk mecari estimasi data. Utuk peelitia selajutya dapat diguaka estimator kerel laiya atau jeis fugsi kerel laiya. 4. Dapat dikembagka jeis kerel epaechikov yag sampai saat ii belum bayak diaalisis oleh mahasiswa strata 1. Selai itu dapat diguaka metode 59

73 pemiliha badwidth yag lai, masih bayak metode pemiliha badwidth utuk fugsi kerel. 60

74 DAFTAR PUSTAKA Bai, L.J. & Egelhard, M.(1992). Itroductio to Probability ad Mathematical Statistics Secod Editio.Duxbury Press: Califoria. Ghozali, Imam. (2013). Aplikasi Aalisis Multivariat dega Program SPSS Edisi ke-7. Semarag: Uiversitas Dipoegoro. Guidom, Arsalae Chouaib. (2015). Kerel Estimator ad Badwidth Selectio for Desity ad its Derivatives. Joural The kedd Package. Hal Hadi, Nor. (2013). Pasar Modal. Yogyakarta: Graha Ilmu. Haeruddi. (1997). Pemiliha Badwidth Pada Estimasi Fugsi Desitas Type Kerel. Thesis. Yogyakarta: UGM. Hardle, Wolfgag. (1994). Applied Noparametric Regressio.berli. Lael, Oryza Arifia Fil.(2013). Estimator Regresi Kerel Nadaraya-Watso Adaptif. Thesis. Yogyakarta: UGM. Rosadi, Dedi. (2011). Aalisis Ekoometri da Rutu Waktu Terapa dega R.Yogyakarta:Peerbit Adi. Ross, Sheldo M. (1996). Itroductio to Probability Models.Uiversitas of Souther Califoria.Los Ageles:Califoria. Scott., D.W da Terrell G.R. (1997). Biased ad ubiased Cross-Validatio i Desity Estimatio. Joural of the America Statistical Associatio. Hlm Siaa Halim da Idiarti Bisoo. (2006). Fugsi-fugsi Kerel pada Metode Regresi Noparametrik da aplikasiya pada Priest River Experimetal Forest s Data. Jural Tekik Idustri. Vol. 8 No. 1. hal Silverma, B.W. (1986). Desity Estimatio for Aalysis.Chapma ad Hall New York. Statistics ad Data Subaar. (2013). Statistika Matematika : Probabilitas, Distribusi, da Asimtotis dalam Statistika.Graha Ilmu: Yogyakarta. Suhartoo. (2009). Aalisis Data Statistika dega R. Graha Ilmu: Yogyakarta. Sukarsa, I Komag Gede da I Gusti Ayu Made Sriadi. (2012). Estimator Kerel dalam Model Regresi Noparametrik. Jural Matematika, Vol:2. Hal

75 Suariyah. (2003). Pegatar Pegetahua Pasar Modal, edisi ketiga. Yogyakarta: UPP-AMP YKPN. Suyoo. (1997). Perbadiga Regresi Parametrik da Noparametrik. Thesis. Yogyakarta: UGM. Takezawa, Kuio. (2006). Itroductio to Noparametric Regressio. New Jersey. Joh Wiley ad Sos. Tsay, Ruey. (2005). Aalysis of Fiacial Time Series. USA: Joh Willey ad Sos,Ic. Varberg, Dale & Purcell, Edwi. (2010). Kalkulus Jilid Dua. Tagerag: Bia Aksara Publisher. Walpole, Roald & Raymos Myers. (1995). Ilmu Peluag Da Statiska Utuk Isiyur da Ilmuwa Edisi ke-empat.itb : Badug. Wad & Joes. (1995). Kerel Smoothig. New York: Spriger-Sciece. Warsii, Sabar. (2009). Maajemee Risiko Fiasial. Jakarta: Salemba Empat. diakses pada hari rabu, taggal 30 Maret 2016 pukul 9.05 WIB. diakses pada hari selasa, taggal 17 Mei 2016 pukul WIB. 62

76 LAMPIRAN 63

77 Lampira 1 Data Harga Saham Jakarta Islamic Ideks (JII) Periode 1 Jauari April 2016 Waktu (dalam haria) Harga Saham JII 1 592, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,53 64

78 Waktu (dalam haria) Harga Saham JII , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,35 65

79 Waktu (dalam haria) Harga Saham JII , , , , , , , , , , , , , , , , , ,26 66

80 Lampira 2 Script Program estimasi dega software R Script Program Estimasi library(kersmooth) library(kedd) Dataset x1=dataset$waktu.haria. y1=dataset$hargasaham.jii. 1=legth(x1) #pemiliha badwidth h.amise(x1,deriv.order=0,kerel="gaussia") h.ucv(x1,deriv.order=0,kerel="gaussia") h.bcv(x1,whichbcv=1,deriv.order=0,kerel="gaussia") h.ccv(x1,deriv.order=0,kerel="gaussia") #Nadaraya-Watso estimasi_ker1=ksmooth(x1,y1,kerel="ormal",badwidth= ,.poi ts=1) estimasi_ker1 est1=data.frame(estimasi_ker1$x,estimasi_ker1$y) est1 errork1=(estimasi_ker1$y-y1)^2 errork1 MSEK1=sum(errork1)/1 MSEK1 estimasi_ker2=ksmooth(x1,y1,kerel="ormal",badwidth= ,.poi ts=1) estimasi_ker2 est2=data.frame(estimasi_ker2$x,estimasi_ker2$y) est2 errork2=(estimasi_ker2$y-y1)^2 errork2 MSEK2=sum(errork2)/1 MSEK2 estimasi_ker3=ksmooth(x1,y1,kerel="ormal",badwidth= ,.poi ts=1) estimasi_ker3 est3=data.frame(estimasi_ker3$x,estimasi_ker3$y) est3 errork3=(estimasi_ker3$y-y1)^2 errork3 MSEK3=sum(errork3)/1 MSEK3 67

81 estimasi_ker4=ksmooth(x1,y1,kerel="ormal",badwidth= ,.poi ts=1) estimasi_ker4 est4=data.frame(estimasi_ker4$x,estimasi_ker4$y) est4 errork4=(estimasi_ker4$y-y1)^2 errork4 MSEK4=sum(errork4)/1 MSEK4 #PLOT plot(x1,y1,xlab="time(waktu)",ylab="hargasaham") lies(ksmooth(x1,y1,"ormal",badwidth= ),col="blue",cex=1.25,lwd =2) lies(ksmooth(x1,y1,"ormal",badwidth= ),col="red",cex=1.25,lwd= 2) lies(ksmooth(x1,y1,"ormal",badwidth= ),col="gree",cex=1.25,l wd=2) lies(ksmooth(x1,y1,"ormal",badwidth= ),col="yellow",cex=1.25, lwd=2) 68

82 Lampira 3 Hasil output program SPSS versi 20 da software R Uji Liearitas Harga Saham Jakarta Islamic Ideks (JII) ANOVA a Model Sum of Squares df Mea Square F Sig. Regressio 53891, , ,058,000 b 1 Residual 11284, ,055 Total 65175, a. Depedet Variable: JII b. Predictors: (Costat), Waktu Uji Hipotesis H 0 H 1 : Terdapat hubuga liear atara waktu da harga saham JII : Tidak terdapat hubuga liear atara waktu da harga saham JII Tigkat sigifikasi (α) = 0,05 Statistika Uji P value = 0,000 Daerah Kritik H 0 ditolak jika P value < α Kesimpula Karea ilai P value = 0,000 < 0,05 = α maka H 0 ditolak. Jadi dapat disimpulka bahwa terdapat hubuga liear atara waktu da harga saham Jakarta Islamic Ideks (JII). 2. Uji Normalitas Harga Saham Jakarta Islamic Ideks (JII) Tests of Normality Kolmogorov-Smirov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. JII,133 82,001,939 82,001 a. Lilliefors Sigificace Correctio Uji Hipotesis H 0 H 1 : Data berdistribusi ormal : Data tidak berdistribusi ormal 69

83 Tigkat sigifikasi (α) = 0,05 Statistika Uji P value = 0,001 Daerah Kritik H 0 ditolak jika P value < α Kesimpula Karea ilai P value = 0,001 < 0,05 = α maka H 0 ditolak. Jadi dapat disimpulka bahwa data harga saham JII tidak berdistribusi ormal. 3. Nilai Badwidth utuk Data Harga Saham Jakarta Islamic Ideks (JII) a. Badwidth Rule of Thumb Berdasarka hasil output dari software R diperoleh ilai badwidth Rule of Thumb yaitu 22,5061. b. Ubiased Cross Validatio Berdasarka hasil output dari software R diperoleh ilai badwidth Ubiased Cross Validatio yaitu 11, c. Biased Cross Validatio 70