OPERASI HIMPUNAN. (Minggu ke-10 dan 11)

Transkripsi

1 OPERASI HIMPUNAN (Minggu ke-10 dan 11)

2 Definisi 1. Irisan dari dua himpunan H dan K dengan notasi HK adalah himpunan yang anggota-anggotanya menjadi anggota H sekaligus menjadi anggota K, Notasi matematisnya : H HK K HK = x x H dan x K. S HK =, maka H dan K disebut saling asing 1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka HK = 2, 2. Irisan himpunan A = 4k k = 1, 2,... dan B = {..., -4, -2, 0, 3, 6,... } adalah A B = 12, 24, 36, Jika X himpunan semua huruf vokal dan Y himpunan semua huruf penyusun kata MERCUSUAR, maka X Y A, E, U.

3 Definisi 2. Gabungan himpunan H dan K dengan notasi HK adalah himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas elemen yang sekurang-kurangnya menjadi anggota dari salah satu himpunan H atau K. Notasi matematisnya: S H K Keterangan HK = x xh atau x K. H K : Seluruh daerah arsiran 1. Jika H = 2,4 dan K = 2,3,5, maka H K = 2, 3, 4, 5, 2. Gabungan himpunan A = 4k k = 1, 2,... dan B = {.., -4, -2, 0, 3, 6,...} adalah A B =..., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 12,....

4 3. Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah P dan Y himpunan semua huruf penyusun kata MERCUSUAR, maka X Y A, C, E, M, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z. Definisi 3. Selisih dua himpunan H dan K dengan notasi H K, adalah himpunan yang anggotaanggotanya terdiri atas anggota-anggota H yang bukan anggota K. Notasi matematisnya: S H K = x xh dan x K. H-K K Keterangan: H H K : Daerah berwarna jingga 1. Selisih antara H dan K adalah H K = 4, 2. Selisih A = 4k k = 1, 2,... dan B = {.., -4, -2, 0, 3, 6,...} adalah B A =..., -4, -2, 0, 3, 6, 9, 15, 18, 21, 27, 30,....

5 3. Jika X himpunan semua huruf konsonan setelah P dan Y himpunan semua huruf penyusun kata MERCUSUAR, maka { T, V, W, X, Y, Z }. Definisi 4. Simetri dari dua himpunan H dan K dengan notasi H K, adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas elemen-elemen H K atau elemen-elemen K. Notasi matematisnya: S H K = x x H K atau x K H. H-K K Keterangan H K-H H K daerah terasir merah 1. Karena K = 4 dan K = { 5 }, maka H K = { 4, 5 }

6 2. A B =.., -4, -2, 0, 3, 4, 6, 8, 9, 15, 16, 18, 20, 21, 27, 28, 30,...} 3. Himpunan X Y A, E, C, M, U, T, V, W, X, Y, Z. Aljabar Himpunan Teorema 1. Berikut ini berturut-turut disebut sifat idempoten, komutatif, assosiatif dan distributif. 1. X X = X 2. X Y = Y X dan X Y = Y X 3. (X Y) Z = X (Y Z) dan (XY)Z = X(YZ) 4. X(YZ) = (XY)(XZ) dan X(Y Z) = (XY)(XZ). Teorema X XY dan Y XY

7 2. XY X dan XY Y 3. X Z dan Y Z jika dan hanya jika XY Z 4. Z X dan Z Y jika dan hanya jika Z XY Teorema 3. X Y jika dan hanya jika XY = Y jika dan hanya jika XY = X. Teorema 4.. (XY) c = X c Y c dan (XY) c = X c Y c (Rumus ini disebut rumus de Morgan) Teorema X = dan SX = X 2. X = X dan SX = S 3. XX c = dan XX c = S Teorema 6. Sifat ini disebut absorpsi: X(XY) = X(XY) = X Teorema 7.

8 1. X Y = XY c. 2. X Y = (X Y c ) (Y X C ) 3. W (X Y ) = (W X ) (W Y ) Hasil Ganda Kartesius, Himpunan Kuasa, Keluarga Himpunan Ani memiliki 2 pasang sepatu, 3 celana panjang, 4 rok, 3 kaos, dan 5 kemeja atasan. Saat dia kuliah, Ani harus mengenakan pakaian dan sepatu. Berapa banyak pilihan cara berpakaian yang bisa Ani pilih? Definisi 5. Pasangan berurutan (a 1, b 1 ) dan (a 2, b 2 ) dikatakan sama jika dan hanya jika a 1 = b 1 dan a 2 = b 2, sehingga secara umum (a, b) (b, a).

9 Definisi 6. Hasil ganda Kartesius H K dari dua himpunan H dan K adalah himpunan semua pasangan berurutan (h, k) dengan h diambil dari H dan k dari K. Secara matematis dinyatakan dengan H K = (h, k) h H & k K Teorema 8. K dan H = Jika H = a, b dan K = 1, 2, maka H K=(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) dan K H = (1, a), (2, a), (1, b), (2, b). Jika H = K, maka H K juga diberi notasi dengan H 2. Y R 2 = R R = { (x, y) x, y R }.

10 O x (x, y) y X Seseorang melempar secara bersamaan sebuah dadu bersisi 6 beraturan dengan jumlah mata masing-masing sisi 1, 2, 3, 4, 5, 6 M dan sekeping koin dengan sisi N G, A, yaitu G gambar dan A angka. Semua kemungkinan sisi yang muncul adalah M N 1, G, 1, A, 2, G, 2, A, 3, G, 3, A, 4, G4, A, 5, G, 5, A, 6, G, 6, A Hasil ganda kartesius H 1, H 2,, H n : n H H H H h,, h i 1 i 1 2 n, h,, h n h H n H n

11 Jika H i H untuk i 1, 2,, n, maka n H H H H h h,, h h, h,, h i 1 i, 1 2 n 1 2 n H diberi notasi dengan n H. 1., 1,1 0,1 x, y, 0, x, y,1 0 0 x, 1 y 1 2. R n = R R R = { (x 1, x 2,, x n ) x i R, i = 1, 2,, n }. Aplikasi Letak suatu pesawat di udara dapat ditentukan dengan paling sedikit 5 komponen, yaitu : x derajat Lintang Utara atau Lintang Selatan, y derajat Bujur Timur, z feet (ketinggian dari permukaan laut),

12 t jam, menit, detik (waktu), v mil/jam (kecepatan), 5 dengan x, y, z, t, v0,. Teorema 9. Sifat-sifat berikut berlaku: 1. Secara umum A B B A 2. A B dan D E A D B E A B dan D E A D B E 3. A = = A 4. A (B C) = (A B) (A C) dan (B C) A = (B A) (C A) 5. A (B C) = (A B) (A C) dan (B C) A = (B A) (C A) Coba Buktikan Untuk Latihan Mandiri

13 Jika S dan T menyatakan dua buah semesta pembicaraan dengan A S dan B T, maka dapat didefinisikan C A B S T A B. Diambil S = 1, 2, 3, 4 dan T = a, b, c, d, e. Jika A = 1, 2 dan B = c d, e,, maka S T 1, a, 1, b, 1, c, 1, d, 1, e, 2, a, 2, b, 2, c, 2, d, 2, e,, a, 3, b, 3, c, 3, d, 3, e, 4, a, 4, b, 4, c, 4, d, 4, e 3,

14 C sehingga A B 1, a, 1, b, 2, a, 2, b, 3, a, 3, b, 3, c, 3, d, 3, e, 4, a, 4, b, 4, c, 4, d, 4, e. Meskipun demikian jika semesta pembicaraan dari C A B S A B 0 A B adalah S maka yang dimaksud 0 Definisi 7. Himpunan Kuasa (power set) dari himpunan H dengan notasi P(H) adalah himpunan semua himpunan-himpunan bagian dari H. Jika H = a, b, c, maka P(H) =, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Teorema 10.

15 1. Jika A B, maka P(A) P(B). 2. P() = { } 3. P(A B) = P(A) P(B). Definisi 8. Keluarga Himpunan atau koleksi himpunan atau keluarga himpunan ( family of sets) adalah suatu himpunan dengan anggota-anggotanya juga himpunan. 1. N = { [ n, n +1] n bilangan asli }, yaitu himpunan semua interval tutup dari n sampai dengan n 2. K = { { 1, 2}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3, 4 },... } Untuk mempermudah penamaan masing-masing elemen suatu himpunan digunakan himpunan indeks. Contoh

16 1. Pada N = { [ n, n +1] n bilangan asli }, N = { 1, 2, } himpunan indeks 2. Jika K = { (x 0.5, x + 0.5) x R }, himpunan R merupakan himpunan indeks 3. Diketahui A = { x 1, x 2,, x 6 }. Himpunan indeks himpunan A adalah { 1, 2, 3, 4, 5, 6} Latihan 1.Buktikan : X Y c jika dan hanya jika XY = 2.Buktikan : XY = S jika dan hanya jika X c Y. 3.Buktikan bahwa X (X -Y) = XY. 4.Buktikan bahwa jika Z Y X maka (X - Y)(Y - Z) = X - Z. 5. Sederhanakan : (XY)(ZX)(X c Y c ) c. 6. Buktikan bahwa apabila H dan K merupakan himpunan-himpunan sedemikian hingga H H = K K, maka H = K. 7. Buktikan ( HK) M = (H M)(K M). 8. Perlihatkan dengan mengambil contoh penyangkal bahwa pada umumnya :

17 (H K)M (HM) (KM).