ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL INTERAKSI MUTUALISME DUA SPESIES MENGGUNAKAN METODE ITERASI VARIASIONAL

Transkripsi

1 ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL INTERAKSI MUTUALISME DUA SPESIES MENGGUNAKAN METODE ITERASI VARIASIONAL TESIS Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister Pendidikan Program Studi Magister Pendidikan Matematika Oleh : Benedictus Dwi Yuliyanto NIM: HALAMAN JUDUL PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 i

2

3

4 HALAMAN MOTTO Ibarat makan, belajar bukan lagi suatu keinginan, melainkan kebutuhan. Rasa lapar akan pengetahuan, datang disetiap hari. (B.Dwi Yuliyanto) Jika kau punya mimpi, tetap fokus dan nikmatilah. Lalu bangun dan wujudkanlah! (B.Dwi Yuliyanto) Hanya mereka yang berani gagal dapat meraih keberhasilan. (Robert F. Kennedy) Percayalah pada keajaiban, tapi jangan tergantung padanya. (H. Jackson Brown, Jr) iv

5

6 ABSTRAK Benedictus Dwi Yuliyanto, Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional. Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta. Tesis ini mengkaji tentang analisis titik ekuilibrium dan solusi model interaksi dua spesies. Pada bidang biologi, seringkali dilakukan penelitian atau percobaan mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies. Penelitian-penelitian tersebut dilakukan untuk mengetahui berbagai macam perkembangan makhluk hidup di lingkungannya. Pemodelan matematika sangat berperan dalam membantu penelitian tersebut. Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik. Pada penelitian ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut dengan tujuan menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Modifikasi model yang akan diteliti adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik yaitu: pertama, terdapat unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies, dan yang kedua, terdapat unsur pemanenan pada kedua jenis spesies. Setelah melakukan modifikasi pada model, peneliti melakukan analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang didapat. Selanjutnya akan dicari solusi dari perumuman model interaksi dua spesies menggunakan metode iterasi variasional. Kata kunci : dinamika populasi, analisis kestabilan, metode iterasi variasional. vi

7 ABSTRACT Benedictus Dwi Yuliyanto, Analysis of Equilibrium Points and Solutions of Models of Two Species Mutualism Interaction Using Variational Iteration Method. Thesis. Study Program of Master of Mathematics Education, Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta. This tesis discusses about analysis of equilibrium points and solutions of models of two species interaction. In biology, research or experiment about population growth rate is done frequently. The research has been succeesful for knowing many kinds of organism in their environment. Mathematical modelling is important for helping that research. One of the mathematical models that has been studied before is the mutualism interaction model of two species in logistic growth. In this research, the researcher will modify the mathematical model to add the variations of the basic model before. The modifications studied in this thesis are: first, there is a harvesting parameter on one of species, and second, on both of them. After doing the modifications on the model, the researcher analyses the stability of equilibrium points. Furthermore, the modified model is solved using the variational iteration method. Keywords : population dynamics, stability analysis, variational iteration method. vii

8

9 DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasioanl dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut: [1]. B.D. Yuliyanto dan S. Mungkasi, Variational iteration method for solving the population dynamics model of two species, Journal of Physics: Conference Series, Vol. 795, No.1, Artikel , Tahun 2017 (terindeks Scopus), Link Artikel: Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis (Benedictus Dwi Yuliyanto). ix

10 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena hanya dengan berkat dan karunia-nya, serta campur tangan-nya, penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional dengan baik dan tepat waktu. Pada kesempatan ini penulis juga ingin mengucapkan rasa terima kasih kepada: 1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis, sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik. 2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Magister Pendidikan Matematika. 3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing pada awal penulisan tesis ini. 4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan studi dengan tepat waktu. 5. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini. x

11 6. Kedua orang tua yaitu Bapak Mario Subiyanto dan Ibu Christina Sarasni, yang selalu memberikan dukungan serta doa yang melimpah kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan tepat waktu. 7. Segenap keluarga, terutama Simbah Yohanes Sadji Ciptotanyono dan Mas Albertus Magnus Bayu Pratomo yang selalu memberi semangat, motivasi, serta inspirasi kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan studi dengan baik. 8. Elisabeth Evi Alviah, yang selalu memberikan semangat, dukungan, serta motivasi yang sangat berguna bagi penulis selama menjalankan studi. 9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan Matematika angkatan yang memberikan dukungan kepada penulis selama studi. 10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Akhirnya penulis berharap semoga tesis ini dapat berguna bagi para pembaca. Penulis, Benedictus Dwi Yuliyanto xi

12 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii HALAMAN MOTTO... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... v ABSTRAK... vi ABSTRACT... vii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... viii DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS... ix KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Tinjauan Pustaka... 2 C. Perumusan Masalah... 5 D. Batasan Masalah... 5 E. Metode Penelitian... 6 F. Tujuan Penelitian... 7 G. Manfaat Penelitian... 8 H. Sistematika Penulisan... 8 BAB II LANDASAN TEORI A. Pemodelan Matematika B. Persamaan Diferensial C. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear D. Model Pertumbuhan Logistik E. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara Logistik F. Metode Iterasi Variasional G. Kerangka Berpikir BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL A. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Salah Satu Jenis Spesies xii

13 B. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Kedua Jenis Spesies BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL BAB V ASPEK PENDIDIKAN A. Pembelajaran di SMA B. Pembelajaran di S C. Refleksi Penelitian di Bidang Matematika BAB VI PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA xiii

14 BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pada bidang biologi, salah satu masalah yang sering dihadapi adalah masalah mengenai pertumbuhan populasi. Seringkali dilakukan penelitian atau percobaan mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies untuk mengetahui berbagai macam perkembangan makhluk hidup di lingkungannya. Pertumbuhan populasi suatu spesies ditandai dengan adanya perubahan populasi setiap satuan waktu yang dipengaruhi oleh jumlah kematian, kelahiran, serta perpindahan (migrasi). Jumlah populasi suatu spesies dapat diamati secara langsung dalam jangka waktu tertentu. Selain itu, dapat juga dilakukan perhitungan untuk mengetahui laju pertumbuhan dari suatu spesies tersebut dengan data yang sudah ada. Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat membantu menyelesaikan permasalahan tersebut adalah pemodelan matematika. Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik. Pada penelitian ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut dengan tujuan menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Selanjutnya peneliti akan melakukan analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh, serta akan dicari solusi dari model yang diteliti. 1

15 2 B. Tinjauan Pustaka Berbagai penelitian mengenai dinamika populasi suatu spesies dan penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial sudah banyak dilakukan. Diagram 1.1 memberikan gambaran letak dari penelitian yang dilakukan dengan penelitian-penelitian yang sudah ada. Stability analysis of mutualism population model with time delay (Ahmad dan Budin, 2012) Variational iteration method-some recent results and new intrepretations (He, 2007) Stability analysis of two mutually interacting species with unlimited resources for both the species (Reddy, 2012) Variational iteration method for solving multispecies Lotka Volterra equations (Batiha, Noorani, dan Hashim, 2007) Analisis titik ekuilibrium model interaksi mutualisme dua spesies Variational iteration method for solving the population dynamics model of two species (Yuliyanto dan Mungkasi, 2017) Diagram 1.1 Bagan dari letak penelitian yang dilakukan

16 3 Beberapa penelitian sejenis yang membahas tentang dinamika populasi suatu spesies dan metode iterasi variasional antara lain: Pertama, penelitian B. Ravindra Reddy (2012) dengan judul Stability analysis of two mutually interacting species with unlimited resources for both the species. Makalah ini membahas mengenai analisis dari model dua spesies yang saling berinteraksi dengan sumber daya atau daya dukung untuk kedua spesies yang tak terbatas. Karakteristik dari model merupakan dua sistem persamaan diferensial biasa nonlinear order satu. Sebelum mendiskripsikan model, dibuat asumsi sebagai berikut: N 1 merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies pertama, N 2 merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies kedua, a 1 dan a 2 berturut-turut adalah laju pertumbuhan alami dari spesies pertama dan kedua, α 12 merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari spesies pertama akibat interaksi dengan spesies kedua, dan α 21 merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari spesies kedua akibat interaksi dengan spesies pertama. Catatan lebih lanjut bahwa variabel N 1, N 2 dan parameter a 1, a 2, α 12, α 21 bernilai tak negatif. Jika laju kematian lebih besar dari laju kelahiran, maka digunakan notasi yang sama dengan tanda negatif pada tingkat pertumbuhan alami untuk membedakannya. Persamaan dasar untuk laju pertumbuhan spesies pertama (N 1 ) adalah sebagai berikut: dn 1 dt = a 1N 1 + α 12 N 1 N 2. (1.1) Persamaan dasar untuk laju pertumbuhan spesies kedua (N 2 ) adalah sebagai berikut: dn 2 dt = a 2N 2 + α 21 N 1 N 2. (1.2)

17 4 Syarat ekuilibrium dn 1 = 0 dan dn 2 = 0, sehingga diperoleh dt dt N 1 (a 1 + α 12 N 2 ) = 0 dan N 2 (a 2 + α 21 N 1 ) = 0. (1.3) Solusi (N 1, N 2) dari (1.3) merupakan ekuilibrium dari sistem (1.1)-(1.2). Sistem tersebut memiliki satu keadaan setimbang yaitu N 1 = 0, N 2 = 0, dalam keadaan ini, kedua spesies bertumbuh tanpa batas. Kedua, penelitian Batiha, Noorani, dan Hashim (2007) dengan judul Variational iteration method for solving multispecies Lotka-Volterra equations. Makalah tersebut membahas mengenai penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan atau mencari solusi dari model pertumbuhan populasi suatu spesies yang bertumbuh secara logistik, atau model pertumbuhan dengan menggunakan persamaan Lotka-Volterra. Pada makalah tersebut dibahas juga mengenai beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang sama. Hasil dari penggunaan metode iterasi variasional untuk mencari pendekatan solusi model, dibandingkan dengan metode dekomposisi Adomian dan Runge- Kutta order empat. Dari tinjauan pustaka mengenai dinamika populasi suatu spesies tersebut, didapat bahwa pemodelan dari dinamika populasi merupakan suatu hal yang penting dalam proses mengontrol laju dari pertumbuhan populasi suatu spesies. Pertumbuhan populasi suatu spesies dapat diprediksi dengan menggunakan model yang diteliti. Berdasarkan beberapa penelitian yang sudah ada tersebut, perbedaan penelitian ini terletak pada model yang digunakan. Model yang akan diteliti pada penelitian ini adalah modifikasi dari model interaksi simbiosis mutualisme dua

18 5 spesies yang bertumbuh secara logistik, yaitu dengan adanya pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya pemanenan pada kedua jenis spesies. Selain itu, penelitian ini juga membahas mengenai solusi dari hasil perumuman model yang diselesaikan menggunakan metode iterasi variasional, serta diberikan beberapa kasus khusus dari model yang terbentuk. C. Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, dapat dirumuskan beberapa masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini, yaitu: 1. Bagaimana modifikasi serta analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya unsur pemanenan pada kedua jenis spesies? 2. Bagaimana solusi model yang diperoleh dengan menggunakan metode iterasi variasional? D. Batasan Masalah Pada penelitian ini, dibatasi masalah-masalah sebagai berikut: 1. Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur pemanenan. 2. Populasi pada model yang dibahas berada pada suatu ekosistem tertutup atau tidak ada faktor migrasi yang dilakukan oleh kedua spesies dan tidak ada

19 6 interaksi dengan spesies lain, sehingga laju pertumbuhan populasi hanya dipengaruhi oleh interaksi kedua spesies tersebut. 3. Model yang dibahas adalah model kontinu, yaitu menggunakan sistem persamaan diferensial biasa nonlinear order satu. 4. Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium menggunakan nilai eigen pada matriks Jacobi hasil dari pelinearan model. 5. Metode yang akan dibahas untuk menyelesaikan model adalah metode iterasi variasional. E. Metode Penelitian Penelitian ini adalah penelitian studi pustaka dengan pendekatan kuantitatif dan kualitatif. Tercapainya tujuan dari penelitian ini dilakukan dengan beberapa langkah kerja. Langkah pertama adalah menentukan topik penelitian yaitu permasalahan dalam kehidupan nyata yang terkait dengan bidang biologi, khususnya mengenai pertumbuhan populasi dua spesies yang berinteraksi secara mutualisme. Langkah kedua adalah mencari model matematika yang sudah ada sesuai dengan permasalahan yang akan diteliti, pada penelitian ini model matematika yang dimaksud adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik. Langkah ketiga adalah melakukan modifikasi model yang sudah ada, pada penelitian ini modifikasi yang dilakukan adalah dengan menambahkan unsur pemanenan pada model dasar. Langkah keempat adalah menganalisis model hasil modifikasi, analisis yang dilakukan adalah analisis kestabilan dari setiap titik ekuilibrium yang diperoleh pada model hasil modifikasi. Langkah kelima adalah membuat perumuman dari model hasil

20 7 modifikasi kemudian hasil perumuman model diselesaikan atau dicari solusinya menggunakan metode iterasi variasional. Langkah terakhir adalah menyimpulkan hasil modifikasi model yang diperoleh beserta hasil analisis kestabilan titik ekuilibriumnya dan solusi dari perumuman model menggunakan metode iterasi variasional. Diagram 1.2 merupakan bagan metode penelitian dari penelitian ini: Masalah di dunia nyata yang terkait dengan bidang biologi yaitu pertumbuhan populasi dua spesies Memperoleh model dasar mengenai pertumbuhan populasi dua spesies Memodifikasi model dasar mengenai pertumbuhan populasi dua spesies Menganalisis kestabilan titik ekuilibrium dari model yang sudah dimodifikasi Mencari solusi dari perumuman model menggunakan metode iterasi variasional Menyimpulkan hasil modifikasi model beserta analisisnya dan solusi yang diperoleh menggunakan metode iterasi variasional Diagram 1.2 Bagan metode penelitian F. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Menghasilkan modifikasi model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur pemanenan pada salah

21 8 satu jenis spesies dan adanya unsur pemanenan pada kedua jenis spesies, serta mengetahui hasil analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh. 2. Memperoleh solusi dari perumuman model dengan menggunakan metode iterasi variasional. G. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah untuk menambah pengetahuan mengenai pemodelan matematika beserta penerapannya dalam kehidupan nyata dan menambah referensi bahan ajar bagi guru/dosen dalam menjelaskan materi mengenai sistem persamaan diferensial biasa nonlinear order satu. Selain itu, penelitian ini juga dapat untuk menambah wawasan mengenai penggunaan metode iterasi variasional untuk mencari pendekatan solusi sistem persamaan diferensial biasa nonlinear order satu. H. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan akan dibagi menjadi enam bagian, yaitu: BAB I: PENDAHULUAN Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka, perumusan masalah, batasan masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II: LANDASAN TEORI Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear (titik ekuilibrium, pelinearan, analisis kestabilan titik

22 9 ekuilibrium), model pertumbuhan logistik, model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik, serta metode Iterasi Variasional. BAB III: HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai analisis dari model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan pemanenan pada kedua jenis spesies, mulai dari menentukan titik ekuilibrium hingga menganalisis kestabilan dari masing-masing titik ekuilibrium yang diperoleh. BAB IV: HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL Pada bab ini akan dipaparkan mengenai proses memperoleh solusi dari model yang sudah diperumum beserta hasilnya dengan menggunakan metode Iterasi Variasional. BAB V: ASPEK PENDIDIKAN Pada bab ini dibahas mengenai keterkaitan penelitian yang dilakukan dengan proses pembelajaran di sekolah ataupun di kampus. Ada tiga hal yang dibahas pada bab ini, pertama mengenai keterkaitan hasil atau proses penelitian dengan pembelajaran di SMA, kedua keterkaitan hasil atau proses penelitian dengan pembelajaran di S1, dan yang ketiga adalah refleksi penelitian di bidang matematika. BAB VI: PENUTUP Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, serta beberapa saran yang terkait dengan penelitian yang telah dilakukan.

23 BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Pemodelan Matematika Pemodelan Matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam persamaan matematika. Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model dengan menggunakan teori matematika untuk menggambarkan dinamika suatu sistem. Oleh karena itu, pemodelan matematika hampir selalu terkait dengan bidang-bidang ilmu yang lain. Sebagai suatu proses, pemodelan matematika mencakup beberapa tahap yang saling berhubungan. Tahapan-tahapan tersebut dapat digambarkan pada bagan berikut: Dunia Nyata Perumusan Model Matematika Pengujian Analisis Prediksi / Penafsiran Penafsiran Kesimpulan Matematika Diagram 2.1 Bagan proses pemodelan matematika 10

24 11 Berikut penjelasan dari bagan proses pemodelan matematika seperti tampak pada Diagram 2.1. a. Merumuskan permasalahan dari dunia nyata ke dalam bentuk matematika Pada langkah ini dibutukan pemahaman dari permasalahan yang akan dimodelkan, karena akan dibentuk hubungan antar variabel yang dihasilkan dari permasalahan tersebut. Pada langkah ini, juga disertakan beberapa asumsi untuk membatasi model dari masalah yang akan diteliti. Adanya perbedaan asumsi-asumsi yang diterapkan oleh setiap peneliti menyebabkan perbedaan model meskipun penelitian dilakukan pada masalah yang sama. Setelah asumsi-asumsi ditentukan, dilakukan formulasi model yang akan dianalisis. b. Menganalisis model matematika Analisis dari model matematika dilakukan untuk memperoleh solusi dari model matemaika yang diteliti. Solusi dari model matematika yang diperoleh dapat berupa persamaan matematika atau uraian mengenai masalah matematika secara teoristis. c. Menafsirkan atau menginterpretasi solusi dari model matematika Langkah ini sebagai penghubung antara solusi yang diperoleh dalam bentuk persamaan matematika dengan permasalahan dalam dunia nyata. Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik gambar berdasarkan perilaku dari solusi yang diperoleh.

25 12 d. Menguji solusi dari model matematika ke dalam dunia nyata Menguji solusi yang telah diperoleh dilakukan untuk melihat kesesuaian solusi dari model dengan data di dunia nyata. Kesesuaian solusi model dipengaruhi oleh asumsi-asumsi yang digunakan. Apabila solusi dari model kurang realistis, maka akan dilakukan kembali proses pembentukan model dari langkah pertama sehingga nantinya diperoleh model matematika yang lebih baik. Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa proses membangun model matematika bersifat dinamis untuk menghasilkan model yang lebih baik. B. Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Berdasarkan banyaknya variabel bebas yang terdapat dalam persamaan, persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu variabel bebas, sebagai contoh: jika y(x) merupakan fungsi satu variabel dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk: F(x, y, y, y, y,, y (n) ) = f(x), (2.1)

26 13 dan jika f(x) = 0 maka persamaan diferensial (2.1) disebut persamaan diferensial homogen, sedangkan jika f(x) 0 maka persamaan diferensial (2.1) disebut persamaan diferensial nonhomogen. Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat terhadap dua atau lebih variabel bebas. Pada persamaan diferensial, order didefinisikan sebagai tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa contoh persamaan diferensial beserta jenisnya berdasarkan banyak variabel dan ordernya: Contoh 2.1 a. dy dx 2x = 0 merupakan persamaan diferensial biasa order satu. b. y + 3y 2y = 0 merupakan persamaan diferensial biasa order dua. c. d. f + f = 0 merupakan persamaan diferensial parsial order satu. x y 2 f + 2 f 2 2 f = 0 merupakan persamaan diferensial parsial order dua. x 2 y 2 x y Pada persamaan diferensial order satu, terdapat bentuk persamaan diferensial variabel terpisah. Bentuk umum persamaan diferensial variabel terpisah adalah sebagai berikut: P(x)dx + Q(y)dy = 0, (2.2) dengan P merupakan fungsi yang bergantung pada x dan Q fungsi yang bergantung pada y. Berdasarkan bentuk umum tersebut, suku-suku dalam variabel x dikelompokkan dengan turunannya yaitu dx dan suku-suku dalam variabel y dikelompokkan dengan turunannya yaitu dy. Metode yang digunakan untuk

27 14 menyelesaikan persamaan diferensial variabel terpisah adalah metode pemisahan variabel. Persamaan (2.2) selanjutnya diintegralkan masing-masing sukunya untuk memperoleh penyelesaiannya, sehingga didapat persamaan berikut: P(x)dx + Q(y)dy = C, dengan C R. Contoh 2.2 Tentukan solusi persamaan diferensial berikut: Jawab: y(1 x)dx + x 2 dy = 0. (2.3) Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial variabel terpisah. Bentuk (2.3) dapat diubah menjadi (1 x) x 2 dx + 1 y dy = 0 dengan cara membagi masing-masing sukunya dengan x 2 y 0. Selanjutnya masing-masing suku diintegralkan (1 x) x 2 dx + 1 y dy = C 1 kemudian dengan manipulasi aljabar, bentuk fungsi diubah menjadi (x 2 1 x ) dx + 1 y dy = C 1 sehingga diperoleh 1 x ln x + C 2 + ln y + C 3 = C 1 ln y x = C + 1 x

28 15 dengan C = C 1 C 2 C 3 y x = ec+ 1 x y = Kxe 1 x, dengan K = e C. C. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear Sistem persamaan diferensial tidak hanya berperan penting dalam bidang matematika, namun berperan penting juga dalam bidang lain seperti ekonomi, fisika, biologi, dan lain sebagainya. Sistem persamaan diferensial disebut sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear apabila memenuhi paling sedikit satu dari kriteria berikut: a. Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu. b. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/ atau turunan-turunannya. Diberikan sistem persamaan diferensial berikut: x 1 = f 1 (x 1, x 2,, x n ), x 2 = f 2 (x 1, x 2,, x n ), x n = f n (x 1, x 2,, x n ), (2.4) dengan f i : R n R n, x i = dx i dt, i = 1, 2,, n dan (x 1, x 2,, x n ) E. Diberikan pula kondisi awal x i (t 0 ) = x i0, i = 1, 2,, n. Sistem (2.4) dapat ditulis menjadi x = f(x), (2.5) dengan x = (x 1, x 2,, x n ) E R n, f = (f 1, f 2,, f n ) T, x = (x 1, x 2,, x n) T dengan syarat awal x(t 0 ) = (x 10, x 20,, x n0 ) = x 0.

29 16 Sistem (2.5) disebut sistem persamaan diferensial autonomous karena variabel waktu t tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya, jika f 1, f 2,, f n masing-masing linear dalam x 1, x 2,, x n, maka sistem (2.4) disebut sistem persamaan diferensial linear. Sistem (2.4) juga dapat ditulis dalam bentuk: x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n x 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n. (2.6) Sistem (2.6) dinyatakan dalam bentuk x = Ax, (2.7) a 11 a 12 a 1n a dengan A = ( 21 a 22 a 2n ) dan x = (x 1, x 2,, x n )T E. a n1 a n2 a nn Jadi, sistem (2.7) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem (2.4). Namun, jika sistem (2.4) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk sistem (2.7) maka sistem (2.4) disebut sistem persamaan diferensial nonlinear. Pada sistem persamaan diferensial juga dibahas mengenai beberapa hal berikut: a. Titik Ekuilibrium Titik ekuilibrium merupakan solusi dari sistem (2.5) yang tidak mengalami perubahan terhadap waktu. Definisi 2.1 (Perko, 2001) Titik x R n disebut titik ekuilibrium dari (2.5) jika f(x ) = 0. Berikut diberikan contoh mengenai Definisi 2.1 Contoh 2.3 Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial berikut:

30 17 f(x) = ( 2x 1x 2 4x 1 3x 1 2 6x 2 ) Jawab: Titik ekuilibrium diperoleh jika f(x ) = 0, sehingga sistem tersebut menjadi 2x 1 x 2 4x 1 = 0 atau dapat ditulis menjadi 2x 1 (x 2 2) = 0. Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh x 1 = 0 dan x 2 = 2. Jika x 1 = 0 dan menurut persamaan 3x 2 1 6x 2 = 0, maka diperoleh x 2 = 0 sehingga didapat titik ekuilibrium P 1 (0,0) T. Jika x 2 = 2 dan menurut persamaan 3x 2 1 6x 2 = 0, maka diperoleh x 1 = ±2 sehingga didapat titik ekuilibrium P 2 (2,2) T atau P 3 ( 2,2) T. b. Pelinearan Pelinearan merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi sistem linear. Pelinearan dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Pelinearan pada sistem nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi dengan bentuk sederhana. Proses pelinearan dapat dilakukan dengan menggunakan deret Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret

31 18 Taylor untuk sistem f = (f 1, f 2,, f n ) T di sekitar titik ekuilibrium x = (x 1, x 2,, x n) T dengan f(x ) = 0 sebagai berikut x 1 = f 1 (x) = f 1(x ) x 1 x 2 = f 2 (x) = f 2(x ) x 1 x n = f n (x) = f n(x ) x 1 (x 1 x 1) + f 1(x ) (x x 2 x 2) f 1(x ) x n (x n x n) + Ο( x x ) 2, (x 1 x 1) + f 2(x ) (x x 2 x 2) f 2(x ) x n (x n x n) + Ο( x x ) 2, (x 1 x 1) + f n(x ) (x x 2 x 2) f n(x ) x n (x n x n) + Ο( x x ) 2. Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh x 1 = f 1 (x) = f 1(x ) x 1 x 2 = f 2 (x) = f 2(x ) x 1 (x 1 x 1) + f 1(x ) (x x 2 x 2) f 1(x ) (x x n x n), n (x 1 x 1) + f 2(x ) (x x 2 x 2) f 2(x ) (x x n x n), n

32 19 x n = f n (x) = f n(x ) x 1 Selanjutnya didefinisikan Didapat turunannya yaitu (x 1 x 1) + f n(x ) (x x 2 x 2) f n(x ) (x x n x n). n sehingga y = x dan diperoleh y 1 = x 1 x 1, y 2 = x 2 x 2, y n = x n x n. y 1 = x 1, y 2 = x 2,, y n = x n, y 1 = f 1(x ) x 1 y 1 + f 1(x ) y x f 1(x ) y 2 x n, n (2.8) y 2 = f 2(x ) x 1 y n = f n(x ) x 1 y 1 + f 2(x ) y x f 2(x ) y 2 x n, n y 1 + f n(x ) y x f n(x ) y 2 x n. n Jika bentuk (2.8) dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh y 1 y 2 ( ) = y n atau dapat ditulis menjadi f 1 (x ) f 1 (x ) f 1(x ) x 1 x 2 x n f 2 (x ) f 2 (x ) f 2(x ) x 1 x 2 x n ( f n (x ) f n (x ) f n(x ) ( x 1 x 2 x n ) y 1 y 2 ), y n

33 20 y = J(f(x ))y, dengan J(f(x )) merupakan matriks Jacobi dan fungsi f di titik ekuilibrium x. Berikut definisi dari matriks Jacobi: Definisi 2.2 (Perko, 2001) Diberikan fungsi f = f 1, f 2,, f n dengan f i C 1 (E), i = 1,2,, n, E R n dan E himpunan terbuka. Matriks f 1 (x ) f 1 (x ) f 1(x ) x 1 x 2 x n f 2 (x ) f 2 (x ) J(f(x )) = f 2(x ) x 1 x 2 x n, f n (x ) f n (x ) f n(x ) ( x 1 x 2 x n ) dinamakan matriks Jacobi dari f dari x. Selanjutnya diberikan definisi mengenai pelinearan pada sistem persamaan nonlinear. Definisi 2.3 (Perko, 2001) Diberikan matriks Jacobi J(f(x)) pada (2.8). Sistem linear x = J(f(x ))x disebut pelinearan dari sistem x = f(x) disekitar titik x. c. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Pada proses pelinearan diperoleh matriks Jacobi yang akan digunakan dalam proses mencari nilai eigen. Nilai eigen diperoleh dengan cara det(j i λi) = 0, dimana J i merupakan matriks Jacobi, I merupakan matriks

34 21 identitas, dan λ merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Nilai eigen yang diperoleh dapat digunakan untuk memeriksa kestabilan dari titik ekuilibrium. Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium berdasarkan nilai eigen menurut Boyce dan DiPrima (2012 : 504) adalah seperti pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium Nilai Eigen Jenis Titik Kritis Kestabilan λ 1 > λ 2 > 0 Simpul Tak stabil λ 1 < λ 2 < 0 Simpul Stabil asimtotik λ 1 < 0 < λ 2 Titik sadel Tak stabil λ 1 = λ 2 > 0 λ 1 = λ 2 < 0 λ 1, λ 2 = r ± iμ Simpul sejati atau simpul tak sejati Simpul sejati atau simpul tak sejati Titik spiral Tak stabil Stabil asimtotik r > 0 r < 0 Tak stabil Stabil asimtotik λ 1 = iμ, λ 2 = iμ Pusat Stabil Berdasarkan Tabel 2.1, dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium akan mencapai keadaan stabil asimtotik apabila nilai λ 1, λ 2 = r ± iμ dan r < 0, dengan r merupakan bagian dari bilangan realnya dan μ merupakan bagian dari bilangan kompleksnya. Berikut beberapa contoh sistem persamaan diferensial beserta penyelesaiannya sebagai ilustrasi gambar mengenai kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium yang digambar menggunakan software Matlab. Contoh 2.5 Diberikan sistem persamaan diferensial

35 22 dx = 4x + 2y, dt } dy dt = 4x + 6y. Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0). Misalkan A = ( ). 4x + 2y = 0, 4x + 6y = 0. } Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = 0 det (( ) (λ 0 0 λ )) = 0 det ( 4 λ λ ) = 0 (4 λ)(6 λ) 8 = 0 λ 2 10λ + 16 = 0 (λ 8)(λ 2) = 0 λ 1 = 8 λ 2 = 2. Karena λ 1 > λ 2 > 0, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik simpul yang bersifat tak stabil. Gambar 2.1 adalah diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.5 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

36 23 Contoh 2.6 Gambar 2.1 Diagram fase Contoh 2.5 (titik simpul yang bersifat tak stabil) Diberikan sistem persamaan diferensial dx dt = y, dy dt = 10x 7y. } Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, y = 0, 10x 7y = 0. } Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0). Misalkan A = ( ). Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = 0 det (( ) (λ 0 0 λ )) = 0 det ( λ λ ) = 0

37 24 ( λ)( 7 λ) + 10 = 0 λ 2 + 7λ + 10 = 0 (λ + 5)(λ + 2) = 0 λ 1 = 5 λ 2 = 2. Karena λ 1 < λ 2 < 0, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik simpul yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.2 adalah diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.6 untuk beberapa nilai awal yang berbeda. Contoh 2.7 Gambar 2.2 Diagram fase Contoh 2.6 (titik simpul yang bersifat stabil asimtotik) Diberikan sistem persamaan diferensial dx = 2x + 4y, dt } dy dt = 4x 4y. Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, 2x + 4y = 0, 4x 4y = 0. }

38 25 Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0). Misalkan A = ( ). Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = 0 det (( ) (λ 0 0 λ )) = 0 det ( 2 λ λ ) = 0 (2 λ)( 4 λ) 16 = 0 λ 2 + 2λ 24 = 0 (λ + 6)(λ 4) = 0 λ 1 = 6 λ 2 = 4. Karena λ 1 < 0 < λ 2, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil. Gambar 2.3 memuat diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.7 untuk beberapa nilai awal yang berbeda. Gambar 2.3 Diagram fase Contoh 2.7 (titik sadel yang bersifat tak stabil)

39 26 Contoh 2.8 Diberikan sistem persamaan diferensial dx dt = 5x, } dy dt = 5y. Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0). Misalkan A = ( ). 5x = 0, 5y = 0. } Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = 0 det (( ) (λ 0 0 λ )) = 0 det ( 5 λ λ ) = 0 (5 λ)(5 λ) = 0 λ 1 = λ 2 = 5. Karena λ 1 = λ 2 > 0, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik simpul sejati atau titik simpul tak sejati yang bersifat tak stabil. Gambar 2.4 memuat diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.8 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

40 27 Contoh 2.9 Gambar 2.4 Diagram fase Contoh 2.8 (titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat tak stabil) Diberikan sistem persamaan diferensial dx = 2x + 5y, dt } dy dt = 5x 8y. Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0). Misalkan A = ( ). 2x + 5y = 0, 5x 8y = 0. } Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = 0 det (( ) (λ 0 0 λ )) = 0

41 28 det ( 2 λ λ ) = 0 (2 λ)( 8 λ) + 25 = 0 λ 2 + 6λ + 9 = 0 (λ + 3) 2 = 0 λ 1 = λ 2 = 3. Karena λ 1 = λ 2 < 0, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik simpul sejati atau titik simpul tak sejati yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.5 menunjukkan diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.9 untuk beberapa nilai awal yang berbeda. Contoh 2.10 Gambar 2.5 Diagram fase Contoh 2.9 (titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat stabil asimtotik) Diberikan sistem persamaan diferensial dx = 8x + 10y, dt } dy = 10x 4y. dt

42 29 Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0). Misalkan A = ( ). 8x + 10y = 0, 10x 4y = 0. } Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = 0. det (( ) (λ 0 0 λ )) = 0 8 λ 10 det ( 10 4 λ ) = 0 (8 λ)( 4 λ) = 0 λ 1,2 = λ 2 4λ + 68 = 0 4 ± 16 4(1)(68) 2 λ 1,2 = 2 ± 8i. Karena λ 1, λ 2 = r ± iμ dan r > 0, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik spiral yang bersifat tak stabil. Gambar 2.6 adalah diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.10 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

43 30 Contoh 2.11 Gambar 2.6 Diagram fase Contoh 2.10 (titik spiral yang bersifat tak stabil) Diberikan sistem persamaan diferensial dx = 8x + 10y, dt } dy dt = 10x + 4y. Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0) Misalkan A = ( 10 4 ). 8x + 10y = 0, 10x + 4y = 0. } Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = det (( 10 4 ) (λ 0 0 λ )) = 0

44 31 8 λ 10 det ( 10 4 λ ) = 0 ( 8 λ)(4 λ) = 0 λ 1,2 = λ 2 + 4λ + 68 = 0 4 ± 16 4(1)(68) 2 λ 1,2 = 2 ± 8i. Karena λ 1, λ 2 = r ± iμ dan r < 0, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik spiral yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.7 adalah diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.11 untuk beberapa nilai awal yang berbeda. Contoh 2.12 Gambar 2.7 Diagram fase Contoh 2.11 (titik spiral yang bersifat stabil asimtotik) Diberikan sistem persamaan diferensial dx dt = 2y, } dy dt = 2x.

45 32 Syarat titik ekuilibrium: dx dt = dy dt = 0, Diperoleh titik ekuilibrium P(0,0). Misakan A = ( ). 2y = 0, 2x = 0. } Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium det(a λi) = 0 det (( ) (λ 0 0 λ )) = 0 det ( λ 2 2 λ ) = 0 λ = 0 λ 2 = 4 λ 1,2 = i 4 λ 1 = 2i λ 2 = 2i. Karena λ 1 = iμ, λ 2 = iμ, titik ekuilibrium P(0,0) merupakan titik pusat yang bersifat stabil. Gambar 2.8 adalah diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.12 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

46 33 Gambar 2.8 Diagram fase Contoh 2.12 (titik pusat yang bersifat stabil) D. Model Pertumbuhan Logistik Model pertumbuhan populasi untuk satu spesies dikemukakan pertama kali oleh Malthus. Model diberikan oleh masalah nilai awal sebagai berikut: dn(t) = rn(t), { dt N(0) = N 0, dengan N(t) banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t, dengan t adalah variabel waktu, dan r konstanta laju pertumbuhan. Model tersebut dapat diselesaikan menggunakan metode pemisahan variabel sebagai berikut: dn(t) dt = rn(t) dn(t) N(t) = rdt dn(t) N(t) = rdt ln N(t) = rt + C

47 34 N(t) = e rt+c N(t) = e rt e C dengan A = e c dan diperoleh penyelesaian umum N(t) = Ae rt. Substitusi nilai awal N(0) = N 0 N(0) = Ae r(0) N 0 = A, untuk memperoleh penyelesaian khusus dari model N(t) = N 0 e rt. Penyelesaian tersebut menandakan pertumbuhan populasi bertumbuh secara eksponensial dan bergantung pada nilai awal N 0, konstanta laju pertumbuhan r, dan waktu t. Karena penyelesaian dari model Malthus berupa persamaan eksponensial, maka model Malthus ini juga disebut model eksponensial. Model eksponensial ini tidak realistis, sebab untuk nilai r > 0, dan jika diambil t menuju tak hingga, maka diperoleh N(t) menuju tak hingga, yakni lim t N(t) =. Tidak mungkin suatu populasi bertumbuh tanpa batas. Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang dikemukakan oleh Malthus adalah sebagai berikut: Syarat titik ekuilibrium dn(t) dt = 0, sehingga diperoleh rn(t) = 0 N(t) = 0. Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium N(t) = 0, jika f(n) = rn, maka f (N) = N sehingga diperoleh f (0) = 0. Karena f (0) = 0, titik ekuilibrium N(t) = 0

48 35 bersifat tak stabil. Sebagai ilustrasi, untuk nilai awal N 0 > 0 populasi akan bergerak menjauhi nol, hal ini berarti titik ekuilibrium N(t) = 0 merupakan solusi yang bersifat tak stabil. Gambar 2.9 menunjukkan grafik penyelesaian yang digambar menggunakan software Matlab dari model Malthus atau model eksponensial untuk beberapa nilai awal yang berbeda. Gambar 2.9 Grafik penyelesaian model Malthus dengan r = 0,3 Model Verhulst merupakan salah satu modifikasi dari model Malthus. Adanya daya dukung yang berupa konstanta K ditambahkan pada model bermaksud untuk membuat model lebih realistik. Daya dukung yang dimaksud meliputi keterbatasan ruang / kapasitas tempat tinggal, keterbatasan makanan, dan sebagainya. Model Verhulst atau model logistik diberikan oleh persamaan: dn(t) = rn(t) (1 N(t) { dt K ), N(0) = N 0, dengan N(t) adalah jumlah individu dalam populasi pada waktu t, t adalah variabel waktu, r laju pertumbuhan, dan K adalah konstanta daya dukung lingkungan atau

49 36 kemampuan lingkungan untuk menghidupi populasi. Penyelesaian dari model Verhulst adalah sebagai berikut: dn(t) dt dn(t) dt Dengan menggunakan pecahan parsial = rn(t) (1 N(t) K ) = r(kn(t) N(t)2 ) K dn(t) (KN(t) N(t) 2 ) = r K dt dn(t) N(t)(KN(t) N(t)) = r K dt dn(t) N(t)(KN(t) N(t)) = r K dt. 1 N(t)(KN(t) N(t)) = A N(t) + B (K N(t)), diperoleh nilai A = 1 dan B = 1. Selanjutnya pada ruas kiri dapat ditulis K K sehingga 1 N(t)(KN(t) N(t)) = 1 KN(t) + 1 K(K N(t)), ( 1 KN(t) + 1 K(K N(t)) ) dn(t) = r K dt dn(t) KN(t) + dn(t) K(K N(t)) = r K dt 1 K dn(t) N(t) + 1 K dn(t) (K N(t)) = r K dt dn(t) N(t) + dn(t) = r dt (K N(t))

50 37 ln N(t) ln K N(t) = rt + C N(t) ln = rt + C K N(t) N(t) K N(t) = ert e C N(t) = e rt e C K e rt e C N(t) N(t) + e rt e C N(t) = e rt e C K (1 + e rt e C )N(t) = e rt e C K N(t) = ert e C K 1 + e rt e C dengan B = e C, diperoleh penyelesaian umum N(t) = BKert 1 + Be rt. Substitusi nilai awal N(0) = N 0 sehingga diperoleh penyelesaian khusus dari model sebagai berikut BKer(0) N(0) = 1 + Be r(0) N 0 = BK 1 + B N 0 + BN 0 = BK B(K N 0 ) = N 0 B = N 0 K N 0. Subsitusi nilai B = N 0 K N 0 ke dalam N(t) = BKert 1 + Be rt

51 38 N(t) = N(t) = Ke rt N 0 K N 0 K N 0 + e rt N 0 K N 0 Ke rt N 0 K + (e rt 1)N 0. Penyelesaian tersebut lebih realistis dibandingkan dengan penyelesaian model Malthus, sebab jika diambil nilai t menuju tak hingga maka diperoleh: Ke rt N 0 K lim = lim t K + (e rt 1)N 0 t K e rt N = K = K. e rt Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara terbatas dan asimtotik ke nilai K saat t menuju tak hingga. Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang dikemukakan oleh Verhulst adalah sebagai berikut: dn(t) = 0, sehingga diperoleh rn(t) (1 N(t) K ) = 0 dt rn(t) = 0 1 N(t) K = 0 N(t) 1 = 0 N(t) 2 = K. Jadi, terdapat dua titik ekuilibrium yaitu N(t) 1 = 0 atau N(t) 2 = K. Jika f(n) = rn(t) (1 N(t) ), maka K f (N) = r 2rN(t), sehingga analisis kestabilan untuk titik K ekuilibrium N(t) 1 = 0 adalah f (0) = r. Karena r > 0 maka f (0) > 0, sehingga titik ekuilibrium N(t) 1 = 0 bersifat tak stabil. Sedangkan analisis kestabilan untuk

52 39 titik ekuilibrium N(t) 2 = K adalah f (0) = r, karena r > 0 maka f (K) < 0, sehingga titik ekuilibrium N(t) 2 = K bersifat stabil asimtotik. Dengan kata lain, untuk setiap nilai awal N 0 > 0 populasi akan bergerak menjauhi nol, jadi titik ekuilibrium N(t) 1 = 0 merupakan solusi yang bersifat tak stabil. Berbeda dengan N(t) 2 = K, untuk setiap N 0 > 0 berlaku: K lim t ( K = K, N 1) e rt sehingga N(t) 2 = K adalah solusi yang stabil asimtotik. Berikut grafik penyelesaian dari model Verhulst atau model logistik yang digambar menggunakan software Matlab untuk beberapa nilai awal yang berbeda. Gambar 2.10 Grafik penyelesaian model Verhulst dengan r = 0,3 dan K = 500 Gambar 2.10 menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang panjang atau t menuju tak hingga, jumlah populasi konvergen menuju ke koefisien daya dukung atau K = 500.

53 40 E. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara Logistik Simbiosis mutualisme adalah interaksi yang erat dan khusus antara dua makhluk hidup yang berbeda jenis namun saling menguntungkan bagi kedua pihak. Beberapa contoh makhluk hidup yang berinteraksi secara simbiosis mutualisme adalah interaksi antara kerbau dan burung jalak, zebra dan burung oxpecker, buaya dan burung plover, anemon laut dan ikan badut, bunga dan kupu-kupu, bunga dan lebah, dan lain sebagainya. Interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara eksponensial dapat dimodelkan sebagai berikut: dx = rx + axy, { dt dy = sy + bxy, dt dengan x dan y adalah jumlah populasi pada waktu t. Parameter r dan s berturutturut merupakan laju pertumbuhan intrinsik dari populasi x dan y, konstanta a dan b menunjukkan koefisien dari interaksi antara dua populasi yang dapat meningkatkan jumlah masing-masing populasi x dan y. Analisis kestabilan titik ekuilibrium model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara eksponensial adalah sebagai berikut: Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium dx = dy = 0, sehingga dt dt diperoleh: rx + axy = 0, sy + bxy = 0, } atau x(r + ay) = 0, y(s + bx) = 0. }

54 41 Terdapat dua titik ekuilibrium, yakni P 1 (0,0) dan P 2 ( s, r ). Setelah itu b a dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi f 1 x J i = f 2 ( x f 1 y r + ay ax = ( f 2 by s + bx ). y ) Dengan mensubstitusi titik ekuilibrium P 1 (0,0) dan P 2 ( s, r ) pada matriks b a Jacobi, maka diperoleh: J 1 = ( r 0 0 s ), 0 as b J 2 = ( br ). 0 a Analisis kestabilan titik ekuilibrium P 1 (0,0) dengan matriks Jacobi diperoleh nilai eigen J 1 = ( r 0 0 s ), det(j 1 λi) = 0 det (( r 0 0 s ) (λ 0 0 λ )) = 0 r λ 0 det ( 0 s λ ) = 0 (r λ)(s λ) = 0 r λ = 0 s λ = 0 λ 1 = r λ 2 = s.

55 42 Diketahui 0 < r, s < 1 sehingga λ 1 > λ 2 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium P 1 (0,0) merupakan titik simpul yang bersifat tak stabil. Analisis kestabilan titik ekuilibrium P 2 ( s b, r a ), dengan matriks Jacobi diperoleh nilai eigen det ( ( 0 as b J 2 = ( br ), 0 a det(j 2 λi) = 0 0 as b br a 0 λ det ( br a λ 2 rs = 0 ) ( λ 0 0 λ ) = 0 ) as b ) = 0 λ λ 1,2 = ± rs λ 1 = rs λ 2 = rs. Diketahui 0 < r, s < 1 sehingga λ 2 < 0 < λ 1 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium P 2 ( s, r ) merupakan titik sadel yang b a bersifat tak stabil.

56 43 Gambar 2.11 adalah grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara eksponensial yang digambar menggunakan software Matlab untuk beberapa nilai awal yang berbeda. Gambar 2.11 Grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara eksponensial r = 0,3, s = 0,2, a = dan b = 0.03 Model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik adalah sebagai berikut: dx dt = rx (1 x K x ) + axy, dy dt = sy (1 y K y ) + bxy. Variabel x dan y adalah jumlah populasi pada waktu t, konstanta K x dan K y adalah kapasitas ambang dari populasi x dan y. Parameter r dan s adalah laju pertumbuhan intrinsik dari populasi x dan y, konstanta a dan b menunjukkan koefisien dari interaksi antara dua populasi yang dapat meningkatkan jumlah masing-masing populasi x dan y.

57 44 Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik adalah sebagai berikut: Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium dx = dy = 0, sehingga dt dt diperoleh: rx (1 x K x ) + axy = 0, sy (1 y K y ) + bxy = 0, } atau x(rk x rx + ak x y) = 0, y(sk y sy + bk y x) = 0, } terdapat empat titik ekuilibrium, yakni P 1 (0,0), P 2 (0, K y ), P 3 (K x, 0), dan P 4 ( rsk x + ask x K y rs abk x K y, rsk y + brk x K y rs abk x K y ). Setelah memperoleh keempat titik ekuilibrium, dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi f 1 x J i = f 2 ( x f 1 y = f 2 y ) ( r 2rx K x + ay ax by s 2sy K y + bx ), i = 1, 2, 3, 4. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai P i pada J i diperoleh J 1 = ( r 0 0 s ), J 2 = ( r + ak y 0 bk y s ),

58 45 J 3 = ( r ak x ), 0 s + bk x rs(r + ak y ) (r + ak y )ask x rs abk x K y rs abk x K y J 4 =. (s + bk x )brk y rs(s + bk x ) ( rs abk x K y rs abk x K y ) Setelah matriks Jacobi J 1, J 2, J 3, J 4 diperoleh, dilakukan analisis kestabilan dari masing-masing titik ekuilibrium. a. Analisis kestabilan titik ekuilibrium P 1 (0,0) dengan matriks Jacobi diperoleh nilai eigen J 1 = ( r 0 0 s ), det(j 1 λi) = 0 det (( r 0 0 s ) (λ 0 0 λ )) = 0 r λ 0 det ( 0 s λ ) = 0 (r λ)(s λ) = 0 r λ = 0 s λ = 0 λ 1 = r λ 2 = s. Diketahui 0 < r, s < 1 sehingga λ 1 > λ 2 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium P 1 (0,0) merupakan titik simpul yang bersifat tak stabil. b. Analisis kestabilan titik ekuilibrium P 2 (0, K y ) dengan matriks Jacobi diperoleh nilai eigen J 2 = ( r + ak y 0 bk y s ),

59 46 det(j 2 λi) = 0 det (( r + ak y 0 bk y s ) (λ 0 0 λ )) = 0 det ( r + ak y λ 0 bk y s λ ) = 0 (r + ak y λ)( s λ) = 0 r + ak y λ = 0 s λ = 0 λ 1 = r + ak y λ 2 = s. Diketahui 0 < r, s < 1, a > 0, dan K y > 0 sehingga λ 2 < 0 < λ 1 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium P 2 (0, K y ) merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil. c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium P 3 (K x, 0) dengan matriks Jacobi diperoleh nilai eigen J 3 = ( r ak x ), 0 s + bk x det(j 3 λi) = 0 det (( r ak x ) ( λ 0 0 s + bk x 0 λ )) = 0 r λ det ( ak x 0 s + bk x λ ) = 0 ( r λ)(s + bk x λ) = 0 r λ = 0 s + bk x λ = 0 λ 1 = r λ 2 = s + bk x.

60 47 Diketahui 0 < r, s < 1, b > 0, dan K x > 0 sehingga λ 1 < 0 < λ 2 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium P 3 (K x, 0) merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil. d. Analisis kestabilan titik ekuilibrium P 4 ( rsk x + ask x K y rs abk x K y dengan matriks Jacobi, rsk y + brk x K y rs abk x K y ) rs(r + ak y ) (r + ak y )ask x rs abk x K y rs abk x K y J 4 =. (s + bk x )brk y rs(s + bk x ) ( rs abk x K y rs abk x K y ) Jika dimisalkan: maka diperoleh α = r + ak y, β = s + bk x, γ = rs abk x K y, αrs γ J 4 = βbrk y ( γ αask x γ. βrs γ ) Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut det(j 4 λi) = 0 αrs γ det βbrk y γ (( αask x γ βrs γ ) ( λ 0 0 λ ) ) = 0

61 48 αrs λ γ det βbrk y ( γ αask x γ = 0 βrs λ γ ) ( αrs γ λ) ( βrs γ λ) ( βbrk y γ ) ( αask x ) = 0 γ untuk memperoleh nilai λ kalikan kedua ruas dengan γ 2, sehingga diperoleh ( αrs γλ)( βrs γλ) (βbrk y )(αask x ) = 0 (γ 2 )λ 2 + ((α + β)γrs)λ + ((rs abk x K y )αβrs) = 0 (α + β)γrs ± ((α + β)γrs) 2 4(γ 2 ) ((rs abk x K y )αβrs) λ 1,2 = 2(γ 2 ) dengan perhitungan aljabar, diperoleh λ 1,2 = rs(α + β) ± ((α β)rs) 2 + 4αβrsabK x K y 2γ. Diketahui α = r + ak y, β = s + bk x, dan γ = rs abk x K y, dengan 0 < r, s < 1, a, b > 0, dan K x, K y > 0 sehingga dapat disimpulkan empat analisis kestabilan yaitu: Jika γ > 0 dan rs(α + β) > ((α β)rs) 2 + 4αβrsabK x K y, maka diperoleh λ 1 < λ 2 < 0 (dua bilangan real berbeda kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium P 4 ( rsk x + ask x K y rs abk x K y bersifat stabil asimtotik., rsk y + brk x K y ) merupakan titik simpul yang rs abk x K y Jika γ > 0 dan rs(α + β) < ((α β)rs) 2 + 4αβrsabK x K y, maka diperoleh λ 2 < 0 < λ 1 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda).