DasarTeoriProbabilitasdan StatistikUntukInsinyur

Transkripsi

1 DasarTeoriProbabilitasdan StatistikUntukInsinyur Bahan Kuliah Semester Pendek th 2016/2017 Prodi Teknik Telekomunikasi ITB Dosen: Sigit Haryadi Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 1

2 RuangLingkupTeoriProbabilitas& Statistik 1. FungsiIlmuStatistik murni : 1. Untuk menerka nature dari suatu populasi yang populasinya sangat besar berdasar sample dariyang berukuranjauhlebihkecil, berdasarsuatutingkatkepercayaantertentu. Tingkat kepercayaan 100% hanya bisa didapat kalau kita punya hasil pengamatan atau pengukuran dari keseluruhan populasi. Tapi sample yang berukuran x % dari keseluruhan populasibukanberartibahwatingkatkepercayaanhanyax % central limit theorem & confidence level theorem 2. Untuk menguji benar atau salahnya suatu pernyataan berdasar suatu tingkat kepercayaan tertentu hypothesis testing 2. Fungsi Applied Statistic di bidang teknik telekomunikasi antara lain: a. Untuk network planning: Regresi dan Forecasting b. Menghitung Entropi c. Merancang Receiver suatu modulasi d. dll 3. Fungsi applied statistic di bidang lain-lain. Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 2

3 DasarPembentukanTeoriProbabilitas& Statistik Murni (1) BerdasarEksperimen: experts melakukansangatbanyakeksperimenyang bisa membuktikan bahwa ada keterkaitan yang sangat erat antara sample, yaitu sebagian kecil dari populasi vs keseluruhan populasi. Ilmu Statistik murni = ilmu tentang menyimpulkan sesuatu tentang populasihanyaberdasarsample dari populasitersebuthypothesis testing Populasi: Keseluruhan pengamatan yang ingindipahami, dengan ukuranyang terbatas ataupun tak terhingga Sample: Suatu himpunan bagian dari populasi. NB. Ada rumus untuk menentukan ukuran sample, tapi menurt saya pribadi, rumus itu masih lemah, harus ada orang yang mau menemukan rumus yang lebih baik! Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 3

4 DasarPembentukanTeoriProbabilitas& Statistik Murni (2) Beberapa kata kunci ilmu probabilitas& statistic murni Sample Space Event Probability Random Variable Distribution Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 4

5 DasarPembentukanTeoriProbabilitas& Statistik for Engineering Planning (1) Berdasar eksperimen: experts melakukan sangat banyak eksperimen yang bisa membuktikan bahwa sesuatu yang akan datang bisa diforecast, dengan tingkat kepercayaan tertentu Kita TIDAK HARUS SELALU BENAR, kitahanya tahubahwasangat MUNGKIN KITA BENAR: kita percaya ada kebenaran dengan tingkat kepercayaansekianpersen. Melihat masa depan sebagai suatu teka-teki yang bisa dipecahkan We can ALMOST, not EXACTLY understand many things Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 5

6 DasarPembentukanTeoriProbabilitas& Statistik for Engineering Planning (2) Sebagaiseoranginsinyur, kitaharus bisa merencanakansuatu system yang akan dioperasikan sampai beberapa tahun kedepan, maka kita harus bisa memperhitungkansegalasesuatu yang akanterjadidi masa depan, meskipunpasti kitatidaktahupastiapayang terjadidi masa depan. Meskipun di masa depan banyak hal berubah, tetapi sebagian besar masihada yang tetapsamaatausetidak-tidaknyamiripdenganyang ada sekarang Masa depan tertanam di masa kini Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 6

7 BeberapaPrinsipDasarIlmuProbilitas& StatistikMurni& Applied Statistic Beberapa teori dasar yang harus dikuasai 1. Central Limit Theorem 2. Distribusi t 3. Distribusi F 4. Confidence Interval Theorem (Teorema tentang batas atas dan batas bawah suatu nilai yang dianggap benar dengan tingkat kepercayaan sekian persen) 5. Hyphotesis Testing 6. Regresi Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 7

8 Central Limit Theorem Jika adalah mean dari sebuah sampel berukuran n (yang diambil dari suatu populasi pengamatan) mempunyai mean μ dan varians σ 2, dengan sebarang distribusi (tidak harus normal), maka adalah variabel random yang fungsi distribusinya mendekati distribusi normal yang memiliki ukuran n mendekati tak terhingga Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 8

9 Distribusit: Bila n kecil (<30), maka Jika adalah mean dari sampel acak berukuran n diambil dari populasi normal yang memiliki mean μ dan variansiσ 2, dan Adalah variabel random dengan distribusi t dengan degree of freedom (derajat kebebasan) v=n-1 Gambar distribusi t dan distribusi normal standar Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 9

10 Distribusi F Jika dan adalah variansi dari sampel acak bebas berukuran n 1 dan n 2, masing-masing diambil dari dua populasi normal yang memiliki variansi yang sama, maka Adalah random variabel yang memiliki distribusi F dengan parameter v 1 =n 1-1 dan v 2 =n 2-1 Nilai dari F yang ditabulasikan Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 10

11 Confidence Interval Theorem (1) Apabila (sample mean) digunakan untuk mengestimasi mean dari populasi, maka kita bisa (1-α)100% percaya(confidence) bahwa error tidak akan melebihi: Apabila (sample mean) digunakan untuk mengestimasi mean dari populasi, maka kita bisa (1- α)100% percaya (confidence) bahwa error tidak akan melebihi jumlah e yang ditentukan ketika ukuran sampel(n): Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 11

12 Confidence Interval Theorem (2) (1-α)100% confidence interval (n>30) σ tidak diketahui Dengan, Mean Sample, μ = Mean Populasi, n= Ukuran Sampel, σ=standar deviasi, s=standar deviasi sampel Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 12

13 Confidence Interval Theorem (3) (1-α)100% confidence interval (n<30) Dengan, Mean Sample, μ = Mean Populasi, n= Ukuran Sampel, s=standar deviasi sampel Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 13

14 Confidence Interval Theorem (4) Maximum Error Of Estimate Maximum Error Of Estimate, populasi normal σ tidak diketahui Dengan, μ = Mean Populasi, n= Ukuran Sampel, σ=standar deviasi, s=standar deviasi sampel Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 14

15 Case Study (1): Data pengukurandansoal Dilakukan pengukuran kebutuhan daya listrik dengan sampel sebanyak 49 computer dengan suatu merk dan type yang sama. Hasil pengukuran: Mean sampel untuk kebutuhan daya adalah 100 watt dengan standar deviasi sebesar 20 watt. Soal: Berapa peluang bahwa mean kebutuhan daya listrik computer tersebut berada diantara 93 sampai 107 Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 15

16 Case Study (1): Solusi Dik: n=49,, S=20 Dit : P (93 < µ < 107) =? Jawab: P (93 < µ < 107) = P = Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 16

17 HyphotesisTesting (1) Suatu anggapan atau pernyataan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai suatu populasi atau lebih Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 17

18 HyphotesisTesting (2): Hypothesis Testing Concepts Prinsip Ketika tujuan dari eksperimen adalah untuk membangun sebuah pernyataan, maka negasi dari pernyataan harus dijadikan sebagai hipotesis null dan menjadi hipotesis alternatif. H 1 : Hipotesis Alternatif merupakan pernyataan yang ingin dibuktikan H 0 : Hipotesis null merupakan negasi dari pernyataan TipeError & level of significance Tipe 1 error : Penolakan dari H 0 padahal H 0 kenyataannya benar. α = probability penyebab error tipe 1 Tipe 2 error : Penerimaan dari H 0 padahal H 1 kenyataannya benar. β = probability penyebab error tipe 2 Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 18

19 Hyphotesis Testing (3): Step by step Testing terhadap Hipotesis Tentukan hipotesis null dan alternatif hipotesis adalah sesuai, yaitu hipotesis bisa diterima ketika hipotesis null harus ditolak Tentukan probability dari error tipe I, jika memungkinkan atau dibutuhkan Atau tentukan probability dari error tipe II sebagai alternatif tertentu Berdasarkan distribusi sampling yang sesuai, tentukan kriteria untuk melakukan uji hipotesis null terhadap alternatif yang diberikan Kalkulasikan dari data yang diketahui bagaimana keputusan harus dibuat 5 Keputusan untuk menolak hipotesis adalah dilakukan bila kita gagal untuk menolaknya Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 19

20 Case Study 1 Hypothesis Testing: Soal Hipotesis proporsi yang cacat dari suatu sampel berukuran 100 adalah menunjukkan bahwa 20 barang yang cacat akan mendukung penolakan null hipotesis bahwa proporsi yang cacat adalah sama dengan 10 persen Mengapa? Bila memang p=0.10 maka peluang mendapatkan 20 atau lebih yang cacat sekitar Dengan peluang berbuat salah seperti itu tentunya lebih aman menolak hipotesis bahwa p=0.10 Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 20

21 Case Study 2 Hypothesis Testing: Data Berikut adalah data sampel banyak pelanggan operator seluler X di dua kota. Bandung Surabaya Pelanggan operator seluler X Banyak pelanggan dari semua operator seluler yang disurvey Dengan taraf signifikansi 5 %, ujilah apakah market share operator seluler X di kota Bandung lebih besar daripada market share operator seluler X di kota Surabaya? (market share = jumlah pelanggan salah satu operator dibandingkan total pelanggan seluruh operator di kota itu) Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 21

22 Case Study 1 Hypothesis Testing: Cara menyelesaikansoal Solusi: Ini adalah persoalan pada distribusi binomial, karena yang ditanyakan adalah jumlah pelanggan operator seluler dibandingkan dengan yang bukan Maka dengan σ = 2 Jika cuplikan saling bebas sejumlah n 1 dan n 2 diambil secara acak dari dua populasi, diskrit maupun kontinyu, dengan mean µ 1 dan µ 2 danvariansi σ 12 dan σ 22. Maka sebaran cuplikan dari beda mean X 1 -X 2 akan mendekati normal dengan mean dan variansi. µ X1-X2 = µ 1 - µ 2 σ 2 X1-X2= σ 12 /n 1 + σ 22 /n 2 Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 22

23 Case Study 1 Hypothesis Testing: Solusi Diketahui : Misal Bandung =1, Surabaya=2, maka Soal : ApakahP 1 >P 2 (denganα=0.05)? Solusi menggunakan One tailed test 1) Maka, hipotesisdinyatakansebagai: H 0 : P 1 -P 2 =0; H 1 : P 1 -P 2 >0; α=0.05 dan daerah Kritis z> ) Rumus 3) Perhitungan: Z= (0.07-0)/ = ) Keputusan: TerimaH 0 dankitatidak yakinbahwamarket share dari operator seluler X di Bandung lebih besar daripada di Surabaya Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 23

24 Dari sampel pengukuran terhadap 100 perusahaan yang merupakan sebagian pelanggan wholesale dari suatu operator FTTH, diketahui bahwa mean dari langganan = Rp ,-per bulan per pelanggan wholesale dengan standar deviasi Rp ,-. Soal: dengan menggunakan hypothesis testing dengan taraf signifikansi 1 %, ujilah apakah mean dari langganan dari semua pelanggan wholesale dari operator FTTH tersebut adalah kurang dari Rp per bulan per pelanggan wholesale Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 24

25 Case Study 2 Hypothesis Testing: Solusi Diketahui: n=100, X=5,550,000,-, S=1,550,000,- Soal: Apakahμ< 6,000,000 (α=0.01)? Jawab: One-tailed test 1) Hipotesis: H0: μ=6,000,000; H1: μ<6,000,000; Signifikansi: α=0.01; Daerah Kritis: Z< ) Perhitungan Z= (lihat table distribusi F: masuk daerah kritis) 3) Kesimpulan: Tolak H0, artinya bahwa benar mean mean dari langganandarisemuapelangganwholesale darioperator FTTH tersebut adalah kurang dari Rp per bulan per pelanggan wholesale Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 25

26 Resume daricase study 1 dan2 of Hypothesis Testing Case 01 Case 02 Case 03 Penerimaan suatu hipotesis disebabkan bahwa data yang ada tidak cukup valid untuk menolaknya Penolakan suatu hipotesis disebabkan bahwa sampel membantah kebenarannya. Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 26

27 Regresi 1. Regresi linier 2. Anova 3. Ancova 4. Haryadi Index 5. Dan lain-lain akan ditambahkan di kelas Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 27

28 1. Linear Correlation Pengukuran Variabel hubungan linear antara dua variabel x dan y yang diestimasi dari sampel oleh koefisien korelasi r, dimana Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 28

29 Linear Regression Persamaan Model - Dimana y sering disebut sebagai variabel dependen (diterangkan) - Sedangkan x sering disebut sebagai variabel independen (menerangkan) Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 29

30 LiniearRegression Estimation Sedangkan, jikauntuk σ 2 Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 30

31 Confidence Interval for β A(1-α)*100% confidence interval untuk parameter β dalam garis modelpopulasi y=α+βxadalah sebagaiberikut: Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 31

32 Notation For the Sum of Squares & Sum of Cross Products Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 32

33 Coefficient of Multiple Determination Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 33

34 Meaning of R 2 R 2 menjelaskan seberapa besar persentasi total variasi variable dependen yang dijelaskan oleh model R 2 semakin besar atau mendekati 1, maka model makin tepat Suatu R 2 sebesar 1 berarti ada kecocokan sempurna. sedangkan yang bernilai 0 berarti tidak ada hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel yang menjelaskan. Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 34

35 Linear Regression Case Study: Data Seorang operator ingin mengetahui hubungan antara kecepatan internet dengan jumlah data yang terkirim, apakah kecepatan pengiriman data mempengaruhi jumlah data yang terkirim. Jumlah data Kecepatan internet(kbps) yang terkirim(gb) Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 35

36 Linear Regression Case Study: soal a) Hitung koefisien korelasi(r)! Apa makna dari koefisien korelasi ini? b) Buatlah persamaan regresinya? c) Tentukan estimasi interval dari gradient persamaan regresi tersebut (5% level of significance dan 1 % level of significance)? d) Gunakan uji hipotesa untuk menentukan apakah kita bisa cukup meyakini bahwa slope (atau gradien) persamaan regresi ini tidak sama nol atau tidak? Gunakan ( 5% level of significance dan 1 % level of significance)? Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 36

37 Linear Regression Case Study: Solusi(1) Diketahui: Misal Kecepatan pengiriman data = x dan jumlah data yang terkirim =y Soal: a. r? b. Model Y? c. α=0.01 dan α=0.05? d. Uji Hipotesa? Jawab: Tabel Bisa n dibuatx menjadi sebagai y berikut x 2 : y 2 xy Σ Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 37

38 Linear Regression Case Study: Solusi(2) Sehinggay = x c) S xx = , S xy = , S yy = , s= t =2.776, t =4.604 Untuk α = 0.05, <β< Untuk α = 0.01, <β< Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 38

39 Linear Regression Case Study: Solusi(3) d) - H0: =0, - H1:β>0a - i.α=0.05, ii.β= Daerah kritis : - t > t 0.05 = 2.132, t > t 0.01 = untukα=0.05, tolak H 0, artinya bisa disimpulkan slope > 0 - untukα=0.01, terima H 0, artinya tidak bisa disimpulkan bahwa slope >0 Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 39

40 2. ANOVA: Model Equation for one-way classification Untuki= 1,2,.,k; j=1,2,,n i Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 40

41 Observation Model Observasi Means Sum of Squares Sample 1: Sample 2: Sample i: Sample k: Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 41

42 Decomposition of the Degree of Freedom(df) D.f. Total = d.f. Treatment + d.f. Error Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 42

43 Mean Square & F Ratio Treatment Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 43

44 Sum of Squares Dimana C disebut sebagai Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 44

45 ANOVA Table Source of Variation Degrees of Freedom Sum of Squares Mean Square F Treatments k-1 SS(Tr) MS(Tr) = SS(Tr)/(k- 1) Error N-k SSE MSE = SSE/(N-k) Total N-1 SST Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 45

46 3. ANCOVA MODEL EQUATION Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 46

47 Sum of Products-Ancova SPE=SPT-SPT(Tr) Dimana Faktor koreksi C, didekati dengan persamaan Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 47

48 Adjusted Sum of Squares-analysis of covariance Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 48

49 ANCOVA TABLE Source of Variation Sum of Squares for x Sum of Squares for y Sum of products Sum of Squares for y Degrees of Freedom Mean Square Treatments SS(Tr)x SS(Tr)y SP(Tr) SS(Tr)y k-1 MS(Tr) = SS(Tr)/(k- 1) Error SSEx SSEy SPE SSEy N-k MSE = SSE/(N-k) Total SSTx SSTy SPT SSTy N-1 Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 49

50 ANOVA & ANCOVA CASE STUDY: MENGGUNAKAN SOFTWARE ATAU APLIKASI Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 50

51 4. Haryadi Index = ;> PersamaanModel : Y = a X Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 51

52 Haryadi Index case Study 1: Soal dan Pengerjaan Kerjakan soal di halaman 35 menggunakan Haryadi Index Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 52

53 Haryadi Index case Study 1: Solusi PersamaanModel: Y = (6.160 /6) X = X; Y = jumlahdata yang terkirim danx = kecepataninternet Tingkat Korelasi = Rumus:HI(6)=1/[6{S 12 + S 22 + S 32 + S 42 + S S (S 2 -S 1 ) 2 + (S 3 -S 1 ) 2 + (S 4 -S 1 ) 2 + (S 5 -S 1 ) 2 + (S 6 -S 1 ) 2 + (S 3 -S 2 ) 2 +(S 4 -S 2 ) 2 + (S 5 -S 2 ) 2 + (S 6 -S 2 ) 2 + (S 4 -S 3 ) 2 + (S 5 -S 3 ) 2 + (S 6 -S 3 ) 2 + (S 5 -S 4 ) 2 +(S 6 -S 4 ) 2 + (S 6 -S 5 ) 2 }] Tingkat korelasi = 1/[6{ ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 +( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 +( ) 2 + ( ) 2 }]= 0.98 adakorelasi yang sangatkuat antara jumlah data yang dikirim dengan kecepatan internet Kesimpulan: Padapersoalan inipenggunaanharyadi Index adalahpaling tepat, karena jika kecepatan internet = 0, maka tidak akan mungkin ada data yang terkirim, sehingga persamaan model Y = ax adalah paling tepat. Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 53

54 Referensi Probabilitas & Statistik untuk Insinyur. 2017_ Sigit Haryadi 54