BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam ilmu matematika, khususnya dalam bidang analisis dikenal berbagai macam ruang, di antaranya ruang Hilbert. Banyak hal yang dapat dikaji di dalam ruang Hilbert. Salah satu konsep penting dalam ruang Hilbert adalah basis Schauder (atau disingkat basis). Jika {x n } basis untuk ruang Hilbert H, maka untuk sebarang x di ruang Hilbert, terdapat dengan tunggal barisan skalar {c n } sehingga x = c n x n. Namun, seringkali para peneliti mengalami kendala/kesulitan untuk mendapatkan basis {x n }, yakni dalam hal menunjukkan ketunggalan barisan skalar {c n } sehingga x = c n x n, untuk setiap x di ruang Hilbert H. Oleh karena itu, para peneliti mencoba mencari alat yang lebih efisien dari basis. Salah satunya, yaitu frame. Frame merupakan generalisasi dari basis Schauder di ruang Hilbert. Pada frame {x n }, barisan skalar {c n } sehingga x = c n x n, untuk setiap x di ruang Hilbert H, tidak harus tunggal. Oleh karena itu, sifat-sifat yang berlaku pada basis berlaku pula pada frame, tetapi sebaliknya belum tentu. Frame pertama kali dikenalkan oleh Duffin dan Schaeffer (1952) untuk meneliti beberapa masalah pada deret Fourier non harmonik. Seiring berjalannya waktu, selain digunakan pada deret Fourier non harmonik, frame juga dapat digunakan pada signal processing, teori sampling, kompresi data, dan bidang matematika lainnya. Seiring dengan perkembangan teori frame, beberapa macam generalisasi frame dikemukakan oleh beberapa peneliti, seperti proyektor quasi terbatas, pseudo frame, frame fusi dan lain-lain. Selanjutnya, Sun (2006) memberikan generalisasi baru dari frame yang disebut frame-g merupakan generalisasi dasar frame yang mencakup semua generalisasi-generalisasi frame yang sudah ada seperti telah disebutkan sebelumnya. Pada paper tersebut diberikan hubungan frame-g dengan frame di ruang 1

2 2 Hilbert. Selain frame-g, juga diberikan generalisasi dari basis Riesz yang sebelumnya telah diteliti oleh Young (1980) yang disebut basis Riesz tergeneralisasi, disingkat basis Riesz-g. Telah dikaji pula bahwa frame-g dan basis Riesz-g hampir mempunyai sifat-sifat yang sama dengan frame dan basis Riesz, tetapi tidak semua sifat pada frame dan basis Riesz berlaku pada frame-g dan basis Riesz-g (Sun,2006). Sebagai contohnya, frame-g eksak tidak ekuivalen dengan basis Riesz-g, padahal menurut Christensen (2003) frame eksak ekuivalen dengan basis Riesz. Sun (2006) memberikan karakterisasi frame-g dengan menggunakan frame di ruang Hilbert. Selanjutnya Ding dan Zhu (2010) membuktikan karakterisasi tersebut belum tentu berlaku apabila frame-g diganti frame Besselian-g dan frame diganti dengan frame Besselian. Dengan menambahkan beberapa syarat, karakterisasi yang dibuktikan Sun (2006) juga berlaku untuk frame Besselian-g. Berdasarkan uraian di atas, pada tesis ini penulis tertarik untuk mengkaji lebih dalam tentang frame Besselian-G di ruang Hilbert dan hubungan antara frame Besselian-g dengan frame Besselian di ruang Hilbert yang telah dipaparkan oleh Ding dan Zhu (2010) dalam papernya yang berjudul g-besselian Frames in Hilbert Spaces Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, diberikan perumusan masalah sebagai berikut. 1. Mengkaji sifat-sifat frame Besselian-g di ruang Hilbert. 2. Mengkaji karakterisasi frame Besselian-g dengan menggunakan frame Besselian di ruang Hilbert Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah mempelajari dan mengkaji tentang frame Besselian-g di ruang Hilbert, terutama sifat-sifat frame Besselian-g di ruang Hilbert dan hubungan frame Besselian-g dengan frame Besselian di ruang Hilbert.

3 3 Selanjutnya, hasil penelitian ini diharapkan dapat digunakan untuk pengembangan ilmu seperti pada analisa Fourier, teori sampling, kompresi data dan signal processing, serta bidang matematika lainnya. Lebih lanjut, secara umum hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat untuk perkembangan matematika, sains, dan teknologi Tinjauan Pustaka Gagasan mengenai frame pertama kali dikenalkan oleh Duffin dan Schaeffer (1952) untuk meneliti beberapa masalah pada deret Fourier non harmonik. Seiring berjalannya waktu, Casazza dan Christensen (1998) membahas frame di ruang Hilbert dan hubungan frame dengan basis Schauder di ruang Hilbert. Sementara itu, Young(1980) memberikan definisi basis Riesz di ruang Hilbert dan sifat-sifatnya, salah satunya basis Riesz ekuivalen dengan basis ortonormal. Oleh karena itu, Christensen (2003) memberikan hubungan frame dengan basis Riesz di ruang Hilbert dan diperoleh basis Riesz ekuivalen dengan frame eksak di ruang Hilbert. Sementara itu, Holub (1994) membahas lebih dalam mengenai frame Besselian, basis Riesz dan near-basis Riesz serta hubungan ketiganya dan diperoleh frame Besselian ekuivalen dengan near-basis Riesz di ruang Hilbert. Selanjutnya, penelitian terkait frame terus berkembang hingga diperoleh frame tergeneralisasi, disingkat frame-g. Selain frame-g, juga dikembangkan basis Riesz yang disebut basis Riesz tergeneralisasi, disingkat basis Riesz-g. Selanjutnya, dibahas sifat-sifat frame-g dan basis Riesz-g di ruang Hilbert dan hubungan frameg dengan basis Riesz-g di ruang Hilbert, serta hubungan frame-g dan basis Riesz-g dengan frame dan basis Riesz di ruang Hilbert (Sun,2006). Selanjutnya, Ding dan Zhu (2010) menjelaskan frame Besselian-g di ruang Hilbert. Dalam paper tersebut dibahas definisi frame Besselian-g di ruang Hilbert, dan sifat-sifat frame Besseliang di ruang Hilbert. Selanjutnya diberikan pula hubungan frame Besselian-g dengan frame Besselian di ruang Hilbert. Pada pembahasan frame dan frame Besselian-g di ruang Hilbert dibutuhkan

4 4 konsep-konsep dasar di ruang Hilbert. Di antaranya, kekonvergenan, barisan dan basis, serta operator-operator di ruang bernorma dan ruang Hilbert. Konsep-konsep tersebut dapat dipelajari di Kreyzig (1978) dan Berberian (1961). Selain itu, konsep lebih dalam terkait operator di ruang Hilbert, yaitu operator linear, operator adjoint dan proyeksi ortogonal di ruang Hilbert juga telah dikaji oleh Weidmann (1980), dan Debnath dan Mikusinski (2005). Sedangkan konsep lebih dalam mengenai operator invertibel dipaparkan oleh Rynne dan Youngson (2008). Lebih lanjut, konsep operator positif di ruang Hilbert dapat dikaji lebih dalam di Heuser (1982) Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian tesis ini adalah studi literatur (kajian teori) dengan literatur utama paper dengan judul g-besselian Frames in Hilbert Spaces. Dalam hal ini, penulis menguraikan secara rinci pembuktian dari teoremateorema yang ada pada paper di atas. Pembahasan pada penelitian ini diawali dengan mempelajari konsep frame di ruang Hilbert. Di antaranya mengenai definisi frame, basis Riesz dan frame Besselian di ruang Hilbert. Selanjutnya, dikaji sifatsifat frame, basis Riesz dan frame Besselian di ruang Hilbert. Lebih lanjut, dikaji hubungan frame dengan basis Riesz dan hubungan frame Besselian dengan basis Riesz di ruang Hilbert. Selanjutnya, juga akan dipelajari mengenai frame-g di ruang Hilbert. Dimulai dengan definisi frame-g dan basis Riesz-g yang kemudian dilanjutkan dengan hubungan antara frame-g dan basis Riesz-g dengan frame dan basis Riesz di ruang Hilbert. Langkah selanjutnya dalam penelitian ini adalah dikaji frame Besseliang di ruang Hilbert. Diawali dengan dipelajari definisi frame Besselian-g di ruang Hilbert, kemudian dikaji sifat-sifat frame Besselian-g di ruang Hilbert. Selanjutnya, dikaji hubungan frame Besselian-g dengan frame Besselian di ruang Hilbert pada paper Ding dan Zhu (2010).

5 Sistematika Penulisan Dalam tesis ini, hasil penelitian akan dibagi ke dalam lima bab. Di dalam BAB I, yaitu pendahuluan, dibahas mengenai latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan tesis yang akan dilakukan dalam penyusunan tesis ini. Dilanjutkan ke BAB II, yaitu dasar teori. Dalam bab ini, dibahas mengenai landasan teori yang digunakan dalam pembahasan selanjutnya, di antaranya meliputi konsep-konsep pada ruang bernorma dan ruang Hilbert termasuk konsep operator di ruang Hilbert. Kemudian dilanjutkan ke dalam BAB III, yaitu pembahasan dari hasil penelitian. Dalam BAB III, difokuskan untuk membahas mengenai frame Besselian-g di ruang Hilbert serta sifat-sifatnya. Dalam bab terakhir, yaitu BAB IV kesimpulan dan saran, berisi tentang kesimpulan dari hasil penelitian dan saran untuk pengembangan lebih lanjut.