.:THE BUNAYYA CLUB:. Les Privat dan Bimbingan Belajar

Transkripsi

1 Sol & Pemhs Olimpide Mtemtik.:THE BUNAYYA CLUB:. Les Privt d Bimig Beljr Perum Aviri Griy Prim Blok A/6 Btu Aji - Btm Telp tu E-mil : theuyylu@gmil.om

2 Kumpul Sol d Peyelesi KUMPULAN SOAL DAN PENYELESAIAN PERSIAPAN MENUJU OSN BIDANG MATEMATIKA. Mislk ABCD dlh segiempt tliusur d P d Q erturut-turut dlh titik yg terletk pd sisi AB d AD sehigg AP CD d AQ BC. Mislk M dlh titik perpotog AC d PQ. Buktik hw M dlh titik tegh PQ. (Sumer : Austrli Mthemtil Olympid 996 Mislk [XYZ] meytk lus XYZ. QME PMF MQ QE ose QME d MP PF ose PMF MP PF MQ QE AC dlh ls ACP d ACQ mk PF MP [ ACP] QE MQ ACQ [ ] Mislk R terletk pd sisi AB tu perpjg AB sehigg CR tegk lurus AB. Mk CR merupk tiggi dri ABC d ACP. [ ACP ] AP ABC [ ] AB Mislk T terletk pd sisi AD tu perpjg AD sehigg CT tegk lurus AD. Mk CT merupk tiggi dri ACD d ACQ. [ ACQ ] AQ [ ACD] AD MP [ ACP] AP AD [ ABC] MQ ACQ AB AQ ACD [ ] [ ] Mislk ABC α mk ADC 80 o α (ABCD dlh segiempt tli usur si ABC si ADC si α MP [ ACP] AP AD [ ABC] AP AD AB BC siα MQ ACQ AB AQ ACD AB AQ AD CD si [ ] [ ] α.: :.

3 Kre AP CD d AQ BC mk MQ MP MP MQ M dlh titik tegh PQ (terukti. Jik,, > 0 d mk uktik hw : (Sumer : Belrussi Mthemtil Olympid 999 Berdsrk AM-GM didpt hw ; d Berdsrk AM-HM didpt hw : 9. Mk : 9 9 (terukti. Buktik hw jik x d y dlh ilg rsiol yg memeuhi pesm x 5 y 5 x y mk xy dlh kudrt dri sutu ilg rsiol (Sumer : British Mthemtil Olympid 990 Jik y 0 d tu x 0 xy Jik y 0 d x 0 x 6 xy 5 x y x 6 xy 5 y x y y x 6 x y y y ( xy (x y y ( xy y y x xy Kumpul Sol d Peyelesi.: :.

4 Kumpul Sol d Peyelesi x y Kre x d y ilg rsiol mk y Terukti hw xy dlh kudrt dri sutu ilg rsiol. dlh jug ilg rsiol.. Tetuk ilg em gk yg memeuhi (i dlh ilg kudrt sempur, (ii ilg dietuk deg tig gk terkhir leih stu dri tig gk pertm. (Segi ilustrsi terliht seperti tetpi itu uk ilg kudrt (Sumer : British Mthemtil Olympid 99 Roud Mislk tig gk pertm dlh, mk 000 m m m < m < 000 (m (m 7 Jik m d m 7 deg Kre 7 < m < 00 mk < < 7. Kre m 7 mk m 0 (mod 7 m (mod 7 m (mod 7 (mod (mod 7 Kre < < 7 mk ili yg memeuhi hy Jik mk m Jik m d m 7 deg Kre 5 < m < 999 mk < < 7. Kre m 7 mk m 0 (mod 7 m (mod 7 m (mod 7 (mod (mod 7 5 (mod 7 Kre < < 7 mk ili yg memeuhi hy Jik mk m Jik m 9 d m deg Kre 5 < m < 999 mk < <. Nili yg mugki dlh, 5, 6, 7, 8, 9 tu 0. Kre m mk m 0 (mod m (mod m (mod 9 (mod 9 8 (mod Kre < < mk ili yg memeuhi hy Jik 8 mk m Jik m 9 d m deg Kre 5 < m < 999 mk < <. Nili yg memeuhi dlh, 5, 6, 7, 8, 9 tu 0..: :.

5 Kumpul Sol d Peyelesi Kre m mk m 0 (mod m (mod m (mod 9 (mod 9 8 (mod 9 (mod Kre < < mk tidk d ili yg memeuhi. Jik m 77 d m deg Kre 5 < m < 999 mk < <. Nili yg memeuhi dlh 5, 6, 7, 8, 9 tu 0,, Kre m mk m 0 (mod m (mod m (mod 77 (mod 77 5 (mod Kre < < mk ili yg memeuhi hy Jik mk m Jik m 77 d m deg Kre 5 < m < 999 mk < <. Nili yg memeuhi dlh 5, 6, 7, 8, 9 tu 0,, Kre m mk m 0 (mod m (mod m (mod 77 (mod 77 5 (mod (mod Kre < < mk tidk d ili yg memeuhi. Mk ilg-ilg terseut dlh 88 8, 89 57, d Segitig ABC siku-siku di C. Gris gi dlm sudut BAC d ABC memotog sisi BC d CA erturutturut di titik P d Q. Titik M d N msig-msig terletk pd sisi AB sehigg PM d QN tegk lurus AB. Tetuk esr MCN. (Sumer : British Mthemtil Olympid 995 Roud Diut CL deg L terletk pd AB sehigg CL tegk lurus AB. Segitig-segitig ACB, ANQ, ALC, CLB d PMB semuy segu. Mislk MCL x.: :. 5

6 Kre PM sejjr CL mk MCL PMC x Pd APC d APM, ketig sudut segitig terseut sm sert AP merupk hipoteus kedu segitig sehigg APM d APC kogrue (sm d segu. PC PM Kre PC PM mk CPM sm kki. PCM PMC MCL x Mislk NCL y Kre QN sejjr CL mk NCL QNC y Pd BQC d BQN, ketig sudut segitig terseut sm sert BQ merupk hipoteus kedu segitig sehigg BQN d BQC kogrue (sm d segu. QC QN Kre QC QN mk CQN sm kki. MCN MCL NCL MCN ½ ( BCL ACL MCN ½ ACB MCN 5 o Kumpul Sol d Peyelesi QCN QNC NCL y 6. Tetuk psg ilg ult positif (m, yg memeuhi kodisi erikut : ( m d keduy dlh ilg kudrt empt gk ( du digit m sm ik ili mupu posisiy deg (stu deg stu, puluh deg puluh, rtus deg rtus, riu deg riu sedgk du digity liy dri m msig-msig kurg stu dri kedu digit pd msig-msig posisi Bilg terseut terliht seperti 5 d 6, 56 d 57 meskipu ilg-ilg terseut uk ilg kudrt (Sumer : British Mthemtil Olympid 996 Roud Mislk m d mk d 0 p 0 q deg p d q dlh ilg ult ered, p > q d 0 p, q. Mislk m x d y m (y x(y x 0 p 0 q Jik x gep d y gjil tu x gjil d y gep mk y x d y x keduy gjil m gjil. Jik x d y keduy gep tu keduy gjil mk y x d y x keduy gep m dlh ilg gep his digi. Ad 6 ksus yg k ditiju : p d q m (y x(y x 00 Psg (y x, y x yg memeuhi dlh (550,, (50,, (0, 0 * Jik y x 550 d y x didpt y 76 d x (tidk gk * Jik y x 50 d y x didpt y 6 d x m 96 (tidk gk * Jik y x 0 d y x 0 didpt y 60 d x d m 500 p d q m (y x(y x 00 Tidk d ili x d y yg memeuhi se 00 tidk his digi. p d q 0 m (y x(y x 00 7.: :. 6

7 Kumpul Sol d Peyelesi Psg (y x, y x yg memeuhi dlh (00,, (, 7, (9,, (77, * Jik y x 00 d y x didpt y 50 d x 500 m (tidk gk * Jik y x d y x 7 didpt y 75 d x d m 6 * Jik y x 9 d y x didpt y 5 d x 0 60 d m 600 * Jik y x 77 d y x didpt y 5 d x 05 d m 0 p d q m (y x(y x 0 Tidk d ili x d y yg memeuhi se 0 tidk his digi. p d q 0 m (y x(y x 0 Psg (y x, y x yg memeuhi dlh (0, Jik y x 0 d y x didpt y 5 d x d m 500 p d q 0 m (y x(y x Psg (y x, y x yg memeuhi dlh (,. Jik y x d y x didpt y 6 d x 5 y 6 (uk ilg gk Psg (m, yg memeuhi dlh (500, 600, (6, 565, (600, 60, (0, 05, d (500, Seuh fugsi f didefiisik pd ilg ult yg memeuhi f( f( f( f( d f( 996 utuk semu >. Hituglh ili f(996. (Sumer : British Mthemtil Olympid 996 Roud f( f( f( ( f( f( f( f( f( ( f( f( f( ( f( ( f( Kre mk : f ( f ( f (996 f (995 f (995 f (99 f (996 f ( f ( f (99 F(99 L f ( f ( f ( f ( L : :. 7

8 Kumpul Sol d Peyelesi 8. Utuk semrg ili x, mislk x diytk ilg ult teresr kurg dri tu sm deg x. Didefiisik q ( utuk,,,. Tetuk semu ilg ult positif yg memeuhi q( > q(. (Sumer : British Mthemtil Olympid 996 Roud k ertmh iliy jik ergerk dri stu ilg kudrt ke ilg kudrt erikuty. Jik m < (m utuk sutu ilg sli m mk k erili tetp yitu m. Itervl di ts k digi mejdi eerp itervl Utuk m m m q ( m m Utuk m m < m m q ( m m Utuk m m q ( m m Utuk m m (m ( m q ( m m Jik m mk q( m sedgk jik > mk Dri persm dits didpt hw utuk m m (m deg m ilg sli k memut q( > q( 9. Mislk, d dlh ilg rel positif. Buktik hw : ( ( ( ( 9( ( (Sumer : British Mthemtil Olympid 996 Roud ( Kre, > 0 mk > 0 d ( 0 ( ( 0 0 ( ( (terukti ( Dri persm di ts didpt : ( (.: :. 8

9 Kumpul Sol d Peyelesi ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dri ketidksm AM-GM didpt : 6 (5 ( (5 : ( ( (terukti 0. N dlh ilg sli gk yg tidk erkhir deg gk 0 d R(N meytk ilg gk deg me-revers digit-digit N. (Dlm ksus ii revers rtiy gk pertm N mejdi gk ke-, gk ke- mejdi gk ke-, gk ke- mejdi gk ke- d gk ke- mejdi gk pertm. Segi otoh dlh R( Tetuk semu ilg sli N yg memeuhi R(N N. (Sumer : British Mthemtil Olympid 997 Roud Mislk N d mk R(N 000d 00 0 N < 0000 N < 500 tu Jik Kre gk stu R(N mk gk stu N 9 (N dlh ilg gjil Pdhl N dlh ilg gep (kotrdiksi Jik Mk d, 5, 6 tu 7. Kre gk stu R(N mk gk stu N 8. Nili d yg memeuhi hy d 7 N dlh ilg gjil Hy dipeuhi jik 9 d 9 N yg memeuhi hy N Dikethui x, y, z dlh ilg ult positif yg memeuhi d h dlh Fktor x y z Persekutu Teresr dri x, y, z. Buktik hw hxyz dlh ilg kudrt sempur. Buktik pul hw h(y x dlh jug ilg kudrt sempur. (Sumer : British Mthemtil Olympid 998 Roud.: :. 9

10 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk x h ; y h d z h mk FPB(,, Kre x, y, z > 0 mk,, > 0 ( ( x y z Dri persm ( kre,, > 0 mk didpt > d > erimpliksi < d <. Mk k d ilg sli m d yg memut m d ( m( ( m m m m m m ( Jik FPB(m, d deg d > mk d jug k memgi. Kre d memgi m d jug mk d jug memgi. Kre d memgi d jug mk d jug memgi. Mk FPB(,, d deg d > (kotrdiksi deg fkt hw FPB(,, Mk FPB(m, Dri persm ( didpt m d msig-msig dlh ilg kudrt sempur. m p d q pq m pq p q (p q Kre, d ilg sli mk k d k utuk sutu ilg sli k. Kre (p q mk (p q hxyz h h (pq (h (p q (terukti m m p h(y x h ( (hp (terukti Terukti hw kedu ilg hxyz d h(y x dlh ilg kudrt sempur.. Tujukk hw utuk setip ilg ult positif mk ( his digi 000. (Sumer : British Mthemtil Olympid 000 Roud Dsr : his digi utuk ilg sli. ( his digi his digi 875 sedgk mk ( his digi 5 5 his digi 96 sedgk 6 memgi 96. Mk ( his digi 90 sedgk Mk ( ( his digi 6. Kre ( his digi 5 d jug 6 sedgk 5 d 6 reltif prim mk ( his digi Terukti hw ( his digi 000..: :. 0

11 Kumpul Sol d Peyelesi. Tetuk semu ilg ult positif m, deg ilg gjil yg memeuhi :. m (Sumer : British Mthemtil Olympid 00/00 Roud 8m m (m ( Kre gjil mk 8 jug gjil. Fktor gjil dri 576 dlh, d. Jik 8 mk 9 m 576 m 588 Jik 8 mk 5 m 9 m 0 Jik 8 9 mk 57 m 6 m 76 Psg (m, yg memeuhi dlh (9, 588, (5, 0, (57, 76. Dierik hw! d Tetuk digit,, d d. (Sumer : British Mthemtil Olympid 00/00 Roud! k 0 m deg k, m ilg sli d k tidk his digi 0. m 5 5 m 7 didpt 0! k 6 0 k Agk stu k stu dri Agk stu k Pejumlh digit! 95799d Pejumlh digit! d d 59 Kre 9 memgi! Mk 9 memgi d d tu d 5 Kre memgi! mk d his digi. 9 d his digi. 0 9 d 8 9 d tu 9 d Jik d d (.: :.

12 Kumpul Sol d Peyelesi * Jik 9 d d 8 ( Dri persm ( d ( didpt d 5/ (tidk memeuhi hw d ult * Jik 9 d d ( Dri persm ( d ( didpt 0 d d Jik d 5 d ( * Jik 9 d d 8 (5 Dri persm ( d (5 didpt 0 (tidk memeuhi hw 0 9 * Jik 9 d d (6 Dri persm ( d (6 didpt d 5/ (tidk memeuhi hw d ult Mk dpt disimpulk hw ; 0 ; 0 ; d 5. Selesik persm simult : d, d 5, d, d 6 deg,, d d dlh ilg rel. (Sumer : British Mthemtil Olympid 00/00 Roud d ( d 5 ( d ( d 6 ( ( ( ( ( d d d d ( d d( ( d( ( d ( d( 0 d tu Jik d Persm ( 5 Persm ( Kotrdiksi mk tidk d ili,, d d yg memeuhi. Jik ( ( d 8 ( d 8 d ( ( d d 7 ( d d 7 ( 0 Persm ( (0 ( d 5 d ( 0 (,,, d yg memeuhi dlh (, 0, 0,.: :.

13 Kumpul Sol d Peyelesi 6. ABCD dlh persegi pjg. P dlh titik tegh AB d Q dlh titik pd PD sehigg CQ tegk lurus PD. Buktik hw segitig BQC sm kki. (Sumer : British Mthemtil Olympid 00/00 Roud Mislk CDP α mk DPA α Kre DPC sm kki mk PCD α Kre CQP CPB 90 o 90 o 80 o mk CBPQ dlh segiempt tliusur. Kre DPB 80 o α mk QCB α. PCB 90 o DCP 90 o α Kre CBPQ dlh segiempt tliusur mk BCK segu deg KPQ. Akity erlku PQK KCB 90 o α BQC α Kre QCB BQC α mk segitig BQC sm kki (terukti 7. Dikethui x, y d N dlh ilg sli. Jik terdpt tept 005 psg (x, y yg memeuhi persm x y N mk tujukk hw N dlh ilg kudrt. (Sumer : British Mthemtil Olympid 005 Roud Kre simetris mk jik x d y deg merupk peyelesi mk x d y dlh jug merupk peyelesi. Kre psg (x, y d 005 yg merupk ilg gep mk terdpt psg (x, y yg merupk peyelesi d x y. N(x y xy (x N(y N N x y N (x N dlh fktor dri N. Kre d 005 ili x mk yky fktor dri N d 005. Kre mk kemugki etuk N d, yitu : N p 00 deg p ilg prim N p 00 yg merupk ilg kudrt se 00 gep N p p 00 deg p d p ilg prim N p p 00 yg merupk ilg kudrt se d 00 gep. Terukti hw N dlh ilg kudrt..: :.

14 Kumpul Sol d Peyelesi 8. Mislk dlh ilg ult leih dri 6. Buktik hw d keduy prim mk ( 6 his digi 70. (Sumer : British Mthemtil Olympid 005/006 Roud 70 5 Ak diuktik hw ( 6 his digi 5, 9 d 6. Kre > 6 mk, d semuy leih dri 5. Seuh ilg k termsuk ke dlm slh etuk stu dri 5k, 5k, 5k, 5k tu 5k tidk mugki eretuk 5k tu 5k kre msig-msig k meyek d his digi 5. Jik 5k ± mk ( 6 (± ((± 6 (mod 5 ( 6 (mod 5 0 (mod 5 Jik 5k mk 5 ( 6 his digi 5 Terukti hw ( 6 his digi 5 Seuh ilg k termsuk ke dlm slh stu dri k, k tu k Jik k tu k tidk memeuhi hw d keduy prim. Jik k mk 9 ( 6 his digi 9 Terukti hw ( 6 his digi 9 Seuh ilg k termsuk ke dlm slh stu dri k, k, k tu k Kre tidk mugki gjil se k meyek d keduy gep mk k tu k Jik k mk 6 ( 6 his digi 6 Jik k mk ( 6 6 (mod 0 (mod d (mod 0 (mod Kre d 6 keduy his digi mk ( 6 his digi 6. Atu Kre d keduy prim leih dri 5 mk gep his digi. Akity d 6 keduy his digi ( 6 his digi 6 Terukti hw ( 6 his digi 5, 9 d 6 Mk terukti hw ( 6 his digi Tujukk hw jik p p p utuk setip ilg sli. p p p (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 Kre d p, p, p dlh ilg tk ol, mk d p, p, p ilg tk ol mk p p mislk p p Dri persm di ts didpt : p p k. p p p p p p d.: :.

15 Kumpul Sol d Peyelesi kp p kp p kp p ( ( ( Jumlhk persm (, ( d ( utuk medptk mk terukti hw p p p p p p. k p p p. Kre k p p p 0. Tujukk yg mkh yg leih esr tu utuk. Buktik. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 > ( > ( > ( ( Dri ketidksm ( didpt > Deg merik kr ketidksm di ts d megmil yg positif sj mk : > ( Berdsrk ketidksm ( mk : > ( > ( (Trik kr d mil kr positif >. Mislk dlh hipoteus sutu segitig siku-siku deg kedu sisi yg li dlh d. Buktik hw. Kp td kesm terjdi? (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 Dri persm pitgors didpt Dri ketidksm AM GM didpt deg td kesm terjdi jik. Mk : ( (terukti deg td kesm terjdi jik. Mislk ABC dlh segitig sm sisi d titik P terletk di dlm segitig terseut. Diut gris PD, PE d PF yg msig-msig tegk lurus ketig sisi segitig d titik D, E d F terletk pd.: :. 5

16 Kumpul Sol d Peyelesi msig-msig sisi yg ered. Tujukk hw di m pu titik P k erlku PD PE PF. AB BC CA (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 Mislk sisi segitig ABC dlh s mk AB BC AC s Lus ABC ½ s si 60 o s Lus ABC Lus ABP Lus ACP Lus BCP ½ AB PD ½ AC PE ½ BC PF s ½ s PD ½ s PE ½ s PF PD PE PF s PD PE PF (terukti AB BC CA. Mislk ABC dlh seuh segitig deg sisi-sisiy, d. Gris gi yg ditrik dri titik C C os memotog AB di D. Buktik hw pjg CD. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 C But gris DE tegk lurus AC deg E terletk pd sisi AC sehigg DE CD si.: :. 6

17 Kumpul Sol d Peyelesi C But gris DF tegk lurus BC deg F terletk pd sisi BC sehigg DF CD si Lus ABC Lus ACD Lus BCD C ½ si C ½ DE ½ DF ½ ( CD si C C Deg megigt hw si C si os mk : C os CD (terukti. Tetuk pejumlh!!! ( (!! diytk dlm deg! ( (. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 Misl!!! ( (!! P P (! (! (! ( (! (! P!!! (! (! (!!!! P!!! (! (!!!! P (!!!!! ( (!! (! 5. Tujukk hw tidk d ilg ult, d yg memeuhi 8 6. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 Semu ilg ult psti termsuk ke dlm stu stu dri etuk k, k, k tu k Utuk N k N 6k (his digi 8 Utuk N k N (k 6k 8k 8(k k (jik digi 8 ersis Utuk N k N (k 6k 6k 6(k k (jik digi 8 ersis Utuk N k N (k 6k k 9 8(k k (jik digi 8 ersis Dri hl di ts didpt hw ilg kudrt jik digi 8 k ersis 0, tu. Sehigg jik digi 8 k ersis 0,,, tu 5. 8 jik digi 8 k ersis 0,,, tu 5. Sedgk rus k jik digi 8 k ersis 6. Hl yg tidk mugki terjdi. Tidk d ilg ult, d yg memeuhi 8 6 (terukti.: :. 7

18 Kumpul Sol d Peyelesi 6. Tujukk hw serg segiempt tli usur yg digmr pd ligkr erjri-jri, mk pjg sisi yg terpedek tidk k leih dri. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 Mislk ABCD dlh segiempt tli usur terseut d O dlh pust ligkr. Kre ligkr terseut jug merupk ligkr lur ABC mk sesui dlil sius : AB R deg R meytk jri-jri ligkr lur ABC si ACB Kre AOB ACB mk : AOB AB si Deg r yg sm didpt : BOC BC si COD CD si AOD AD si AOB BOC COD AOD 60 o Mk mi( AOB, BOC, COD, AOD 90 o Kre utuk 0 o x 90 o ili si x ik mk : 90 o Mi(AB, BC, CD, DA si Mi(AB, BC, CD, DA Mk sisi yg terpedek dri segiempt tli usur terseut tidk k leih dri (terukti.: :. 8

19 Kumpul Sol d Peyelesi 7. ABC dlh segitig siku-siku sm kki deg C dlh sudut sikuy. pjg AC BC. P dlh titik yg terletk pd hipoteus. Titik Q d R msig-msig terletk pd sisi AC d BC sehigg PQ d PR tegk lurus sisi AC d BC. Buktik hw di mpu tititk P erd, mk di tr ketig lus APQ, PBR d QCRP mk yg terlus memiliki lus sekurgy /9. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 969 ABC APQ BPR Jik AP AB Lus BPR BR RP Lus BPR 9 BC AC Jik AB AP AB Lus segiempt QCRP PQ QC AQ (AC AQ AQ ( AQ Kre AB AP AB mk AC AQ AC AQ Lus segiempt QCRP AQ Lus miimum QCRP didpt st AQ / tu AQ / Lus miimum segiempt QCRP 9 Jik AP AB Lus APQ AQ PQ Lus APQ 9 BC AC Terukti hw di mpu tititk P erd, mk di tr ketig lus APQ, PBR d QCRP mk yg terlus memiliki lus sekurgy /9. 8. Tetuk semu tripel (x, y, z yg memeuhi hw slh stu ilg jik ditmhk deg hsil kli kedu ilg yg li hsily dlh. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 970 x yz ( y xz (.: :. 9

20 Kumpul Sol d Peyelesi z xy ( ( ( x y z(y x 0 x y z(x y 0 (z (x y 0 Mk z tu x y Utuk z x y xy x ( x x x 0 (tidk d peyelesi rel se Diskrimi < 0 Utuk x y x xz z x x z x(z x 0 (x (x z 0 x tu x z * Utuk x y x z z tripel (x, y, z yg memeuhi dlh (,, * utuk x z y x z x x (x (x 0 x tu x tripel yg memeuhi dlh (,, d (,, Semu tripel (x, y, z yg memeuhi dlh (,, d (,, 9. Tujukk hw di tr lim ilg ult kit dpt memilih tig di try yg memiliki jumlh his digi. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 970 Seuh ilg psti termsuk ke dlm slh stu etuk dri k, k tu k deg k, k d k semuy ilg ult. Jik terdpt tig ilg yg msig-msig eretuk k, k d k mk pejumlh ketig ilg terseut psti his digi. Jik kelim ilg terseut hy msuk ke dlm du dri tig etuk k, k d k mk sesui deg Pigeo Hole Priiple terdpt sedikity ilg deg etuk yg sm. Pejumlh ketig ilg ii k his digi. Terukti hw di tr lim ilg ult kit dpt memilih tig di try yg memiliki jumlh his digi. 0. Dierik poliomil f(x x x - x - - x deg koefisie,,, semuy ilg ult d d ilg ult ered,, d d yg memeuhi f( f( f( f(d 5. Tujukk hw tidk d ilg ult k yg memeuhi f(k 8. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 970 Kre f( f( f( f(d 5 mk f(x 5 (x (x (x (x d q(x deg q(x dlh poliomil yg memiliki koefisie ilg ult. Jik x sm deg,, tu d mk f(x 5 uk 8. Jik x uk,, tu d mk x, x, x d x d dlh ilg ult ered. Agr d f(k 8 mk (x (x (x (x d q(x..: :. 0

21 Kumpul Sol d Peyelesi Tetpi tidk is merupk perkli sekurgy ilg ult ered. Terukti hw tidk d ilg ult k yg memeuhi f(k 8.. DEB dlh tli usur sutu ligkr deg DE d EB 5. Mislk O dlh pust ligkr. Huugk OE d perpjg OE memotog ligkr di titik C. Dikethui EC. Tetuk rdius ligkr terseut. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Mislk rdius ligkr terseut r Altertif : Perpjg OC sehigg memotog ligkr di titik F. Mk CF dlh dimeter ligkr. Segi empt CBFD dlh segiempt tli usur deg E dlh perpotog kedu digol mk erlku : CE EF DE EB CE (r CE DE EB (r 5 r 8 Altertif : Kre BD dlh tli usur sedgk O pust ligkr mk BK KD OK OB BK OE KE r (r (5 r 6 r r r 8 Mk rdius ligkr terseut 8. Dikethui x d y dlh ilg rel positif yg memeuhi x y. Buktik hw 9. x y (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 x y x y xy xy xy Berdsrk ketidksm AM-GM.: :.

22 x y xy Kre x d y keduy ilg rel positif mk : xy 8 xy 9 (terukti x y Kumpul Sol d Peyelesi. ABCD dlh segiempt deg AD BC. Jik ADC leih esr dri BCD, uktik hw pjg AC > BD. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 AC AD CD AD CD os ADC BD CD BC CD BC os BCD Kre AD BC mk : AC BD BC CD (os BCD os ADC Kre ADC > BCD mk utuk 0 o < x < 80 o erlku os ADC < os BCD. AC BD > 0 AC > BD AC > BD (terukti. Tetuk semu ilg rel yg memeuhi hw du poliomil x x d x x memiliki sedikity stu kr yg sm. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Mislk p dlh kr yg sm mk p p 0 d p p 0 Deg megurgk kedu persm didpt : p p 0 ( (p 0 tu p Utuk Kedu poliomil k sm yitu x x. Nmu diskrimi poliomil kurg dri 0. Mk tidk d kr rel. Utuk p x x (x ( x k Nili k mk x x (x (x x ( x ( Nili yg memeuhi dlh 5. Dierik poliomil p(x x x - x - - x deg koefisie,,, semuy ilg ult. Jik p(0 d p( keduy ilg gjil, tujukk hw p(x tidk mempuyi kr ilg ult..: :.

23 Kumpul Sol d Peyelesi (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Kre p(0 gjil mk merupk ilg gjil Kre p( gjil mk merupk ilg gjil. Jik x dlh ilg gep Kre gjil mk p(x utuk x gep k erili gjil. Sehigg erp pu ili x tidk k didpt p(x 0 yg erkit tidk mugki ilg gep merupk kr persm p(x 0 Jik x dlh ilg gjil Mk prits p(x k sm deg p(. Berkit erp pu ili x tidk k didpt p(x 0 yg erkit tidk mugki d ilg gjil yg merupk kr persm p(x 0 Terukti hw p(x tidk mempuyi kr ilg ult. 6. Utuk ilg ult, tujukk hw uk merupk kelipt. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Utuk etuk k, k, k, k, k, k 5, k 6, k 7, k 8, k 9 mk ili tidk d yg his digi. (Bis diuktik deg memsukk ke dlm persm terseut. Hy etuk k 0 sj yg memut his digi. Utuk k 0 mk k k (k k mk : jik digi ersis. Terukti hw uk merupk kelipt. 7. Mislk dlh ilg lim gk d m dlh ilg empt gk yg didpt deg meghpus gk yg d di tegh dri ilg. Tetuk semu ili yg memeuhi hw /m dlh ilg ult. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Mislk ilg semul dlh d e m d e d e k( d e deg k ilg sli Utuk k > 0 mk k mi 000(k 0 00(k 0 0d(k e(k 00 Nili miiml rus kiri 000 (( 00 ( ( 0 ( ( ( > 000 Nili mksiml rus k 00 (9 900 Sehigg tidk d ili k > 0 yg memeuhi Utuk k < 0 mk k mk 9 000(0 k 00(0 k 00 0d(k e(k Nili miiml rus kiri 000 ( ( 00 ( ( 00 ( > 000 Nili mksiml rus k 0 (9 (8 9(8 < 000 Sehigg tidk d ili k > 0 yg memeuhi.: :.

24 Kumpul Sol d Peyelesi Utuk k d e d 0e 00 9(0d e Kre 9 tidk memgi 00 mk hrus his digi 9 0 tu 9 Utuk 9 tidk mugki se 9(0d e 9(90 9 < 900 mk 0 Kre 0 mk 0d e 0 yg erkit d 0 d e 0 Mk Nili-ili yg memeuhi dlh 0000, 000, 000, 000,, Dikethui hw msig-msig org megethui tept uh iformsi yg slig ered. Jik slh seorg ktk A meelepo B mk A k memerithuk semu iformsi yg dimilikiy kepd B sedgk B tidk memerithuk stu pu iformsi yg dikethuiy kepd A. Berpkh pggil telepo miimum yg diperluk sehigg setip org terseut k megethui iformsi terseut? Buktik hw jw terseut dlh yg plig miimum. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Org ke-k k meerim telepo setelh sedikity terjdi k telepo. Mk org terkhir k meerim pggil yg pertm sedikity setelh terjdi telepo. Setelh org ke- meerim telepo errti sedikity telh terjdi telepo. Semu iformsi yg didpt oleh org ke- k diser kepd seluruh org seli diriy. Sedikity diutuhk telepo. Mk pggil telepo miimum yg diperluk sehigg setip org k megethui iformsi dlh ( 9. Buktik hw persm x y tidk memilki solusi ilg sli x d y. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Kre x y mk x y (mod Tetpi 0,,,, 0 0, 0,, 6,, 7,, 9, 5, 8, (mod yg errti semu sisy ered. Mk hrus dipeuhi hw x y (mod yg erti hrus dipeuhi y x k. y x (x k x k x (k x k > k. Terukti hw persm x y tidk memiliki solusi ilg sli x d y. 0. Mislk d dlh ilg rel ered. Tujukk hw terdpt ilg ult m d yg memeuhi m < 0 d m > 0. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Utuk > Msukk ili m d mk m > 0 d m < 0 Utuk < Msukk ili m d mk m > 0 d m < 0 Terukti hw terdpt ilg ult m d yg memeuhi m < 0 d m > 0..: :.

25 Kumpul Sol d Peyelesi. Buktik hw jik p d p keduy ilg prim leih esr dri, mk 6 merupk fktor dri p. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Kre merupk tig ilg ult erurut mk slh stu dri p, p d p psti d yg his digi. Kre semuy leih dri d p sert p dlh ilg prim mk dpt dipstik p merupk ilg kelipt. Kre merupk du ilg ult erurut mk slh stu dri p d p psti his digi. Kre p ilg prim mk p his digi. Kre p his digi d jug his digi sert d reltif prim mk p k his digi 6. Terukti hw 6 dlh fktor dri p.. Utuk setip ilg sli dikethui erlku h( L L. Segi otoh, h (, h (, h (. Buktik hw utuk,,, mk erlku persm erikut h( h( h( h( h(. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97 Deg r iduksi mtemtik Utuk h( h ( (memeuhi Adik er utuk k mk : k h( h( h( h(k kh(k Ak diuktik er utuk k yitu (k h( h( h( h(k (k h(k (k h( h( h( h(k k h( h( h( h(k kh(k h(k (k h( h( h( h(k (k h(k (k h( h( h( h(k ( k L k k k (k h( h( h( h(k ( k h( k k (k h( h( h( h(k (k h(k (k h( h( h( h(k (k h(k (terukti Terukti hw persm h( h( h( h( h( erlku utuk,,,. Mislk ABCD dlh persegi pjg deg BC AB. Tujukk hw jik P, Q dlh titik yg terletk pd sisi BC sehigg BP PQ QC mk DBC DPC DQC. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 97.: :. 5

26 Mislk AB p mk BC p BP PQ QC p Altertif : tg DBC ; tg DPC ; tg DQC tg ( DBC DPC DPC tg DBC tg DPC tg DBC tg tg ( DBC DPC tg DQC DBC DPC DQC Altertif : DBQ DBC Q BC DBC DPC BQ 5 p Q D 5 p DB 0 p Kre (BQ (Q D (DB d BQ Q D mk BQ D dlh segitig siku-siku sm kki. DBC DPC 5 o DBC DPC DQC. Tetuk ili / L L. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 975 ( ( ( ( / / L L L L / L L 5. Bris,,, memeuhi ½ d utuk. Tetuk ili. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid ( - ( ( ( L L ( ( Kumpul Sol d Peyelesi.: :. 6

27 6. Pd seuh ilg positif,7, gk merujuk pd gi ult dri ilg d,7 merujuk pd gi desiml. Tetuk ilg positif yg memeuhi gi desiml, gi ult d ilg itu sediri memetuk ris geometri. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 975 Mislk ilg terseut dlh x, gi ult x d desiml y tidk mugki 0 mk x Kre y, d x merupk ris geometri mk xy x y ( yy y y y 5 Utuk y Kre 0 y < mk ili miiml rus kiri Nili mksiml rus k 5 Kumpul Sol d Peyelesi 9 Mk tidk d ili yg memeuhi Utuk y y y y 0 Amil kr positif mk x y Bilg positif terseut dlh 5 y (i 5 kursi ditur meligkr deg terdpt m pd kursi terseut yg disedik utuk 5 tmu. Pr tmu tidk megethui m pd kursi tereut smpi deg merek duduk. Jik tidk d stupu di tr ke-5 tmu terseut yg duduk pd kursi yg sesui deg my, mk uktik hw kit dpt memutr kursi sedemiki sehigg sedikity org tmu k duduk pd kursi yg sesui deg my. (ii Berik otoh seuh susu sehigg hy stu org tmu yg duduk pd kursi yg sesui deg my d il kursi terseut diputr tidk k d tmu yg duduk sesui my leih dri stu org. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 975 Ad 5 kemugki posisi kursi. Adik hw dlm setip kemugki plig yk org yg duduk pd kursi yg sesui deg my hy org. Mk dlm msig-msig putr hrus d tept stu org yg duduk pd kursi yg sesui deg my..: :. 7

28 Kumpul Sol d Peyelesi Tetpi dri 5 kemugki posisi kursi sudh jels hw tidk d stupu org yg duduk pd kursi yg sesui deg my. Kre tiggl terdpt kemugki posisi kursi sedgk posisi org yg duduk pd kursi yg sesui deg my msih 5 kemugki mk sesui deg Pigeo Hole Priiple terukti d r kit memutr kursi sehigg sedikity org tmu k duduk pd kursi yg sesui deg my. Cotoh susu yg dimksud dlh : Kursi Org Bgimpu kit memutr kursi terseut hy d plig yk stu org yg duduk pd kursi yg sesui deg my. 8. Fugsi f(x diktk periodik il terdpt ilg positif p yg memeuhi f(x p f(x utuk semu ili x. Segi otoh, si x periodik deg period π. Apkh fugsi si(x periodik? Buktik. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 975 Si (x 0 st x k π d ii uk etuk ris ritmtik. Mk si (x tidk periodi. 9. Dierik empt uh ed deg ert msig-msig memetuk ris geometri d seuh er (le. Peggu er dlh deg meruh stu tu eerp ed pd slh stu ujugy d stu tu eerp ed pd ujug yg liy. Timg ii hy utuk megethui gi m yg leih ert. Tujukk gim ry utuk meetuk ed yg terert deg hy megguk er terseut seyk du kli. Buktik jw Ad. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 976 Mislk ert ed terseut dlh w, wr, wr d wr deg r >. Mk wr dlh ed terert. Kre r > mk r (r > (r wr (r > w(r wr w > wr wr Dri persm di ts kit dptk hw il ed terert digugk deg ed m pu k leih ert dri peggug du ed yg li. Mk lgkh yg k dilkuk dlh : - memgi keempt ed mejdi du gi deg msig-msig terdiri dri du ed, llu meimgy. Bed yg terert di tr keempt ed terseut k termsuk ke dlm gi yg leih ert. - Du ed yg termsuk ke dlm gi yg leih ert kemli ditimg, mk ed yg leih ert dlh merupk ed yg terert di tr keempt ed terseut. 50. Du org sisw kels tujuh megikuti sutu kompetisi tur deg seluruh pesert seli merek dlh sisw kels delp. Msig-msig pesert k ertemu tept stu kli deg msigmsig lw deg ketetu peili : jik meg, setegh jik remis sedgk jik klh 0..: :. 8

29 Totl ili yg diperoleh kedu sisw kels tujuh dlh 8 sedgk semu sisw kels delp memperoleh ili yg sm. Berp yk sisw kels delp yg megikuti kompetisi? (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 976 Mislk jumlh sisw kels delp mk yky pertdig ( ( ili totl. Mislk msig-msig ili sisw kels delp k mk Kumpul Sol d Peyelesi 8 k ( ( (k 0. Kre k dlh ilg sli mk pejumlh kedu ili merupk ilg ult. Kre hsil kli kedu ili mk kedu ili psti ult. Mk kemugki kedu ili dlh (,, (, 7, (7, d (, yg msig-msig jik dijumlhk ser erurut k diperoleh, 5, 5,. * Utuk k k 5 (tidk memeuhi * Utuk k 5 k (tidk memeuhi * Utuk k 5 k * Utuk k k 8 Ak diek kedu kemugki ili k terseut. Jik k ili positif yg memeuhi dlh 7. Nili totl ½ Mk ili totl ketujuh sisw kels delp yg errti msig-msig sisw kels delp memperoleh ili. Jik k 8 ili positif yg memeuhi dlh. Nili totl ½ Mk ili totl keempt els sisw kels delp 0 8 yg errti msig-msig sisw kels delp memperoleh ili Buktik hw seuh ilg ult positif yg merupk pejumlh sedikity du ilg sli erurut hy dpt dipeuhi jik d hy jik ilg terseut uk eretuk k deg k ilg sli. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 976 Ad du hl yg hrus diuktik yitu : jik seuh ilg yg merupk pejumlh sedikity du ilg sli mk ilg terseut uk eretuk k. jik sutu ilg uk eretuk k mk ilg terseut merupk pejumlh sedikity du ilg sli. Jik N (m (m (m (m ( ( m deg Jik mk m d k ered prits sehigg N k mempuyi fktor ilg gjil sehigg tidk mugki N k eretuk k. Terukti hw jik seuh ilg yg merupk pejumlh sedikity du ilg sli mk ilg terseut uk eretuk k..: :. 9

30 Kumpul Sol d Peyelesi Adik N tidk eretuk k mk dpt ditulis N deg > > ilg sli sert d ered prits. Jik m d mk m ½ (. Kre d ered prits mk gep yg errti m d dlh ilg sli. Kre > mk. Mk kit dpt memut N (m (m (m (m yg merupk pejumlh sedikity du ilg sli. Terukti hw jik sutu ilg uk eretuk k mk ilg terseut merupk pejumlh sedikity du ilg sli. Dpt diuktik hw hw seuh ilg ult positif yg merupk pejumlh sedikity du ilg sli erurut hy dpt dipeuhi jik d hy jik ilg terseut uk eretuk k deg ilg sli. 5. Mislk P(x, y dlh poliomil deg du vriel x, y yg memeuhi P(x, y P(y, x utuk setip x, y (segi otoh poliomil x xy y memeuhi kodisi demiki. Jik (x y dlh fktor dri P(x, y, mk tujukk hw (x y dlh fktor dri P(x, y. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 976 Kre (x y dlh fktor dri P(x, y mk P(x, y (x y q(x, y Kre P(x, y P(y, x mk (x y q(x, y (y x q(y, x q(y, x q(x, y Akity q(x, x 0 q(x, y mempuyi fktor (x y q(x, y (x y f(x, y P(x, y (x y f(x, y Terukti hw (x y dlh fktor dri P(x, y. 5. Jik f(x x x, uktik hw persm f( f( tidk mempuyi solusi d ilg sli. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 977 Persol di ts sm deg memuktik hw tidk d solusi d ilg sli yg memeuhi. Aggp hw terdpt ilg sli d yg memeuhi. Jik > Kre d ilg sli mk ( > ( > yg errti tidk d ilg sli d yg memeuhi Jik < Kre d ilg sli mk ( < ( < ( < yg errti tidk d ilg sli d yg memeuhi Jik ( ( yg tidk sm deg utuk ilg sli. Terukti hw tidk d ilg sli d yg memeuhi. 5. Mislk p(x x - x - - x - x 0 d q(x m x m m- x m- m- x m- x 0 dlh du poliomil deg koefisie-koefisiey ilg ult. Dikethui hw semu koefisie.: :. 0

31 Kumpul Sol d Peyelesi hsil kli p(x q(x dlh ilg gep tetpi tidk semu his digi. Tujukk hw stu dri p(x d q(x mempuyi koefisie ilg gep d poliomil yg liy memiliki sedikity stu koefisise ilg gjil. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 977 Adik msig-msig poliomil memiliki sedikity stu koefisie ilg gjil. Mislk i dlh koefisie ilg gjil dri p(x deg i dlh ili terkeil d j dlh koefisie ilg gjil dri q(x deg j dlh ili terkeil. Megigt ilg gep x ilg ult meghsilk ilg gep mk x r d y s deg x < i d y < j k meghsilk koefisie gep. Koefisie x ij dri perkli p(x q(x merupk pejumlh koefisie h k deg h k i j. Jik h > i mk k < j d seliky jik k > i mk h < I yg megkitk semu koefisie h k keuli utuk h i d k j merupk ilg gep. Akity koefisie x ij merupk ilg gjil. Kotrdiksi deg keyt hw semu koefisie p(x q(x merupk ilg gep. Mk sedikity stu dri kedu poliomil memiliki koefisie yg semuy ilg gep. Tp megurgi keumum sol ggp hw p(x memiliki koefisie-koefisie yg semuy ilg gep h gep utuk 0 h. Jik q(x jug memiliki koefise yg semuy merupk ilg gep mk h k utuk 0 h d 0 k m semuy km merupk ilg yg his digi. Kotrdiksi deg keyt hw tidk semu koefisie p(x q(x his digi. Mk sedikity stu dri koefisie-koefisie q(x dlh ilg gjil. Terukti hw stu dri p(x d q(x mempuyi koefisie ilg gep d poliomil yg liy memiliki sedikity stu koefisise ilg gjil. 55. dlh ilg ult. Jik gk puluh dlh tujuh, pkh gk stu dri? (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 978 Agk stu dri ilg kudrt dlh 0,,, 5, 6, 9. Tetpi 70 d 7 jik digi ersis yg memut ilg deg du gk terkhir 70 d 7 tidk mugki ilg kudrt. Kre 7, 75 d 79 jik digi ersis mk ilg deg du gk terkhir 7, 75 d 79 tidk mugki ilg kudrt. Kre 576 merupk ilg kudrt mk gk stu dri dlh Tetuk semu psg ilg sli d yg memeuhi persm. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 978 hrus his digi kity his digi 8 sehigg jug his digi 8. Mk memgi. hrus his digi kity his digi 9 sehigg 9 memgi. Mk memgi yg erkit 8 memgi 8 memgi 9 memgi. Kre d 9 memgi sert d 9 reltif prim mk 8 memgi. Mislk 8k Kre d memgi sert d reltif prim mk 6 memgi. Mislk 6m (8k (6m 68k 68m k m.: :.

32 Kumpul Sol d Peyelesi Mk k dlh ilg kuik yg k kit dptk 8( 8 m dlh ilg kudrt yg k kit dptk 6( 6 Psg (, yg memeuhi dlh (8, 6 deg dlh ilg sli. 57. Tetuk ili teresr z yg memeuhi x y z 5 d xy yz xz. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 978 (x y z 5 5 x y z (xy xz yz 5 x y 9 z x y 5 z x y xy 5 0z z 9 z xy 5 0z z Megigt hw xy x y 9 z xy 9 z x y 5 0z z 9 z 9 z z 0z 0 (z (z 0 z z mks yg didpt st x y Dierik uh dt (i, > 0 ; (ii, A, A, dlh ris ritmtik ; (iii, G, G, dlh ris geometri. Tujukk hw A A G G. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 979 Mislk, A, A, dlh ris ritmtik deg ed d mk d A d d A d A A ( d( d d d Kre, G, G, dlh ris geometri mk G G G G ( d d d d kre d 0 Terukti hw A A G G (Ctt : td kesm terjdi il d 0 yg erkit A A G G 59. Mislk,,, d, e dlh ilg ult yg memeuhi < < < d < e. Buktik hw 5 [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 d. Cotoh [, 6]. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 979 deg [m, ] meytk Kelipt Persekutu Terkeil dri m.: :.

33 * Utuk Jik Utuk [, ] 6 Jik d [, d] [d, e] 8 deg td kesm terjdi il e 8 8 [, ] [, ] [, d] [ d, e] [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 Jik d 5 [, d] 6 deg td kesm terjdi il d 6 [d, e] 0 deg td kesm terjdi il e 0 5 [, ] [, ] [, d] [ d, e] [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 Utuk [, ] Jik 5 d 7 [, d] deg td kesm didpt il d d 6 [d, e] 0 deg td kesm terjdi il d 5 d e [, ] [, ] [, d] [ d, e] [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 Jik d 8 [, d] 8 deg td kesm terjdi il d d 8 [d, e] 6 deg td kesm terjdi il d 8 d e 6 [, ] [, ] [, d] [ d, e] [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 Jik 5 [, ] 6 deg td kesm terjdi il d 6 [, d] 0 deg td kesm terjdi il 5 d d 0 [d, e] deg td kesm terjdi il d 6 d e Kumpul Sol d Peyelesi [, ] [, ] [, d] [ d, e] : :.

34 ,,,, 5 [ ] [ ] [ d] [ d e] 6 Jik [, ] deg td kesm terjdi il d [, ] 6 deg td kesm terjdi il d 6 [, d] 8 deg td kesm terjdi il d d 8 Kre < < < d < e mk d 5 [d, e] 0 deg td kesm terjdi il d 5 d e 0 [, ] [, ] [, d] [ d, e] [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 * Jik [, ] 6 deg td kesm terjdi il d [, ] 6 deg td kesm terjdi il d 6 Kre < < < d < e mk [, d] 8 deg td kesm terjdi il d d 8 [d, e] 0 deg td kesm terjdi il d 5 d e 0 [, ] [, ] [, d] [ d, e] [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 Terukti hw jik,,, d, e dlh ilg ult yg memeuhi < < < d < e mk [, ] [, ] [, d] [ d, e] 6 Kumpul Sol d Peyelesi < < Jik 679 dlh ilg lim gk yg his digi 7, tetuk ili d. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid Kre 9 d 8 reltif prim mk 679 hrus his digi 8 d 9. Kre 679 his digi 8 mk 79 his digi 8. Agr 790 his digi 8 mk. Kre 679 his digi 9 mk his digi 9. Nili yg memeuhi hy. Jdi ilg terseut dlh Agk smpi 50 msig-msig ditulis pd stu krtu. Kelim puluh krtu terseut disusu ser k dlm sepuluh kolom yg msig-msig terdiri dri 5 ris. Pd msig-msig ris gkgk terseut disusu ser ik dri kiri ke k. Pd msig-msig kolom gk-gk terseut jug disusu ser ik dri ts ke wh. Pd khiry, pkh susu pd msigmsig ris tetp ertmh? Buktik. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 980.: :.

35 Kumpul Sol d Peyelesi Setelh msig-msig ris disusu mk mislk,,,, 0 dlh ilg-ilg pd ris pertm,,,,, 0 dlh ilg-ilg pd ris kedu d seterusy smpi e, e, e,, e 0 dlh ilg-ilg pd ris kelim. Setelh msig-msig kolom disusu kit k dptk ilg x i pd kolom ke-i ris ke-k ( deg x dlh slh stu dri,,, d, tu e d y j pd kolom ke-j ris ke-k ( deg y dlh slh stu dri,,, d, tu e. Ad lim psg utuk x y yitu ( i, j, ( i, j, ( i, j, (d i, d j, (e i, e j. Byky ilg ilg yg erd pd kolom ke-j ris ke-k d di tsy ditmh yky ilg pd kolom ke-i ris ke-k d diwhy dlh sellu 6. Kre kemugki x mupu y um dri 5 yitu (,,, d tu e mk k terdpt ilg yg erd pd kolom kej ris ke-k d di tsy ditmh ilg pd kolom ke-i ris ke-k d diwhy yg memiliki sift x y ktk x y z deg z slh stu dri (,,, d tu e. Kre j > i mk z j > z i. Pd kolom ke-i kre z i pd ris ke-k tu di why mk z i x i Pd kolom ke-j kre z j pd ris ke-k tu di tsy d z j y j Mk dpt diuktik hw terpeuhi x i z i < z j y j x i < y j yg erlku pd ris m pu. Dpt disimpulk hw susu pd msig-msig ris tetp ertmh. 6. Seuh segitig ABC memiliki sift (i sudut A tetp (ii Dpt diut ligkr dlm pd segitig ABC yg erjri-jri tetp seesr r. Tetuk syrt gr segitig terseut memiliki kelilig sekeil-keily. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 980 Mislk O dlh pust ligkr mk AO, BO d CO msig-msig k memgi sudut A, B d C ser erurut mejdi du gi sm esr. A B C 80 o B C 80 o A Kre A tetp mk B C jug tetp. Kelilig ABC dlh r(ot A ot B ot C Kre r d ot A tetp mk gr kelilig ABC miiml mk ot B ot C hrus miiml. ot B ot C B C B C os os si B C B C si si si si Kre B C tetp mk gr ot B ot C miiml mk B C B C B C si si os os B C si si hrus mksiml..: :. 5

36 Kumpul Sol d Peyelesi Kre B C tetp mk il B C. B C si si k mksiml il B os C jug mksiml yg didpt 6. Utuk semrg ilg rel t, t didefiisik segi ilg ult teresr kurg dri tu sm deg t. Segi otoh : 8 8, π d 5/. Tujukk hw persm x x x 8x 6x x 5 tidk mempuyi solusi x rel. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 98 Mislk f(x x x x 8x 6x x Jels hw semki esr x mk ili f(x k semki esr. f( > 5. Jik x < 96 mk msig-msig x, x, x, 8x, 6x d x k erkurg iliy sedikity stu dri ili st x 96. Mk utuk x < 96 mk f(x 8 6 < 5. Terukti hw persm x x x 8x 6x x 5 tidk mempuyi solusi x rel. 6. Dierik seuh ligkr erjri-jri r d seuh gris l yg meyiggug ligkr di titik P. Dri seuh titik R yg terletk pd ligkr diut gris RQ tegk lurus gris l deg titik Q terletk pd gris l. Tetuk lus mksimum dri segitig PQR. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 98 Aggp O dlh pust ligkr. Diut gris PS mellui O sehigg PS dlh dimeter ligkr Mk gris PS k tegk lurus l d k memut PS sejjr RQ. Mislk SOR α. Bik utuk RQ r mupu RQ r psti erlku PQ r si α. RQ r r os α deg RQ r jik 90 o α < 80 o d RQ r jik 0 o < α 90 o Lus PQR ½ (r si α (r r os α Lus PQR k mksimum il turu pertm ½ (r si α (r r os α 0 ½ r os α (r r os α ½ (r si α ( r si α 0 os α os α si α 0 os α os α 0 (os α (os α 0 os α α 80 o (tidk memeuhi.: :. 6

37 os α ½ α 60 o Lus PQR mks ½ (r si 60 o (r r os 60 o Lus PQR mks r 8 Kumpul Sol d Peyelesi 65. Tujukk hw ketig kr x x x 0 semuy ered. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 98 Mislk kr-kr x x x 0 dlh x, x d x x x x ; x x x x x x d x x x Adik hw ketigy tidk semuy ered mk sedikity d du kr yg sm. Mislk kedu kr yg sm dlh d kr ketig deg is sm deg. Dri pejumlh ketig kr didpt. Dri x x x x x x didpt ( 0 ( ( 0 Jik Tetpi x x x mk ( Jik mk ( Tetpi x x x ( ( ( Terukti hw ketig kr x x x 0 semuy ered. 66. Tetuk semu ilg sli w, x, y d z yg memeuhi w! x! y! z!. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 98 Kre w, x, y d z ilg sli mk jels hw w > x, y, z. yg erkit w Tp megurgi keumum sol mislk x y z. Mksimum x! y! z! (x! tu jik ditulis dlm etuk li (x! x! y! z! w! w((w! x! y! z! Kre x w mk utuk w > w! > ((w! (x! x! y! z! w! > x! y! z! mk tidk d ili w > yg memeuhi w tu Jik w Mk x y z Tetpi!!!! Yg erkit w tidk memeuhi Jik w x y d z yg memeuhi!!!! 6 Bilg w, x, y d z yg memeuhi w! x! y! z! dlh w d x y z.: :. 7

38 Kumpul Sol d Peyelesi 67. Buktik hw pejumlh 98 ilg sli erurut uk merupk ilg kudrt. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 98 Mislk N (m (m (m (m N (( ( m 98 m 99 (m Bilg m 985 dlh ilg gjil. Mk ili k tertiggi yg memut k memgi N dlh 5. Kre 5 dlh ilg gjil mk tidk mugki N merupk ilg kudrt. 68. Seuh ilg ult diseut his digi ser digitl jik tidk d digit-digity gk ol d ilg terseut his digi oleh pejumlh semu digit-digity. Segi otoh dlh his digi ser digitl. Tujukk hw d tk terhigg yky ilg ult his digi ser digitl. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 98 Teori yg dpt diguk dlh hw jik sutu ilg his digi jik d hy jik pejumlh digity his digi. Perhtik ilg deg seluruh digity stu deg yky digit k deg k ilg sli. Pejumlh digit k yg errti his digi utuk k ilg sli. Terukti hw d tk terhigg yky ilg ult his digi ser digitl. 69. Dierik 7 ilg rel. Buktik hw terdpt du di try ktk x d y yg memeuhi x y 0. xy (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 98 Semu ilg rel dpt diekspresik segi t α deg 90 o < α < 90 o. Bgi ts 90 o < α < 90 o mejdi 6 ts deg msig-msig ts erselg 0 o. Kre d 7 ilg rel mk k jug terdpt 7 ili α. Sesui Pigeo Hole Priiple, kre terdpt 7 ilg deg 6 ts mk k terdpt ilg rel ktk x d y yg diekspresik deg x t α I d y t α deg α d α erd dlm stu ts yg sm sert α > α d 0 o α α 0 o. tα tα x y Akity 0 t(α α 0 0 tα tα xy x y Terukti hw terdpt du di try ktk x d y yg memeuhi 0. xy.: :. 8

39 70. Pjg sisi-sisi seuh segitig dlh 6, 8 d 0. Buktik hw terdpt tept stu gris lurus yg k memgi lus d kelilig segitig terseut mejdi du gi sm esr. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 985 Mislk segitig terseut dlh ABC yg siku-siku di C deg AC 6, BC 8 d AB 0 Lus ABC ½ 6 8 Kelilig ABC Ad kemugki gris terseut yitu : Gris terseut mellui sisi AC d BC Mislk gris terseut memotog AC di P d BC di Q deg CQ x d CP y Lus CPQ ½ x y Lus CPQ ½ Lus ABC xy ( x y x( x x x 0 ± 96, ± x mk 6 > 6 8 Didpt x 6. * Jik 6 * Jik x 6 mk 6 > 6 x BC (tidk memeuhi y AC (tidk memeuhi Gris terseut mellui sisi BC d AB Mislk gris terseut memotog AB di R d BC di Q deg BQ x d BR z 6 Lus BRQ ½ x z si RBQ xz xz 0 0 Lus BRQ ½ Lus ABC xz 0 ( x z x( x 0 x x 0 0 Diskrimi ((0 6 < 0 tidk d x rel yg memeuhi. Gris terseut mellui sisi AC d AB Mislk gris terseut memotog AC di P d AB di Q deg AP x d AQ y 8 Lus APQ ½ x y si CAB xy xy 0 5 Lus APQ ½ Lus ABC xy 0 ( x y x( x 0 x x 0 0 ± Kumpul Sol d Peyelesi 0 Didpt x, 6 ± 6. x AC x 6 mk tidk mugki x 6 6. Akity x 6 6 Jik x 6 6 mk y 6 6 < 6 0 AC 7. Buktik tu erik th hw d ilg ult yg mejdi du kli ili semul jik gk pertm dipidhk mejdi gk terkhir. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 985.: :. 9

40 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk ilg terseut dlh m yg terdiri dri k digit deg gk pertm ilg terseut dlh d ilg seljuty dlh N. m 0 k- N 0N m 0 k- N 8N ( 0 k- Kre 0 k- dlh ilg gjil mk 8 memgi 8 N 0 k- Akity N terdiri dri k digit sedgk N sehrusy merupk ilg yg terdiri dri k digit. Mk tidk d ilg ult yg mejdi du kli ili semul jik gk pertm dipidhk mejdi gk terkhir. 7. Seuh segitig ABC deg B 90 o. Titik D terletk pd perpjg AC sedemiki sehigg CBD 0 o. Pjg AB CD. Tetuk pjg AC. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 986 Mislk ACB x BC AC os x ; AB AC si x CD BC/AB ot x BC ot x BCD 80 o x CDB 80 o 0 o (80 o x x 0 o Pd segitig BCD erlku : BC CD si CDB si 0 BC si (x 0 o ot x si x os 0 o si 0 o os x ot x si x os x os xsi x si x ( si x( si x si x si x si x si x si x si x si x si x 0 ( si x ( si x 0 Kre x d di tr 0 o smpi 90 o mk si x ½ tidk memeuhi. Mk si x AC si x AC 7. Kompetisi Mthlo memperlomk M uh g tletik deg pesert yg megikuti lom hy A, B d C. Pd msig-msig g ili p dierik kepd jur pertm, p utuk jur kedu d p utuk jur ketig deg p > p > p > 0 d p, p, p dlh ilg ult. Nili khir A dlh, B memiliki ili 9 d C jug 9. Dikethui B memegi g lri 00 meter. Berpkh ili M d sipkh yg mejdi jur kedu g lompt tiggi. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 986.: :. 0

41 Kumpul Sol d Peyelesi Totl ili M (p p p Mk M d (p p p msig-msig dlh fktor dri 0. Kre B perh mejdi jur mk M > (p p p < 0 (p p p miimum 6 Kemugki ili (p p p dlh 8, 0 tu 0. Jik (p p p 0 mk M Kre B perh mejdi jur mk p p 9 tu p p 9 yg errti p tu p. Hl ii kotrdiksi deg p > p > p. Jik (p p p 0 mk M M p > p > 5 p miimum 6 NiliB pmi 9 6 Berdsrk ili B mk p mks. Nili p yg memeuhi hy p yg erkit p p miimum 6 p 0 p p. Mksimum ili A p p (6 ( < (kotrdiksi deg keyt Mk (p p p 8 d M 5 M p > p > p miimum 5 NiliB p mi 9 5 Berdsrk ili B mk p mks. Nili p yg memeuhi hy p 5 yg erkit p p miimum 5 p 8 p p. Akity B hrus kli merih jur d kli merih jur ( Mksimum ili A p p (5 (. Kre mksimum ili A sm deg keyt yg d mk A hrus kli mejdi jur d kli mejdi jur ( Berdsrk ( d ( mk C hrus kli mejdi jur d kli mejdi jur. Cek ili C p p ( ( 9 (memeuhi Kre A hy ggl kli mejdi jur mk yg mejdi jur g lri 00 meter hrus A yg erkit jur g lompt tiggi hrus C. Byky g yg dilomk 5 d yg mejdi jur g lompt tiggi dlh C. 7. ABCD dlh jjr gejg d E dlh titik yg terletk pd rus gris BC. Jik segitig DEC, BED d BAD semuy sm kki, erpkh ili sudut DAB yg mugki? (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 987 Pd CDE psg sudut yg sm dpt terjdi pd DCE d CDE, CDE d CED tu DCE d CED..: :.

42 Jik DCE CDE α Mk BED α d BAD α. Kumpul Sol d Peyelesi Pd BDE sudut yg sm dpt terjdi eerp kemugki. utuk BED BDE BED BDE α Kre BD digol mk DBA BDC α α α α 0 mk α Agr ABD sm kki mk DAB DBA tu DBA ADB * Jik DAB DBA α α α α 80 o α 6 o DAB 6 o * Jik DBA ADB α α α α 80 o α 80 7 DAB 80 7 utuk BDE EBD β β β α 80 o β 90 o α ADB EBD 90 o α * Jik BAD ADB α 90 o α α 5 o DAB 5 o * Jik BAD DBA α α α (90 o α 80 o α 90 o (tidk memeuhi * Jik ADB DBA 90 o α α (90 o α (90 o α 80 o α 0 o (tidk memeuhi utuk BED EBD α ADB EBD α α 0 mk α Agr ABD sm kki mk DAB DBA tu DBA ADB * Jik DAB DBA α α α α 80 o α 5 o DAB 5 o * Jik DBA ADB α α α α 80 o α 6 o DAB 6 o Jik CDE CED Mk BED α d BAD α. Pd BDE sudut yg sm dpt terjdi eerp kemugki. utuk BED BDE BED BDE α Kre BD digol mk DBA BDC α α α α 0 mk α Agr ABD sm kki mk DAB DBA tu DBA ADB * Jik DAB DBA α α α α 80 o α 6 o DAB 6 o * Jik DBA ADB α α α α 80 o α 80 7 DAB 80 7 utuk BDE EBD β β β α 80 o β 90 o α ADB EBD 90 o α * Jik BAD ADB α 90 o α α 5 o DAB 5 o * Jik BAD DBA α α α (90 o α 80 o α 90 o (tidk memeuhi * Jik ADB DBA 90 o α α (90 o α (90 o α 80 o α 0 o (tidk memeuhi utuk BED EBD α ADB EBD α α 0 mk α Agr ABD sm kki mk DAB DBA tu DBA ADB * Jik DAB DBA α α α α 80 o α 5 o DAB 5 o * Jik DBA ADB α α α α 80 o α 6 o DAB 6 o Jik DCE CED (ljutk sediri y, pek.: :.

43 Kumpul Sol d Peyelesi 75. Pd seuh lpg org erd pd posisi sehigg jrk msig-msig org slig ered. Msig-msig org memiliki pistol ir yg diguk utuk meemk hy org yg erd plig dekt degy. Jik gjil, tujukk hw d sedikity stu org tidk k sh. Apkh ii jug erlku il jumlh org gep? (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 987 Peyelesi dpt dilkuk deg iduksi mtemtik. Utuk Mislk org-org terseut dlh A, B d C. Tp megurgi keumum sol, mislk AB dlh jrk yg terpedek di tr AB, AC d BC mk A d B k slig meemk. Meskipu tidk mempegruhi pemukti C k meemk slh stu di tr A d B. Akity C tidk k sh. Adik er utuk gjil Kit meggp hw kit is meyusu org-org seyk sehigg d sedikity stu org tidk k sh. Ak diuktik jug er utuk Jik du org di tr ii ktk A d B dlh sepsg yg terdekt mk A d B k slig meemk. Jik d di tr org yg li meemk slh stu di tr A d B mk jumlh temk yg sudh dilepsk d yg errti jumlh temk yg elum dilepsk dlh. Jumlh org yg msih elum sh msih org. Sesui Pigeo Hole Priiple mk k d sedikity stu org tidk k sh. Jik tidk d org yg li yg meemk A tu B mk k d org lgi d sesui deg ggp semul k d sedikity stu org tidk k sh (terukti. Terukti hw utuk gjil mk dpt diuktik d sedikity stu org tidk sh. Jik gep mk kit dpt megisolsik msig-msig org yg k slig meemk sehigg seluruh org k sh Hl ii tidk erlku utuk gep. 76. Utuk ili yg m persm 988x x d 889x x mempuyi kr persekutu? (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 988 Mislk kr persekutuy dlh p mk erlku : 988p p p p p p p tu p utuk p Utuk persm ( 988( ( x 0879x (889x 988(x 0 Utuk persm ( 889( ( x 0879x (988x 889(x 0 memeuhi utuk p.: :.

44 Kumpul Sol d Peyelesi utuk p Utuk persm ( 988( ( x 0879x (889x 988(x 0 Utuk persm ( 889( ( x 0879x (988x 889(x 0 memeuhi utuk p mk ili yg memeuhi dlh 0879 tu Seuh rumh gi lsy mempuyi etuk segitig deg kelilig P meter d lus A meter persegi. Tm rumh terseut merupk idg yg merupk kumpul titik-titik deg jrk 5 meter dri tepi rumh terdekt. Tetuk lus tm esert rumh terseut. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 988 Mislk segitig deg kelilig P meter d lus A dlh ABC. Derh tm esert rumh k terdiri dri : segitig ABC. persegi pjg yg memiliki lus msig-msig s i 5 meter persegi deg s i dlh pjg sisi-sisi segitig ABC. uh jurig deg pust msig-msig pd titik A, B d C yg klu digug k memetuk ligkr erjri-jri 5 se jumlh sudut (60 o 80 o A (60 o 80 o B (60 o 80 o C 50 o (A B C 50 o 80 o 60 o Lus rumh d tm A (5s 5s 5s π(5 A 5(s s s 5π Lus rumh d tm A 5P 5π 78. Mislk S {,,, } deg ggoty merupk ilg ult. Utuk msig-msig himpu tk kosog A yg merupk himpu gi S kit defiisik p(a dlh hsil kli semu ggot A. Mislk m(s dlh rt ritmtik p(a utuk semu himpu tk kosog A yg merupk himpu gi S. Jik m(s d jik m(s { } 9 utuk semu ilg ult positif, tetuk ili,,, d. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 988.: :.

45 Kumpul Sol d Peyelesi Byky himpu gi tk kosog dri S L L m( S L L L ( ( ( L( m( S ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Mislk R S { } Byky himpu gi tk kosog dri R dlh L L L L L m( R ( ( ( ( ( ( L m R 9 ( ( ( ( ( ( 98 8 ( ( ( ( ( ( Dri persm ( didpt : 98 8 ( ( ( Jik ( 7 mk ( ( 7( ( ( 9 8 ( ( 98 8 Tidk mugki kesm pd persm ( dpt terjdi. Tidk mugki ( 7 ( ( ( ( Utuk > mk ( ( 98 8 > 0. Td kesm tidk mugki terjdi. Mk, tu. Jik Dri persm ( k didpt 96 8 ( Kre 8/ tidk ult mk tidk d ili yg memeuhi Jik Dri persm ( k didpt ( Kre /0 tidk ult mk tidk d ili yg memeuhi Jik Dri persm ( k didpt ( 7 Didpt d 7 d dri persm ( didpt : 9 ( ( ( Kre,, ilg sli mk 9 hrus merupk perkli ilg sli yg msigmsig >. Kre 9 6 Kre msig-msig sudh merupk ilg prim mk ili tripel (,, yg memeuhi hy (,,.: :. 5

46 Kumpul Sol d Peyelesi 79. Mislk ABC dlh segitig siku-siku deg lus. Mislk A, B d C dlh titik-titik yg didpt deg meermik titik A, B d C erurut terhdp sisi di hdpy. Tetuk lus A B C. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 989 Tp megurgi keumum sol mislk ABC siku-siku di B. A didpt deg meermik A terhdp BC. Kre BC AB mk ABA dlh gris lurus. C didpt deg meermik C terhdp AB. Kre BC AB mk CBC dlh gris lurus. Titik B dlh pertegh gris ABA d CBC A C sejjr deg AC. Gris tiggi dri B ke A C k sm pjg deg gris tiggi dri B ke AC. Kre B diermik terhdp sisi AC mk gris tiggi dri B ke AC k sm pjg deg gris tiggi dri B ke AC. Akity dlh gris tiggi dri B ke sisi A C dlh tik kli gris tiggi dri B ke AC. Mk lus A B C k tig kli lus ABC Lus A B C 80. Didefiisk { } segi erikut : ;, > dlh pejumlh digit-digit dri -. Apkh ili 5? (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 989 Kit mempuyi < ( Jels hw yky digit dri < Akity ili < Kre 760 < mk < Mk. Td kesm didpt jik his digi 9. Berkit 5 jug k his digi 9. Jels hw > 0 utuk > 0 mk Seuh kompetisi terdiri dri pemi yg erlgsug selm k hri. Pd msig-msig hri, pr pemi k memperoleh skor,,,, yg tidk d du pemi tu leih yg memiliki skor yg sm. Pd khir kompetisi (setelh erlgsug selm k hri, teryt ili totl msigmsig pemi tept 6. Tetuk psg (, k yg mugki. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 990.: :. 6

47 Kumpul Sol d Peyelesi Totl ili dlm stu hri ½( Setelh erlgsug k hri mk ½ ( k 6 k( 5 dlh fktor dri 5. Kre mk Nili yg memeuhi dlh,, 6 d 5. Utuk mk d k Utuk d k dpt dipeuhi. Cotoh iliy dlh Hri ke Pemi Pemi Pemi Utuk mk d k Utuk d k dpt dipeuhi. Cotoh iliy dlh Pemi Hri ke Hri ke Hri ke Hri ke Utuk 6 mk 5 d k Utuk 5 d k dpt dipeuhi. Yitu hri pemi dpt ili d hri ke- dpt ili 5. Pemi ke- hri pertm medpt ili d hri ke- medpt ili. Pemi ke- hri pertm medpt ili d hri ke- medpt ili. D seterusy. Utuk 5 mk 5 d k Utuk 5 d k tidk memeuhi se psti d pemi yg medpt ili tidk 6. Psg (, k yg mugki dlh (,, (, d (5, 8. Sejumlh ½( ilg ered disusu ser k pd susu eretuk segitig seperti pd susu erikut : X X X X X X M M M X X X X Mislk M k dlh ilg teresr pd ris ke-k dihitug dri ts. Tetuk esry pelug hw M < M < M < < M. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 990 Mislk p dlh pelug M < M < M < < M terjdi. Jels hw ili teresr dri ½( ilg terseut hrus erd di wh. Pelug ii terjdi dlh. (.: :. 7

48 Kumpul Sol d Peyelesi Pd ris smpi ris ke-(- terdpt ilg seyk ½( (. Bilg teresr di tr ilg-ilg ii hrus erd di ris ke- (-. Pelug ii terjdi dlh. ( ( Demiki seterusy. p p - p p p p p p d seterusy p L. (! 8. ABCD dlh segiempt tli usur. Digol AC d BD slig erpotog di titik X. Dri titik X ditrik gris tegk lurus sisi AB, BC, CD, DA yg msig-msig memotog keempt sisi terseut ser erurut di titik P, Q, R, S. Buktik hw pjg PS QR PQ SR. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 990 Mislk titik A, B, C d D mellui seuh ligkr erjri-jri R. Kre XPA 90 o d XSA 90 o mk segiempt XSPA dlh segiempt tli usur yg jug terletk pd sutu ligkr yg dpt diggp erjri-jri r. Kre XPA 90 o deg titik P terletk pd ligkr erjri-jri r mk AX dlh dimeter ligkr terseut AX r. PS Sesui dlil sius pd PAS mk r AX ( si PAS BD Sesui dlil sius pd BAD mk R ( si PAS PS AX Dri ( d ( didpt ( BD R Kre XQC 90 o d XRC 90 o mk segiempt QXRC dlh segiempt tli usur yg jug terletk pd sutu ligkr yg dpt diggp erjri-jri r. Kre QRC 90 o deg titik R terletk pd ligkr erjri-jri r mk CX dlh dimeter ligkr terseut CX r..: :. 8

49 Kumpul Sol d Peyelesi QR Sesui dlil sius pd CQR mk r CX ( si RCQ BD Sesui dlil sius pd CDB mk R (5 si RCQ QR CX Dri ( d (5 didpt (6 BD R PS QR AX CX AC BD Dri ( d (6 didpt PS QR BD R R AC BD Deg r yg sm k didptk PQ SR R Terukti hw PS QR PQ SR 8. Tujukk hw persm x y 5 z mempuyi tk higg peyelesi utuk ilg ult x, y, z deg xyz 0. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 99 Dpt dihitug hw Kre KPK(,, 5 0 mk (0 5 ( 6 5 (7 0 yg erlku utuk semu ili. Terukti hw persm x y 5 z mempuyi tk higg peyelesi utuk ilg ult x, y, z deg xyz Mislk C dlh ligkr d titik P terletk pd idg. Diut gris-gris mellui P d msigmsig memotog ligkr di du titik deg rus gris kedu titik ii serig diseut usur. Tujukk hw titik tegh usur-usur ii terletk pd stu ligkr. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 99 Mislk O dlh pust ligkr d M dlh titik tegh usur. OMP 90 o Kre OMP 90 o mk M k terletk pd sutu ligkr deg dimeter OP. (Terukti 86. Sepuluh ilg ered dimil dri ilg-ilg {0,,,,, } utuk melegkpi ligkr pd digrm di wh. Selisih positif dri du ilg yg dihuugk deg gris hrus slig ered. Apkh hl terseut mugki? Berik ls. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 99.: :. 9

50 Kumpul Sol d Peyelesi Ad ilg di tr 0 ilg terseut yg erhuug deg tept uh ilg li. Mislk ilg-ilg terseut dlh,, d. Sedgk 6 uh ilg k erhuug deg tept ilg li. Mislk ilg-ilg terseut dlh,,, d, d d d. Ak didptk kemugki selisih positif ilg terseut yitu,.,,,, d, d. d, d, d, d, d. Adik mugki hw selisih positif dri du ilg yg dihuugk deg gris lurus k slig ered. Dri ilg-ilg {0,,,,, } hy is didpt kemugki selisih positif yitu,,,,,. Mk selisih positif keemptels,.,,,, d, d. d, d, d, d, d hrus memut selisih positif dri smpi. Akity di tr keempt els,.,,,, d, d. d, d, d, d, d hrus memut tept 7 uh gjil d 7 uh gep. Jik d memiliki prits yg sm (sm-sm gep tu sm-sm gjil d d jug memiliki prits yg sm Kedu d k gjil tu keduy tidk d yg gjil. Kedu i d i utuk i,, k gjil tu keduy tidk d yg gjil. Kedu d j d d j utuk j,, k gjil tu keduy tidk d yg gjil. Akity k terdpt sejumlh gep di tr keempt els,.,,,, d, d. d, d, d, d, d yg gjil. Kotrdiksi. Jik d memiliki prits ered d d jug memiliki prits yg ered. Kedu d k gjil tu keduy tidk d yg gjil. Kedu i d i utuk i,, k terdpt stu yg gjil sedgk stuy lgi k gep. Akity k terdpt tept di tr,.,,, yg gjil. Kedu d i d d i utuk i,, k terdpt stu yg gjil sedgk stuy lgi k gep. Akity k terdpt tept di tr d, d. d, d, d, d yg gjil. Akity k terdpt sejumlh gep di tr keempt els,.,,,, d, d. d, d, d, d, d yg gjil. Kotrdiksi..: :. 50

51 Kumpul Sol d Peyelesi Jik d memiliki prits yg sm d d memiliki prits yg ered. Slh stu dri d k gjil d yg liy gep. Kedu i d i utuk i,, k gjil tu keduy tidk d yg gjil. Kedu d i d d i utuk i,, k terdpt stu yg gjil sedgk stuy lgi k gep. Akity k terdpt tept di tr d, d. d, d, d, d yg gjil. Akity k terdpt sejumlh gep di tr keempt els,.,,,, d, d. d, d, d, d, d yg gjil. Kotrdiksi. Jik d memiliki prits yg ered d d memiliki prits yg sm. Kre simetris mk pemukti ii k sm deg pemukti jik d memiliki prits yg sm d d memiliki prits yg ered. 87. Buktik hw hsil kli ilg sli pertm his digi pejumlh ilg sli pertm jik d hy jik uk ilg prim. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 99 ½( Ad du hl yg hrus diuktik : Jik! his digi ½ ( mk uk ilg prim Kre ½( memgi! mk ½( hrus memgi (!. Jik ilg prim mk tidk his digi utuk >. Kre,,,,, semuy kurg dri d ilg prim mk tidk d di tr,,,, yg merupk fktor dri! tidk his digi ½(. Jik ilg prim mk! tidk his digi ½(. Pemukti jik ilg prim mk! tidk his digi ½( sm deg pemukti jik! his digi ½ ( mk uk ilg prim (pemukti deg kotrposisi Jik uk ilg prim mk! his digi ½ ( Jik uk ilg prim mk deg, ilg sli d,. Utuk mk! d ½( sert memgi. Utuk > mk > > ½( Jik gjil Mk ½( merupk ilg ult. Kre > ½( mk ½ ( merupk slh stu dri,,,, 5,, tu. Mk ( (! his digi ½( Jik gep Mk ½,, semuy kurg dri. Kre gjil mk d keduy gjil. Kre, gjil > mk, (, mk, < ½ Kre, mk, d ½ msig-msig dlh slh stu dri,,,,,. Akity ( (! his digi ½( Terukti jik uk ilg prim mk! his digi ½ ( Terukti hw hsil kli ilg sli pertm his digi pejumlh ilg sli pertm jik d hy jik uk ilg prim..: :. 5

52 Kumpul Sol d Peyelesi x 88. Selesik persm x. ( x (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 99 x (x x (x x x x x x 6x x x x 6x 0 (x x (x x 0 x x 0 tu x x 0 Utuk x x 0 Disk (( < 0 Tidk d kr rel yg memeuhi Utuk x x 0 ± (( x, x 5 tu x 5 x Mk ili x yg memeuhi persm x dlh 5 x tu x 5. ( x 89. Tujukk hw ilg x dlh rsiol jik d hy jik terdpt tig ilg ered yg merupk ris geometri yg dipilih dri x, x, x, x, (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 99 Ad du hl yg hrus diuktik : Jik x dlh ilg rsiol mk terdpt tig ilg ered yg merupk ris geometri yg dipilih dri x, x, x, x, Kre x ilg rsiol mk x m deg m, ilg sli. x m xm m (x m x m xm x xm xm x(x m m Kre erlku (x m x(x m m mk x, x m d x m m merupk ris geometri. (terukti Jik terdpt tig ilg ered yg merupk ris geometri yg dipilih dri x, x, x, x, mk x dlh ilg rsiol Mislk terdpt x, x d x merupk ris geometri mk (x (x (x x x x ( x x(. x merupk ilg rsiol utuk,, ilg sli d 0. (terukti.: :. 5

53 90. Beerp sekolh megikuti turme teis. Tidk d du pemi yg ersl dri stu sekolh ertdig stu deg liy. Setip du pemi dri sekolh yg ered ertdig tept stu kli deg yg liy. Pertdig tr du pemi putr mupu du pemi putri dimk sigle d pertdig tr pemi putr melw pemi putri diseut deg mixed sigle. Totl jumlh pemi putr memiliki selisih deg pemi putri plig yk stu. Totl pertdig sigle deg totl pertdig mixed sigle plig yk jug stu. Tetuk jumlh sekolh mksiml yg dpt megirimk sejumlh pemi yg merupk ilg gjil. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 99 Mislk yky sekolh yg megikuti turme teis d. Sekolh ke-i k megirim k pemi putr seyk B i d pemi putri seyk G i. Jumlh seluruh pemi putr B B B B B i B i Jumlh seluruh pemi putri G G G G G i G i Dri sol kit dpt B G Byky pertdig sigle i i i i i i G G G B B B ( ( i i i i i i i i G G G B B B i i i i G G B B Byky pertdig mixed sigle i i G i G B ( i i BG B i G Kre totl pertdig sigle deg totl pertdig mixed sigle plig yk jug stu, mk: i i i i i i i G B BG G G B B 0 tu ± i i i i i i i G B G B G BG B 0 tu ± ( ( i B i G i G B 0 tu ± Kre (B G mk, tu. ( i B i G i ( i B i G i tidk mugki egtif. Kumpul Sol d Peyelesi.: :. 5

54 B i G i utuk i,,, se jik sedikity dri,,,, terdpt B i G i utuk ( i,,, mk B i G i. i Kumpul Sol d Peyelesi Jik B i G i mk jels hw sekolh ke-i terseut megirimk pemi dlm jumlh gjil sedgk jik B j G j 0 mk sekolh ke-j terseut megirimk pemi dlm jumlh gep. mks yitu jik terdpt tept di tr,,,, yg memeuhi B i G i utuk i,,,,. Jumlh sekolh mksiml yg dpt megirimk sejumlh pemi yg merupk ilg gjil dlh Tetuk jumlh (. Jw oleh diytk dlm fktoril.! (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid Mislk S (! 99 S ( i (!! S ( ( i (! i! S ( ( i 0! i! S L 0!!!! 99! 99!! (! 99!!! 5! L 99 99! ! x Mislk f ( x 9 x. Tetuk jumlh f f f L f (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 995 x 9 f ( x 9 x x x x f ( / x x x x x / 9 x 9 f ( x f ( x x x 9 9.: :. 5

55 f f f f f f f f f L L f f f f f L f f f f L 9. Jik α, β d γ dlh kr-kr persm x x 0 tetuk γ γ β β β α. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 996 γ β α A B 0 βγ αγ αβ A C αβγ A D ( γ γ β β α α ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( γ β α γ α γ γ α β γ β α ( ( ( ( αβγ βγ αγ αβ γ β α αβγ βγ αγ αβ γ β α ( ( (0 ( ( ( Tetuk semu peyelesi sistem persm erikut. Hti-hti deg jw Ad. x z z z y y y x x (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 996 Kre ilg kudrt tidk mugki egtif mk : 0 p < p 0 < t t 0 x < ; 0 y < ; 0 z < Kumpul Sol d Peyelesi.: :. 55

56 Jik x 0 Dri pers ( didpt y 0 z 0 Begitu jug jik y 0 d z 0 Didpt peyelesi sistem persm (x, y, z dlh (0, 0, 0 Jik tidk d stu pu x, y, z 0 x y z x y z x y z x x x x x(x x y y y y y(y y Kumpul Sol d Peyelesi z(z z z z z z 0 Kre persm kudrt tidk mugki egtif d telh diuktik seelumy hw x, y, z > 0 mk persm di ts hy dpt dipeuhi jik : (x 0 ; (y 0 d (z 0 x y z Peyelesi tripel (x, y, z sistem persm di ts dlh (0, 0, 0 d (½, ½, ½ Segitig ABC dlh segitig sm kki deg AB AC. Gris gi dri titik B memotog AC di D d dikethui hw BC BD AD. Tetuk esr A. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 996 Diut titik E yg terletk pd sisi BC sehigg BE BD AD EC AB AD Kre BD dlh gris gi ABC mk : BC CD CE AD AB CD CD BC Kre ABC sm kki mk : CE AD AB CA CD CD BC BC Pd CED d CAB erlku DCE ACB d CE CA yg memut CED CAB. CD BC.: :. 56

57 Kumpul Sol d Peyelesi Mk DCE ACB ; CDE ABC d CED CAB Mislk ABC x mk CDE DCE x DEC 80 o x DEB x Kre BDE sm kki mk BDE DEB x Kre BD dlh gris gi sudut B mk DBE x Pd BDE erlku : x x x 80 o x 0 o A 80 o x A 00 o 96. Berp yk psg ilg ult positif x, y deg x y yg memeuhi FPB(x, y 5! d KPK(x, y 50!. Td! meytk fktoril. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 997 Mislk p, p, p,, p dlh ilg prim tr 7 smpi 7 5! 5 p 0 p 0 0 p 50! 5 p m p m5 m5 p,, 5, p m, p m5,, p m5 semuy memgi 50!. Mk pgkt prim dri 5! D 50! semuy ered. Mislk x 5 p p 5 5 p y m m 5 m p m p m5 m5 p Mk mks ( i, m i pgkt prim dri 50! D mi ( i, m i pgkt prim dri 5!. Kre i d m i keduy ered mk d kemugki ili i mupu m i. Byky kemugki ili x d y msig-msig dlh 5. Kre tidk d ili x d y yg sm d kre diigik x < y mk hy d setegh kemugki dri ili x d y yg mugki. 5 Byky psg (x, y yg memeuhi deg x < y dlh Buktik hw < L < (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid Misl P L d Q L PQ L L P < Q P < PQ P < < P < P > L : :. 57

58 Mk didpt < P < 997 < L < (terukti 998 Kumpul Sol d Peyelesi 98. Tetuk ilg rel x yg memeuhi x x. x x (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 998 Akr dri sutu ilg tidk mugki egtif. Kre x 0 mk x > 0. x x x x x x x x x x x x x (x x x x x x 0 Megigt hw ( mk ( x x x 0 x x x x x x 0 Kre x 0 mk x x 0 5 x (memeuhi hw x > 0 tu Cek ke persm semul : ( 5 x x 6 5 x x x 5 x x x 5 Nili x yg memeuhi dlh x / / 5 x (tidk memeuhi hw x > Tetuk semu peyelesi rel dri persm x 0 x 5 0 deg td x meytk ilg ult teresr kurg dri tu sm deg x. (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 999 x x > x x 0 x 5 0 x 5 0 x Mk persm di ts hrus erlku :.: :. 58

59 ( x 5 0x x 0x 5 0 (x 7(x 0 7 x ( ( x 5 > 0(x x 0x 9 > 0 (x (x 7 > 0 7 x < tu x > ( Dri ts-ts ( d ( didpt Utuk x < 7 7 x < tu < x 7 Nili x yg memeuhi dlh, d * Jik x x x (tidk d x rel memeuhi * Jik x x x 9 x < < yg memeuhi * Jik x Utuk 9 69 x x 69 x Tetpi > yg tidk memeuhi < x 7 Nili x yg memeuhi dlh 6, 7 d 8 * Jik x 6 Kumpul Sol d Peyelesi x x 89 x < 6 < 7 yg memeuhi 6 * Jik x 7 x x 9 x 9.: :. 59

60 Kumpul Sol d Peyelesi < 7 < 8 yg memeuhi 7 * Jik x 8 x x x < 8 < 9 yg memeuhi 8 Nili x yg memeuhi persm x 0 x 5 0 dlh 9, 89, 9, Tomi sedg meo meerk umur Ty d kepoky. Ty meulis persm kudrt yg tidk dikethui Tomi deg kr-kry dlh merupk umury d kepoky sert merupk ilg sli. Dikethui hw jumlh ketig koefisie persm kudrt terseut merupk ilg prim. Tomi meo meerk umur Ty deg sutu ilg ult tertetu (vriel persm kudrt terseut digti deg terk Tomi. Setelh dihitug oleh Ty hsily dlh 55. ( Buktik hw kepok Ty erumur thu ( Tetuk umur Ty (Sumer : Cdi Mthemtil Olympid 00 deg peruh redksiol Misl T dlh umur Ty d K dlh umur kepoky. Persm kudrt terseut dlh (x T(x K x (T Kx TK Jumlh koefisie dlh (T K TK (T (K Kre pejumlh koefisiey dlh ilg prim mk di tr, (T d (K sm deg. Kre T > K mk (T yg erkit d K K (terukti Persm kudrt f(x (x T(x Kre T > mk x T < 0 se jik x T > 0 mk x > 0 yg perkliy tidk k meghsilk ilg egtif. Kre (x T(x 55 mk kemugkiy dlh : * x d x T 55 yg meghsilk x d T 58 T 57 (uk prim * x 5 d x T yg meghsilk x 7 d T 8 T 7 (prim * x d x T 5 yg meghsilk x d T 8 T 7 (prim * x 55 d x T yg meghsilk x 57 d T 58 T 57 (uk prim Umur Ty dlh 8 thu. 0. Bilg,, dlh digit-digit dri sutu ilg yg memeuhi Apkh ilg tig gk (00 0? (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 996.: :. 60

61 Kumpul Sol d Peyelesi 86 jik digi 7 k ersis his digi 7. Kre rus k jik digi 7 ersis 6 mk kre 0 9 mk 7 0 mk Jik log (9 log (86, tetuk ili 6. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 996 Mislk log (9 log (86 k mk : 9 ( k d 86 k k k ( ( k k 0. Du ddu deg sisiy dit merh tu iru. Ddu pertm terdiri dri 5 sisi merh d sisi iru. Ketik kedu ddu terseut dilempr, pelug muuly sisi ddu erwr sm dlh ½. Ad erp yk sisi ddu kedu yg erwr merh? (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 997 Mislk Byky sisi ddu kedu yg erwr merh x mk sisi ddu iruy 6 x 5 x 6 x Pelug muuly sisi ddu erwr sm 5 x 6 x x 6 x 8 x Byky sisi ddu kedu yg erwr merh Segitig ABC memiliki sisi AB 7, AC d BC 00. Titik D terletk pd sisi BC sehigg ligkr dlm ABD d ligkr dlm ACD meyiggug sisi AD di titik yg sm, yitu E. Tetuk pjg CD. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 997.: :. 6

62 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk gris AB meyiggug ligkr di F d G. Gris BC meyigug ligkr di H d J. Pjg AF x AE AF x d BF 7 x AG AE x BH BF 7 x Pjg GC x CJ CG x Mislk pjg DE y DH DJ DE y BC BH HD DJ CJ 7 x y y x 78 y x y x x y 89 BD 7 x y CD CJ DJ CD x y CD (x y CD 89 CD Tetuk ilg rel x, y d z yg memeuhi sistem persm : x y z yz xz 6 xy 0 (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 997 Misl x, y d z ( 6 ( 0 ( ( ( 0 0 ( ( 0 (( (( 0 Jik 0 ( ( ( 6 6 (5 Dri persm ( d (5 mk tidk d ili, d yg memeuhi. Jik 0 8 (6.: :. 6

63 0 60 (7 ( ( 8 (8 ( 6 Kumpul Sol d Peyelesi ( (9 * Jik > 0 mk d 6 6 x 96 ; y ; z 6 * Jik < 0 mk d 6 6 x 96 ; y ; z 6 Tripel (x, y, z yg memeuhi (96,, Seuh trpesium DEFG deg seuh ligkr dlm meyiggug keempt sisiy d erjri-jri sert erpust di C. Sisi DE d GF dlh sisi yg sejjr deg DE < GF d DE. Dikethui hw DEF EFG 90 o. Tetuk lus trpesium. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 999 Mislk gris DG meyiggug ligkr di titik Z d Gris GF meyiggug ligkr di titik Y mk GZ GY d FY. Mislk gris DE meyiggug ligkr di titik X mk DX DZ DX Trik gris dri titik D tegk lurus GF memotog GF di titik J mk DJ. Deg megggp GZ GY k mk pd DGJ erlku : (k (k k GF GY YF 6 6 Lus trpesium Tetuk ilg sli terkeil k sehigg peh k 7 k 9 pd dpt disederhk mejdi qd deg p, q, d dlh ilg sli, p d q reltif prim sert tidk d stu pu di tr q tu d erili. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 999.: :. 6

64 Kumpul Sol d Peyelesi Altertif : k 7 k 9 k 9 k 9 qd. Agr k miiml mk q d d hrus miiml deg d dlh fktor dri. Kre mk ili d miiml deg d dlh. Kre q hrus reltif prim deg mk ili miiml q dlh. k mi 9 k mi. Altertif : Kre d k 9 d d k 7 mk d k 7 (k 9 d Kre d mk ili d miiml. k 7 dlh ilg gjil p dlh ilg gjil Agr FPB(p, q mk q mi. k mi 9 k mi. 08. Jik (d d dlh ilg gjil, tujukk hw poliomil x x x d tidk dpt diekspresik ke dlm etuk (x r(x px q deg,, d, r, p, d q semuy dlh ilg ult. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 999 Adik poliomil x x x d dpt diekspresik ke dlm etuk (x r(x px q deg,, d, r, p, d q semuy dlh ilg ult, mk : x x x d (x r(x px q x (p rx (pr qx qr p r ( pr q ( qr d ( Jik d d d( dlh ilg gjil mk d d keduy gjil. Kre d gjil erdsrk persm ( mk q d r keduy gjil. Dri persm ( d ( didpt : p r pr q p(r r q Rus kiri erili gjil. Kre r gjil mk p(r gep sedgk r q gep utuk q gjil. Mk rus k gep (kotrdiksi Jik (d d dlh ilg gjil mk poliomil x x x d tidk dpt diekspresik ke dlm etuk (x r(x px q deg,, d, r, p, d q semuy dlh ilg ult (terukti. 09. Segitig ABC siku-siku di A. Titik P d Q keduy terletk pd sisi BC sehigg BP PQ QC. Jik dikethui AP d AQ, tetuk pjg msig-msig sisi ABC. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 999.: :. 6

65 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk BP PQ QC p d pjg sisi ketig ABC dlh, d p Pd ABP erlku : p p os ABC deg os ABC p 9 p ( Pd ACQ erlku : p p os ACB deg os ACB 6 p ( p ( ( 5 ( p 9p 5 5p p 5 BC 5 Sutitusik hsil di ts ke persm ( d ( didpt AB d AC 0. Pd segitig ABC, titik D, E d F ser erurut terletk pd sisi BC, CA d AB yg memeuhi AFE BFD, BDF CDE d CED AEF. ( Buktik hw BDF BAC ( Jik AB 5, BC 8 d CA 7, tetuk pjg BD (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 000 ( Misl AFE BFD x BDF CDE y CED AEF z Mk FAE 80 o x z FBD 80 o x y ECD 80 o y z Pd ABC erlku FAE DBD ECD 80 o 80 o x z 80 o x y 80 o y z 80 o x y z 80 o FAE 80 o (80 o y y BDF FAE BAC (terukti ( Berdsrk hitug seelumy mk ABC z d ACB x Kre kesm sudut mk ABC DBF DEC AEF BD BA 5 BF BC 8 Jik BD 5k mk BF 8k CD CA 7 CE CB 8 Jik CD 7p mk CE 8p AE AB 5 AF AC 7 Jik AE 5m mk AF 7m.: :. 65

66 Kumpul Sol d Peyelesi Mk 5k 7p 8 7m 8k 5 5m 8p 7 Dri ketig persm di ts k didpt k ½ Mk BD 5k 5. ( Jik f(x x 6x deg ilg ult, uktik hw f(0 f( gjil ( Mislk g(x x px qx r deg p, q d r ilg ult. Buktik hw jik g(0 d g( keduy gjil mk tidk mugki ketig kr persm g(x 0 semuy ilg ult. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 00 ( f(0 f( 6 7 Kre dlh gep mk f(0 f( gjil (terukti ( Adik hw g(x 0 mempuyi tig kr yg semuy ult, yitu, d. Mk : g(x (x (x (x x ( x ( x x px qx r Kre g(0 gjil mk r gjil Kre r mk, d semuy gjil. g( ( ( ( Kre gjil mk ( gep g( gep (kotrdiksi Mk jik g(0 d g( keduy gjil mk tidk mugki ketig kr persm g(x 0 semuy ilg ult.. Seuh ilg dipilih ser k dri ilg-ilg,,,, 5, 6,, 999, 000. Pelug ilg yg terpilih merupk pemgi M deg M dlh ilg sli kurg dri tu sm deg 000 dlh 0,0. Tetuk ili mksimum dri M? (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 00 Klu p 0,0 mk yky fktor positif dri M 0 Kre mk M hrus eretuk p 9 tu p p deg p d p dlh ilg prim. Jik M p 9 p 9 < 000 mk p mks M mks 9 5 Jik M p p Kre p mk p 500 p tu * Jik p M 6p 000 M mks 976 didpt jik p 6 * Jik p M 8p 000 M mks 89 didpt jik p Mk ili mksimum dri M dlh 976.: :. 66

67 Kumpul Sol d Peyelesi. ( Mislk A d B dlh digit sutu ilg (rtiy A d B dlh ilg ult terletk tr 0 d 9. Jik hsil kli ilg tig gk A5 d B his digi 6, tetuk empt kemugki psg (A, B ( Seuh ilg ult diktk kelipt 7 jik 7k utuk ili k ult. (i Jik d ult sert 0 7m utuk m ult, uktik hw kelipt 7 (ii Jik d d ult sert 5 d kelipt 7, uktik hw d jug kelipt 7. (Sumer : Cdi Ope Mthemtis Chllege 00 ( 6 9 Kre A5 dlh ilg gjil mk kemugkiy dlh 6 B tu A5 d B tu 9 A5 d B. Jik 6 B Kre 6 > 9 d 6 08 < 0 mk tidk d B memeuhi 6 B Jik A5 d B Mk A 5 7 A Nili A yg memeuhi dlh, 5 tu < 0 d > 9 mk B hy dipeuhi utuk B : B Psg (A, B yg memeuhi dlh (,, (5, d (8, Jik 9 A5 d B Mk 9 A 5 7 A Nili A yg memeuhi dlh. Kre B mk 0 B Nili B yg memeuhi dlh d 6. Psg (A, B yg memeuhi dlh (,, (, 6. Psg (A, B yg memeuhi (A5(B his digi 6 dlh (,, (5,, (8, d (, 6. ( (i Altertif : 0p q 7m p q 50p 9p 5q 7q 5(0 q 7(7p q p q 5 7m 7(7p q p q 7(5m 7p q Terukti p q his digi 7. Altertif : Kre 0p q 7m mk q 7m 0p p q p (7m 0p 7(p m Terukti p q his digi 7. (ii Kre 5 d his digi 7 mk 5 d 7k ( Altertif : d 0 7d 8d 7( d (5 d d 7( d 7k d 7( d k Terukti d his digi 7 Altertif : 7k 5 7k 5 7 Dri ( didpt : d d ( k Kre d ult d 7 reltif prim deg mk k hrus his digi. k p d 7p Terukti d his digi 7..: :. 67

68 Kumpul Sol d Peyelesi. Mislk,, d p dlh ilg rel deg, d semuy ered d memeuhi p Tetuk semu kemugki ili p d uktik hw p 0 (Sumer : Duth Mthemtil Olympid 98 Dri persm di ts didpt p p p p ( p ( Sutitusik persm ( ke ( : ( p p (p p ( Deg r yg sm didpt : (p p ( (p p (5 ( ( ( (p 0 Kre mk p ± Dri persm ( kre p ± mk p 0 (terukti 5. Buktik hw jik d ( > dlh ilg prim terdiri dri sedikity gk, mk his digi 0. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 990 Bk Fil Misl Kre d, 5, 6 slig reltif prim mk k diuktik hw his digi, 5 d 6. Ak diuktik his digi Seuh ilg prim > k eretuk k tu k Kre (k (mod (mod d (k (mod (mod mk d keduy ersis jik digi. 0 (mod Ak diuktik his digi 5 Bilg prim > 5 k termsuk ke dlm slh stu dri 5k, 5k, 5k tu 5k (tu is jug msuk ke dlm 5k ± tu 5k ±. Liht pd pemukti his digi 6 ltertif (5k (mod 5 (mod 5 (5k (mod 5 (mod 5 (5k (mod 5 (mod 5 (5k (mod 5 (mod 5 Sehigg d keduy ersis jik digi 5 his digi 5. Ak diuktik his digi 6 Altertif : Bilg kudrt k termsuk ke dlm k tu k. Kre d prim mk d k eretuk k.: :. 68

69 Kumpul Sol d Peyelesi Misl m d (m ( 6m 8m 6 8 8m(m 8( m(m d ( dlh ilg gep, mk 8m(m d 8( keduy his digi 6. his digi 6 Altertif : Seuh ilg prim k msuk ke dlm slh stu dri 6k ±, 6k ±, 6k ± 5 tu 6k ± 7. (6k ± (± (mod 6 (mod 6 (6k ± (± (mod 6 8 (mod 6 (mod 6 (6k ± 5 (±5 (mod 6 65 (mod 6 (mod 6 (6k ± 7 (±7 (mod 6 0 (mod 6 (mod 6 Sehigg d keduy ersis jik digi 6 his digi 6. Kre his digi, 5 d 6 mk his digi Pd ul Desemer, msig-msig 0 org sisw dlm stu kels yg sm megirimk 0 krtu up selmt kepd kw-kwy yg li yg jug erd dlm stu kels yg sm. Kels terseut hy erisi ke-0 org sisw terseut. Buktik hw terdpt sedikity stu psg sisw yg slig megirim krtu. Mislk seuh kels terdiri dri sisw msig-msig megirimk m krtu up selmt kepd m org kw-kwy yg li yg jug erd dlm stu kels yg sm. Bgimkh huug m d sedikity stu psg sisw yg slig megirim krtu (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 99 Bk Fil Adik hw di tr du org sisw tidk d keduy slig megirim krtu. Mk mksiml yky krtu yg eredr 0 C 90. Jumlh krtu yg eredr > 90 (kotrdiksi Terukti hw terdpt sedikity stu psg sisw yg slig megirim krtu. Adik hw di tr du org sisw tidk d keduy slig megirim krtu. Mk mksiml yky krtu yg eredr C ( /. Jumlh krtu yg eredr m Mk m > ( / m > 7. Tetuk semu peyelesi (,, yg memeuhi persm ( ( 60 0 deg, dlh ilg ult d 9. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 99 Bk Fil Syrt persm terseut dlh 0 ( ( d 0 ( Dri persm ( didpt 60 d d 7 7 Kre 0 mk psg (, yg memeuhi dlh (,7, (,6, (5,5, (6, d (7,.: :. 69

70 Kumpul Sol d Peyelesi Dri persm ( dpt dihitug ili Jik d 7 mk Jik d 6 mk Jik 5 d 5 mk 5 Jik 6 d mk Jik 7 d mk Peyelesi (,, yg memeuhi dlh (, 7,, (, 6,, (5, 5, 5, (6,, d (7,,. 8. Mislk ABC d DAC dlh du uh segitig sm kki deg AB AC d AD DC. Pd ABC esr BAC 0 o sedgk pd ADC erlku ADC 00 o. Buktik hw AB BC CD. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 996 Bk Fil Kre ADC 00 o mk DAC DCA 0 o Kre BAC 0 o mk ACB ABC 80 o BAD 60 o d BCD 0 o BD BC CD BC CD os 0 o BD BC CD BC CD ( BD AB AD AB AD os 60 o BD AB CD AB CD ( BC CD BC CD AB CD AB CD AB BC CD (AB BC (AB BC (AB BC CD (AB BC Kre AB BC 0 mk : AB BC CD AB BC CD (terukti 9. Tetuk semu x mgi squre. Defiisi : Seuh x mgi squre dlh seuh mtriks deg ukiur x yg elemeelemey dlh ilg ult - ilg ult,,,, d memeuhi jumlh eleme pd msig-msig ris, msig-msig kolom d kedu digol utm sm. Cotoh x mgi squre dlh :.: :. 70

71 Kumpul Sol d Peyelesi (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 998 Bk Fil Mislk x mgi squre dlh : d e f g h i Kre 9 5 mk jumlh eleme dlm msig-msig ris, msig-msig kolom d kedu digol utm msig-msig 5. Pejumlh-pejumlh eleme terseut dlh : 5 d e f 5 g h i 5 d g 5 e h 5 f i 5 e i 5 e g 5 Eleme yg muul kli dlh e, yg muul kli dlh,, g, i sedgk yg muul kli dlh, d, f d h. Komisi pejumlh ilg-ilg yg meghsilk ili 5 : Bilg yg muul kli dlh 5, yg muul kli dlh,, 6, 8 sedgk yg muul kli dlh,, 7 d 9. Mk e 5. Kemugki ili d yitu,, 6 tu 8. Jik ili telh ditetuk mk pilih ili i hy d. Nili d kemugki jik telh ditetuk d i hrus dipilih. Akity pilih ili g hy d. Jik,, e, g d i telh ditetuk mk ili, d, f d h msig-msig hy d pilih. Mk yky x mgi squre d x Tetuk semu ilg sli terdiri dri 6 gk, mislk def, deg 0 d d 0 yg memeuhi def (def. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 999 Bk Fil d 0 e 0 f (00d 0e f d 0 e 0 f d 0 e 0 f de 0 df 0 ef d 0e f 0000d 00e f 000de 00df 0ef Agk stu rus kiri f Agk stu rus k gk stu f.: :. 7

72 Kumpul Sol d Peyelesi Nili f yg memeuhi dlh 0,, 5 tu 6 Agk puluh rus kiri e Agk puluh rus k gk stu ef gk puluh f Jik f 0 Agk puluh rus k e d 0000d Agk rtus rus kiri d sedgk gk rtus rus k 0 d 0 (tidk memeuhi Jik f Agk puluh rus k e 0 e. Kre gk puluh rus kiri e mk ili e yg memeuhi dlh e d 0000d 00d Agk rtus ru kiri d sedgk gk rtus rus k d d 0 (tidk memeuhi Jik f 5 Agk puluh rus k Agk stu 0e Agk puluh 5 0 e d 5 (00d d 5000d 65 Agk rtus rus k 6 d Jik f 6 Agk puluh rus k Agk stu e Agk puluh 6 (Agk stu e Agk puluh rus kiri e Nili e yg memeuhi dlh e d 76 (00d d 500d 5776 Agk rtus rus kiri d Agk rtus rus k (Agk stu d 7 d Nili def yg memeuhi dlh d Seuh ilg sli terdiri dri 7 digit ered d his digi oelh msig-msig digity. Tetuk ketig digit yg tidk termsuk ke dlm digit dri. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 000 Bk Fil Kre hy d tig digit yg tidk msuk ke dlm digit-digit dri mk sesui deg Pigeo Hole Priiple mk sedikity stu dri,, 6 tu 8 dlh digit dri. Akity gep. Kre 0 tidk memgi ilg mpu mk 0 tidk termsuk digit dri. Adik 5 dlh digit dri mk gk stu dri hrus 0 tu 5. Kre 0 tidk termsuk digit dri mk gk stu dlh 5. Kotrdiksi deg keyt hw gep. Mk 5 tidk termsuk digit dri. Adik 9 tidk termsuk digit dri mk pejumlh digit Kre termsuk digit dri mk pejumlh digit hrus his digi. Tetpi tidk his digi. Mk 9 termsuk digit dri (mod 9. Mk hrus diug dri digit-digit. Mk ketig digit yg tidk termsuk ke dlm digit dri dlh 0, d 5. (Ctt : Cotoh ilg terseut dlh 9768.: :. 7

73 Kumpul Sol d Peyelesi. Du gris lurus memgi seuh segitig mejdi empt gi deg lus tertulis seperti pd gmr. Tetuk lus keempt. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 00 Bk Fil Mislk lus CDF x d lus CEF y CDF d DAF memiliki tiggi yg sm, mk : CD x ( DA CDB d BDA memiliki tiggi yg sm, mk : CD x y 7 ( DA 8 Dri persm ( d ( didpt : x x y 8 x y 7 ( BEF d CEF memiliki tiggi yg sm, mk : BE 7 ( EC y BAE d EAC memiliki tiggi yg sm, mk : BE 7 8 (5 EC x y Dri persm ( d (5 didpt : 7x 7y 8 5y 8y 7x 8 (6 8 Dri persm ( d (6 didpt : x d Lus gi keempt x y Lus gi keempt 5 y. Pd sutu hri tig org sht, Mrdo, Pele d Roldo sedg ermi sepkol deg stu gwg. Merek memut pertur segi erikut : Permi dimuli deg slh stu dri merek k erper segi pejg gwg d yg liy segi peyerg yg erush meetk gol ke gwg. Permi dihetik mkl d peyerg yg meetk gol. St itu dihitug segi stu permi. Permi ru dimuli lgi deg peyerg yg meetk gol.: :. 7

74 Kumpul Sol d Peyelesi mejdi pejdi pejg gwg sedgk pejg gwg pd permi seelumy mejdi peyerg. Permi dihetik jik d peyerg yg meetk gol. Itu jug diggp segi stu permi. Demiki seterusy. Smpi sutu st permi er-er dihetik sest setelh d seorg peyerg yg meetk gol. Setelh dihitug teryt Mrdo kli mejdi peyerg sedgk Pele kli mejdi peyerg. Roldo mejdi pejg gwg seyk 8 kli. Sipkh yg meetk gol pd permi keem? Buktik jw Ad. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 00 Bk Fil deg peruh redksiol sol tp meguh iti persol Kre Roldo mejdi pejg gwg seyk 8 kli mk Mrdo mejdi peyerg ersmsm deg Pele jug seyk 8 kli. Mrdo mejdi peyerg ersm-sm deg Roldo seyk 8 kli. Mk Pele mejdi pejg seyk kli. Jumlh permi d seyk 5 kli. Mrdo mejdi peyerg seyk kli. Seorg pemi tidk k mugki mejdi pejg gwg pd du permi ser erurut. Kre jumlh permi seyk 5 kli sedgk Mrdo mejdi pejg gwg seyk kli mk Mrdo k mejdi pejg gwg pd permi yg ke-gjil. Kre Mrdo mejdi pejg gwg pd permi ke-7 mk Mrdo hrus meetk gol pd permi keem.. Seuh ilg terdiri dri digit. Jumlh lim ilg li yg dietuk dri ketig digit ii dl 00. Tetuk ilg terseut. (Sumer : Flders Mthemtis Olympid 00 Bk Fil Mislk ilg terseut 00 0 mk : (00 0 (00 0 (00 0 (00 0 ( (00 0 (00 0 (00 0 (00 0 ( ( 00 ( < 00 ( < ( 00 9 < Jik ( ,, (memeuhi Jik 00 ( ,, (tidk memeuhi Jik 00 ( , 6, (tidk memeuhi Jik 00 ( , 8, (tidk memeuhi Jdi ilg terseut dlh 7.: :. 7

75 Kumpul Sol d Peyelesi 5. Tujukk hw utuk semrg ilg rel x mk x si x x os x x (Sumer : Regiol Mthemtil Olympid 995 Mislk y x si x x os x x ( si x x x os x Mk y merupk persm kudrt dlm x. Diskrimi os x ( si x Diskrimi si x si x Diskrimi (si x < 0 si x > 0 Kre diskrimi dri y < 0 sedgk koefisie x > 0 mk x si x x os x x defiit positif. Terukti hw x si x x os x x > 0 (Ctt : Regiol Mthemtil Olympid mugki seperti Olimpide Mtemtik di Idi pd tigkt provisi > 0 6. Jik A dlh himpu erggotk 50 usur yg merupk himpu gi dri himpu {,,,, 00} d ersift hw tidk d du ilg di dlm A yg jumlhy 00. Tujukk hw A megdug sutu ilg kudrt muri. (Sumer : Regiol Mthemtil Olympid 996 Byky psg ilg sli yg jumlhy 00 dlh 9 psg yitu (,99, (,98, (,97, (,96,, (9,5. Asumsik hw A tidk megdug ilg kudrt muri. Agr hl terseut terjdi mk plig yk dri sepsg ilg terseut yg merupk usur A. Tetpi psg (6, 6 keduy merupk ilg kudrt yg errtiy keduy tidk dpt mejdi ggot A. 00 dlh ilg kudrt yg tidk termsuk psg yg diseutk seelumy. Mksiml yky ggot A (kotrdiksi deg fkt hw yky ggot A dlh 50 usur. Terukti hw A megdug ilg kudrt muri. 7. Tetuk psg ilg ult positif x d yg memeuhi persm x 65. (Sumer : KRMO 996 Kre > 0 mk gep yg errti x ilg gjil. Bilg kudrt jik digi k ersis 0 tu..: :. 75

76 Kumpul Sol d Peyelesi 65 his digi. ( ( (mod Jik gjil mk (mod (mod. Tidk k d kesm. Jik gep mk (mod. Mk gep Misl p x 65 ( p 65 5 ( p x( p x Byky fktor dri 65 dlh 8. Mk d ksus yg k ditiju. Jik p x 65 d p x Didpt x 07 d p 08 (tidk d ili p sli yg memeuhi Jik p x 05 d p x Didpt x 0 d p 0 (tidk d ili p sli yg memeuhi Jik p x d p x 5 Didpt x 59 d p 6 p 6 Jik p x d p x 5 Didpt x d p 8 (tidk d ili p sli yg memeuhi Psg ili x d yg memeuhi hy x 59 d 8. Jik 7 5 d 7 5 deg d ilg rel ered, tetuk hsil kli. (Sumer : KRMO 996 7( ( ( 7( Kre mk 7 7( 0 ( 7( 0 (7 7( Dikethui sekues ilg ult positif ik,,, ersift hw utuk semu. Dikethui hw Berp ili-ili,,,, 5, 6 d 8? (Sumer : Pr Seleksi Olimpide Mtemtik Idoesi ( 7 5 ( 6 5 ( ( 7 ( 5 5.: :. 76

77 7 5 0 Kumpul Sol d Peyelesi ( 7 5 ( ( 7 5 ( 7 ( 9 ( 7 9 ( 7 5 ( 69 9 (5 70 Kre ult mk (69 9 ilg gep se ilg gep digi ilg gep memugkik mejdi ilg ult. Sehigg hrus ilg gjil. Seli itu, kre positif mk Akity, ili yg mugki dlh, tu 5. ( 69 9 (memeuhi syrt se ult positif 70 ( (tidk memeuhi syrt se tidk ult positif ( 69 5 (tidk memeuhi syrt se tidk ult positif 70 5 Jdi d ( 5 (6 (5 ( ( 5 9 ( ( ( ( ( ( Jdi,, 5,, 5 9, 6 70 d : :. 77

78 Kumpul Sol d Peyelesi 0. Du uh ligkr yg msig-msig erjri-jri d slig ersiggug. Diut seuh gris yg meyiggug kedu ligkr terseut, mislk gris terseut dlh gris m. Ligkr ketig deg jri-jri diut meyiggug kedu ligkr terseut d jug meyiggug gris m. Buktik hw : (Sumer : Pr Seleksi Olimpide Mtemtik Idoesi 996 Pd gmr gris CK sejjr deg PQ sehigg KP. CS sejjr deg PQ sehigg SQ. BT jug sejjr deg PQ sehigg TP. (PR (CK (AC (AK (PR (AM MC (AP KP (PR ( ( (PR PR (RQ (CS (BC (BS (RQ (BN NC (BQ SQ (RQ ( ( (RQ RQ (PQ (BT (AB (AT (PQ (AL LB (AP TP (PQ ( ( (PQ PQ PQ PR RQ Bgi kedu rus deg mk log m. Jik m d slig reltif prim, uktik hw uk ilg rsiol. log (Sumer : Pr Seleksi Olimpide Mtemtik Idoesi 996 log m log m Adik hw ilg rsiol mk deg d dlh ilg sli. log log Mk erlku m..: :. 78

79 Kumpul Sol d Peyelesi Kre m d reltif prim mk tidk d d ilg sli yg memeuhi (kotrdiksi log m Terukti hw jik m d slig reltif prim, mk uk ilg rsiol. log. Tetuk semu psg ilg ult tk egtif (x, y yg memeuhi (xy 7 x y. (Sumer : Pr Seleksi Olimpide Mtemtik Idoesi 997 (xy 7 x y (xy xy 9 x y (xy xy 6 x y xy (xy 6 (x y (x y xy 6(x y xy 6 Kre prim mk d du ksus yg mugki : x y xy 6 d x y xy 6 (x y x y 7 xy 0 x 0 tu y 0 Jik x 0 mk y 7 Jik y 0 mk x 7 x y xy 6 d x y xy 6 (x y x y 7 7 xy 6 xy x 7 x 7x 0 x (x (x 0 Jik x mk y Jik x mk y Psg (x, y yg memeuhi dlh (0, 7, (,, (,, (7, 0. Sisi-sisi AB, BC d CA segitig ABC msig-msig pjgy sm deg, d stu sedgk, d msig-msig dlh ilg sli. Dikethui pul hw, d msigmsig dlh pemgi kelilig segitig ABC. Buktik hw segitig ABC sm sisi. (Sumer : Pr Seleksi Olimpide Mtemtik Idoesi 997 Tp megurgi keumum sol, mislk m utuk sutu ilg li m > dikethui pul hw mk : < < (m < m Nili m yg memeuhi hy m mk : < < ( < (.: :. 79

80 Kumpul Sol d Peyelesi < Kre merupk pemgi kelilig segitig mk utuk sutu ilg sli < < < Kre < mk < < Mk < < Nili yg memeuhi hy Kre m sedgk m mk Mk tu segitig ABC sm sisi.. Seyk org pegurus seuh orgissi k digi ke dlm empt komisi megikuti ketetu erikut : (i setip ggot tergug kedlm tept du komisi, d (ii setip du komisi memiliki tept stu ggot ersm. Berpkh? (Sumer : Olimpide Mtemtik Tigkt Provisi 00 Bgi Pertm ( setip ggot tergug ke dlm tept du komisi ( setip du komisi memiliki tept stu ggot ersm Misl keempt komisi terseut dlh A, B, C d D deg jumlh ggot msig-msig k, mk erdsrk ( didpt k (A B C D (A (B (C (D (A B (A C (A D (B C (B D (C D (A B C (A B D (A C D (B C D (A B C D Berdsk ( d ( mk : (A B C D (A (B (C (D k (A B (A C (A D (B C (B D (C D (A B C (A B D (A C D (B C D 0 (A B C D 0 mk k k k k k Byky pegurus gr memeuhi syrt terseut dlh 6 5. Berpkh sis pemgi oleh 00? (Sumer : Olimpide Mtemtik Tigkt Provisi 00 Bgi Pertm Altertif : Du digit terkhir dri dlh Du digit terkhir dri dlh 9 Du digit terkhir dri dlh 07 Du digit terkhir dri dlh 0 Du digit terkhir dri 5 dlh dst..: :. 80

81 Kre 0 mk digit terkhir dri sm deg du digit terkhir dri yitu 07. Sehigg 07 00t 7 k 7 deg t d k dlh ilg ult. 7 ( 7 7 k k k Kre du digit terkhir dri dlh 0 mk du digit terkhir dri ( k dlh jug 0. Du digit terkhir dri 7 sm deg du digit terkhir dri yitu 07. Mk du digit terkhir dri sm deg du digit terkhir dri perkli du digit terkhir ( k deg du digit terkhir dri 7. Kre 0 x Mk digit terkhir dri dlh 07. Altertif : ( ( (mod (mod tu (mod Berrti k deg k dlh ilg sli. k (89 k (9 k (mod 00 (0 k 7 (mod 00 se 7 (mod 00 k 7 (mod 00 7 (mod 00 Kre Sis pemgi Kumpul Sol d Peyelesi 7 (mod 00 errti jik digi 00 k ersis 7 oleh 00 dlh 7. 00p 7 deg p dlh ilg sli. 6. Bgu dtr pd gmr diseut tetromio-t. Mislk setip petk tetromio meutupi tept stu petk pd pp tur. Kit igi meutup pp tur deg tetromiotetromio sehigg setip petk tetromio meutup stu petk tur tp tumpg tidih. tetromio-t ( Tujukk hw kit dpt meutup pp tur is, yitu pp tur deg 8 X 8 petk, deg megguk 6 tetromio-t. ( Tujukk hw kit tidk dpt meutup pp tur 0 X 0 petk deg 5 tetromio-t. (Sumer : Olimpide Mtemtik Tigkt Provisi 00 Bgi Kedu ( Kre petk x dpt ditutupi oleh uh tetromio-t, mk tetuy kit dpt meutup petk tur 8 x 8 deg 6 uh Tetromio-T. ( Seuh tetromio-t k meutupi uh petk hitm d uh petk putih tu uh petk putih d uh petk hitm pd pp tur..: :. 8

82 Kumpul Sol d Peyelesi Kre d ilg gjil sert yky Tetromio-T d 5 yg jug merupk ilg gjil mk ke-5 Tetromio-T terseut k meutupi sejumlh gjil petk hitm d sejumlh gjil petk putih pd pp tur. Hl ii kotrdiksi deg keyt hw pd pp tur 0 x 0 terdpt 50 petk hitm d 50 petk putih. Terukti hw kit tidk dpt meutup pp tur 0 X 0 petk deg 5 tetromio-t. 7. Buktik hw tidk d ilg sli m sehigg terdpt ilg-ilg ult k, e, deg e, yg memeuhi m(m k e. (Sumer : Olimpide Mtemtik Tigkt Provisi 00 Bgi Kedu Adik d d ilg sli m sehigg terdpt ilg-ilg ult k, e, deg e, yg memeuhi m(m k e. Altertif : Kre persm eretuk d deg,,, d Asli, mk memgi tu memgi. * Jik k memgi m mk m p k q deg p uk kelipt k d q ilg ult positif d p ilg sli. Persm mejdi p k q pk q k e p k q p k e-q ( Jik e > q Rus k persm ( dlh seuh ilg yg his digi k sedgk rus kiri dlh seuh ilg yg ersis p jik digi k deg p uk ilg kelipt k. Mk td kesm tidk k mugki terjdi. Jik e q Rus k persm ( erili Kre p d k mk p k q p yg errti tidk d ili p d k yg memeuhi. Mk tidk d ili m ilg sli yg memeuhi m(m k e deg k memgi m. * Jik m memgi k mk k rm deg r ilg sli se k e m e Persm k mejdi m(m r e m e m r ( m Jik m Persm ( mejdi r e. Kre mk persm hy k dipeuhi jik r d e yg tidk memeuhi syrt hw e. Jik m > Rus kiri persm ( uk merupk ilg ult sedgk rus k merupk ilg ult se e..: :. 8

83 Kumpul Sol d Peyelesi Mk tidk d ili m ilg sli yg memeuhi m(m k e deg m memgi k. Terukti hw tidk d ilg sli m sehigg terdpt ilg-ilg ult k, e, deg e, yg memeuhi m(m k e Altertif : Mislk m p x p x p x p x utuk sutu ilg prim p, p, p,, p d ilg ult tk egtif x, x, x,, x. mk m (p x p x p x p x p, p, p,, p semuy memgi m tetpi m jik digi p, p, p,, p msig-msig k ersis. Mk m d m slig reltif prim. Persm pd sol hy k terpeuhi jik m d m memiliki pgkt yg sm. Mislk m e d m e e. Kre ( e e C o e e C (e- e C e e e e (e- > e m ( e < m ( e < ( e Dri ketksm di ts didpt m terletk di tr du ilg sli erurut erpgkt e. Mk tidk mugki m eretuk e. Terukti hw tidk d ilg sli m sehigg terdpt ilg-ilg ult k, e, deg e, yg memeuhi m(m k e 8. Pd segitig ABC dierik titik-titik D, E, d F yg terletk erturut-turut pd sisi BC, CA d AB sehigg gris-gris AD, BE d CF erpotog di titik O. Buktik hw AO BO CO AD BE CF (Sumer : Olimpide Mtemtik Tigkt Provisi 00 Bgi Kedu Diut gris tiggi pd segitig ABC d segitig BOC yg msig-msig ditrik dri titik A d O. Gris tiggi ii msig-msig memotog sisi BC di titik P d K. Lus ABC (BC(AP Lus BOC (BC(OK Lus BOC Lus ABC OK AP (.: :. 8

84 Kumpul Sol d Peyelesi OD OK DAP segu deg DOK sehigg ( AD AP Lus BOC OD Dri ( d ( didpt ( Lus ABC AD Lus AOC OE Deg r yg sm didpt ( d Lus ABC BE Lus BOC Lus AOC Lus AOB Lus ABC Lus BOC Lus AOC Lus AOB Lus ABC Lus ABC Lus ABC OD OE OF AD BE CF OA OB OC OA OB OC AD BE CF AD BE CF OA OB OC Terukti hw AD BE CF Lus AOB Lus ABC OF CF (5 9. Mislk k, m, dlh ilg-ilg sli demiki, sehigg k > > d fktor persekutu teresr k d sm deg. Buktik hw jik k memgi k m m-, mk k. (Sumer : Olimpide Sis Nsiol Bidg Mtemtik 00 k k m m- k k m m m m- k k m m m- ( Utuk m ilg sli mk k memgi k m m. ( d dlh du ilg ult erurut mk FPB (, Kre FPB (k, mk k tidk memgi m-. Akity k hrus memgi. Kre k memgi mk k k Terukti hw k 0. Dikethui segitig ABC siku-siku di C deg pjg sisi-sisiy merupk ilg ult. Tetuk pjg sisi-sisi segitig terseut jik hsil kli dri du sisi yg uk sisi mirig sm deg tig kli kelilig segitig. (Sumer : Olimpide Sis Nsiol Bidg Mtemtik 00 Mislk sisi-sisi segitig terseut dlh, d deg dlh sisi mirig, mk : ( ( ( Kre, d dlh ilg ult mk sekurg-kurgy slh stu di tr tu dlh kelipt. Misl k deg k ilg sli (sm sj jik dimislk k mk : k 9k (k 9k.: :. 8

85 k 9k (k 9k ( k 9k k ( k ( k ( k ( k ( k ( k ( k ( k ( k k 6k ( k ( k k 6k Kre k 0 mk ( k( k 6 Kumpul Sol d Peyelesi ( Kre, k ilg sli mk (k psti memgi 6 d kre > k mk (k > 0 Nili k yg memeuhi dlh ; ; 5; 8 6 k ( k Utuk k mk 9 5 (5 Utuk k mk 5 9 (6 Utuk k 5 mk (7 Utuk k 8 mk 5 7 (8 Sutitusik persm (5, (6, (7, (8 ke persm ( yg teryt semuy memeuhi. Pjg sisi-sisi segitig yg memeuhi dlh : * 9 5 * 9 5 * * * 7 5 * 7 5. Persm kudrt x x 0 deg, dlh ilg ult, memiliki kr-kr ilg sli. Buktik hw uk ilg prim. (Sumer : Olimpide Sis Nsiol Bidg Mtemtik 00 Mislk x d x dlh kr-kr persm x x 0 mk : x x x x x x (x x (x x x x x x (x x x x (x x x x (x (x Kre x d x keduy dlh ilg sli mk (x d (x keduy dlh ilg sli leih dri. Mk dlh perkli du ilg sli msig-msig > yg megkitk dlh uk ilg prim. (terukti.: :. 85

86 Kumpul Sol d Peyelesi. Seuh lti erlus m k ditutupi oleh krpet deg ermm etuk seyk 5 uh deg m. Tujukk hw d krpet yg tumpg tidih deg lus tumpg tidih leih dri /5 m. (Sumer : Olimpide Sis Nsiol Bidg Mtemtik 00 Mislk A i meytk krpet ke-i. A A A A A 5 Berdsrk Prisip Iklusi Eksklusi mk : (A A A A A 5 A A A A A 5 (A A (A A (A A (A A 5 (A A (A A (A A 5 (A A (A A 5 (A A 5 (A A A (A A A (A A A 5 (A A A (A A A 5 (A A A 5 (A A A (A A A 5 (A A A 5 (A A A 5 (A A A A (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A A 5 (A A (A A (A A (A A 5 (A A (A A (A A 5 (A A (A A 5 (A A 5 (A A A (A A A (A A A 5 (A A A (A A A 5 (A A A 5 (A A A (A A A 5 (A A A 5 (A A A 5 (A A A A (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A A 5 (A A A (A A A (A A A 5 (A A A (A A A 5 (A A A 5 (A A A (A A A 5 (A A A 5 (A A A 5 (A A A A (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A 5 (A A A A A 5 (A A (A A (A A (A A 5 (A A (A A (A A 5 (A A (A A 5 (A A 5 ( (A A A A d merupk himpu gi dri (A A A sehigg (A A A A d (A A A (A A A merupk himpu gi dri (A A sehigg (A A A (A A d seterusy Akity : (A A A A (A A A tu (A A A A (A A A d seterusy (A A A A 5 (A A A 5 tu (A A A A 5 (A A A d seterusy (A A A A 5 (A A A tu (A A A A 5 (A A A 5 d seterusy (A A A A 5 (A A A tu (A A A A 5 (A A A 5 d seterusy (A A A A 5 (A A A 5 tu (A A A A 5 (A A A d seterusy Mk rus kiri persm ( erili leih dri. Kre d sepuluh iris di rus k persm ( mk dpt dipstik sekurg-kurgy d di tr 0 iris krpet terseut yg memiliki iris leih dri /0 0, m. Terukti d krpet yg tumpg tidih deg lus tumpg tidih leih dri /5 m..: :. 86

87 Kumpul Sol d Peyelesi. Dikethui hw p( dlh hsil kli digit-digit dri. Tetuk ili ilg sli yg memeuhi p( 005. (Sumer : Olimpide Sis Nsiol Bidg Mtemtik 005 Jik terdiri dri k digit deg k merupk ilg deg sedikity k digit. Mk 005 merupk ilg deg sedikity k digit. p( < 0 k. Mk p( merupk ilg deg seyk-yky terdiri dri k digit. Utuk k k k k k mk k > k tidk d yg memeuhi p( 005 Jik terdiri dri digit Mislk 0 tidk mugki gep se k meyek rus k gjil sedgk rus kiri gep. Kre gjil d 005 (mod mk (mod Akity slh stu tu his digi. Kre gjil mk tu 8. 0,, (mod (mod 8 Rus k tidk his digi 8 ( ( 9( Bilg terseut dlh 9 Jik terdiri dri digit Rus k k erili egtif (tidk memeuhi. Dierik lim titik P, P, P, P, P 5 pd idg deg koordit ilg ult. Buktik hw terdpt sedikity sepsg titik (P i, P j, i j, demiki, sehigg rus gris P i P j memut seuh titik Q deg koordit ilg ult seli P i d P j. (Sumer : Irish Mthemtil Olympid 99 d Olimpide Mtemtik Idoesi Tk Provisi 00 Misl x ij dlh jrk titik P i d P j dlm rh sumu X d Misl y ij dlh jrk titik P i d P j dlm rh sumu Y. Jik x ij d y ij keduy gep, mk dpt dipstik hw sekurg-kurgy stu titik letis seli titik P i d P j k terletk pd rus gris P i P j, yitu pd pertegh rus gris P i P j yg k erjrk xij pd rh sumu X d yij pd rh sumu Y terhdp titik P i mupu P j deg xij d yij dlh jug ilg ult. Sift pejumlh erikut jug k metu mejelsk : Bilg Gep Bilg Gep Bilg Gep Bilg Gjil Bilg Gjil Bilg Gep..: :. 87

88 Kumpul Sol d Peyelesi Kemugki jeis koordit (dlm hs li diseut prits sutu titik letis hy d kemugki yitu (gep, gep, (gep,gjil, (gjil, gjil d (gjil, gep. Jik titik letis mempuyi prits yg sm mk sesui sift pejumlh mk dpt dipstik kedu titik letis memiliki jrk medtr d jrk vertikl merupk ilg gep yg errti koordit titik tegh dri gris yg meghuugk kedu titik letis terseut jug merupk ilg gep. Kre d 5 titik letis sedgk hy d prits titik letis mk sesui Pigeo Hole Priiple (PHP mk dpt dipstik sekurg-kurgy d du titik letis yg memiliki prits yg sm. Dri pejels di ts dpt diuktik hw jik P, P, P, P, P 5 dlh lim titik letis ered pd idg mk terdpt sepsg titik (P i, P j, i j, demiki, sehigg rus gris P i P j memut seuh titik letis seli P i d P j. 5. Tetuk semu psg ilg ult (x, y yg memeuhi persm : 996x 998y xy (Sumer : Irish Mthemtil Olympid 997 xy 996x 998y (x 998(y Kre ( ( mk : (x 998(y Kre 997 ilg prim mk d ksus : Jik x 998 d y x 999 d y Jik x d y 996 x d y 997 Jik x d y x 995 d y 99 Psg (x,y yg memeuhi dlh (999, , (995, 99 d (990007, Tujukk hw jik x ilg rel tk ol mk : 8 5 x x 0 x x (Sumer : Irish Mthemtil Olympid 998 x 8 > 0 d > 0 utuk semu ili x rel tk ol x Jik x < 0 Mk x 5 < 0 d < x x > 0 x x x Jik x > x x x ( x ( x x x x x x x x ( ( x ( x 9.: :. 88

89 Altertif : Jik 0 < x mk x 0 d x 9 0 (x (x 9 0 Jik x mk x 0 d x 9 0 (x (x Kumpul Sol d Peyelesi ( x ( x 0 x 8 5 Terukti hw x x 0 x x Altertif : (x (x 9 (x (x (x 6 x (x (x 6 x 9 Utuk x > 0 mk (x 0 d (x 6 x 0 ( x ( x 0 x 8 5 Terukti hw x x 0 x x 7. Tetuk semu ilg ult positif yg memepuyi tept 6 pemgi positif d, d,, d 6 yg memeuhi : d < d < < d 6 d 6 8 d d 9 d 8 7 (Sumer : Irish Mthemtil Olympid 998 Kre d 6 8 dlh slh stu fktor dri mk p q k Kre q mk mksiml yky fktor prim dri dlh p q r deg ilg prim d p, q d r ilg ult positif d q d p. Jik p mk sedikity terdpt 6 fktor dri yg kurg dri 8, yitu :,,,, 6,. Mk p q r Byky fktor dri ( (q (r 6 Kemugki psg (q, r yg memeuhi dlh (7, 0, (, Jik q 7 d r 0 7 Mk d, d, d, d 6, d 5 9, d 6 8, d 7 7, d 8 5, d 9 8, Tetpi d 9 d Jik q d r Ke-6 fktor dri dlh,,, 6, 9, 8, 7, 5,,,, 6, 9, 8, 7 d 5 Kre sedikity terdpt 5 fktor dri yg kurg dri 8 mk > 8. Jik 8 < < 7 mk 6 < < 5, 5 < < 8 d 6 8, d 7, d 8 7, d 9 d 9 d 8 7 (tidk memeuhi prim Jik 7 < < 5 mk 5 < < 8 d 6 8, d 7 7, d 8, d 9 5 d 9 d Jik > 5 mk d 8 5 d d 9 d 9 d Nili yg memeuhi dlh 998 d 8..: :. 89

90 8. Tujukk hw jik,, dlh ilg rel positif mk : (i 9 (ii (Sumer : Irish Mthemtil Olympid 998 (i Berdsrk ketksm AM-HM mk : ( ( ( 9 (terukti (ii Berdsrk ketksm AM-HM mk : ( deg r yg sm didpt : ( ( (terukti 9. Selesik sistem persm erikut : y (x 8(x y (8 xy (6 6x 5x 0 (Sumer : Irish Mthemtil Olympid 999 y (8 xy (6 6x 5x 0 Altertif : (y ( 5x (y ( x 0 y 5x tu y x Kumpul Sol d Peyelesi.: :. 90

91 Altertif : Kumpul Sol d Peyelesi (8 x ± (8 x ((6 6x 5x y, y 5x tu y x Jik y 5x y (x 8(x ( 5x (x 8(x x(x 9(x 0 x 0 tu x 9 tu x Jik x 0 mk y 5(0 Jik x 9 mk y 5(9 99 Jik x mk y 5( 6 Jik y x ( x (x 8(x x(x (x 5 0 x 0 tu x tu x 5 Jik x 0 mk y (0 Jik x mk y ( 6 Jik x 5 mk y (5 9 Psg (x, y yg memeuhi dlh (5, 9, (, 6, (, 6, (0,, (9, Tetuk semu peyelesi rel dri sistem : ( x x y ( y y z ( z z x x log y log z log ( ( ( (Sumer : Isrel Mthemtil Olympid 995 Jik x < 0 x yg erkit log( x < 0 Mk 0 < x < x. Mk dri persm ( didpt x > y 0 > x > y Deg r yg sm didpt dri persm ( z < y < 0 d dri pers. ( didpt x < z < 0 Dpt disimpulk hw x < z < y < x < 0 (kotrdiksi Tidk d (x, y, z yg memeuhi. Jik x > 0 x yg erkit log( x > 0 Mk x > x. Mk dri persm ( didpt x < y 0 < x < y Deg r yg sm didpt dri persm ( z > y > 0 d dri pers. ( didpt x > z > 0 Dpt disimpulk hw x > z > y > x > 0 (kotrdiksi Tidk d (x, y, z yg memeuhi. Jik x 0 Dri persm ( didpt : 0 y z 0 Mk peyelesiy (x, y, z yg memeuhi dlh (0, 0, 0.: :. 9

92 Kumpul Sol d Peyelesi 5. Selesik sistem persm erikut : 999 i 999 x i 999 d x i x i 999 i i (Sumer : Mlysi Mthemtil Olympid 999 x x x x (x (x (x (x ( x x x x 999 x x x x 999 x x x x x x x 999 x ( ( ( didpt : (x x x (x x x (x x x (x 999 x 999 x (x (x (x (x (x (x (x 999 (x (x (x x (x (x x (x (x x (x 999 (x 999 x Persm y x x defiit positif se diskrimi < 0 d koefisie x > 0. Mk persm di ts hy dpt dipeuhi jik x x x x Peyelesi sol terseut hy dpt dipeuhi jik x x x x Tetuk sepsg ilg ult (x, y yg memeuhi persm x y 998x (Sumer : Polish Mthemtil Olympid 998 Seod Roud Kre ilg kudrt tidk mugki egtif mk x y 0 998x 0 x 0. Jik x > 998 mk x > 998x. Kre y > 0 mk tidk mugki x > 998 x x 998 Kre y d 998x keduy his digi mk x his digi x his digi 9. Kre x d 998x his digi 9 mk y his digi y his digi 9 7 y. Kre x mk 998x his digi 7 sedgk 7 y mk 7 jug hrus memgi x. Akity x his digi 9 8 x. Kre d 9 x mk 998x his digi 8. Kre 8 x d 8 998x mk 7 y 9 y 8 y. Akity y. Kre 998 his digi 7 sedgk x his digi 9 mk 998x x hrus his digi. Mk x hrus his digi 7. Kre x d 998 keduy his digi 7 mk x d 998x keduy his digi 79. Akity y his digi 79 7 y Mislk x 7 d y 7 mk : (7 (7 998(7 7 Kre 0 x 998 mk ( 7 7 Kre 7 (mod (mod Jik ( 7 0 (mod mk (mod Jik 0 (mod mk 0 (mod tidk memeuhi Jik (mod mk (mod jug tidk memeuhi ( 7 (mod Mk 7 gjil gep. Kre gep mk gep gep..: :. 9

93 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk d d d 7 Jik d gjil d gjil mk rus kiri gep sedgk rus k gjil Jik d gjil d gep mk rus kiri gjil sedgk rus k gep Mk d gep Mislk d k k d 7 0 k < Kre ilg kudrt tidk mugki egtif mk 0 k 0 k 8 Nili k yg mugki dlh 0,,, 9, 6 tu 5. d k 6k ( k Jik k 0 mk 0 y (7 0. Nili 0 tu 7 x 7 x 0 tu 998 Jik k mk 6 y (7 08. Nili ( (uk ilg kudrt Jik k mk 6 y (7 6. Nili ( (uk ilg kudrt Jik k 9 mk y (7. Nili ( (uk ilg kudrt Jik k 6 mk 56 y (7. Nili ( (uk ilg kudrt Jik k 5 mk 00 y (7 50. Nili ( tu 50 x 7 x 68 tu 50 Psg (x, y yg memeuhi (0,0, (998,0, (68, 50, (68, 50, (50, 50, (50, Seuh komite megdk 0 pertemu deg 0 org ggot komite hdir pd msig-msig pertemu. Setip du org ggot komite meghdiri pertemu ser ersm plig yk stu kli. Tujukk yky ggot komite terseut leih dri 60. (Sumer : Soviet Uio Mthemtil Olympid 965 Altertif : Msig-msig pertemu dihdiri oleh 0 org. Mk yky psg ered d 0 C 5 pd msig-msig pertemu..: :. 9

94 Kumpul Sol d Peyelesi Tidk d du psg yg megikuti leih dri stu pertemu. Kre d 0 pertemu mk sedikity d psg ered. Mislk yky ggot komite dlh. Byky psg ered yg is diut dlh C ½ (. Mk : ½ ( 800 Utuk 60 mk ½ ( 770 < 800 Mk > 60 (terukti Altertif : Msig-msig pertemu dihdiri oleh 0 org mk d 0 x 0 00 org yg meghdiri seluruh pertemu. Adik hw plig yky ggot komite dlh Mk terdpt sedikity org ggot komite k meghdiri plig sedikit pertemu. Kre org ggot komite plig yk megikuti stu pertemu ser ersm, mk pd msig-msig pertemu org ggot k ertemu deg 9 org ggot komite yg ered deg ggot yg meghdiri pertemu liy. Byky ggot komite plig sedikit ggot komite (kotrdiksi Mk yky ggot komite terseut leih dri 60 (terukti 5. Titik D, E d F erturut-turut terletk pd sisi AB, BC d CA dri ABC sedemiki sehigg DE BE d FE CE. Buktik hw pust ligkr lur ADF terletk pd gris gi DEF. (Sumer : USSR Mthemtil Olympid 989 Mislk pust ligkr lur ADF dlh O. Mislk BAC α, ABC β d ACB γ. Kre DAF α sedgk O dlh pust ligkr lur mk DOF α. Kre DE BE mk EDB EBD β BED 80 o β Kre FE CE mk EFC FCE γ FEC 80 o γ BED CEF DEF 80 o 80 o DEF BED CEF 80 o β 80 o γ α Kre DEF α 80 o mk segiempt DOEF dlh segiempt tliusur ODE 80 o OFE OE OF Pd OFE erlku : si OFE si OEF.: :. 9

95 OE Pd ODE erlku : si ODE Kumpul Sol d Peyelesi OE OE OD si(80 OFE si OFE si OED Dri kedu persm di ts didpt : OF OD si OEF si OED Kre OD OF mk si OEF si OED OEF OED 80 o (tidk memeuhi tu OEF OED Kre OEF OED mk OE dlh gris gi DEF Terukti hw pust ligkr lur ADF terletk pd gris gi DEF 55. ABCD dlh segiempt deg AB AD d B D 90 o. Titik F d E erturut-turut terletk pd BC d CD sedemiki sehigg DF tegk lurus AE. Buktik hw AF tegk lurus BE. (Sumer : Russi Mthemtil Olympid 995 Kre DF tegk lurus AE mk : DF AE 0 ( DA AF AE 0 DA AE AF AE DA AD ( DE AF AE 0 Kre D 90 o mk DE tegk lurus DA DA DE 0 Kre AF AE DA AD AD AD AD AD AF BE AF ( BA AE ( AB BF BA AF AE AF BE AB BA BF BA AF AE Kre B 90 o mk BF tegk lurus BA BF BA 0 AF BE AB Kre AB AD mk : AD AF BE 0 AF tegk lurus BE (terukti 56. Du ligkr deg jri-jri R d r meyiggug gris L erurut di titik A d B d slig memotog di tr kedu ligkr terseut di titik C d D. Buktik hw jri-jri ligkr lur dri segitig ABC tidk tergtug pd pjg rus gris AB. (Sumer : Russi Mthemtil Olympid 995.: :. 95

96 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk CAB α d CBA β Mislk pust ligkr erjri-jri R dlh P sedgk pust ligkr erjri-jri r dlh Q. Kre PA d QB keduy tegk lurus AB mk PAC 90 o α d QBC 90 o β Kre PA PC mk PCA PAC 90 o α APC α Kre QB QC mk QCB QBC 90 o β BQC β Deg dlil sius utuk APC d BQC mk : AC R si α si(90 α Kre si (90 o α os α d si α si α os α mk : AC R si α BC r si β si(90 β Kre si (90 o β os β d si β si β os β mk : BC r si β Utuk medptk AC R si α d BC r si β dpt ditempuh deg jl li segi erikut : But titik E d F msig-msig pertegh AC d BC. Kre PA PC d E pertegh AC mk PE tegk lurus AC. AC AE (PA os PAC R os PAC AC R os (90 o α R si α. Kre QB QC d F pertegh BC mk QF tegk lurus BC. BC BF (QB os QBC r os QBC BC r os (90 o β R si β. CD BC si β AC si α AC si β Rsiα BC siα r si β siα si β r R Mislk jri-jri ligkr lur ABC dlh R. Pd ABC erlku dlil sius : AC Rsiα siα r R R R R Rr si β si β si β R Terukti hw jri-jri ligkr lur ABC tidk tergtug pjg AB..: :. 96

97 57. Tetuk semu ilg ult positif, k yg memeuhi persm : 9k k k 0 0 (Sumer : Sigpore Itertiol Mthemtil Olympid Committee 00 9k k k 0 0 9k ( k 0 0 Persm di ts dlh persm kudrt dlm k. ( ± ( (9(0 k, ( 8 Diskrimi ( (9(0 Diskrimi ( 9(0 Diskrimi 9( (6 9 Agr dimugki didpt ili k ult mk diskrimi hrus eretuk kudrt sempur. Mk 6 9 hrus kudrt sempur. 6 9 p utuk sutu ilg sli p. p Kumpul Sol d Peyelesi (8 p (8 p(8 p Jels hw 8 p > 8 p. Byky fktor 55 d. Mk d 6 ksus : Jik 8 p 55 d 8 p ( tidk d ult yg memeuhi Jik 8 p 75 d 8 p Nili yg memeuhi dlh d p Dri persm ( tidk didpt ili k ult yg memeuhi. Jik 8 p 05 d 8 p 5 ( tidk d ult yg memeuhi Dri persm ( tidk didpt ili k ult yg memeuhi. Jik 8 p 75 d 8 p 7 Nili yg memeuhi dlh d p Dri persm ( tidk didpt ili k ult yg memeuhi. Jik 8 p 5 d 8 p 5 Nili yg memeuhi dlh d p Dri persm ( tidk didpt ili k ult yg memeuhi. Jik 8 p 5 d 8 p Nili yg memeuhi dlh d p Dri persm ( tidk didpt ili k ult yg memeuhi. 58. Mislk ABC dlh segitig. Seuh ligkr yg mellui A d B memotog rus AC d BC ser erurut di D d E. Perpjg BA d ED erpotog di F sedgk perpjg BD memotog CF di M. Buktik hw MF MC jik d hy jik MB MD MC. (Sumer : USA Mthemtil Olympid 00.: :. 97

98 Kumpul Sol d Peyelesi Perpjg DM di titik G sehigg FG sejjr CD. Mk MF MC jik d hy jik CDFG dlh jjr gejg tu FD sejjr CG. Kre CDFG dlh jjr gejg mk FDC 80 o GCD yg k meghsilk MC MF jik d hy jik GCD FDA. Kre ABDE dlh segiempt tliusur mk ABE ADE 80 o ABE FDA GCD Akity ABE CGF 80 o CBFG dlh segiempt tliusur. Kre CBFG dlh segiempt tliusur mk BMC segu deg FMG CBD MFG Akity CBD CBM DCM (DFGC dlh jjr gejg Kre CMB DCM d BMC DMC mk BMC segu deg DMC mk : MB MC MC MD MB MD MC Terukti hw MF MC jik d hy jik MB MD MC. 59. A d C terletk pd seuh ligkr erpust di O deg rdius 50. Titik B terletk di dlm ligkr sehigg ABC 90 o, AB 6 d BC. Tetuk OB. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 98 BC T BAC AB AC AB BC 6 0 AC 0 AOC dlh segitig sm kki deg OAC OCA But gris dri O tegk lurus AC. Mislk gris ii memotog AC di titik D mk :.: :. 98

99 OD OA (½AC OD 0 OD T OAC AD Kre OAC OAB BAC mk : t OAB t BAC t ( OAB BAC t OAB t BAC t OAB ( t OAB t OAB os OAB OB OA AB OA AB os OAB OB OB 6 Kumpul Sol d Peyelesi 60. w d z dlh ilg kompleks yg memeuhi w z 7 d w z 0. Apkh ili teresr yg mugki dri w z? (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 98 (w z (w z w z wz(w z 7(w z 0 wz(w z 7( w z 0 wz w z w z (w z wz 7( w z 0 7 ( w z w z Misl w z x 7x x x 0 x x 0 0 (x 5(x (x 0 w z 5, w z tu w z Nili teresr w z 6. Berpkh sisy jik digi 9? (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio (7 8 ( C C C C C C C C k 8 7 9m 8 7 9p 6 9p 9 5 Mk jik digi 9 k ersis 5. 9x si x 6. Tetuk ili mksimum dri utuk 0 < x < π. xsi x (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 98.: :. 99

100 Kumpul Sol d Peyelesi 9x si x 9xsi x xsi x xsi x Deg ketidksm AM-GM mk : 9x si x 9xsi x xsi x xsi x Td kesm terjdi il 9 xsi x xsi x 9x si x ili mksimum dri dlh. xsi x x si x 6. Tli usur CD tegk lurus dimeter AB d erpotog di titik H. Pjg AB d CD dlh ilg ult. Pjg AB merupk ilg ult gk d pjg CD jug merupk ilg gk deg meukr posisi kedu gk AB. Sedgk pjg OH merupk ilg rsiol. Tetuk pjg AB. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 98 Misl pjg AB 0 OC ½ AB ½ (0 Pjg CD 0 CH ½ (0 Deg d dlh ilg ult positif d 0 < 9, 0 < 9 OH ( OC ( CH OH (0 (0 OH ( ( Kre OH dlh ilg rsiol d > mk : k d k deg k dlh ilg rsiol Didpt k 6k d 0k 5k 6 k 6 5 k 5 Kre d dlh ilg ult d 0 < 9, 0 < 9 mk 6 d 5 Pjg AB 65.: :. 00

101 Kumpul Sol d Peyelesi x y z w 6. Bilg rel x, y, z d w memeuhi utuk,, 6 d Tetuk ili x y z w. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 98 Solutio : x y z w Misl p utuk p, 6, 6 d 6. p p 9 p 5 p 9 p (8 x y z w p 0 Mk, 6, 6 d 6 dlh kr-kr persm polyomil di ts. B p p p p 8 x y z w A x y z w x y z w Tetuk ilg sli terkeil yg memeuhi hw semu digit 5 dlh 0 tu 8. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 98 5 his digi 5 mk gk stu 5 dlh 0. 5 jug his digi Pejumlh digity his digi Hrus terdpt uh gk 8. Bilg terkeil 5 dlh P dlh titik yg terletk di dlm segitig ABC. Tig uh gris diut msig-msig mellui titik P d sejjr sisi segitig ABC. Lus tig segitig yg teretuk deg P dlh slh stu titik suduty dlh, 9 d 9. Berpkh lus segitig ABC? (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 98 Kre ketig gris sejjr mk segitig yg teretuk k segu deg segitig ABC. Perhtik gmr. Mislk AB, AC d BC.: :. 0

102 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk KP k AB k. Kre KPH segu deg ABC mk KH k AC k Mislk DE m AB m. Kre DPE segu deg ABC mk DP m AC m Mislk PF AB. Kre FPG segu deg ABC mk PG AC Kre gris DG sejjr AC, EH sejjr BC d KF sejjr AB mk PG HC, DP AK, KP AD d PF EB AD DE EB KP DE PF k m k m Lus KPH ½ KP KH si A ½ k si A k ½ si A Lus KPH k Lus ABC Lus DEP ½ DE DP si A ½ m si A m ½ si A Lus DEP m Lus ABC Lus FPG ½ PF PG si A ½ si A ½ si A Lus FPG Lus ABC Lus KPH Lus DEP Lus FPG (k m Lus ABC 7 Lus ABC Lus ABC 67. Mislk x 97, x x, x x, x x,..., x 8 (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 985 Perhtik hw : x x ; x x ; x 5 x 6 6 ; x 7 x 8 8 x x x x x 5 x 6 x 7 x x x x x x 5 x 6 x 7 x x. Tetuk x x... x ABCD dlh seuh persegi deg pjg sisi. Titik A, B, C D msig-msig terletk pd sisi AA' BB' CC' DD' AB, BC, CD, DA ser erurut sedemiki sehigg. Gris AC d AB BC CD DA A C esert gris BD d B D memetuk seuh persegi yg memiliki lus. Tetuk. 985 (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 985.: :. 0

103 Kumpul Sol d Peyelesi AA BB; CC DD But gris dri titik A tegk lurus BD memotog di titik P Mislk pjg BP x mk AP ABP segu deg PAD mk : x x / x x x x x ( ( But gris dri titik A tegk lurus AP memotog di titik Q,mk AA Q segu deg ABP. Mislk pjg A Q y mk y 985 y x y x / 985 ( ( ( ( Sekues ilg ult,,, memeuhi utuk > 0. Jumlh 9 ilg pertm dlh 985 d jumlh 985 ilg pertm dlh 9. Tetuk jumlh 00 ilg pertm. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 985 Mislk p d q mk : q p ; (q p q p ; 5 p (q p q ; 6 q (p p q 7 p q (q p ; 8 p (p q q dst Tmpk hw sekues terseut periodik deg period 6 Jumlh 6 ilg dlm stu periodik dlh (p (q (q p (p (q (p q 0 9 (mod 6 ; (mod 6 ; 00 (mod 6 9 (p (q (q p ( p q p 985 ( (p (q (q p ( p (q q p 9 ( Dri persm ( d ( didpt p 999 d q 9 00 (p (q (q p q Pd segitig ABC diut titik-titik D, E, F sedemiki sehigg gris A, BE d CE ertemu di stu titik d memgi segitig mejdi 6 gi deg gi telh dikethui lusy sesui deg gk yg terter pd gi terseut (Liht Gmr. Tetuk lus segitig terseut..: :. 0

104 Kumpul Sol d Peyelesi (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 985 Mislk perpotog ketig gris dlh titik O Misl Lus AOE x d Lus COD y AFC d BFC memiliki tiggi yg sm. Begitu jug deg AOF d BOF mk : AF 8 x 0 x AF 0 x 0 d x y ( FB y 5 0 y 65 FB 0 y 65 0 CBE d ABE memiliki tiggi yg sm. Begitu jug deg COE d EOA mk : CE 8 y 5 9 y CE 8 9 y 8 d EA x 0 0 x 70 EA x x 70 x x 9 ( x 8x x x x 6x 50 x 8x (x 56(x 0 0 x 56 y x 68 y 70 Lus ABC Lus ABC 5 7. Tetuk ilg teresr sehigg 0 memgi 00. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio memgi Kre 0 memgi 00 mk 0 memgi 900 mks mks dlh ilg tig gk. Jik 9, tetuk. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 986.: :. 0

105 Kumpul Sol d Peyelesi Mislk m d m m ( ( 9 ( ( ( 9 5 ( 8 Nili yg mugki dlh 5, 6, 7 tu 8. Jik Mk 6 yg tidk memeuhi hw 5 Jik Mk 5 8 yg memeuhi hw 6 Jik Mk yg tidk memeuhi hw 7 Jik Mk 8 0 yg tidk memeuhi hw 8 Mk ili dlh Poliomil x x x x x 5 x 6 x 7 dpt ditulis segi poliomil ru dlm vrile y deg memut y x. tetuk koefisie dri y. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 986 x x x x x 5 x 6 x x ( y. x y Mk koefisie dri y sm deg koefisie dri y dri (y 8. Koefisie y dri (y 8 8 C ( ( m d dlh ilg ult yg memeuhi m m Tetuk m. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 987 m m 0 57 ( (m tidk mugki his digi. Mk m 0 his digi. Kre d 57 uk ilg kudrt mk m 0 9 m 9 m 588.: :. 05

106 Kumpul Sol d Peyelesi 75. ABCD dlh persegi pjg. Titik P d Q terletk di dlm persegi pjg deg PQ sejjr AB. Titik X d Y terletk pd AB (ser erurut keempt titik terseut dlh A, X, Y d B. Titik W d Z terletk pd sisi CD (ser erurut keempt titik terseut dlh D, W, Z d C. Liht gmr. Dikethui hw keempt idg AXPWD, XPQY, BYQZC, WPQZ mempuyi lus yg sm. BC 9, PQ 87, XY YB BC CZ WZ WD DA AX. Tetuk AB. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 987 Mislk jrk PQ dri XY dlh h mk jrk PQ dri WZ 9 h Mislk jug pjg XY WZ p h Lus XPQY Lus WPQZ ( ( 9 h PQ XY ( PQ WZ. Kre XY WZ mk h 9. 9 Lus XPQY ( 87 p ( XY YB BC CZ YB CZ p 9 WZ WD DA AX WD AX p 9 YB CZ WD AX p 8 AB AX YB XY AX YB p CD WD CZ p AB CD AB (p 8 p p 8 AB CD p 9 Lus ABCD (p 9 9 Lus XPQY Lus ABCD 9(87 p 9(p 9 p 06 AB p 9 (06 9 AB Ad erp yk tripel (,, sehigg KPK(, 000, KPK(, 000 d KPK(, 000? (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio d Mk A 5 P, B 5 R d C 5 T Mks (A, B, mks (A, C mks (B, C C Sedikity stu di tr A d B hrus. Jik A d B keduy hy d pilih Jik A d B tidk, mk d pilih yitu B 0, tu Jik B d A tidk, mk d pilih yitu A 0, tu Totl d 7 pilih Mks (P, R mks (P, T mks (R, T.: :. 06

107 Kumpul Sol d Peyelesi Sedikity du di tr P, R d T hrus Jik P, R d T ketigy erili mk hy d pilih Jik du di tr P, R, T erili d stu lgi erili 0 mk d pilih Jik du di tr P, R, T erili d stu lgi erili mk d pilih Jik du di tr P, R, T erili d stu lgi erili mk d pilih Totl d 0 pilih Byky memilih A, B, C, P, R d T d Byky tripel (,, yg memeuhi Tetuk ilg ult teresr sehigg ili k yg memeuhi pertidksm hy d stu. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio < 8 8k < 5 k < ( 5 k < < 7 7k k > ( k Mk < k < Agr ili k hy d kemugki mk Jik mk 96 < k < 98 Hy d stu ili k yitu k 97 Bilg teresr yg memeuhi dlh 8 5 < k < Tetuk ili teresr k sehigg merupk pejumlh k ilg sli erurut. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 987 Mislk k ilg-ilg terseut dlh,,,,,, k. k( ( ( k k( k ( ( ( L ( k k( k Kre > 0 mk k < k k < d k memgi Mk ili teresr k Mislk f( didefiisik kudrt dri pejumlh digit. Mislk jug f ( didefiisik f(f(, f ( didefiisik f(f(f( d seterusy. Tetuk f 988 (. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 988.: :. 07

108 Kumpul Sol d Peyelesi f( ( f ( 6 f ( ( 6 9 f ( ( 9 69 f 5 ( ( f 6 ( ( Mk f ( f 6 ( f 8 ( f 988 ( 69 f 988 ( Dierik log ( 8 log x 8 log ( log x, tetuk ( log x. (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 988 Mislk log x k 8 log log x log( log x 8 log log k log k log k log log k log k k 7 ( log x 7 8. Kedu puluh lim eleme pd persegi ukur 5 x 5 k diisi deg ilg ult positif sehigg pd msig-msig ris d kolom k memetuk ris ritmtik. Apkh ilg yg dieri td *? (Sumer : Ameri Ivittiol Mthemtis Exmitio 988.: :. 08