Metode Numerik Dichotomus

Transkripsi

1 Algoritma Prodi S1 Pendidikan Matematika UMT April 4, 016

2 Algoritma Algoritma

3 Algoritma adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menentukan nilai x yang meminimumkan suatu fungsi dari f (x). Metode Numerik ini analogi nya sama seperti metode numerik lainnya seperti GR, Fibonacci dan biseksi, namun tentu saja memiliki karakteristik tersendiri

4 Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut

5 Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan

6 Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan Tetapkan interval awal [a 1, b 1 ]. Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di atas

7 Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan Tetapkan interval awal [a 1, b 1 ]. Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di atas Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a

8 Algoritma Algoritma Dichotomus Algoritima Dichotomus adalah sebagai berikut Diberikan suatu fungsi yang memaks atau memin Z = F (x), dan akan ditentukan nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) tersebut Tetapkan konstanta ɛ > 0 dan jarak akhir l(lenght) > 0 yang diinginkan Tetapkan interval awal [a 1, b 1 ]. Pemilihan interval ini harus mengapit dari nilai x yang memaks atau memin Z = F (x) di atas Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a

9 Algoritma lanjutan Penentuan λ k dan µ k dilakukan dengan cara: λ k = a k+b k ɛ dan µ k = a k+b k + ɛ

10 Algoritma lanjutan Penentuan λ k dan µ k dilakukan dengan cara: λ k = a k+b k ɛ dan µ k = a k+b k + ɛ Kondisi 1 Jika F (λ k ) < F (µ k ), pilih a k+1 = a k dan b k+1 = µ k Kondisi Jika F (λ k ) > F (µ k ), pilih a k+1 = λ k dan b k+1 = b k

11 Algoritma lanjutan Penentuan λ k dan µ k dilakukan dengan cara: λ k = a k+b k ɛ dan µ k = a k+b k + ɛ Kondisi 1 Jika F (λ k ) < F (µ k ), pilih a k+1 = a k dan b k+1 = µ k Kondisi Jika F (λ k ) > F (µ k ), pilih a k+1 = λ k dan b k+1 = b k Iterasi berhenti ketika b k a k < l

12 Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5

13 Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5 λ 1 = dan µ 1 = , didapatkan λ 1 = 0.99 dan µ 1 = 1.01

14 Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5 λ 1 = dan µ 1 = , didapatkan λ 1 = 0.99 dan µ 1 = 1.01 F (λ 1 ) = > F (λ ) = , dengan demikian a = 0.99 dan b =

15 Algoritma Tentukan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 dengan selang awal [0, ], ɛ = 0.01 dan l = 0.1 Solusi Tentukan nilai n terkecil yang memenuhi pertidaksamaan ( 1 )n l b a = 1 0, didapatkan n = 5 λ 1 = dan µ 1 = , didapatkan λ 1 = 0.99 dan µ 1 = 1.01 F (λ 1 ) = > F (λ ) = , dengan demikian a = 0.99 dan b = b 1 a 1 = > 0.1 = l, iterasi dilanjutkan sampai terpenuhinya kondisi b k a k < l

16 Algoritma lanjutan Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini: a k b k λ k µ k F (λ k ) F (µ k )

17 Algoritma lanjutan Hasil perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini: a k b k λ k µ k F (λ k ) F (µ k ) Terlihat bahwa pada iterasi ke 6, b k a k < 0.1 = l dengan demikian iterasi berhenti dan nilai x yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 ada pada selang [1.375, ] dengan hampiran solusi x = dan nilai F (x ) =

18 Algoritma lanjutan Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 adalah x = 1.5 dengan F (x ) = Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah ɛ = = dengan eror nilai F (x ) terhadap F (x) adalah

19 Algoritma lanjutan Apabila solusi analitik dicari, maka nilai x asli yang yang meminimumkan fungsi F (x) = x 5x + 3 adalah x = 1.5 dengan F (x ) = Eror kesalahan nilai hampiran numerik adalah ɛ = = dengan eror nilai F (x ) terhadap F (x) adalah Tugas Tentukan nilai x yang meminimumkan F (x) = X 3 3X dengan selang awal [0, 4], ɛ = l = 0 + JumlahanNim. Kumpulkan Minggu depan.