DINAMIKA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR PADA PENULARAN PENYAKIT MALARIA OLEH PLASMODIUM FALCIPARUM DAN PLASMODIUM VIVAX SUGANDI PUTRA GINTING

Transkripsi

1 DINAMIKA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR PADA PENULARAN PENYAKIT MALARIA OLEH PLASMODIUM FALCIPARUM DAN PLASMODIUM VIVAX SUGANDI PUTRA GINTING DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

2 ABSTRACT SUGANDI PUTRA GINTING. Dynamic population of human and the vector in the infectious malaria disease through Plasmodium falciparum and Plasmodium vivax parasites. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO. Malaria is a disease that transmitted to human by the bitting of infectious Anopheles mosquitoes. This infectious desease caused by parasite genus Plasmodium. There are two species of the parasites studied here, that cause human malaria namely Plasmodium vivax and Plasmodium falciparum. The mathematical model in discribing the transmission of Plasmodium falciparum and Plasmodium vivax on human population is divided into four classes, the susceptible, the infectious, the dormant, and the recovered classes. Mosquitoes that caused malaria are called the vector. In this case, the vector population is divided into two classes, the susceptible and infectious classes. There are two equilibrium states, a disease free state E 0 and an endemic state E 1. The stability of E 0 and E 1 is determined by considering the basic reproductive number (R 0 ). The E 0 is stable if R 0 is less than one. On the other hand, the point E 1 was stable given the value of R 0 is greater than one. In this research the dynamic of human population and vector is discribed in to some ilustrative sample with 5% and 50% of the infected vector. It is found that, if R 0 < 1, with 5% infected vector could reach the stability faster than the 50% infected vector. For R 0 > 1, it was found that, 5% infected vector could reach the stability slower than the 50% infected vector. This research also showed that the interaction between susceptibles and infectious human has no effect in to the dynamic of the human population.

3 ABSTRAK SUGANDI PUTRA GINTING. Dinamika populasi manusia dan vektor pada penularan penyakit malaria oleh Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO. Malaria adalah penyakit yang ditularkan kepada manusia melalui gigitan nyamuk Anopheles. Malaria merupakan penyakit menular yang disebabkan oleh parasit genus Plasmodium. Terdapat dua jenis parasit yang menyebabkan penyakit malaria dalam studi ini, yaitu Plasmodium vivax dan Plasmodium falciparum. Model matematik untuk menggambarkan transmisi antara Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax dalam populasi manusia dibagi menjadi empat kelas yaitu kelas rentan, kelas tertular, kelas dorman, dan kelas pulih. Nyamuk penyebab malaria ini selanjutnya disebut vektor. Pada kasus ini akan dibedakan populasi vektor menjadi dua kelas yakni, kelas yang rentan terhadap infeksi dan kelas yang telah terinfeksi. Terdapat dua titik kesetimbangan tetap yaitu titik bebas penyakit (E 0 ) dan titik endemik (E 1 ). Kestabilan E 0 dan E 1 ditentukan oleh bilangan reproduksi dasar (R 0 ). Titik E 0 adalah stabil ketika R 0 < 1. Sebaliknya jika R 0 > 1, titik E 1 adalah stabil. Dalam karya tulis ini, dinamika populasi manusia dan vektor digambarkan dalam beberapa contoh ilustratif dengan banyaknya vektor yang terinfeksi sebesar 5% dan 50%. Berdasarkan simulasi ini, diperoleh hasil bahwa untuk R 1, populasi vektor terinfeksi 5% mencapai kestabilan lebih cepat daripada populasi vektor dengan terinfeksi 50%. Untuk R 1, populasi vektor terinfeksi 5% mencapai kestabilan lebih lambat daripada populasi vektor dengan terinfeksi 50%. Dalam penelitian ini juga ditunjukkan bahwa interaksi antara populasi rentan dengan yang terinfeksi tidak berpengaruh terhadap dinamika populasi manusia.

4 DINAMIKA POPULASI MANUSIA DAN VEKTOR PADA PENULARAN PENYAKIT MALARIA OLEH PLASMODIUM FALCIPARUM DAN PLASMODIUM VIVAX SUGANDI PUTRA GINTING Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

5 Judul : Dinamika populasi manusia dan vektor pada penularan penyakit malaria oleh Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax Nama : Sugandi Putra Ginting NRP : G Menyetujui Pembimbing I Pembimbing II Dr. Paian Sianturi Drs. Ali Kusnanto, M.Si NIP NIP Mengetahui Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP Tanggal Lulus:

6 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala berkat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada: 1. Keluargaku terkasih: Bapak dan mamak terkasih, yang telah memberikan kasih sayang, doa, didikan, serta dukungan baik secara moril dan materi, nasihat, dan motivasi yang sangat berharga bagi penulis. Kekelengenndu la erleka man bangku. Untuk kakak dan abangku, Kak Tua, Kak Susi, Bang Jefry terimakasih selalu memberikan semangat dan nasihat bagi penulis; 2. Dr. Paian Sianturi. selaku dosen pembimbing I, Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing II. Terimakasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. Semua ilmu yang Pak Paian dan Pak Ali berikan sangat bermanfaat bagi penulis. TERIMA KASIH; 3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku dosen penguji. Terimakasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis; 4. Semua dosen Departemen Matematika, terimakasih atas ilmu yang telah diberikani; 5. Ibu Susi, ibu Ade, bapak Yono, mas Bono, mas Heri, mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terimakasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika; 6. Teman-teman satu bimbingan: Kak Danu dan Ache terimakasih buat semangatnya; 7. Kakak kelas angkatan 42 dan 41 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 8. Teman-teman angkatan 43: Ratna yang baik, Emta, Narsih, Destya, Suci, Lia, Sophie, Resti yang udah nungguin, Margi, Agung, Fardan, Wira, Adhi, Nia, Arum, Ecka, Rias, Erni, Irsyad, Arif, Peli, Elly, Cici, Maria Herlina, Cupid, Vera, Rizky NS, Rizki SN, Nanu, Dandi, Zul, Andrew, Ucok, Kabil, Sabar, Lina, Handra, Mubarok, Faisol, Slamet, Razon, Nobo, Syahrul, Nidya. Terimakasih atas doa, dukungan dan semangatnya, terimakasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di Math 43; 9. Adik kelas angkatan 44 dan 45 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 10. Teman-teman Pengurus Permata dan , terimakasih buat doa dan semangatnya; 11. Teman-teman Permata yang telah memberikan semangat dan doa serta dukungan kepada penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini; 12. Bebere-bebereku : Andre, Rendy, Regina, Mima, dan Keke, terimakasih untuk canda tawanya; 13. Bang Edo, Kak Yanthi, beserta kedua bebere (Babang dan Dedek): terimakasih buat doa, semangat serta canda tawanya; 14. Teman-teman satu kosan yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 15. Friska Kembaren, terimakasih buat doa, support, dan semuanya. Aku mengasihindu; Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika. Bogor, Maret 2011 Sugandi Putra Ginting

7 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Berastagi (Medan-Sumatra Utara) pada tanggal 20 Juli 1987 sebagai anak bungsu dari empat bersaudara, anak dari Sofian Ginting dan Rosnana Pandia. Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Cintarakyat. Tahun 2003 penulis lulus dari SLTPN 1 Berastagi. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 1 Berastagi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Pada tahun 2007, penulis memilih dan masuk Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen (PMK) dan Agriaswara. Penulis aktif menjadi pengajar persiapan Ujian Akhir untuk SD, SMP dan SMA dan terakhir menjadi staf pengajar musik dan vokal di SMPN 1 Bogor.

8 vii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR TABEL... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan... 1 LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Linear Orde Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Titik Tetap Nilai Eigen dan Vektor Eigen Pelinearan Kestabilan Titik Tetap Kondisi Routh-Hurwitz Bilangan Reproduksi Dasar (R 0 )... 3 PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model Titik Tetap Titik Tetap tanpa Penyakit Titik Tetap Endemik Analisis Kestabilan Titik Tetap Kestabilan Titik Tetap tanpa Penyakit Kestabilan Titik Tetap Endemik Dinamika Populasi Penularan Malaria Dinamika Populasi untuk R 0 < Dinamika Populasi untuk R 0 > SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 15

9 viii DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Diagram model penularan penyakit malaria pada manusia (yang dibagi dalam empat kelas,,, dan ) dan populasi vektor (yang dibagi dalam dua kelas dan ). 4 2 Dinamika populasi s h, i h, d h, dan terhadap waktu t Dinamika populasi s h terhadap waktu t Dinamika populasi s h, i h, d h, dan i v terhadap waktu t Dinamika populasi s h terhadap waktu t Dinamika populasi s h, i h, d h, dan i v terhadap waktu t Dinamika populasi s h, i h, d h, dan i v terhadap waktu t Dinamika populasi s h terhadap waktu t Dinamika populasi s h, i h, d h, dan i v terhadap waktu t Dinamika populasi s h terhadap waktu t Dinamika populasi s h, i h, d h, dan i v terhadap waktu t Dinamika populasi s h, i h, d h, dan ketika vektor terinfeksi 5% untuk R 0 < Dinamika populasi s h, i h, d h, dan ketika vektor terinfeksi 50% untuk R 0 < Dinamika populasi s h, i h, d h, dan ketika vektor terinfeksi 5% untuk R 0 > Dinamika populasi s h, i h, d h, dan ketika vektor terinfeksi 50% untuk R 0 > DAFTAR TABEL Halaman 1 Kondisi Kestabilan Titik Tetap Simulasi terhadap R 0 < Simulasi terhadap R 0 > DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Pembuktian Teorema Pembuktian Teorema Penurunan Persamaan (3.7) (3.10) Mencari Titik Tetap Mencari Matriks Jacobi Persamaan Karakteristik tanpa Penyakit Pembuktian t 2.t 1 -t 0 > 0 untuk Tanpa Penyakit Mencari nilai w 3, w 2, w 1,dan w 0 untuk Persamaan Karakteristik Endemik Pembuktian w 3.w 2.w 1 >. dan w3, w1,dan w0 > 0 untuk Endemik Nilai Eigen Titik Tetap Bebas Endemik Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R 0 = Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi s h Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R 0 = Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi s h Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R 0 =

10 16 Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R 0 = Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi s h Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R 0 = Program Mathematica 7 untuk Gambar Simulasi Populasi s h Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika Populasi untuk R 0 = Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 5% untuk R 0 < Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 50% untuk R 0 < Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 5% untuk R 0 > Program Mathematica 7 untuk Gambar Dinamika populasi ketika vektor awal terinfeksi 50% untuk R 0 >

11 1.1 Latar Belakang Malaria telah diketahui sejak dahulu kala dan demam dikenal sebagai tanda orang yang akan terjangkit penyakit ini. Hal ini ditulis dalam sejarah tulisan Mesir kuno yang mengemukakan bahwa penyakit malaria disebabkan oleh parasit dari genus Plasmodium yang dapat ditemukan pada burung, mamalia dan kadal, dimana proses penularannya melalui gigitan nyamuk Anopheles. Protozoa parasit jenis ini banyak sekali tersebar di wilayah tropik, misalnya di Amerika, Asia dan Afrika. Terdapat empat jenis parasit malaria yaitu, Plasmodium vivax, Plasmodium falciparum, Plasmodium ovale, dan Plasmodium malariae dan lebih dari 3 ratus juta kasus malaria per tahun dengan 1 sampai 1,5 juta kasus kematian setiap tahunnya (kebanyakan terjadi pada anakanak). Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu model SIDRS (Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible) dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Terdapat 247 juta kasus malaria di dunia dan lebih dari satu juta kasus kematian setiap tahunnya (WHO, 2010). Pada kasus ini akan dibahas mengenai penyebaran penyakit malaria di Thailand. Malaria di Thailand ditemukan di sepanjang perbatasan Burma, Kamboja, dan Malaysia. Infeksi yang timbul dari Plasmodium falciparum, Plasmodium vivax dan Plasmodium malariae masing-masing berkembang menjadi 50-60%, 40-50% dan kurang dari 1%. Sedangkan Plasmodium ovale tidak ditemukan di Thailand. Di antara ketiga masalah malaria di atas yang menjadi permasalahan yang sangat besar ditemukan pada kasus Plasmodium vivax. Pada tahun 1994 ditemukan kasus malaria dan di antaranya merupakan kasus malaria yang diakibatkan oleh Plasmodium vivax. Parasit malaria memiliki siklus kehidupan ganda yang sangat rumit, yaitu siklus reproduksi seksual terjadi pada tubuh nyamuk sendiri sedangkan reproduksi aseksualnya terjadi pada manusia. Pada reproduksi aseksual, terdapat I PENDAHULUAN tahapan yang disebut tahap berenang bebas yakni tahap sporozoite. Parasit malaria dalam tahap ini akan diinfeksikan ke dalam aliran darah manusia melalui kulit manusia oleh nyamuk. Sporozoite ini akhirnya memasuki sel darah merah manusia, dimana bentuk awalnya ialah seperti cincin dan seperti bentuk amuba sebelum terjadi tahap pembelahan yang akan menjadi bentuk yang lebih kecil yang disebut merozoite. Sel darah merah yang mengandung merozoite ini kemudian akan pecah dan melepaskan merozoite tersebut ke dalam aliran darah. Pada tahap ini penderita akan menggigil dan demam yang merupakan ciri khas dari penyakit malaria. Merozoite-merozoite ini akan menginfeksi sel-sel darah merah yang lain dan membangun siklus yang berulang. Lebih dari dua milyar orang atau total 41% dari populasi dunia tinggal di daerah dimana malaria ditularkan secara teratur (misalnya, bagia Afrika, Timur Tengah, Amerika Selatan, Hispania dan Oseania) dan ada sekitar 1,5-2,7 juta orang yang meninggal akibat malaria setiap tahun. Perkembangan Plasmodium vivax berbeda dengan Plasmodium falciparum yakni seseorang yang menderita Plasmodium falciparum akan sembuh dari kesehatan yang paling buruk (jika tidak meninggal), namun seorang yang terinfeksi Plasmodium vivax tidak akan meninggal namun akan tetap menderita kambuh. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah : 1. Mempelajari model matematika dari sistem penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. 2. Menganalisis titik tetap yang diperoleh. 3. Melakukan simulasi terhadap model yang diberikan sehingga terlihat parameter yang mempengaruhi populasi. 4. Menganalisis perilaku solusi model.

12 2 II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Linear Orde 1 Suatu persamaan yang dinyatakan sebagai g, 2.1 disebut persamaan diferensial (PD) linear orde 1. Jika g(t) = 0, PD disebut PD homogen dan jika g(t) 0, PD disebut PD linear tak homogen. (Tu 1994) 2.2 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Suatu persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai, 2.2 dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD mandiri (autonomous) bilamana tidak memuat waktu (t) secara eksplisit di dalamnya. (Tu 1994) 2.3 Titik Tetap Diberikan SPD, Titik disebut titik tetap jika f (x * ) = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. Untuk selanjutnya akan digunakan istilah titik tetap. (Tu 1994) 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran n x n, dengan SPD homogen berikut,0 =, (2.3) Suatu vektor tak nol x dalam ruang disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar λ berlaku Ax = λx (2.4) Nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai λ dari matriks A, maka persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai ( A- λi )x = 0 (2.5) dengan I matriks identitas. Persamaan (2.5) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika p(λ) = det( A- λi ) = A- λi = 0 (2.6) Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik dari matriks A. (Anton 1995) 2.5 Pelinearan Misalkan x = f ( x, y) y = g( x, y) * * andaikan ( x, y ) adalah titik tetap dari * * persamaan di atas, maka f ( x, y ) = 0 dan * * g( x, y ) = 0. * * Misalkan u = x x dan v = y y maka didapatkan u = x * * = f( x + u, y + v) * * f f 2 2 = f ( x, y ) + u + v +Ο( u, v, uv) x y f f 2 2 = u + v +Ο( u, v, uv) x y v= y * * = gx ( + uy, + v) * * g g 2 2 = g( x, y ) + u + v +Ο( u, v, uv) x y g g 2 2 = u + v +Ο( u, v, uv). x y Dalam bentuk matriks f f u x y u 2 2 = +Ο ( u + v + uv). v g g v x y f f x y Matriks A = disebut matriks g g x y * * ( x, y ) * * Jacobi pada titik tetap ( x, y ). Karena 2 2 Ο ( u + v + uv) 0 maka dapat diabaikan, sehingga didapat persamaan linear f f u x y u =. (2.7) v g g v x y (Strogatz 1994)

13 3 2.6 Kestabilan Titik tetap Diberikan SPD sebarang,. (2.8) Tentukan titik tetap yang memenuhi f 0. Penentuan kestabilan titik tetap didapat dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu : λ i dimana i = 1,2,,n yang diperoleh dari persamaan karakteristik (2.5). Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku : 1. Stabil, jika : a. Re( λ i ) < 0 untuk setiap i, atau b. Terdapat Re ( λ j ) = 0 untuk sebarang j dan Re(λ i ) < 0 untuk setiap i j. 2. Tak Stabil, jika terdapat paling sedikit satu i dimana Re(λ i ) > Sadel, jika perkalian dua buah nilai eigen sembarang adalah negatif (λ i λ j < 0 untuk i dan j sembarang). (Tu 1994) 2.7 Kondisi Routh Hurwitz Misalkan a 1, a 2,, a k bilangan-bilangan real, a j = 0 jika j > k. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik p(λ) = λ k +a 1 λ k a k-2 λ 2 + a k-1 λ 1 + a k = 0 mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks i x i, untuk setiap i = 1,2,,k, determinan dari matriks i x i, 1 M = 0 adalah positif Sehingga menurut kondisi Routh-Hurwitz, untuk suatu k, k = 2, 3, 4 disebutkan bahwa titik tetap stabil jika dan hanya jika (untuk k = 2, 3, 4), k = 2; a 1 > 0, a 2 > 0, k = 3; a 1 > 0, a 3 > 0, a 1 a 2 > a 3, k = 4; a 1 > 0, a 3 > 0, a 4 > 0, a 1 a 2 a 3 > a 3 2 +a 1 2 a 4. Untuk kasus k = 3 dan k = 4, kondisi Routh- Hurwitz disajikan pada teorema 1 dan 2 berikut. Teorema 1 Misalkan A, B, C bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ 3 +A λ 2 + Bλ + C = 0 (2.9) adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0 dan AB > C. Teorema 2 Misalkan A,B,C dan D bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ 4 +A λ 3 + Bλ 2 + Cλ + D = 0 (2.10) adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0, D > 0 dan ABC > C 2 +A 2 D. (Tu 1994) 2.8 Bilangan reproduksi Dasar ( R 0 ) Bilangan Reproduksi Dasar ditulis R 0 adalah nilai harapan dari kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi/menular. Kondisi yang timbul adalah : 1. Jika R 0 < 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari satu individu baru dan penyakit tidak akan berkembang. 2. Jika R 0 > 1, maka setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu individu baru, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah. (Deriessche dan Watmough 2005 )

14 III PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Model Model yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah model SIDRS (Susceptible Infected Dormant Removed Susceptible) dari penularan penyakit malaria dalam suatu populasi. Dalam model ini terdapat tiga populasi yang berbeda yaitu rentan S(t), terinfeksi I(t), dan sembuh R(t). S(t) digunakan untuk mewakili jumlah orang yang belum terinfeksi oleh penyakit pada waktu t, atau mereka yang rentan terhadap penyakit. I(t) menunjukkan jumlah individu yang telah terinfeksi oleh penyakit dan mampu menyebarkan penyakit kepada mereka yang masuk dalam kategori rentan. R(t) digunakan untuk menunjukkan banyaknya orang-orang yang telah terinfeksi dan kemudian pulih dari penyakit. Secara skematik, diagram alur model SIDRS pada penularan penyakit malaria dalam suatu populasi ditunjukkan pada diagram kompartemen di bawah (Gambar 1). Misalkan jumlah populasi pada waktu t dinyatakan dengan N = N h (t). Populasi ini dibagi menjadi empat kelas yaitu populasi rentan S = (t), populasi terinfeksi I = (t), populasi yang dorman D = (t) dan populasi yang sembuh R = (t). Total populasi dinyatakan dengan N h = Individu yang lahir digolongkan ke kelas rentan ( ) dengan laju kelahiran sebesar C. Individu yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan laju kematian sebesar, atau masuk ke kelas terinfeksi ( ) karena terjangkit plasmodium falciparum ( ) dan plasmodium vivax ( ). Laju penularan individu dari kelas rentan ( ) ke kelas Dorman ( ) karena terjangkit plasmodium vivax namun tidak terlihat gejala sebesar. Selanjutnya individu yang berada di kelas terinfeksi akan mati dengan laju kematian sebesar, atau sembuh dan masuk ke kelas rentan karena tidak adanya sistem kekebalan tubuh dengan laju atau sembuh dengan laju penyembuhan sebesar sehingga dimasukkan ke kelas sembuh ( ). Kemudian individu di kelas sembuh akan mati dengan laju kematian sebesar, atau menjadi rentan kembali karena sistem kekebalan tubuh dapat hilang sehingga kembali masuk ke kelas rentan dengan laju hilangnya kekebalan tubuh sebesar. Individu yang berada pada kelas Dorman ( ) akan mengalami kematian dengan laju atau sewaktu-waktu dapat kehilangan kekebalan tubuh dan masuk ke kelas terinfeksi dengan laju r 3 atau sembuh namun kehilangan kekebalan tubuh dengan laju r 4 dan menjadi rentan kembali sehingga siap untuk terinfeksi. A µ v μ v r r N h r r αr 2 r 3 μ h μ h μ h μ h r 4 r 5 Gambar 1 Diagram model penularan penyakit malaria pada manusia (yang dibagi dalam empat kelas,,, dan ) dan populasi vektor (yang dibagi dalam dua kelas dan ) Selain itu, pada diagram kompartemen di atas (Gambar 1) terdapat diagram alur yang menjelaskan populasi vektor yang membawa virus malaria. Diagram ini akan menunjukkan 2

15 5 kelas yang berbeda yakni kelas rentan S = (t) yakni ditujukan kepada populasi vektor yang masih steril dari virus malaria dan kelas infeksi I = (t) yaitu ditujukan kepada vektor yang sudah terinfeksi oleh virus malaria. Total populasi vektor dinyatakan dengan N V = +. Vektor yang lahir digolongkan ke dalam populasi rentan ( ) dengan laju kelahiran A. Vektor yang berada di kelas rentan akan mengalami kematian dengan laju μ v, atau masuk ke kelas terinfeksi ( ) dengan laju. Selanjutnya vektor yang berada pada kelas terinfeksi akan mengalami kematian dengan laju μ v. Laju perubahan populasi manusia atau vektor pada suatu kelas ialah jumlah manusia atau vektor yang masuk dalam kelas tersebut dikurangi dengan jumlah manusia atau vektor yang meninggalkan kelas tersebut. Penjelasan di atas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan-persamaan berikut: I h A di mana µ h adalah laju kematian populasi µ v adalah laju kematian vektor adalah laju penularan P.falciparum dari nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.vivax dari nyamuk ke tubuh manusia adalah laju penularan P.falciparum dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk adalah laju penularan P.vivax dari tubuh manusia ke tubuh nyamuk adalah laju kelahiran populasi N h α adalah total banyaknya populasi adalah rasio dorman manusia yang terinfeksi adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.falciparum adalah tingkat dimana seseorang terinfeksi P.vivax adalah tingkat dimana manusia tidak aktif namun akan kambuh kembali adalah laju pemulihan manusia yang dorman oleh P.vivax adalah tingkat pemulihan manusia dan akan menjadi manusia yang rentan adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.falciparum adalah laju pemulihan manusia dari infeksi P.vivax (t) adalah banyaknya vektor rentan (t) adalah banyaknya vektor menular Selanjutnya untuk mempermudah dalam menganalisis, normalkan atau sederhanakan persamaan (3.1)-(3.6) dengan mendefinisikan variabel baru:.,,,, akhirnya diperoleh persamaan: t 1 1 (3.7) (3.8) (t) (3.9) (t) + 1 (3.10)

16 6 dengan kondisi s h +i h +d h +r h =1 dan s v +i v =1, dan,, Selanjutnya akan dicari titik tetap untuk persamaan (3.7), (3.8), (3.9), dan (3.10) yang kemudian akan dianalisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya. 3.2 Titik Tetap Analisis titik tetap pada SPD sering digunakan untuk menentukan suatu solusi konstan. Titik tetap dari persamaan akan diperoleh dengan menetapkan s h(t) = 0, i h(t)= 0, d h(t) = 0 dan i v (t) 0 sehingga diperoleh persamaanpersamaan di bawah ini: 1 1 ) (i) (ii) (iii) (iv) Dengan menyelesaikan keempat persamaan di atas secara serentak akan diperoleh dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. 3.3 Titik Tetap tanpa Penyakit Titik tetap tanpa penyakit merupakan kondisi dimana semua individu sehat dan tetap sehat tiap waktu dengan kata lain tidak terdapat penyakit. Titik tetap ini diperoleh ketika banyaknya vektor yang terinfeksi sama dengan nol ( 0) yang didapat dari persamaan (iv), kemudian 0 disubstitusi ke persamaan (i), (ii), dan (iii) maka akan diperoleh nilai,, dan sehingga diperoleh titik tetap dari persamaan-persamaan (3.7), (3.8), (3.9), dan (3.10) yaitu 1,0,0, Titik Tetap Endemik Pada titik tetap endemik akan menghasilkan solusi nontrivial. Di sini titik tetap endemik merupakan kondisi dimana penyakit masih terdapat di dalam populasi vektor dan manusia. Dari persamaan (19), (20), (21), dan (22) diperoleh titik tetap endemik E 1 = (s h *,i h *,d h *,i v *) dengan s h * = i h * = d h * = i v * = 3.5. Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan persamaan (3.7)-(3.10) dituliskan sebagai berikut : s h(t) = A(s h, i h, d h, i v ) i h(t) = B(s h, i h, d h, i v ) d h(t)= C(s h, i h, d h, i v ) i v(t) = D(s h, i h, d h, i v ) Dari persamaan di atas dapat diperoleh matriks Jacobi. J 0 = = dengan, J = { } untuk I = 1, 2, 3, 4 dan j =1, 2, 3, Kestabilan Titik Tetap tanpa Penyakit Pelinearan pada titik tetap akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: J 0 = dengan μ 0 μ

17 7 0 μ μ Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det J 0. Persamaan karakteristik dari J adalah (+µ + ) ( t t t ) = 0 sehingga diperoleh salah satu nilai eigen dari J yaitu = µ r dan nilai eigen yang lainnya diperoleh dari akar polinomial dimana, t 2 = 2μ μ t 1 = μ μ μ 2μ r r r r 1 α r r r r r r r r t 0 = μ 1 μ μ r r 1 α r r r r r r r dengan, R 0 = (*) Karena semua parameter yang terlibat positif maka t 0, 0, dan t 0 sehingga kestabilan di titik bergantung pada nilai. Kondisi 0 akan terpenuhi ketika R 0 < 1 maka titik tetap stabil dan sebaliknya kondisi 0 tidak dipenuhi ketika R 0 > 1 maka titik tetap sadel. Kondisi stabil yang dipenuhi ketika R 0 < 1 dimana R 0 merupakan bilangan reproduksi dasar virus dalam populasi, sehingga ketika 1 merupakan kondisi stabil asimtotik karena virus malaria tidak dapat bertahan dalam populasi. Sebaliknya, ketika 1 merupakan kondisi tidak stabil karena virus malaria dapat bertahan dan meningkat dalam populasi. Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz, titik E 0 stabil Kestabilan Titik Tetap Endemik Pelinearan pada titik tetap akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: J 1 = dengan μ = 0 μ Untuk memperoleh nilai eigen digunakan persamaan karakteristik det J 0. Persamaan karakteristik dari J adalah w w w w 0 dan nilai eigennya diperoleh dari akar polinomial p( λ ) = λ 4 +w 3 λ 3 + w 2 λ 2 + w 1 λ + w 0 = 0. Karena semua parameter yang terlibat positif maka w 0, 0, 0 dan dengan menggunakan software Mathematica dibuktikan w sehingga menurut Routh-Hurwitz, titik stabil. Berikut ini adalah tabel kondisi kestabilan dari kedua titik tetap yang diperoleh. Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap. Kondisi 1 Simpul stabil Spiral Tidak stabil 1 Sadel Spiral stabil Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa kondisi kestabilan dari titik tetap yang diperoleh saling bertentangan. Ketika titik tetap yang pertama stabil, titik tetap yang kedua tidak stabil dan ketika titik tetap yang pertama tidak stabil, titik tetap yang kedua stabil.

18 8 3.6 Dinamika Populasi Penularan Malaria Untuk mengamati pengaruh masuknya virus malaria ke dalam populasi manusia maupun vektor pada waktu tertentu maka diperlukan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi dengan variabel waktu. Hal ini membutuhkan nilai awal untuk semua parameter dan variabel. Pada proses penggambarannya diambil nilai awal populasi nyamuk atau vektor yang terinfeksi adalah 5% dari total populasi nyamuk. Dalam karya ilmiah ini dianalisis dinamika populasi untuk dua kondisi yaitu 1 di mana populasi akan stabil karena penyakit hilang dari populasi dan 1 di mana penyakit bertahan dalam populasi dan meningkat menjadi wabah Dinamika Populasi untuk 1 Proses penggambarannya dengan menggunakan Mathematica 7 yang dievaluasi ketika ditetapkan μ h = per hari yang sesuai dengan harapan hidup yang sesungguhnya dari 65 tahun untuk manusia, dan μ V = 1/30, yang sesuai dengan harapan hidup dari 30 hari untuk nyamuk Anopheles. Nilainilai = 1/20 per hari dan = 1/14 per hari, sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang manusia yang terinfeksi dengan P. falciparum dan P.vivax untuk meninggalkan kelas terinfeksi dan menjadi rentan kembali, yaitu 20 hari untuk P. falciparum dan 14 hari untuk P. vivax. Nilai-nilai = 1/365 per hari, = 1/(2*365) per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang yang terinfeksi P.vivax untuk meninggalkan kelas dorman, yaitu 1 tahun untuk memasuki kelas yang terinfeksi, dan 2 tahun untuk memasuki kelas rentan. Nilai =1/(3*365) per hari sesuai dengan 3 tahun bagi orang-orang yang terinfeksi dengan P.vivax akan kehilangan sistem imun. Nilai-nilai = 1 / 30 per hari, = 1 / 25 per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang-orang yang terinfeksi P.falciparum dan P.vivax untuk pulih, yakni 30 hari untuk P.falciparum dan 25 hari untuk P.vivax, α = Untuk mendapatkan titik tetap pada keadaan bebas penyakit yang stabil lokal, kita menetapkan masing-masing,,, sama dengan 0.025, 0.024, 0.03 dan Untuk nilai 1 dilakukan analisis untuk tiga kondisi yang berbeda dengan mengubah nilai (laju kematian vektor) dan α (rasio dorman manusia yang terinfeksi) seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut. Tabel 2 Simulasi terhadap Ro < 1. μ v a.. Kondisi dipenuhi ketika = dan α = Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, 1.0 s h i h d h i v Waktu Gambar 2 Dinamika populasi,., dan terhadap waktu t. Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi S h terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan Gambar 3 Waktu Dinamika populasi s h terhadap waktu t. = = = = = = 0.075

19 9 b.. Kondisi dipenuhi ketika rasio jumlah manusia yang terinfeksi virus tetap dengan α = 0.65 dan laju kematian murni pada vektor dinaikkan menjadi 0.2 sehingga diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, s h i h d h i v 1.0 s h i h d h i v Waktu Waktu Gambar 4 Dinamika populasi,., dan terhadap waktu t. Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi S h terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan. = = = = = = Waktu Gambar 5 Dinamika populasi s h terhadap waktu t. c.. Kondisi dipenuhi ketika rasio jumlah manusia yang terinfeksi virus diturunkan menjadi α = dan laju kematian murni pada vektor tetap sehingga diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, Gambar 6 Dinamika populasi,., dan terhadap waktu t. Pada Gambar 2, Gambar 4 dan Gambar 6 dapat dilihat bahwa kurva S h stabil naik menuju satu, namun pada kurva I h stabil turun menuju ke nol. Hal ini berarti bahwa banyaknya manusia yang terinfeksi akan mengurangi banyaknya manusia yang rentan karena total populasi dianggap konstan. Penurunan pada kurva mengakibatkan penurunan pada kurva I h, hal ini dikarenakan semakin sedikit jumlah nyamuk yang terinfeksi sehingga jumlah manusia yang terinfeksi pun semakin sedikit. Pada kurva D h dapat kita lihat awalnya mengalami sedikit kenaikan dan kemudian stabil turun menuju kepunahan. Hal ini berarti semakin sedikit jumlah nyamuk yang terinfeksi sehingga jumlah manusia yang dorman pun semakin sedikit. Pada Gambar 2, Gambar 4 dan Gambar 6 dilakukan simulasi dengan mengubah nilai parameter dan α. Jika nilai semakin besar maka jumlah manusia yang rentan akan semakin besar dan jika nilai semakin kecil maka akan terjadi penurunan pada jumlah manusia rentan. Jika nilai α semakin besar maka jumlah manusia rentan akan semakin kecil. Gambar 3 dan Gambar 5 menunjukkan hubungan populasi S h terhadap waktu t. Ketiga kurva di atas dibandingkan berdasarkan nilai dan yang berbeda yaitu = dan = 0.024, = dan = 0.056, = dan = Dari kurva di atas dapat dilihat bahwa manusia yang rentan mengalami terus penaikan yang tajam menuju satu yang artinya menuju kestabilan. Semakin besar nilai dan, kurva akan mengalami penaikan yang datar, artinya laju manusia yang rentan

20 10 ketika = dan = lebih kecil dari laju manusia rentan ketika = dan = dan laju manusia rentan ketika = dan = lebih kecil dari laju manusia rentan ketika = 0.025, = dan = 0.045, = Ini berarti bahwa ketika laju penularan Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax dari nyamuk ke tubuh manusia meningkat dan mengakibatkan banyaknya manusia yang rentan menurun Dinamika Populasi untuk 1 Proses penggambarannya dengan menggunakan Mathematica 7 yang dievaluasi ketika ditetapkan μ h = per hari yang sesuai dengan harapan hidup yang sesungguhnya dari 65 tahun untuk manusia, dan μ V = 1/120, yang sesuai dengan harapan hidup dari 30 hari untuk nyamuk Anopheles. Nilainilai = 1/20 per hari dan = 1/14 per hari, sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang manusia yang terinfeksi dengan P. falciparum dan P.vivax untuk meninggalkan kelas terinfeksi dan menjadi rentan kembali, yaitu 20 hari untuk P. falciparum dan 14 hari untuk P. vivax. Nilai-nilai = 1/365 per hari, = 1/(2*365) per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang yang terinfeksi P.vivax untuk meninggalkan kelas dorman, yaitu 1 tahun untuk memasuki kelas yang terinfeksi, dan 2 tahun untuk memasuki kelas rentan. Nilai =1/(3*365) per hari sesuai dengan 3 tahun bagi orang-orang yang terinfeksi dengan P.vivax akan kehilangan sistem imun. Nilai-nilai = 1 / 30 per hari, = 1 / 25 per hari sesuai dengan waktu yang dibutuhkan orang-orang yang terinfeksi P.falciparum dan P.vivax untuk pulih, yakni 30 hari untuk P.falciparum dan 25 hari untuk P.vivax, α = Untuk mendapatkan titik tetap pada keadaan endemik yang stabil lokal, kita menetapkan masingmasing,,, sama dengan 0.14, 0.1, 0.15 dan 0.1. Untuk nilai 1 dilakukan analisis untuk tiga kondisi yang berbeda dengan mengubah nilai (laju kematian vektor) dan α (rasio dorman manusia yang terinfeksi) seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut. Tabel 3 Simulasi terhadap Ro > μ v a.. Kondisi dipenuhi ketika = dan α = Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, s h i h d h i v Waktu Gambar 7 Dinamika populasi,., dan terhadap waktu t. Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi S h terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan Waktu = 0.14 = 0.1 = 0.25 = 0.22 = 0.56 = 0.44 Gambar 8 Dinamika populasi s h terhadap waktu t.

21 11 b.. Kondisi dipenuhi ketika = dan α = Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, 1.0 s h i h d h i v s h i h d h i v Waktu Gambar 9 Dinamika populasi,., dan terhadap waktu t. Pada gambar di bawah ini akan dilakukan simulasi populasi S h terhadap waktu t dengan mengubah nilai parameter dan Waktu = 0.14 = 0.1 = 0.25 = 0.22 = 0.56 = 0.44 Gambar 10 Dinamika populasi s h terhadap waktu t. c.. Kondisi dipenuhi ketika = dan α = Dengan menggunakan nilai parameter yang telah ditetapkan, diperoleh gambar dinamika populasi di bawah ini, Waktu Gambar 11 Dinamika populasi,., dan terhadap waktu t. Gambar 7, Gambar 9 dan Gambar 11 menunjukkan hubungan antara S h, I h, D h, dan terhadap waktu t. Kurva S h terus menurun menjauhi satu dan kurva I h dan D h naik menjauhi nol serta kurva terus naik mendekati satu dan turun kembali namun bertahan pada titik kesetimbangannya, ini menunjukkan bahwa kurva S h, I h, D h, dan menjauhi 1,0,0,0 yang menandakan bahwa titik tetap tanpa penyakit tidak stabil pada 1 sedangkan titik tetap endemik menjadi stabil di mana keempat kurva dapat dilihat menuju kestabilan titik tetap. Ini menunjukkan kondisi ketika penyakit dapat bertahan pada populasi. Gambar 8 dan Gambar 10 merupakan dinamika populasi S h terhadap waktu t. Ketiga kurva tersebut dibandingkan berdasarkan nilai nilai dan yang berbeda yaitu 0.14 dan 0.1, 0.25 dan 0,22, 0.56 dan 0.44 Semakin besar nilai, kurva terlihat semakin signifikan ke bawah sebelum kemudian menuju kestabilan. Laju manusia yang rentan ketika 0.25 dan 0.22 lebih kecil dari laju manusia rentan ketika 0.14 dan 0.1 dan laju manusia rentan ketika 0.56 dan 0.44 lebih kecil dari laju manusia rentan ketika 0.14 dan 0.1 dan 0.25 dan Ini berarti bahwa semakin besar laju penularan Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax dari nyamuk ke tubuh manusia dan maka laju manusia yang rentan semakin kecil. Berikut akan dibandingkan ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 5% dengan ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 50%. Ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi

22 12 5% dari total populasi nyamuk maka populasi manusia yang rentan adalah 100% dari total populasi manusia 0 1, sehingga kondisi awal lainnya 0 0 dan 0 0. Ketika populasi awal nyamuk yang terinfeksi 50% dari total populasi nyamuk maka populasi manusia yang rentan adalah 100% dari total populasi manusia 0 1 sehingga kondisi awal yang lainnya 0 0 dan 0 0. Berikut akan dibandingkan dinamika populasi dan pengaruhnya terhadap populasi manusia ketika populasi awal vektor yang terinfeksi 5% dan 50% dari total populasi vektor untuk R 0 < 1 dan R 0 > s h i h d h i v 1.0 s h i h d h i v Waktu Gambar 12 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 5% terhadap waktu t untuk R 0 < Waktu Gambar 13 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 50% terhadap waktu t untuk R 0 < s h i h d h i v s h i h d h i v Waktu Gambar 14 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 5% terhadap waktu t untuk R 0 > 1. Pada Gambar 12 dan Gambar 13 dapat dilihat bahwa kurva nyamuk yang terinfeksi 5% lebih curam dibandingkan 50%. Hal ini dikarenakan nyamuk yang terinfeksi 50% lebih banyak menginfeksi manusia dibandingkan 5%. Sehingga pada kurva infeksi 50% garis kurva manusia rentan lebih datar dibanding pada kurva infeksi 5% yang cenderung lebih tajam kenaikannya. Dengan kata lain banyaknya nyamuk yang terinfeksi mempengaruhi jumlah manusia yang terinfeksi atau tertular. Semakin Waktu Gambar 15 Dinamika populasi ketika vektor terinfeksi 50% terhadap waktu t untuk R 0 > 1. banyak nyamuk yang terinfeksi semakin banyak pula manusia yang terinfeksi. Berbeda halnya pada Gambar 14 dan Gambar 15 dapat dilihat bahwa kurva nyamuk yang terinfeksi 50% lebih curam dibandingkan 5%. Peningkatan banyaknya manusia yang terinfeksi lebih cepat terjadi pada nyamuk yang terinfeksi 50%. Hal ini dikarenakan nyamuk yang terinfeksi 50% lebih banyak menginfeksi manusia dibandingkan 5%.

23 IV SIMPULAN Dalam tulisan ini telah dipelajari model matematika dari penularan penyakit malaria untuk Plasmodium falciparum dan Plasmodium vivax. Dari model tersebut dihasilkan dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Terdapat dua titik kesetimbangan tetap yaitu titik bebas penyakit (E 0 ) dan titik endemik (E 1 ). Kestabilan E 0 dan E 1 ditentukan oleh rumusan yang disebut bilangan reproduksi dasar (R 0 ). Titik E 0 adalah stabil ketika R 0 kurang dari satu. Sebaliknya jika R 0 lebih besar dari satu, titik E 1 adalah stabil. Dari grafik bidang solusi dapat dilihat bahwa ketika nilai laju penularan virus dari tubuh nyamuk ke tubuh manusia diperbesar mengakibatkan laju manusia rentan semakin kecil. Semakin banyak nyamuk yang terinfeksi semakin sedikit manusia yang rentan. Ketika laju kematian nyamuk semakin besar maka jumlah populasi manusia rentan akan semakin besar, demikian sebaliknya jika laju kematian nyamuk semakin kecil maka populasi manusia rentan akan semakin kecil. Banyaknya populasi awal nyamuk yang terkena virus sangat berpengaruh ke dalam populasi manusia, khususnya manusia rentan. Semakin banyak populasi awal nyamuk yang terkena virus maka populasi manusia rentan akan semakin cepat berkurang, demikian sebaliknya. Dalam karya tulis ini, dinamika populasi manusia dan vektor digambarkan dalam beberapa contoh ilustratif dengan banyaknya vektor yang terinfeksi sebesar 5% dan 50%. Diperoleh hasil bahwa untuk 1, populasi vektor yang dengan terinfeksi 5% mencapai kestabilan lebih cepat daripada populasi vektor dengan terinfeksi 50%. Untuk 1, terjadi situasi yang berkebalikan. Dalam penelitian ini juga ditunjukkan bahwa interaksi antara manusia yang rentan dengan manusia terinfeksi tidak berpengaruh terhadap dinamika populasi manusia.

24 DAFTAR PUSTAKA Anton, H Aljabar Linear Elementer (Edisi ke-5). Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Driessche, PVD dan Watmough, J Reproduction Number and Sub-Threshold Endemic Equilibria for Compartemental Model of Disease Transmission. Math. Biosci : 1-21 Pongsumpan P dan Tang I.M. Mathematical Model of Plasmodium Vivax and Plasmodium Falciparum Malaria. Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, (2009), pp Strogatz, SH Nonlinear Dynamics and Chaos, With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusete. TU PNV Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer-Verlag. Heidelberg, Germany. WHO Malaria. mediacentre/ diakses pada tanggal 31 Januari 2010.

25 L A M P I R A N

26 15 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 1 Teorema 1. Misalkan A, B, C bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ 3 +A λ 2 + Bλ + C = 0 adalah negatif jika dan hanya jika A, C, positif dan AB > C. Bukti : Dari persamaan p( λ ) = λ 3 +A λ 2 + Bλ + C, maka a 0 = 1, a 1 = A, a 2 = B, a 3 = C dan a i = 0 jika i selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar polynomial p( λ ) = λ 3 +A λ 2 + Bλ + C adalah negatif jika dan hanya jika M 1. M 2. M 3 positif, dimana : M 1 = a 1 = A = A > 0 (1) M 2 = 1 = = AB C > 0 (2) M 3 = 1 0 = 1 0 = ABC C 2 > 0 (3) 0 0 Dari (1) maka diperoleh A > 0 Dari (2) maka diperoleh AB C > 0 Dari (3) maka diperoleh ABC C 2 > 0 yang dapat diubah dalam bentuk C (AB C) > 0, sehingga dari (2) diperoleh nilai C > 0. Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polynomial p( λ ) = λ 3 +A λ 2 + Bλ + C adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0 serta AB > C. Terbukti Lampiran 2 Pembuktian Teorema 2 Teorema 2. Misalkan A, B, C dan D bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik p( λ ) = λ 4 +A λ 3 + Bλ 2 + Cλ + D = 0 adalah negatif jika dan hanya jika A, C dan D positif dan ABC > C 2 + A 2 D. Bukti : Dari persamaan p( λ ) = λ 4 +A λ 3 + Bλ 2 + Cλ + D, maka a 0 = 1, a 1 = A, a 2 = B, a 3 = C, a 4 = D dan a i = 0 jika i selainnya. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, maka bagian real dari setiap akar polinomial p( λ ) = λ 4 +A λ 3 + Bλ 2 + Cλ + D adalah negatif jika dan hanya jika M 1, M 2, M 3, M 4 positif, dimana : M 1 = a 1 = A = A > 0 M 2 = = = AB C > M 3 = = 1 0 = ABC A 2 D C 2 > 0 0 0

27 M 4 = 0 = 1 0 = D (ABC A 2 D C 2 ) > Dari (1) maka diperoleh A > 0 Dari (3) dan (4) diperoleh D > 0 Dari (2) dan (3), maka dapat ditulis C(AB C ) > A 2 D, karena A 2 D > 0 dan AB C > 0, sehingga diperoleh nilai C > 0. Persamaan (4) benar jika D > 0 dan ABC > C 2 + A 2 D. Dengan demikian diperoleh bahwa bagian real dari setiap akar polinomial p( λ ) = λ 3 +A λ 2 + Bλ + C adalah negatif jika dan hanya jika A > 0, C > 0, D > 0 serta ABC > C 2 A 2 D. Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.7) (3.10) S ht ΛN h αr I h t μ h S h t I V ts h t r r I h t r D h t r R h t s htn h ΛN h αr i h tn h μ h s h tn h i v t A µ V s h tn h r r i h tn h r d h tn h r r h tn h s ht Λ αr i h t μ h s h t A µ V A µ V i v t s h t r r i h t r d h t r r h t s ht Λ μ h s h t αr i h t A µ V A µ V i v t s h t r r i h t r d h t r r h t s ht μ h 1 s h t αr i h t β β i V t s h t r r i h t r d h t r 1 s ht i h td h t 7 I ht I V ts h t r r I h t μ h I h t r r I h t r D h t i htn h i v t A µ V s h tn h r r i h tn h μ h i h tn h r r i h tn h r d h tn h i ht A µ V A µ V i v t A µ V s h t r r i h t μ h i h t r r i h t r d h t i ht β β i v t s h t r r i h t μ h i h t r r i h t r d h t 8 D ht αr I h t r r μ h D h t d htn h αr i h tn h r r μ h d h tn h

28 17 d ht αr i h t r r μ h d h t 9 I Vt I h ts V t μ V I V t i vt A µ V i h tn h s v t A µ V μ V i v t A µ V i vt i h ts V t μ V i v t i vt β β i h t1 i V t μ V i v t 10 Lampiran 4 Mencari Titik Tetap Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan µ h (1-s h (t))-αr i h (t)-(β +β )i v (t) s h (t)+( r +r )i h (t) r d h (t)+ r (1-(s h(t) +i h (t)+d h (t)) = 0 (i) (β +β )i v (t) s h (t)-( r +r )i h (t)-µ h i h (t)-( r r )i h (t)+ r d h (t) = 0 (ii) αr i h (t) -( r +r +µ h )d h (t) = 0 β +β i h (t)(1-i v (t))-µ v i v (t) = 0 (iii) (iv) 1. Dari persamaan (iv) dapat disederhanakan agar diperoleh nilai i v β +β i h (t)(1-i v (t))-µ v i v (t) = 0 i h (t) = 0 dan i V (t) = 0 atau o o Dari Persamaan (iii) αr i h (t) -( r +r +µ h )d h (t) = 0 d h (t) = - 0. Dari Persamaan (i) µ h (1-s h (t))-αr i h (t)-(β +β )i v (t) s h (t)+( r +r )i h (t) r d h (t)+ r (1-(s h(t) +i h (t)+d h (t)) = 0 µ h (1-s h (t))-α.(0)-(β +β ).(0) s h (t)+( r +r ).(0) r.(0) + r (1-(s h(t) +(0)+(0)) = 0 µ h (1-s h (t))-(0)-(0)+(0)(0) + r (1-(s h(t) ) = 0 µ h (1-s h (t))+ r (1-s h(t) ) = 0 (1-s h (t)) (µ h + r ) = 0 (1-s h (t)) = 0 s h (t)) = 1

29 18 2. Dari Persamaan (iii) dapat disederhanakan agar diperoleh d h * o o o αr i h (t) -( r +r +µ h )d h (t) = 0 r +r +µ h ) d h (t) = αr i h (t) d = Dari Persamaan (ii) (β +β )i v (t) s h (t)-( r +r )i h (t)-µ h i h (t)-( r r )i h (t) = 0 r +r )i h (t)-µ h i h (t)-( r r )i h (t)+ r d h (t) = (β +β )i v (t) s h (t) + r d h (t) i = i = Dari Persamaan (i) µ h (1-s h (t))-αr i h (t)-(β +β )i v (t) s h (t)+( r +r )i h (t) r d h (t)+ r (1-(s h(t) +i h (t)+d h (t)) = 0 µ h - µ h s h (t)-αr i h (t)-(β +β )i v (t) s h (t)+( r +r )i h (t) r d h (t)+ r -r s h (t)- r i h (t)- r d h (t) = 0 µ h s h (t)+ (β +β )i v (t) s h (t)+ r s h (t) = µ h -αr i h (t)+( r +r )i h (t) r d h (t)+ r - r i h (t)- r d h (t) s h (t) = s h (t) = s h (t) = s Dari Persamaan (iv) β +β i h (t)(1-i v (t))-µ v i v (t) = 0 β +β i h (t) β +β i h (t)(i v (t) - µ v i v (t) = 0 β +β i h (t)(i v (t) - µ v i v (t) =β +β i h (t) i Untuk membuktikan titik tetap pertama dan titik tetap kedua digunakan berikut : Mathematica 7 seperti Clear[μh,α,r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,β1,β2,β3,β4,μv,R0,Nh,A] δ=r1+r2+r3+r4+r6+r7; R0=((β1+β2)(β3+β4)(μh+r3+r4))/(μv (μh (μh+δ)+(r3+r4)+(r1+r6+r6)+r2 (r3 (1-α)+r4))); (*titik tetap*) titet=solve[{μh (1-sh)-α r2 ih-(β1+β2)iv sh+(r1+r2)ih+r4 dh+r5 (1-(sh+ih+dh))0,(β1+β2)iv sh- (r1+r2)ih-μh ih-(r7+r6)ih+r3 dh0,α r2 ih-(r3+r4+μh)dh0,(β3+β4)ih (1-iv)-μv iv0},{sh,ih,dh,iv}]//fullsimplify; (*keadaan bebas endemik Subscript[E, 0]*) titet[[1]] {dh 0,sh 1,iv 0,ih 0}

30 19 (*keadaan endemik Subscript[E, 1]*) titet[[2]] {dh -((r2 α (r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β3+β4) (r3+r4+μh) (-r2 (-r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh))))), sh ((r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) ((β3+β4) (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r2 r5 α+(r5+r6+r7+r2 α) μh+μh 2 +r3 (r5+r6+r7+μh)+r4 (r5+r6+r7+μh)) μv))/((β3+β4) (r3+r4+μh) (-r2 (- r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh)))), iv -(((r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β1+β2) ((β3+β4) (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r2 r5 α+(r5+r6+r7+r2 α) μh+μh 2 +r3 (r5+r6+r7+μh)+r4 (r5+r6+r7+μh)) μv))), ih -(((r5+μh) (-(β1+β2) (β3+β4) (r3+r4+μh)+(r1 (r3+r4+μh)+(r3+r4+μh) (r6+r7+μh)+r2 (r3+r4-r3 α+μh)) μv))/((β3+β4) (-r2 (-r3-r4+r3 α-α β1-α β2-μh) (r5+μh)+r1 (r3+r4+μh) (r5+μh)+(r3+r4+μh) ((r6+r7+μh) (β1+β2+μh)+r5 (r6+r7+β1+β2+μh)))))} Sehingga disederhanakan : s µ r d i r r 1 α r r 1 d / µ β β i r i d r β β i s / r r r r µ d αr i t/ r r µ i β β i / β β i µ Lampiran 5 Mencari Matriks Jacobi Mencari Matriks Jacobi dengan menggunakan software Mathematica 7 sebagai berikut : Jacobi1 Simplifyµh1 sh r2ih β1 β2ivsh r1 r2ih r4dh r51 sh ih dh, β1 β2ivsh r1 r2ih µhihr7 r6ih r3dh, r2ih r3 r4 µhdh, β3 β4ih1 iv µviv, sh, ih, dh, iv//matrixform r5µhβ1ivβ2iv r1r2r5r2 r4r5 β1β2sh β1 β2iv r1 r2 r6 r7 µh r3 β1 β2sh 0 r2 r3 r4 µh 0 0 β3 β41 iv 0 µv β3 β4ih Untuk Jacobi Bebas Endemik : , , 2 3 4, 3 41,,,, /. 1, 0, 0, 0// Untuk Jacobi Endemik : r5 µh r1 r2 r5 r2 r4 r5 β1 β2 0 r1 r2 r6 r7 µh r3 β1 β2 0 r2 r3 r4µh 0 0 β3 β4 0 µv