ANALISIS KESTABILAN MODEL SIR, SIR VAKSINASI, SEIR DAN MSEIR SEBAGAI MODEL-MODEL PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK (MEASLES) ACE SUHENDAR

Transkripsi

1 ANALISIS KESTABILAN MODEL SIR, SIR VAKSINASI, SEIR DAN MSEIR SEBAGAI MODEL-MODEL PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK (MEASLES) ACE SUHENDAR DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

2 ABSTRACT ACE SUHENDAR. Stability analysis of mathematical models: SIR, SIR with vaccination, SEIR and MSEIR of the outbreak of measles diseases. Supervised by ALI KUSNANTO and PAIAN SIANTURI. Measles disease is an extremely dangerous disease. It caused by virus that spreads through direct to the contact with victims or air. Measles disease can cause complication, mustle disfunction and organ, physical defect, paralysis and death. A vaccination program is a powerful method to control the measles disease outbreak. The measles disease outbreak can be studied using mathematical model. The model is known as SIR, SIR of vaccination, SEIR and MSEIR epidemic model. In this research, the SIR of epidemic model, SIR of vaccination, SEIR and MSEIR is derived by including the factors of birth, death, vaccination, body profection and immunity. The vaccination is held to prevent the measles disease outbreak. Based on stability analysis conducted, the SIR model, SIR of vaccination, SEIR and MSEIR produced two equilibrium points, i.e, disease free and endemic equilibrium. The analysis conducted were also considering the basic reproduction rate and the minimum level of vaccination. If the vaccination level less than the minimum level, than the measles disease becomes endemic and for the vaccination level more than the minimum level, than the disease dies out. If, then the disease free equilibrium point is a stable node and the endemic equilibrium point is an unstable spiral, meaning that virus can be removed from the population. If, then the disease free equilibrium point is a saddle and the endemic equilibrium point is a stable spiral, meaning that virus remained. Also, the in the MSEIR model was found to be smaller than in the other models. This indicates that the MSEIR model was faster to reach the stabile level.

3 ABSTRAK ACE SUHENDAR. Analisis Kestabilan Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Sebagai Model-model Penyebaran Penyakit Campak (Measles). Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan PAIAN SIANTURI. Penyakit campak (measles) merupakan penyakit yang sangat berbahaya, penyakit ini disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui kontak langsung dengan penderita dan udara. Penyakit campak (measles) dapat menyebabkan komplikasi, kerusakan otak dan organ tubuh yang lainnya, cacat seumur hidup, kelumpuhan dan bahkan kematian. Program vaksinasi merupakan metode yang baik untuk mencegah penyebarannya. Penyebaran penyakit ini dapat dipelajari dengan mengunakan model matematika. Model tersebut dikenal sebagai model endemik SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR. Pada penelitian ini, model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR diturunkan ulang dengan memperhatikan faktor kelahiran, kematian, vaksinasi dan kekebalan tubuh. Analisis kestabilan terhadap model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR ini menghasilkan dua titik tetap yaitu titik tetap tanpa penyakit dan titik tetap endemik. Analisis yang dilakukan menghasilkan bilangan reproduksi dasar dan tingkat vaksinasi minimum yang dibutuhkan agar berhasil dalam mencegah penyebaran penyakit campak (measles). Untuk nilai tingkat vaksinasi di bawah tingkat vaksinasi minimum, penyakit akan bersifat endemik dan untuk nilai vaksinasi di atas nilai tingkat vaksinasi minimum, penyakit akan menghilang dari populasi individu. Ketika titik tetap tanpa penyakit bersifat simpul stabil, dan titik tetap endemik bersifat spiral takstabil sehingga virus akan hilang dari populasi. Ketika titik tetap tanpa penyakit bersifat sadel, dan titik tetap endemik akan bersifat spiral stabil sehingga virus akan bertahan dalam populasi. Dari ke empat model tersebut diperoleh bahwa bilangan reproduksi dasar pada model MSEIR lebih kecil daripada model SIR, SIR vaksinasi dan SEIR, hal ini menunjukkan bahwa model MSEIR akan lebih cepat mencapai kondisi stabil.

4 ANALISIS KESTABILAN MODEL SIR, SIR VAKSINASI, SEIR DAN MSEIR SEBAGAI MODEL-MODEL PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK (MEASLES) ACE SUHENDAR Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

5 Judul : Analisis Kestabilan Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Sebagai Model-model Penyebaran Penyakit Campak (Measles) Nama : Ace Suhendar NRP : G Menyetujui Pembimbing I Pembimbing II Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Dr. Paian Sianturi NIP NIP Mengetahui Ketua Departemen Matematika Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus:

6 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluargaku tersayang: Ayah dan Ibu (Alm) tercinta, yang telah memberikan kasih sayang, doa, didikan, serta dukungan baik secara moril dan materi, nasihat dan motivasi yang sangat berharga bagi penulis. Semangat dan kesabaranmu adalah motivasi bagiku. Untuk kakak terima kasih selalu memberikan semangat dan nasihat bagi penulis; 2. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing I, Dr. Paian Sianturi selaku pembingbing II. Terima kasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. Semua ilmu yang Pak Ali dan Pak Paian berikan sangat bermanfaat bagi penulis. TERIMA KASIH; 3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku dosen penguji. Terima kasih atas waktu dan ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis; 4. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan; 5. Ibu Susi, ibu Ade, bapak Yono, mas Bono, mas Heri, mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika; 6. Teman-teman satu bimbingan: Arum dan Sopyan. Terima kasih atas doa, bantuan, dukungan semangat, dan nasehatnya; 7. Kakak kelas angkatan 42 dan 41 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 8. Teman-teman angkatan 43: Desi, Bunda, Suci, Fitria, Peli, Supri, Destya, Resti, Margi, Ratna Agung, Fardan, Wira, Adhi, Nia, Arum, Ecka, Lina, Rias, Erni, Irsyad, Arif, Peli, Elly, Maria Herlina, Cupid, Vera, Rizki NS, Rizki SN, Nanu, Dandi, Zul, Andrew, Ucok, Sopyan, Kabil, Sabar, Gandi, Hendra, Mubarok, Faisol, Slamet, Razon, Nobo, Syahrul. Terima kasih atas doa, dukungan dan semangatnya, terima kasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di Math 43; 9. Adik kelas angkatan 44 dan 45 yang tidak bisa penulis sebutkan satu per satu; 10. Teman-temanku satu kosan: Aip, Edy, Riva, Ruly, Taufik, Yana, Abdul dan zikry yang selalu memberi semangat. 11. Teman-teman d KPM: Teh Ica, Teh Ary, Teh Zizah, Teh Weni, Teh Mira, Bu Af dan Bude Penulis menyadari tulisan ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika. Bogor, Maret 2011 Ace Suhendar

7 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Kertajati (Majalengka-Jawa Barat) pada tanggal 17 Desember 1987 sebagai anak bungsu dari dua bersaudara, anak dari bapak Arsama dan ibu Wartini (Alm). Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Mekarjaya III. Tahun 2003 penulis lulus dari SLTPN 2 Kertajati. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 1 Cimalaka dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI). Pada tahun 2007, penulis memilih dan masuk jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) staf Departemen Keilmuan periode 2008/2009 dan Gentra Kaheman periode 2007/2009. Penulis pernah menjadi tim pengajar persiapan UAN pada SMA YPHB Bogor, Pengajar mahasiswa prauniv, staf pengajar Gumatika, staf pengajar Agrismart, staf pengajar MSC Education, staf pengajar MSCollege dan menjadi staf pengajar pada Bimbingan Belajar Klinik Pendidikan MIPA (KPM).

8 vii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... vii DAFTAR TABEL... viii DAFTAR LAMPIRAN... ix I II III IV PENDAHULUAN 2.1 Latar Belakang Tujuan... 1 LANDASAN TEORI 2.1 Analisis Sistem Persamaan Diferensial Bilangan Reproduksi Dasar... 4 PEMODELAN 3.1 Model SIR Model SIR vaksinasi Model SEIR Model MSEIR... 8 PEMBAHASAN 4.1 Model SIR Titik Tetap Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model SIR Orbit dan Kestabilan Sistem SIR Model SIR vaksinasi Titik Tetap Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR vaksinasi Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR vaksinasi Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model SIR vaksinasi Orbit dan Kestabilan Sistem SIR vaksinasi Model SEIR Titik Tetap Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model SEIR Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SEIR Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model SEIR Orbit dan Kestabilan Sistem SEIR Model MSEIR Titik Tetap Kontruksi Matriks Jacobi untuk Model MSEIR Analisis Kestabilan Titik Tetap Model MSEIR Bilangan Reproduksi Dasar untuk Model MSEIR Orbit dan Kestabilan Sistem MSEIR... 17

9 viii V SIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Diagram dinamika populasi dalam model SIR Diagram dinamika populasi dalam model SIR vaksinasi Diagram dinamika populasi dalam model SEIR Diagram dinamika populasi dalam model MSEIR Orbit kestabilan model SIR Dinamika populasi S, I, R terhadap waktu t Orbit kestabilan model S, I R vaksinasi Dinamika populasi S, I, R terhadap waktu t Proporsi individu I pada saat nilai α = , α = 0.3, α = 0.1 dan α = Proporsi individu I pada saat nilai α = , α = 0.6, α = 0.9 dan α = Orbit kestabilan model SEIR Dinamika populasi S, E, I, R terhadap waktu t Proporsi individu I pada saat nilai α = , α = 0.3, α = 0.1 dan α = Proporsi individu I pada saat nilai α = , α = 0.6, α = 0.9 dan α = Orbit kestabilan model MSEIR Dinamika populasi M, S, E, I, R terhadap waktu t DAFTAR TABEL Halaman 1 Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabila untuk α = , α = 0.3, α = 0.1 dan α = 0 pada model SIR vaksinasi Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabila untuk α = , α = 0.6, α = 0.9 dan α = 1 pada model SIR vaksinasi Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabila untuk α = , α = 0.3, α = 0.1 dan α = 0 pada model SEIR Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabila untuk α = , α = 0.6, α = 0.9 dan α = 1 pada model SEIR Perbandingan Bilangan Reproduksi Dasar antara model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Kriteria Kestabilan Titik Tetap Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Perbandingan Titik Tetap antara Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR Plot Bidang Fase dan Bidang Solusi untuk Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR 21 9 Plot Bidang Fase dan Bidang Solusi untuk Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR..22

10 ix DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Mencari titik tetap model SIR Penentuan nilai eigen model SIR Mencari titik tetap model SIR vaksinasi Penentuan nilai eigen SIR vaksinasi Mencari titik tetap model SEIR Penentuan nilai eigen model SEIR Bukti Mencari titik tetap model MSEIR Penentuan nilai eigen model MSEIR Program Maple 12 untuk Gambar Program Maple 12 untuk Gambar 6 dan Gambar Program Maple 12 untuk Gambar Program Maple 12 untuk Gambar Program Maple 12 untuk Gambar Program Maple 12 untuk Gambar

11 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu ancaman terhadap manusia adalah penyakit, terutama penyakit menular yang dibawa oleh berbagai macam mikroba seperti bakteri, jamur, parasit dan virus. Penyakit campak (measles) merupakan penyakit yang sangat berbahaya, penyakit tersebut disebabkan oleh virus yang dapat menyebar melalui kontak langsung dengan penderita, udara dan batuk. Tubuh mempunyai kemampuan untuk mengatasi sampai batas tertentu. Dalam hal ini, dikatakan bahwa sistem pertahanan tubuh (sistem imun) orang tersebut cukup baik untuk mengatasi dan mengalahkan kuman-kuman penyakit tersebut. Tetapi bila kuman penyakit tesebut ganas, sistem pertahanan tubuh yang lemah tidak mampu mencegah kuman atau virus itu berkembangbiak, sehingga dapat mengakibatkan penyakit berat yang membawa kepada cacat atau kematian. Kinbaby (2008) menyatakan bahwa penyakit campak (measles) tersebut dinilai berbahaya karena dapat menyebabkan komplikasi, kerusakan otak dan organ tubuh lainnya, cacat seumur hidup, kelumpuhan dan bahkan kematian. Vaksinasi telah menjadi salah satu strategi yang cukup berhasil dalam mencegah penyakit campak (measles) (Sleeman, 1983), namun tidak sepenuhnya dapat melindungi penerima vaksin secara merata. Perlindungan yang diberikan vaksin tergantung pada kekebalan tubuh penerima vaksin (Hethcote, 2000). Kegagalan vaksin untuk melindungi penerima vaksin secara merata dan menentukan kondisi apa yang diperlukan untuk mengurangi bahkan membasmi infeksi penyakit campak (measles) pada suatu populasi. Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika juga turut mememberikan peranan penting dalam mencegah meluasnya penyebaran penyakit campak (measles) (Castellli dan Romanelli, 2009). Peranan tersebut berupa model matematika yang mempelajari penyebaran penyakit. Matematika memberikan salah satu solusi penyelesaian penyebaran penyakit campak (measles). Pertama, pola endemik bisa digambaran secara matematis dengan mendekati keadaan sebenarnya melalui suatu model matematika. Kedua, dengan matematika akan dianalisis pola endemik melalui model yang telah dirumuskan berdasarkan suatu asumsi. Model matematika yang dimaksud adalah model epidemik SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR. Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR ini dikenalkan oleh Kermack dan McKendrik pada tahun Model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR pada awalnya dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam populasi tertutup dan bersifat epidemik. Model endemik SIR menggambarkan penyebaran suatu penyakit, dimana total populasi pada model ini diasumsikan konstan karena pengaruh kelahiran, kematian maupun migrasi diperhatikan. Laju kelahiran pada model SIR diasumsikan sama dengan laju kematian. Menurut Grassly dan Frasher (2006), tidak semua sistem persamaan differensial dapat ditentukan penyelesaian eksaknya. Oleh karena itu, diperlukan informasi lain untuk mengamati prilaku sistem. Prilaku sistem dapat diamati pada titik-titik dimana sistem berada pada keadaan stasioner atau kesetimbangan. Titik tersebut selanjutnya disebut titik keseimbangan. Konsep perilaku sistem pada titik keseimbangan dikenal dengan kestabilan. Kestabilan tersebut merupakan informasi untuk menyebarkan perilaku sistem. Oleh karena itu, dalam model emdemi SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR dengan memperhatikan faktor vaksinasi perlu ditentukan kestabilan di titik keseimbangan untuk mengetahui dan menginterpretasikan perilaku sistem. Hethcote (2000) menyebutkan bahwa pada model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu yang rentan penyakit (S), kelompok individu yang terinfeksi (I), dan kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit (R). Secara garis besar, model epidemik SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR klasik menggambarkan alur penyebaran penyakit dari kelompok individu S menjadi individu I melalui kontak langsung atau perantara lain, selanjutnya individu I yang mampu bertahan terhadap penyakit akan sembuh dan memasuki populasi R. Oleh karena itu, dalam model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR dengan memperhatikan faktor vaksinasi perlu ditentukan kestabilan di titik kesetimbangan untuk mengetahui dan menginterpretasikan prilaku model.

12 2 1.2 Tujuan Tujuan utama penulisan karya ilmiah ini adalah: 1. Memeriksa kestabilan model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR pada masing-masing titik tetapnya dan menentukan perbedaan dari keempat model tersebut, 2. Dengan dinamika perubahan populasi pada model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR didapat orbit kestabilannya, 3. Mendapatkan dan menginterpretasikan bilangan reproduksi dasar dari model SIR, SIR vaksinasi, SEIR dan MSEIR, 1.3 Metode Metode tersebut dianalisis melalui dua cara yaitu secara matematis dan secara numerik. Secara matematis, dengan menganalisis kestabilan melalui penentuan titik tetap, orbit kestabilan, dinamika populasi dan kondisi yang memenuhi kestabilannya. Secara numerik menggunakan Software Maple 12 dengan diberikan parameter-parameter berbeda. II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) Misalkan suatu persamaan differensial linear orde 1 dinyatakan sebagai berikut: = g(t) dengan dan g(t) adalah fungsi dari waktu t. Bila adalah suatu matriks berukuran n x n dengan koefisien konstan dan g(t) dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh sebagai berikut; = = Ax + b, x(0) = x 0 (Farlow 1994) Definisi 2 Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan differensial (SPD) sebagai berikut: = = f(x), x ϵ Suatu titik yang memenuhi f = 0 disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari sistem. (Tu 1994) Definisi 3 Titik Tetap Stabil Titik adalah titik tetap sebuah SPD dan x(t) adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x(0)=x 0 dan x 0. Titik dikatakan titik tetap stabil jika terdapat ɛ 0 0, yang memenuhi sifat berikut; untuk setiap ɛ 1, 0 < ɛ 1 < ɛ 0, terdapat ɛ 0 0 sedemikian sehingga jika - x 0 < ɛ maka - x(t) < ɛ 1, untuk setiap t t 0. (Szidarovszky & Bahill 1998) Definisi 4 Titik Tetap Takstabil Misalkan adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan x(t) adalah sebuah solusi SPD mandiri dengan nilai awal x(0)= x 0 dengan x 0 Titik dikatakan titik tetap tak stabil jika terdapat radius ρ 0 dengan ciri sebagai berikut: untuk sembarang r 0 terdapat posisi awal x 0 memenuhi - x 0 < r, berakibat solusi x(t) memenuhi - x(t) ρ, untuk paling sedikit satu t 0. (Anton 1995) Definisi 5 Titik Tetap Stabil Asimtotik Lokal Titik dikatakan titik tetap asimtotik lokal jika titik dan terdapat ɛ 0 sedemikian sehingga jika - x 0 < 0 maka (Szidarovszky & Bahill 1998) Definisi 6 Titik Tetap Stabil Asimtotik Global Titik dikatakan titik tetap asismtot global jika titik stabil dan x 0 ϵ (Szidarovszky & Bahill 1998) Definisi titik tetap stabil menyatakan bahwa titik stabil jika seluruh orbit (lintasan kurva dan yang menggambarkan solusi x(t) berada pada radius ε 1, jika nilai awal (x 0 ) yang terpilih cukup dekat dengan Titik tetap stabil asimtotik global, dipilih nilai awal (x 0 ) di luar radius ε 0 sehingga solusi x(t) adalah untuk t. (Szidarovszky & Bahill 1998) Definisi 7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah matriks n x n,maka suatu matrik taknol x di dalam disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar λ, yang disebut nilai eigen dari A diperoleh; Ax = λx Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Untuk mencari nilai eigen maka persamaan diatas

13 3 dapat dituliskan sebagai berikut: (c)x = 0, dengan I matriks identitas persamaan Ax = λx mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika det (A - λi) = 0, persamaan ini dinamakan persamaan karakteristik. (Anton 1995) Definisi 8 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan matriks A yang berukuran 2 x 2 sebagai berikut: A = ( ) Dengan persamaan karakteristik det(a λi) = 0, dan I adalah matriks identitas, maka persamaan karakteristiknya menjadi: det ( ) = 0, sedemikian sehingga diperoleh persamaan, dengan τ = trace(a) = a+d dan = det(a) = ad-bc. Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah λ j,k =. Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh. Secara umum kestabilan suatu titik tetap didasarkan pada kriteria berikut: Stabil jika a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (λ j < 0) untuk setiap j) b. Setiap komponen nilai eigen kompleks lebih kecil atau sama dengan nol, (Re(λ j 0) untuk setiap j). Tak Stabil jika a. Setiap nilai eigen real adalah positif (λ j 0) untuk setiap j) b. Setiap komponen nilai eigen kompleks lebih besar dari nol, (Re(λ j 0) untuk setiap j). Sadel jika Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (λ j,λ k < 0 untuk j dan k sembarang). (Tu, 1994) Definisi 9 Pelinearan Untuk suatu SPD taklinear, analisis kestabilan dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan SPD taklinear sebagai berikut: = f(x) Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap, maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai berikut: = Ax + Ҩ(x) Persamaan tersebut SPD taklinear dengan A adalah matriks Jakobi, A = Df = Df(x) x =x* = [ ] =[ ] Dan Ҩ(x) suku berorde tinggi yang bersifat = 0. Selanjutnya Ax pada persamaan diatas disebut pelinearan dari sistem tak linear persamaan (1.8) yang didapatkan dalam bentuk = Ax. Untuk sistem yang berada dalam bidang akan diperoleh; = f(x) = Ax + Ҩ(x) dengan = f 1 (x) = + Ҩ 1 (x 1,x 2 ) = f 2 (x) = + Ҩ 2 (x 1,x 2 ) dengan =, = dan =, = = = 0 (n=2) dengan r = Nilai Ҩ 1 dan Ҩ 2 kecil sekali, sehingga dapat diabaikan. (Tu 1994) Definisi 10 Kriteria Kestabilan Teorema 1: (Rout-Hurwitz Criterion) Misalkan,, bilangan real. Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik Mempunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks untuk setiap j = 1, 2, 3,, n [ ] adalah positif dengan jika k n Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, untuk suatu nilai n = 2 maka titik stabil jika dan hanya jika dan disajikan pada teorema berikut. (Fisher 1990) Teorema 2 Misalkan A, B bilangan-bilangan real. Bagian real dari setiap nilai eigen persamaan karakteristik adalah negatif jika dan hanya jika A dan B positif.

14 4 2.2 Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah potensi penularan penyakit pada populasi rentan, merupakan rata-rata jumlah individu yang terinfeksi secara langsung oleh seorang penderita selama masa penularannya bila termasuk dalam populasi yang seluruhnya masih rentan. Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan dalam masalah penyebaran penyakit adalah bilangan reproduksi dasar. Hethcote (2000) menyatakan bahwa bilangan reproduksi dasar merupakan rasio yang menunjukkan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit yang disebabkan oleh satu individu infeksi. Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara tiga kemungkinan ini; a. Jika, maka penyakit akan menghilang, b. Jika, maka penyakit akan menetap (endemis), c. Jika, maka penyakit akan meningkat menjadi wabah. (Giesecke 1994) III PEMODELAN 3.1 Model SIR Model SIR pada awalnya dikembangkan untuk mengetahui laju penyebaran dan kepunahan suatu wabah penyakit dalam poulasi tertutup dan bersifat epidemik. Hethcote (2000) menyatakan bahwa pada model epidemi SIR klasik, populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu, kelompok individu yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit (rentan), kelompok individu yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit (infeksi) dan kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit (pulih). Dalam kasus yang paling dasar kita membuat asumsi bahwa sekali seorang individu telah terinfeksi dan kemudian telah pulih, maka individu tersebut tidak akan terjangkit kembali dikarenakan adanya kekebalan tubuh yang kuat. Dengan menganggap bahwa tingkat penularan penyakit sebanding dengan jumlah pertemuan antara individu rentan dan individu yang terinfeksi. μ β Rentan (S) Infeksi (I) Pulih (R) ξ μ μ µ Gambar 1. Dinamika populasi dalam model SIR Dari gambar 1 model SIR dapat dituliskan sebagai berikut: = -β S = β S ξi (1) = ξi μr Keterangan: : populasi individu : kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit, I : kelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit, R : kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit, β : laju penularan penyakit, ξ : laju kesembuhan, µ : laju kelahiran dan laju kematian Dengan β, µ dan ξ adalah parameter positif yang merupakan tingkat transmisi. Sebagaimana ditetapkan, bahwa nilai dari (S + I + R) = N, sehingga S + I + R adalah konstan. Dalam populasi individu bahwa laju kelahiran sama dengan laju kematian. Populasi S akan meningkat seiring dengan bertambahnya individu kedalam suatu

15 5 populasi dan berkurangnya kekebalan tubuh yang disebabkan oleh infeksi alam yang menyerang tubuh. Populasi I akan meningkat dengan bertambahnya individu yang terinfeksi dari kelas S. Kekebalan tubuh yang terinfeksi akan berubah seiring dengan berjalannya waktu, maka individu yang terinfeksi akan pulih memasuki individu R. Jadi, populasi R akan meningkat sesuai dengan meningkatnya individu yang pulih dari infeksi dan akan bekurang seiring dengan perubahan kekebalan. Penyebaran penyakit campak (measles) diasumsikan muncul pada saat individu kehilangan kekebalan tubuh dan hilang kendali ketika virus itu datang. Hal ini mengarah pada model endemik SIR. Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut; s =, i =, dan r = diperoleh persamaan sebagai berikut; = ( * = = ξi μr ( * βsi + μ μs = βsi (ξ+μ)i (2) 3.2 Model SIR dengan vaksinasi Model endemik SIR dengan memeperhatikan faktor vaksinasi diturunkan ulang dari model endemi SIR klasik. Model penyebaran penyakit diturunkan menggunkan asumsi atau batasan tertentu. Hethcote (2000) menyebutkan bahwa asumsi-asumsi yang digunakan dalam model penyebaran penyakit sebagai berikut; Jumlah populasi diasumsikan cukup besar, Populasi diasumsikan tertutup, oleh karena itu tidak ada populasi yang masuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut, Pada model SIR, faktor kelahiran dan kematian diperhatikan, jumlah kelahiran dan kematian dalam tiap satuan waktu diasumsikan sama, Populasi diasumsikan bercampur secara homogen yang berarti setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lainya, Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapat pula menimbulkan kematian akibat penyakit tersebut. Selanjutnya, program vaksinasi diperhatikan dalam model. Asumsi yang digunakan terhadap vaksinasi tersebut adalah sebagai berikut; Vaksinasi hanya diberikan pada individu yang baru lahir atau yang masih dalam usia anak- anak ( < 12 tahun ), Keampuhan vaksinasi adalah 100%, hal ini berarti setiap individu yang telah mendapatkan vaksinasi akan kebal dari penyakit. Kekebalan yang terjadi karena vaksinasi bersifat permanen. Individu yang memperoleh vaksinasi kebal dari penyakit dan memasuki kelompok pulih. Jumlah individu yang memperoleh vaksin proposional dengan jumlah kelahiran. Dengan demikian, jumlah individu yang kebal dari penyakit karena telah memperoleh vaksinasi μn.

16 6 μ α (Vaksin) (1-α) Rentan (S) β Infeksi (I) ξ Pulih (R) μ μ μ Gambar 2. Dinamika populasi dalam model SIR dengan pengaruh vaksinasi Gambar 2 di atas populasi yang lahir akan memasuki dua individu yaitu; pertama masuk ke individu rentan dan yang kedua populasi bisa langsung memasuki individu pulih. Individu yang tidak memperoleh vaksinasi akan memasuki kelompok individu rentan dan berpotensi untuk terinfeksi penyakit campak (measles) maka individu rentan akan memasuki individu pulih. Dengan N = S + I + R. Untuk proses tranmisi vaksinasi dengan menggunakan asumsi yaitu: Terjadi penularan dari individu ke individu yang lain, Semua parameter dan variabel yang digunakan tidak negatif, Tidak ada individu yang sudah terinfeksi masuk ke dalam individu baru. Model endemik SIR dengan mempertimbangkan pengaruh vaksinasi selengkapnya dapat diekpresikan sebagai berikut (lihat gambar 2); Persamaan (3) dapat diskala dengan total populasi N untuk menyerderhanakan persamaan (3) dan memudahkan analisis yang dilakukan. Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut; s =, i =, dan r = diperoleh persamaan sebagai berikut; = = = = si( + μ)s (4) = = (3) = = S(0) 0, I(0) 0 dan R(0), μ + i - μr 3.3 Model SEIR Pada model SEIR bahwa laju kelahiran yang terjadi dalam populasi diasumsikan sama dengan laju kematian, dimana tingkat kelahiran dan tingkat kematian ditandai dengan μ. Dalam keberadaan penyakit menular, salah satu tugas utamanya adalah pemberantasan melalui langkah-langkah pencegahan dan jika mungkin, melalui pembentukan program vaksinasi massal.

17 7 μ (1-α)ε ξ ρ Rentan (S) Laten (E) Infeksi (I) Pulih (R) µ μ µ μ β Gambar 3. Dinamika populasi dalam model SEIR. Sebuah penyakit dimana bayi yang baru lahir divaksinasi (dengan vaksin memberikan sehingga berikut; akan diperoleh model sebagai kekebalan seumur hidup) dengan nilai ϵ (0,1) maka akan diperoleh model sebagai berikut (lihat gambar 3); = = = μe = = = (6) = ξi - μr = ξi - μr (5) dengan S(0) 0, I(0) 0, E(0) 0 dan R(0). Keterangan: N : populasi individu S : kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit, E I R : kelompok individu laten, : kelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit, : kelompok individu yang telah sembuh dan kebal dari penyakit, : laju penularan penyakit, ε : laju kesembuhan, µ : laju kelahiran dan laju kematian, : laju vaksinasi, : laju kekebalan tubuh. Dimana β, τ, μ, ρ, ε dan ξ adalah parameter positif. Sistem dapat skala total populasi N untuk menyerderhanakan sistem (5) dan memudahkan analisis yang dilakukan,

18 8 3.4 Model MSEIR Model endemik MSEIR dengan mempertimbangkan imunisasi dan laju ɓ ɓ kelahiran tidak sama dengan laju kematian dapat diekspresikan sebagai berikut (lihat gambar 4); δ β M S E I R ε ξ µ µ µ µ µ Gambar 4. Dinamika populasi dalam model MSEIR Diperoleh persamaan sebagai berikut; sembuh dan kebal dari penyakit, : laju penularan penyakit, ε : laju kesembuhan, µ : laju kelahiran dan laju kematian : laju vaksinasi, : laju perubahan imunitas, Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan (ε ) sebagai berikut; m =, s =, e =, i =, dan r = ε dimana, m + s + e + i + r = 1, diperoleh persamaan sebagai berikut; (7) (ε ) Dengan daerah asal sebagai berikut; D ={(M, S, E, I, R) : M E, S, M + S + E + I + R. Keterangan: N : populasi individu, M : kelompok individu yang telah mendapat imunitas, S : kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit, E I R : kelompok individu laten, : kelompok individu yang terinfeksi penyakit dan dapat sembuh dari penyakit, : kelompok individu yang telah D ={(m,s,e,i,r) : m e, s, m + s + e + i+ r (8)

19 9 IV PEMBAHASAN 4.1 Model SIR Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( an ) sehingga dari persamaan (2) diperoleh : - si + s = 0 (9) si ( + )i = 0 didapat titik tetap yaitu E 0 = (1, 0) dan E 1 = ( ) = ( Dengan menggunkan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan,, dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E 0 = (1, 0) dan E 1 = (0.5, 0.4). E 0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E 1 merupakan titik tetap endemik Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR Dari Persamaan (2) akan diperoleh matriks jacobi sebagai berikut; [ ] [ ) ] (10) Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR Titik tetap E 0 = (1, 0) disubstitusikan ke dalam persamaan (10) sehingga akan diperoleh sebagai berikut; [ ] Untuk memperoleh nilai eigen dari matrik jacobi di atas maka J λi = 0, sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu; (-μ-λ) ( ) = 0 Didapat nilai eigen sebagai berikut; λ 1 = -μ < 0 λ 2 = untuk dan λ j < 0 (j =1, 2), nilai λ 1 = -μ < 0 dan λ 2 < 0 maka < 0. Jika λ 1 = -μ < 0 dan λ 2 < 0 maka titik bersifat stabil dan jika λ 1 < 0 dan λ 2 0, maka titik bersifat sadel. Nilai mengakibatkan Oleh karena itu, titik akan stabil asimptotik untuk. Namun, jika nilai maka titik akan tidak stabil. Dengan nilai dan diperoleh maka dapat disimpulkan bahwa titik E 0 = (1, 0) tidak stabil asimptotik. Kestabilan sistem di titik tetap E 1 Tititk tetap E 1 = ( ) disubstitusikan pada persamaan (10), maka akan diperoleh matriks jacobinya sebagai berikut ini; [ Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks jacobi di atas maka J λi = 0, sehingga diperoleh nilai eigen yaitu; λ = Jika nilai bersifat stabil asimtotik, ( ] + maka titik E 1 jika nilai maka E 1 bersifat sadel. Nilai maka titik E 1 = ) adalah titik stabil asimptotik Bilangan Reproduksi untuk model SIR R 0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut; persamaan di atas setelah dilinearisasi diperoleh sebagai berikut; (11)

20 10 R 0 = ( ) Orbit dan Kestabilan Sistem Model SIR Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan Software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti di bawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut: = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 dan ξ = Hal ini berimplikasi. Titik tetap yang diperoleh adalah yang bersifat tak stabil dan yang bersifat stabil. Orbit disajikan sebagai berikut. Gambar 6. Dinamika populasi S, I, dan R menurut waktu (tahun) Gambar 6 merupakan bidang solusi untuk S, I dan R yang menuju titik tetap stabil bila dimasukkan nilai awal S = 0.8, I = 0.2 dan R = 0 sehingga menuju titik E 1 (s, i) = (0.54, 0.43). Seiring berjalannya waktu proporsi kelompok individu S akan semakin berkurang. Hal ini terjadi karena kelompok individu S terinfeksi oleh penyakit campak (measles) dan memasuki kelompok individu I. Pada waktu tertentu proporsi individu pada kelompok S tidak mengalami perubahan dan mencapai kondisi setimbang. Pada proporsi kelompok individu I mengalami kenaikkan dari keadaan awal, Kenaikkan jumlah individu I terjadi karena adanya tambahan individu dari individu S yang terinfeksi virus. Proporsi individu R mengalami kenaikkan, hal ini disebabkan oleh adanya kelompok individu I yang sembuh dari penyakit sehingga akan memasuki kelompok individu R. 4.2 Model SIR vaksinasi Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( an ), sehingga dari persamaan (4) diperoleh : - μ s = 0 Gambar 5. Orbit kstabilan model SIR dibidang SI Pada gambar 5 di atas terlihat bahwa orbitnya menuju titik E 1. Oleh karena itu, titik tetap endemik bersifat stabil asimptotik. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada individu I yang dapat menyebarluaskan penyakit campak (measles) sehingga kelompok individu S terinfeksi penyakit. si i = 0 (12) Di dapat nilai titik tetap yaitu E 0 (s, i) =, 0) dan E 1 (s, i) = ( ) = ( ). Dengan menggunakan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan,,, dan μ = 0.4 diperoleh nilai titik tetap yaitu E 0 (s, i) = (0.5, 0) dan E 1 (s, i) = (0.54, -0.03). E 0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E 1 merupakan titik tetap endemik Konstruksi Matriks Jacobi untuk Model SIR vaksinasi Dari Persamaan (4) akan diperoleh matriks jacobi sebagai berikut; [ ] [ ]

21 11 (13) Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SIR vaksinasi Titik tetap E 0 =, 0) disubstitusikan ke dalam persamaan (13) sehingga akan diperoleh; [ ] Untuk memperoleh nilai eigen dari matriks jacobi di atas maka J λi = 0, sehingga diperoleh nilai eigen yaitu; (-μ-λ)( ) = 0 λ 1 = -μ < 0 λ 2 = Jika λ i < 0 untuk i = 1,2. Nilai μ 0 mengakibatkan λ 1 = -μ < 0, jika λ 2 < 0 maka <. Jika λ 1 < 0 dan λ 2 < 0, maka titik tetap bersifat stabil dan jika λ 1 < 0 dan λ 2 0, maka titik tetap bersifat sadel. Nilai < mengakibatkan = < 1. Jika < 1 maka merupakan titik tetap stabil asimtotik. Dengan kata lain, syarat terjadinya bebas penyakit adalah bilangan reproduksi dasar harus kurang dari satu. Jika 1 maka akan tidak stabil. Dengan mengambil parameter positif diperoleh < 1, sehingga merupakan titik tetap stabil asimtotik. Kestabilan sistem di titik tetap E 1 Tititk tetap = ( ) disubstitusikan pada persamaan (13), maka akan diperoleh matriks jacobinya sebagai berikut ini; [ ] sehingga menyebabkan titik akan stabil asimtotik Bilangan Reproduksi Dasar untuk model SIR vaksinasi R 0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut; Persamaan di atas setelah dilinearisasi diperoleh sebagai berikut; R 0 = ( ) (14) Orbit dan Kestabilan Sistem Model SIR vaksinasi Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti dibawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut: = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4 dan ξ = 0.03, hal ini berimplikasi pada < 1 maka akan diperoleh yang bersifat stabil dan yang bersifat tak stabil. Orbit disajikan sebagai berikut; Dari persamaan diatas diperoleh nilai eigen dari matriks jacobi yaitu; Gambar 7. Orbit kstabilan model SIR dengan vaksinasi dibidang SI Dari persamaan di atas, titik tetap endemik hanya akan muncul ketika, sedangkan nilai merupakan bilangan real negatif atau berupa bilangan kompleks. Dengan bilangan real bernilai negatif untuk 1<

22 12 pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi lebih kecil dari vaksinasi minimum. Gambar 8. Dinamika populasi S, I dan R menurut waktu (tahun) Pada gambar 8 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan individu rentan, infeksi dan pulih. Seiring berjalannya waktu poroporsi individu rentan akan semakin berkurang. Hal ini, disebabkan oleh kelompok individu rentan terjangkit penyakit dan memasuki kelompok individu infeksi. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok rentan tidak mengalami perubahan lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik kesetimbangan. Kelompok individu infeksi mengalami penurunan. Hal ini disebabkan oleh karena kelompok individu rentan tidak terjangkit penyakit setelah adanya penerimaan vaksin. Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu rentan tidak memasuki individu I, semakin besar individu rentan yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok individu infeksi akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilan. Program vaksinasi dilakukan untuk mencegah meluasnya penyebaran penyakit campak (measles). Vaksinasi diasumsikan berhasil jika pada waktu tertentu penyakit akan menghilang dari populasi I. Bilangan reproduksi dasar dapat juga digunakan untuk menentukan apakah penyakit campak (measles) tersebut akan menghilang dari populasi I pada waktu tertentu jika nilai dan jika Penyakit campak (measles) akan ada sampai batas waktu yang tak terbatas. Upaya pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) dapat dilakukan dengan program vaksinasi pada tingkat α. Pengaruh vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan persamaan (4) tingkat vaksinasi minimum yang diperlukan dalam pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) ialah = Menganalisis bagaimana Gambar 9. Proporsi individu I pada saat nilai = , = 0.3, = 0.1, dan = 0 Dari gambar 9 menunjukan bahwa semua vaksinasi yang diberikan bahwa penyakit akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak (measles) bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit campak (measles) menghilang dari populasi individu I. Dengan demikian jika < = , maka penyakit campak (measles) tidak akan menghilang dari populasi individu I dalam jangka waktu yang tak terbatas. Kondisi kesetimbangan yang dicapai dalam individu I merupakan titik kesetimbangan endemik. Tabel 1. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan. Titik Tetap 0 (1, 0) 0.1 (1, 0) 0.3 (0.7, 0) Kestabilan Stabil asimtotik - Takstabil Stabil asimtotik -Takstabil 1.3 -Stabil asimtotik -Takstabil Dari Tabel 1 dapat di lihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan maka nilai bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian < c= , nilai sehingga penyakit campak (measles) akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas. Makinde (2007) menyatakan tingkat vaksinasi yang dilakukan harus lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum yang

23 13 diberikan agar penyebaran campak (measles) dapat dicegah dengan sangat baik. Oleh karena itu, selanjutnya akan dilakukan simulasi nilai yang lebih besar dari Selajutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum. Gambar 10. Proporsi individu I pada saat nilai = , = 0.6, = 0.9, dan =1 Dalam waktu kurang lebih 15 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabi di = (0.5, 0). merupakan titik tetap bebas penyakit dikarenakan proporsi individu I = 0. Besarnya bilangan reproduksi dasar ialah = Titik tetap bebas penyakit tersebut bersifat stabil asimtotis karena nilai. Jika setiap kelahiran memperoleh vaksin sebesar = 1. Diberikan vaksinasi pada tingkat = 1, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna biru. Untuk = 1, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 15 tahun. Dalam waktu kurang lebih 15 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabil di = (0.5, 0). Dengan demikian Penyakit campak (measles) akan menghilang dari populasi untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum Semakin besar tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi. Tabel 2. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan α Titik tetap Kestabilan Stabil asimtotik (0.5, -0.2) -Takstabil Stabil asimtotik (0.5, -0.4) -Takstabil 1 0 -Stabil asimtotik (50, -16) -Takstabil Dari Tabel 2 dapat di lihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan maka bilangan reproduksi dasar akan semakin menurun. Namun demikian < c = , nilai sehingga penyakit campak (measles akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak batas. Tabel 2 juga menunjukkan bahwa untuk < c = , kenaikan tingkat vaksinasi dapat menyebabkan semakin menurunnya bilangan reproduksi dasar Untuk = 1, titik stabil pada proporsi kelompok individu rentan bernilai nol. Hal tersebut menunjukkan bahwa semua individu rentan kebal dari penyebaran penyakit campak (measles) dan akan memasuki kelompok individu pulih. Titik stabil yang dicapai ialah titik tetap stabil bebas penyakit dikarenakan proporsi kelompok individu infeksi bernilai nol. 4.3 Model SEIR Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( an ), sehingga dari persamaan (4) diperoleh : = 0 (15) = 0 didapat nilai titik tetap yaitu E 0 (s, e, i)= (1, 0, 0) dan E 1 (s, e, i)= ( ( ) ( * ) Dengan menggunakan Software Maple 12 dan parameter yang digunakan,,

24 14, dan diperoleh nilai titik tetap yaitu E 0 = (1, 0, 0) dan E 1 = (0.29, 0.22, 0.45). E 0 merupakan titik tetap tanpa penyakit dan E 1 merupakan titik tetap endemik Konstruksi Matriks Jacobi Untuk Model SEIR Misalkan sistem persamaan (6) dituliskan sebagai berikut: dengan [ ] [ ] * ε + ε (15) (16) Analisis Kestabilan Titik Tetap Model SEIR Kestabilan sistem di titik tetap E 0 (s, e, i) = (1, 0, 0). Titik tetap E 0 disubstitusikan pada persamaan (16), maka akan diperoleh λ 1 = λ 2 = ( ε) λ 3 = Jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 < 0, maka E 1 bersifat stabil dan jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 0, maka bersifat sadel. Teorema 1. a. Jika < c, maka sebuah titik tetap endemik yang tunggal dari model merupakan tititk tetap stabil asimtotik global. b. Misalakan c, titik tetap tanpa penyakit merupakan titik tetap stabil asimtotik global didalam Ὠ. Berdasarkan model SEIR yang digunakan maka diperoleh dua titik tetap endemik ( c < < *). Dari dua titk tetap endemik yang diperoleh dari model di atas tidak dapat menjadi stabil secara bersamaan di dalam Ὠ Bilangan Reproduksi untuk model SEIR R 0 dari model SIR diperoleh sebagai berikut ε * ε ε + ( ) (17) Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut; λ 1 = λ 2 = ( ε) λ 3 = Jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 < 0, maka E 0 bersifat stabil dan jika λ 1 < 0, λ 2 < 0 dan λ 3 0, maka E 0 bersifat sadel. Kestabilan sistem di titik tetap E 1 (s, e, i) =( ( ) ( * ) Sehingga akan diperoleh R 0 ( ) Orbit dan Kestabilan Sistem Model SEIR Orbit kestabilan diperoleh dengan menggunakan software Maple 12 sehingga diperoleh bentuk orbit seperti di bawah ini. Dengan memilih nilai-nilai parameter sebagai berikut; = 0.5, β = 0.8, μ = 0.4, dan ξ = Hal ini berimplikasi R 0 1 maka akan diperoleh yang bersifat stabil. Orbit disajikan sebagai berikut ; Titik tetap E 1 disubstitusikan pada persamaan (16), maka akan diperoleh J=* ε + ε Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut:

25 15 Gambar 11. Orbit kestabilan model SEIR di bidang SI. Pada gambar 11 terlihat bahwa orbitnya menuju titik. Oleh karena itu titik tetap endemik bersifat titik tetap stabil. Hal tersebut menunjukkan bahwa ada kelompok individu I yang dapat menyebarluaskan penyakit sehingga kelompok individu S terinfeksi penyakit campak (measles) dan memasuki kelompok individu R. Pada saat keadaan stabil, penyakit akan tetap ada sampai waktu tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak (measles) bersifat endemik. Berdasarkan persamaan (10), model SEIR akan mencapai stabil pada saat =. Titik merupakan titik stabil endemik karena. perubahan lagi. Pada keadaan tersebut, sistem berada pada titik stabil. Kelompok individu I mengalami kenaikan. Hal ini disebabkan oleh karena kelompok individu S terjangkit penyakit campak (measles). Sehingga pada waktu tertentu kelompok individu S tidak memasuki individu I, semakin besar individu S yang tidak terjangkit penyakit maka kelompok individu I akan semakin berkurang dan akan mencapai titik stabilannya. Besarnya bilangan reproduksi dasar ketika = 0 ialah = Nilai mengakibatkan kedua nilai eigen matriks jacobi pada model SEIR ini berupa bilangan real positif. Hal tersebut menunjukkan titik stabil endemik bersifat stabil asimtotik. Upaya pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) dapat dilakukan dengan program vaksinasi pada tingkat. Pengaruh vaksinasi dapat dilihat dari prilaku proposi individu I yang bersifat endemik. Berdasarkan persamaan (6) tingkat vaksinasi minimun yang diperlukan dalam pencegahan penyebaran penyakit campak (measles) ialah = Selanjutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksin jika tingkat vaksinasi lebih kecil dari vaksinasi minimum. Gambar 12. Dinamika populasi S, E, I, dan R menurut waktu (tahun) Pada gambar 12 di atas kita dapat melihat bagaimana hubungan individu rentan, infeksi dan pulih. Seiring berjalannya waktu poroporsi individu S akan semakin berkurang. Hal ini disebabkan oleh kelompok individu S terinfeksi penyakit dan memasuki kelompok individu I. Pada waktu tertentu, proporsi individu pada kelompok S tidak mengalami Gambar 13. Proporsi individu Infeksi pada sataun waktu (tahun) Dari gambar 13 warna biru menunjukkan proporsi individu untuk tingkat vaksinasi minimum = Warna hitam menunjukkan proporsi individu I untuk vaksiansi = 0.3, warna merah menunjukkan proporsi individu I untuk vaksinasi = 0.1 dan warna hijau menunjukkan proporsi individu I untuk vaksinasi = 0. Dari kurva di atas terlihat bahwa pada setiap tingkat vaksinasi yang diberikan pada saat yang bersamaan mencapai titik stabil. Proporsi individu kelompok infeksi akan mencapai titik kestabilan dalam jangka waktu kurang lebih 4 tahun. Dari semua vaksinasi

26 16 yang diberikan bahwa penyakit akan selalu ada dalam jangka waktu yang tak terbatas. Oleh karena itu, penyakit campak (measles) bersifat endemik. Dengan demikian vaksinasi yang dilakukan tidak berhasil membuat penyakit campak (measles) menghilang dari populasi individu I. Dengan demikian jika < c = , maka penyakit campak (measles) tidak akan menghilang dari populasi individu I dalam jangka waktu yang tak terbatas. Titik stabil yang dicapai dalam individu I merupakan titik stabil endemik. Tabel 3. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan α Titik stabil kestabilan Stabil asimtotik Stabil asimtotik Stabil asimtotik Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa dengan meningkatkan vaksinasi yang diberikan pada model SEIR ternyata bilangan reproduksi dasar mengalami penurunan. Namun demikian < c = , nilai sehingga penyakit campak (measles) tidak akan menghilang dari populasi. Selajutnya akan menganalisis bagaimana pengaruh vaksinasi jika tingkat vaksinasi yang diberikan lebih besar dari tingakat vaksinasi minimum. 0. Besarnya bilangan reproduksi dasar adalah = Titik tetap bebas penyakit tersebut bersifat stabil asimtotik karena nilai. Jika, setiap kelahiran memperoleh vaksin sebesar = 1. Jika diberikan vaksinasi pada tingkat = 1, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna biru. Untuk = 1, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 5 tahun. Dalam waktu kurang lebih 5 tahun maka sistem akan mencapai stabil dan mencapai titik stabi di = (0.29, 0.22, 0.54). Dengan demikian penyakit campak (measles) akan menghilang dari populasi untuk nilai tingkat vaksinasi lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum Semakin besar tingkat vaksinasi maka semakin cepat penyakit menghilang dari populasi. Tabel 4. Titik Tetap, Bilangan Reproduksi Dasar dan Kestabilan α Titik stabil Kestabilan Stabil asimtotik Stabil asimtotik Stabil asimtotik Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa jika semakin tinggi tingkat vaksinasi yang diberikan pada model SEIR maka nilai rasio reproduksi dasar mengalami penurunan. Dengan demikian, untuk tingkat vaksinasi yang lebih besar dari tingkat vaksinasi minimum, bilangan reproduksi dasar mengalami penurunan. Namun demikian sehingga penyakit campak (measles ) akan selalu ada dalam jangka waktu yang tidak terbatas. 4.4 Model MSEIR Gambar 14. Proporsi individu I Jika diberikan vaksinasi pada tingkat = 0.6, maka proporsi individu I ditunjukan oleh warna hijau. Untuk = 0.6, penyakit akan menghilang dari populasi dalam jangka waktu kurang lebih 4 tahun dan mencapai titik stabil di = (0.29, 0.22, 0.54). merupakan titik tetap endemik dikarenakan proporsi individu I Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( an (7) diperoleh : ), sehingga dari persamaan (18)