PENYUSUNAN RANCANGAN NEAR-ORTHOGONAL FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT

Transkripsi

1 PENYUSUNAN RANCANGAN NEAR-ORTHOGONAL FRACTIONAL FACTORIAL SPLIT-PLOT Idahati, Yei Agraii, Bagus Sartoo Departeme Statista FMIPA Istitut Pertaia Bogor Astrak Salah satu etuk racaga fractioal factorial split-plot yag ortogoal adalah racaga yag pegaruh utama dari seluruh faktor ersifat salig ortogoal, a faktor petak utama maupu aak petak. Racaga semacam ii memera pedugaa model pegaruh utama yag palig a secara statist. Namu demia, ja dalam model liear dimasukka pegaruh iteraksi maka ada kemugkia pemaura (cofoudig) atara pegaruh utama da pegaruh iteraksi masih cukup esar sehigga dugaa yag diperoleh uka yag tera. Peelitia ii dimaksudka utuk memgemagka metode peyusua racaga yag ersifat ear-orthogoal, terutama pada pemaura atara pegaruh utama dari faktor petak utama da faktor aak petak, dega harapa aha pemaura atara pegaruh utama da pegaruh iteraksi pada racaga yag dihasia dapat leih redah kadarya. Hasil racaga yag diperoleh peulis ilai ersifat kompetitif dega racaga ortogoal yag sudah ada di literature. Kata Kuci: Split-Plot, Pemrograma Liear, Near-Orthogoal 1. Pedahulua Keta suatu percoaa meliatka ayak faktor, maka melakuka percoaa secara faktorial legkap tidak ayak mejadi piliha para peeliti, terutama peeliti idustri. Hal ii tidak lai karea teratasya iaya yag dapat disediaka utuk percoaa terseut yag aka memesar dega ayakya komiasi perlakua yag mugki teretuk. Racaga faktorial pecaha adalah piliha yag tersedia utuk megatasi masalah terseut. Haya saja keta memilih racaga faktorial pecaha, pertayaa yag timul adalah agaimaa memilih komiasi perlakua dari gugus seluruh kemugkia komiasi. Setidakya ada dua kelompok racaga yag isa dipilih. Kelompok pertama adalah racaga yag meliatka komiasi perlakua sedemia rupa sehigga atar faktorya ersifat ortogoal. Pada kelompok ii terdapat racaga faktorial pecaha yag ersifat reguler da yag ersifat tak-reguler. Kelompok kedua adalah racaga yag tidak mesyaratka keortogoala atar faktor. Pada kelompok ii atara lai kita dapat temuka racaga yag dihasia dega tek racaga optimum (optimum 327

2 desig) da racaga yag ersifat roust terhadap model yag diguaka (Cook & Nachtsheim 1982; Li & Nachtsheim 2000). Schoe (2010) memera diskusi tetag apakah seaya megguaka racaga ortogoal ataukah racaga optimum. Racaga ortogoal memili ciri keseimaga atau proporsioalitas dari masig-masig taraf faktor yag terliat. Dega jeis racaga ii, pada model liear erderajat tuggal, setiap dugaa pegaruh utama faktor ersifat salig eas sehigga pemuata kesimpula mejadi leih mudah. Semetara itu, racaga optimum memili keleiha dalam kemampua memera leih ayak kemugkia model liear yag dapat diduga, hal yag serupa yag mejadi tujua dari model-roust desig. Perhata aha racaga optimum diagu dega pedekata aha racaga yag dihasia merupaka racaga yag ersifat optimum dega kriteria tertetu utuk model liear yag telah ditetuka. Racaga ortogoal merupaka racaga optimum keta model liear yag diduga adalah model liear dega derjat tuggal karea pada saat itu ilai optimality-ya adalah 100%. Dalam percoaa idustrial, racaga yag ayak diterapka adalah racaga split-plot karea sulitya melakuka pegacaka legkap (lihat Joes ad Nachtseim 2009). Karea itu, diskusi megeai racaga split-plot ayak mejadi perhatia para peulis dalam idag peracaga percoaa idustri. Saat ii tersedia eerapa tek peyusua racaga split-plot erfaktor ayak yag ersifat ortogoal, misalya Huag et al. (1998); Bigham & Sitter (1999); Bigham et al., (2004), Sartoo et al. (i press). Juga tersedia tek racaga optimum utuk meghasia racaga split-plot, misalya Goos & Vaderoek (2003) da Joes & Goos (2007). Peelitia ii ermaksud utuk memera alteratif lai dalam meyusu racaga split-plot. Ide dari peelitia ii adalah memuat racaga yag medekati ortogoal sehigga karakterist racaga ortogoal tidak sepeuhya hilag, tetapi mampu memera model liear yg dapat diduga dega leih ayak diadigka racaga yag ersifat ortogoal. Kami aka megguaka pedekata stratum-ystratum megguaka tek liear programmig yag diusua oleh Sartoo et al. (i press) utuk memperoleh racaga FFSP ortogoal dega melakuka modifasi pada model pemrograma liearya. Modifasi yag dimaksud adalah meloggarka 328

3 persyarata keortogoala yag ada pada agia kedala pada model da memidahkaya ke agia fugsi tujua optimasi yag aka dimiimumka. Pejelasa rici megeai pedekata yag diguaka aka dipaparka pada agia erutya, diuti dega eerapa ilustrasi peerapa dari pedekata terseut. Beerapa settig racaga aka diguaka utuk memera gamara megeai proses peerapa dari pedekata ii. Seuah diskusi sigkat aka mejadi peutup tulisa ii. 2. Deskripsi Pedekata Pemetuka Racaga FFSP Near-Orthogoal Gua memera pejelasa legkap megeai pedekata yag diusua, kami aka memaparka otasi-otasi matrs yag diguaka sepajag tulisa ii. Seelumya, aka diera eerapa otasi parameter racaga yag igi diperoleh. Adaa igi disusu suatu racaga split-plot dega parameter racaga seagai erut. Yag pertama, terdapat seayak petak utama, yag masig-masig memili / aak petak sehigga secara total terdapat uah rus atau satua percoaa. Selajutya, adaa saja terdapat seayak s faktor aak petak serta faktor petak utama, yag semuaya memili dua level. Karea ada uah petak utama, maka diperluka uah perlakua dega satu perlakua petak utama utuk masig-masig petak utama. Adaa saja aha uah perlakua terseut dumpua dalam suatu matrs M erukura. Selajutya masig-masig petak utama memili / aak petak sehigga secara total terdapat aak petak. Dega demia diperluka uah perlakua aak petak da, misaa, matrs S yag erukura s adalah matrs yag memuat seluruh perlakua aak petak terseut. Racaga akhir diperoleh dega memasagka satu uah perlakua petak utama kepada / perlakua aak petak. Adaa B adalah matrs yag memasagka dega atura terseut, maka W = BM adalah susua perlakua petak utama dega uruta aris sesuai dega posisi perlakua aak petak pasagaya. Ja ii isa dilakuka maka matrs racaga akhir yag diotasa R adalah peggauga (augmetig) saja atara matrs W da S, atau R = [W S]. Utuk matrs M da S yag telah ditetuka, satu-satuya matrs yag harus ditemuka utuk memperoleh racaga akhir adalah matrs B. 329

4 Tulisa ii ermaksud utuk memaparka suatu metodologi memperoleh matrs B secara simulta sehigga racaga akhir yag diperoleh memperoleh karakterist yag a. Karakterist terseut diyataka dalam etuk pemaura yag semiimal mugki atara faktor-faktor yag ada dalam racaga. Megguaka prisip hirarki dalam aalisis data racaga faktorial pecaha, kami megusua utuk memera perhatia haya pada pegaruh utama da pegaruh iteraksi dua faktor. Dega memi am istilah ord da letter pada diskusi megeai pemaura da aliasig, kami memfokuska diri dega memperhata pemaura yag direpresetasa dega ord yag erisi maksimal empat letter. Berut ii diera rigkasa megeai otasi yag aka diguaka dalam tulisa ii sesuai dega uraia yag diera seelumya. Notasi Deskripsi S matrs perlakua aak petak, yag juga merupaka matrs pegaruh utama aak petak, erukura s Z matrs merupaka matrs pegaruh iteraksi dua faktor aak petak, erukura s 2 dega s 2 = s(s 1)/2 M matrs perlakua petak utama, yag juga merupaka matrs pegaruh utama faktor petak utama, erukura Q matrs pegaruh iteraksi dua faktor petak utama, erukura 2 B matrs assigmet/mejodohka yag meujukka perlakua petak utama tertetu dipasagka dega perlakua aak petak yag maa (atau sealya), erukura = 1 ja perlakua petak utama ke - j dipasagka dega perlakua aak petak k 0 j 1 utuk semua i =,, utuk semua j =,, j W = matrs perlakua (pegaruh utama) dari faktor petak utama, erukura BM V = BQ matrs pegaruh iteraksi dua faktor petak utama, erukura 2 R matrs racaga akhir erukura ( + s) R = [ W S ] Megguaka otasi matrs di atas, selajutya dapat diperoleh matrsmatrs yag merepresetasa eerapa pola pemaura dua, tiga, da empat huruf da disaja rigkasaya pada Tael

5 Tael 1. Rigkasa Jeis Pola Pemaura da Matrs yag Merepresetasaya Pola Pemaura WS pemaura pegaruh utama faktor petak utama (W) da pegaruh utama faktor aak petak (S) WWS - pemaura pegaruh utama faktor petak utama (W) dega pegaruh iteraksi atara faktor petak utama da faktor aak petak (WS) - pemaura pegaruh utama faktor aak petak S dega pegaruh iteraksi atar dua faktor petak utama (WW) WSS - pemaura pegaruh utama faktor petak utama (W) dega pegaruh iteraksi atar dua faktor aak petak (SS) - pemaura pegaruh utama faktor aak petak S dega pegaruh iteraksi atara faktor petak utama da faktor aak petak (WS) WWSS - pemaura atara WW da SS - pemaura atar WS dega WS yag lai WSSS - pemaura atara WS da SS Matrs S T W = S T BM S T V = S T BQ Z T W = Z T BM Z T V = Z T BQ Z T T = Z T [(1 T s W) (S 1 T )] Z T T = Z T [(1 T s BM) (S 1 T )] Catata: : Kroecker Product : Hadamard Product Perhata aha pada racaga FFSP yag ortogoal diiga B ersifat orthogoal terhadap S, atau B T S = S T B = 0 sehigga pemaura WS da WWS juga erilai 0, da model liear programmig diguaka utuk mecari matrs B yag memiimumka pemaura WSS, WWSS, da WSSS. Pada racaga yag ersifat ear ortogoal, kami tidak megharuska sifat orthogoal B terhadap S sehigga model optimasi diguaka utuk mecari B yag memiimumka kelima jeis pemaura. Berdasarka deskripsi di atas, selajutya dapat dituliska model optimasi pemrograma liear yag diutuhka adalah seagai erut: Fugsi Tujua : Miimumka a 1 g + a 2 s2 2 i1 k1 s i1 k1 g( ) + a 3 h + a 4 s h + a ( ) 5 d + a s2 6 i1 k1 d ( ) + a 7 e + a 8 i1 k1 s2 s e ( ) + a 9 f + a 10 f i1 k1 Dega Kedala: 331

6 Pemaura WS: utuk ( i, k) i =,, s da k =,,, j1 s g 0 s j1 l1 m g 0 j1 s 0 g g g 0 s j1 l1 m g 0 Pemaura WWS: utuk ( i, k) i =,, s da k =,,, 2 j1 s v h 0 s j1 l1 q h 0 j1 s v h 0 h h 0 s j1 l1 q h 0 Pemaura WSS: utuk ( i, k) i =,, s 2 da k =,,, j1 z d 0 z j1 l1 m d 0 j1 z 0 d d d 0 z j1 l1 m d 0 Pemaura WWSS: utuk ( i, k) i =,, s 2 da k =,,, 2 j1 z v e 0 z j1 l1 q e 0 j1 z v e 0 e e 0 z j1 l1 q e 0 Pemaura WSSS: utuk ( i, k) i =,, s 2 da k =,,, s dega u = k/, l = k (u 1) j1 j1 z z t t f f 0 f f 0 zs j1 0 zs j1 ju ju f f 0 zs ju 332 j1 g1 0 zs ju j1 g1 jg jg m m gl gl f f 0 0

7 Karakterist Matrs B st s1 st t1 utuk t 1,2,..., 1 utuk s 1,2,..., st {0, 1} utuk ( s, t) s 1,2,..., ad t 1,2,..., 3. Ilustrasi Pada agia ii kami meampia dua uah ilustrasi utuk memperjelas pedekata yag kami usua dalam peyusua racaga FFSP. Peulis memafaatka PROC OPTMODEL pada SAS/OR utuk meghasia racaga yag diiga. Ilustrasi 1: Racaga 24 ru. Adaa diiga seuah racaga split-plot dega karakterist seagai erut. Tersedia seayak 4 petak utama yag masig-masig memili 6 aak petak sehigga secara total terdapat 24 satua percoaa. Bayakya faktor yag terliat adalah dua faktor petak utama, W1 da W2, serta empat faktor aak petak yaitu S1, S2, S3, S4. Utuk mejalaka metodologi yag kami usua, diperluka dua suracaga yaitu su-racaga petak utama yag merupaka matrs erukura 4 2 da su-racaga aak petak yag erukura Kami megguaka racaga faktorial peuh 2 2 utuk racaga petak utama da dua racaga erukura 24 4 yag tersedia pada Sartoo et al. (i press). Selajutya su-racaga terseut kami jada iput agi model optimasi pemrograma liear yag kami susu. Karea ada dua su-racaga aak petak, kami memperoleh dua uah racaga split-plot, masig-masig kami otasa NO24-1 da NO24-2. Utuk melihat kualitas racaga yag diperoleh kami memadigka hasil yag kami peroleh dega racaga yag ersifat ortogoal yag terdapat pada Sartoo et al. (i press) yag diotasa S24-1 da S24-2. Racaga yag diperoleh dega metode usula ii disaja pada Tael 2, sedagka pada Tael 3 disaja peradiga karakterist kualitas dari racaga terseut dega S24-1 da S24-2. Ada dua hal yag diguaka utuk meilai kualitas dari racaga. Yag pertama adalah ayakya pegaruh yag dapat diduga pada 333

8 eragai model dega jeis iteraksi yag ereda-eda di dalamya. Parameter kualitas ii diiga memili ilai esar yag erarti aha semaki ayak pegaruh yag dapat diduga. Namu ja dua racaga memili ayakya pegaruh yag dapat diduga sama esar, maka parameter kualitas yag kedua yag diperadigka yaitu D-efficiecy model. semaki esar utuk meilai racaga yag semaki a Parameter kedua ii pu diiga Dari Tael 3 tampak aha pedekata ear-orthogoal tidak mampu memera racaga yag leih a ja meliatka su-racaga aak petak omor satu, amu jelas tampak aha ja su-racaga yag kedua hasilya jauh leih a dari racaga orthogoal. Tael 2. Racaga FFSP yag Bersifat Near-Orthogoal megguaka Pedekata yag diusua Petak Utama W1 W2 Aak Petak NO24-1 NO24-2 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S

9 Tael 3. Peradiga Karakterist Racaga yag dihasia dega Metode Usula dega Racaga pada Sartoo et al. (i press) Iteraksi dalam S24-1 NO24-1 S24-2 NO24-2 model liear #estimale #estimale #estimal #estimale effects D-Eff effects D-Eff e effects D-Eff effects D-Eff Tidak ada WW SS WS WW SS WW WS SS WS WW SS WS Ilustrasi 2: Racaga 32 rus Pada ilustrasi ii racaga yag igi diagu memili tiga faktor petak utama da lima faktor aak petak. Percoaa yag aka dilakuka dapat meyediaka seayak 8 petak utama yag masig-masig erukura empat sehigga secara total ada 32 satua percoaa. Dega settig seperti itu, maka diperluka su-racaga petak utama erukura 8 3 da su-racaga aak petak erukura Su-racaga petak utama yag kami guaka adalah racaga factorial peuh 2 3, sedagka suracaga aak petak kami guaka racaga faktorial peuh 2 5. Su-racaga yag sama diguaka oleh Sartoo et al. (i press). Hasil racaga yag diperoleh megguaka pedekata yag peulis usua, diotasa NO32, ditampia pada Tael 4. Sedagka karakterist kualitas racaga ditampia pada Tael 5. Pada tael terseut juga ditampia karakterist kualitas dari eerapa racaga ortogoal yag ada diliteratur yaitu ILP32 (dari Sartoo et al. (i press)), H32 (dari Huag et al. (1998)) da C32 (dari Capehart et al. (2011)). Tampak jelas aha racaga ear-orthogoal yag dihasia pada Tael 4 memili leih ayak pegaruh yag dapat diduga, terutama pada model yag meliatka iteraksi atara dua faktor aak petak da iteraksi atara faktor aak petak da faktor petak utama 335

10 Tael 4. Racaga FFSP 32 rus yag Bersifat Near-Orthogoal NO 32 Petak Utama W1 W2 W3 Aak Petak S1 S2 S3 S4 S

11 Tael 5. Peradiga Karakterist Racaga yag dihasia dega Metode Usula dega Beerapa Racaga di Literatur ILP32 H32 C32 Near-Orthogoal Iteraksi #estimale #estimale #estimale #estimal effects D-Eff effects D-Eff effects D-Eff e effects D-Eff Tidak Ada WW SS WS WW SS WW WS SS WS WW SS WS Ucapa Terima Kasih Peelitia ii dilaksaaka atas iaya program Peelitia Uggula Pergurua Tiggi BOPTN Istitut Pertaia Bogor Tahu Peulis meyampaa terima kasih kepada Ditje Dti Kemedud da LPPM IPB atas dukuga pedaaa terseut. DAFTAR PUSTAKA Bigham, D. R. ad Sitter, R. R. (1999). Miimum-aerratio to-level fractioal factorial split-plot desigs. Techometrics, 41: Bigham, D. R., Schoe, E. D., ad Sitter, R. R. (2004). Desigig fractioal factorial splitplot experimets ith fe hole-plot factors. Joural of the Royal Statistical Society, Ser. C (Applied Statistics), 53: Corrigedum, 54: Cook, R.D. & Nachtsheim, C.J. (1982). Model Roust, Liear-Optimal Desigs. Techometrics 24: Goos, P. ad Vaderoek, M. (2003). D-optimal split-plot desigs ith give umers ad sizes of hole plots. Techometrics 45: Huag, P., Che, D., ad Voeel, J. O. (1998). Miimum-aerratio to-level splitplot desigs. Techometrics, 40: Joes, B. & Nachtsheim, C. J. (2009). Split-plot desigs: What, hy, ad ho. Joural of Quality Techology, 41: Joes, B. ad Goos, P. (2007). A cadidate-set-free algorithm for geeratig D-optimal splitplot desigs. Joural of the Royal Statistical Society, Ser. C (Applied Statistics), 56: Li, W. & Nachtsheim, C.J. (2000). Model-Roust Factorial Desigs. Techometrics Volume 42, Issue 4:

12 Sartoo, B., Goos, P., ad Schoe, E. (i press). Costructig Geeral Orthogoal Fractioal Factorial Split-Plot Desigs. (tetatively accepted y Techometrics) Schoe, E.D. (2010). Optimum Desigs Versus Orthogoal Arrays for Mai Effects ad To-Factor Iteractios. Joural of Quality Techology 42: