Perbandingan Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum (MLE) dan Pendugaan Kuadrat Terkecil (LSE) Dalam Distribusi Keandalan

Transkripsi

1 Semiar Nasioal Statistika IX Istitut Tekologi Sepuluh Nopemer, 7 Novemer 009 Peradiga Metode Pedugaa Kemugkia Maksimum (MLE) da Pedugaa Kuadrat Terkecil (LSE) Dalam Distriusi Keadala I Nyoma Latra, da Wiarti Astrak Pedugaa adalah salah satu agia petig dari statistika iferesi. Medapatka peduga parameter distriusi yag diaggap palig sesuai utuk medeskripsika lama hidup suatu kompoe tertetu dalam aalisis keadala memerluka suatu metode yag harus dipilih. Pada paper ii metode Pedugaa Kemugkia Maksimu (MLE) diadigka dega metode Pedugaa Kuadrat Terkecil (LSE) yag meliputi metode Media Rak da Modified Kapla-Meier utuk meduga parameter distriusi Normal,, Log-ormal,, Weiull,, da Epoesial megguaka simulasi mote carlo. Metode teraik adalah metode yag meghasilka peduga dega tigkat akurasi da presisi palig tiggi. Jika salah satu metode meghasilka peduga dega tigkat akurasi palig tiggi, sedagka metode yag lai meghasilka peduga dega tigkat presisi palig tiggi maka keputusa tidak dapat diamil erdasarka pada kriteria ii. Hasil simulasi memerika kesimpula ahwa: pedugaa parameter μ pada distriusi Normal da Log-ormal memerika hasil yag sama aik megguaka metode MLE maupu metode LSE, sedagka pedugaa parameter σ agi distriusi Log-ormal metode Modified Kapla-Meier leih aik pada = 0 da metode MLE leik aik pada 0. pedugaa parameter θ pada distriusi Weiull megguaka metode MLE leih aik dari pada metode Modified Kapla-Meier kecuali pada β = 5 da β = 0 utuk = 0. pedugaa parameter θ pada distriusi Epoesial metode MLE leih aik dari pada metode LSE. Kata Kuci : Aalisis Keadala, MLE, LSE, Simulasi Mote Carlo. Pedahulua Salah satu agia petig dari statistika iferesi adalah pedugaa titik. Pedugaa titik medasari teretukya statistika iferesi sama halya seperti pedugaa selag da uji hipotesis. Oleh karea itu perlu dicari suatu peduga titik yag sesuai agi parameter populasi dari distriusi tertetu (Murray dkk., 994). Metode Pedugaa Kemugkia Maksimum (MLE) merupaka metode pedugaa titik yag serig diguaka utuk meduga parameter distriusi. Selai metode MLE, kadag metode pedugaa lai yag diguaka adalah metode Regresi Rak (Rak Regressio ; RR) da dikeal dega istilah metode LSE. Dokis da Iaoides (000), Nishiyama da Osada (004) memadigka metode MLE da RR yag merekomedasika utuk tidak megguaka metode RR dalam meduga parameter distriusi jumlah peduduk kota-kota di suatu egara. Marquart (998) megguaka simulasi mote carlo da teryata metode MLE leih aik daripada metode RR. Disampig itu juga disimpulka ahwa dega megaggapy seagai fugsi dari X dalam metode RR aka memerika hasil yag leih aik daripada megaggap X seagai fugsi Y. Dose Jurusa Statistika FMIPA-ITS Alumi Jurusa Statistika FMIPA-ITS

2 Pemiliha distriusi yag sesuai utuk medeskripsika distriusi usia pakai suatu kompoe merupaka hal yag sagat petig. Dega demikia perlu adaya pemiliha metode pedugaa yag teraik gua memperoleh peduga parameter distriusi terseut. Atas dasar ii, peulis ermaksud memadigka metode Pedugaa Kemugkia Maksimu (MLE) da metode Pedugaa Kuadrat Terkecil (LSE) utuk meduga parameter distriusi keadala meliputi Normal da Ekspoesial.,, Logormal,, Weiull,, Data yag diguaka adalah data simulasi diagkitka dega Matla 6.5., pada ukura sampel seesar 0, 0, 30, 00 da 000. Peradiga atar metode pedugaa erdasarka pada tigkat akurasi da presisi peduga parameterya. Metode teraik adalah metode yag meghasilka peduga dega tigkat akurasi da presisi palig tiggi. Jika salah satu metode meghasilka peduga dega tigkat akurasi tertiggi, sedagka metode yag lai meghasilka peduga dega tigkat presisi tertiggi maka kesimpula tidak dapat diamil megguaka kriteria yag ada dalam paper ii. Para partisipa disaraka utuk mecari kriteria lai apaila meemuka kasus terseut yag dalam tulisa ii tidak diahas. Keadala (Reliaility) Keadala dalam pegertia sehari-hari dapat diartika seagai kemampua atau tigkat erfugsiya suatu alat atau kompoe (Eelig, 997). Plot peluag adalah plot atara Y dega X (dimaa Y' da X merupaka hasil trasformasi dari ilai Y seagai peluag kummulatif da data X sedemikia higga fugsi distriusi kumulatif dari kadidat distriusi mejadi liear atau dapat diyataka dalam etuk Y 0 X. Dari plot ii dimugkika utuk memperoleh dugaa parameter distriusi data (Eelig, 997). Beerapa distriusi yag serig diguaka utuk medeskripsika distriusi usia pakai suatu kompoe tertetu atara lai adalah distriusi Normal, Logormal, Weiull, da Ekspoesial (Eelig, 997). Fugsi kepadata peluag, distiriusi kumulatif da dugaa parameterya disajika seagai erikut, a. Distriusi Normal Fugsi kepadata peluag (pdf) dari distriusi Normal, adalah, f (, ) e < < dimaa μ merupaka parameter mea distriusi dega jagkaua ilai < μ < merupaka parameter ragam distriusi dega jagkaua ilai, 0 < σ <. da

3 Distriusi peluag kummlatif (cdf) dari distriusi Normal Peduga agi F(, ) ( ), adalah, y () da megguaka metode MLE meghasilka, da MLE i i MLE i MLE i () Pedugaa erdasarka metode LSE diawali dega meliierka persamaa () mejadi ( y) yag selajutya ditrasformasi ke y ' 0. Parameter 0 diduga dega megguaka metode OLS sehigga diperoleh peduga LSE, 0 LSE da. Distriusi Log-ormal Fugsi kepadata peluag (pdf) dari distriusi Log-ormal da MLE (3) l f (, ) e, 0 < <, adalah, dimaa μ merupaka parameter lokasi dega jagkaua ilai < μ < merupaka parameter skala dega jagkaua ilai, 0 < σ <. Distriusi peluag kummlatif (cdf) dari distriusi Log-ormal F(, ) ( l ), adalah, da y (4) Peduga agi da megguaka metode MLE meghasilka, l da MLE i i MLE l i MLE i (5) Pedugaa erdasarka metode LSE pada distriusi Log-ormal serupa dega pada distriusi Normal yaitu meliierka (4) mejadi ( y) l yag selajutya ditrasformasi ke y ' 0 '. Parameter 0 da diduga dega megguaka metode OLS sehigga diperoleh peduga LSE, 0 LSE da MLE (6) 3

4 c. Distriusi Weiull Fugsi kepadata peluag (pdf) dari distriusi Weiull(θ, β) adalah, f (, ) e, 0 < < dimaa merupaka parameter skala dega jagkaua ilai 0 da merupaka parameter etuk dega jagkaua ilai 0 < <. Distriusi peluag kummlatif (cdf) dari distriusi Weiull(θ,β) adalah, y F(, ) e (7) Peduga agi θ da β megguaka metode MLE meghasilka, MLE MLE MLE da i MLE MLE i i i (8) log i i log Seperti halya pada distriusi ormal da Log-ormal persamaa (7) diliierka mejadi l l l l yag selajutya ditrasformasi dua kali pertama ke y y ' l ' kemudia ke ' y ' 0. Juga parameter 0 megguaka metode OLS sehigga diperoleh peduga LSE, 0 LSE e da d. Distriusi Ekspoesial i da diduga dega MLE (9) Fugsi kepadata peluag (pdf) dari distriusi Ekspoesial(θ) adalah, f e, 0 < < dimaa adalah parameter mea distriusi dega jagkaua ilai 0 < <. Distriusi peluag kummlatif (cdf) dari distriusi Ekspoesial(θ) adalah, y F = Peduga agi θ megguaka metode MLE meghasilka, e (0) () MLE i i 4

5 Dega meliierka persamaa (0) mejadi l( y) ditrasformasi ke y '. Parameter diduga dega megguaka metode OLS sehigga diperoleh peduga LSE, MLE () Dari semua distriusi di atas distriusi peluag kummulatif (cdf) dalam metode LSE rumusaya dierika secara empirik yaitu: utuk Modified Kapla-Meier; dimaa Metodologi Peelitia i i,,..., 0,3 0,4. utuk Media Rak, da i 0, 5 Data dalam paper ii diperoleh dari hasil pegacaka megguaka peragkat luak Matla 6.5. seagai peuah X da diagkitka utuk distriusi-distriusi Normal Log-ormal,,,, Weiull(θ,β), da Ekspoesial(θ). Sedagka peuah Y adalah ilai cdf yag disimulasika dega rumus yag telah ditetuka. Suatu himpua terdiri dari 000 data agkita utuk setiap simulasi dega ukura sampel seesar 0, 0, 30, 00 da 000 dipakai utuk meduga parameter distriusi dega metode MLE da LSE. Komiasi ilai-ilai parameter disesuaiaka dega parameter distriusi yag sedag diamati. Mea da 95% selag kepercayaa dua arah agi mea dihitug utuk semua peduga-peduga yag diperoleh dari satu himpua data terseut. Selajutya dilakuka pemadiga atara peduga yag diperoleh dega metode MLE da peduga yag diperoleh dega metode LSE. Metode teraik adalah metode yag meghasilka peduga palig akurat (yag ilai iasya palig kecil) da palig presisi (yag 95% selag kepercayaa dua arahya palig sempit). Hasil da Pemahasa a. Distriusi Normal Peuah X erdistriusi Normal, diagkitka dega komiasi ukura sampel da ilai parameter disajika pada Tael 5 (Lampira). Utuk meduga parameter μ da σ dega metode MLE megguaka rumus pada persamaa (), sedagka pedugaa dega metode LSE megguaka rumus pada persamaa (3). Hasil yag diperoleh dari aalisis data simulasi erdistriusi Normal metode yag diguaka disajika pada Tael., utuk eragai ukura sampel da 5

6 , Metode Pedugaa Pedugaa = 0 0 = 0 0 Akurasi Presisi Akurasi Presisi Akurasi Presisi Akurasi Presisi MLE Sama Sama Sama Sama Tertiggi Tertiggi Tael. Hasil Aalisis Data Simulasi Berdistriusi Normal Media Rak Sama Sama Sama Sama Modified Sama Sama Sama Sama Tertiggi Tertiggi Kapla-Meier. Distriusi Log-ormal Peuah X erdistriusi Log-ormal, diagkitka dega komiasi ukura sampel da ilai parameter disajika pada Tael 6 (Lampira). Utuk meduga parameter μ da σ dega metode MLE megguaka rumus pada persamaa (5), sedagka pedugaa dega metode LSE megguaka rumus pada persamaa (6). Hasil yag diperoleh dari aalisis data simulasi erdistriusi Log-ormal ukura sampel da metode yag diguaka disajika pada Tael. Tael. Hasil Aalisis Data Simulasi Berdistriusi Log-ormal, utuk eragai, Metode Pedugaa Pedugaa = 0 0 = 0 0 Akurasi Presisi Akurasi Presisi Akurasi Presisi Akurasi Presisi MLE Sama Sama Sama Sama Tertiggi Tertiggi Media Rak Sama Sama Sama Sama Modified Sama Sama Sama Sama Tertiggi Tertiggi Kapla-Meier c. Distriusi Weiull Peuah X erdistriusi Weiull, diagkitka dega komiasi ukura sampel da ilai parameter disajika pada Tael 7 (Lampira). Utuk meduga parameter θ da β dega metode MLE megguaka rumus pada persamaa (8), sedagka pedugaa dega metode LSE megguaka rumus pada persamaa (9). Hasil yag diperoleh dari aalisis data simulasi erdistriusi Weiull, utuk eragai ukura sampel da metode yag diguaka disajika pada Tael 3. 6

7 Tael 3. Hasil Aalisis Data Simulasi Berdistriusi Weiull, Metode Pedugaa θ Pedugaa β = 0 0 = 0 0 MLE Media Rak Modified Kapla-Meier Akurasi Presisi Akurasi Presisi Akurasi Presisi Akurasi Presisi Tertiggi Tertiggi Tertiggi Tertiggi Tertiggi utuk β=0,9 da β= Tertggi utuk β=5 da β=0 Tertiggi Tertiggi Tertiggi d. Distriusi Ekspoesial Peuah X erdistriusi Ekspoesial diagkitka dega komiasi ukura sampel da ilai parameter disajika pada Tael 8 (Lampira). Utuk meduga parameter θ dega metode MLE megguaka rumus pada persamaa (), sedagka pedugaa dega metode LSE megguaka rumus pada persamaa (). Hasil yag diperoleh dari aalisis data simulasi erdistriusi Ekspoesial utuk eragai ukura sampel da metode yag diguaka disajika pada Tael 4. Tael 4. Hasil Aalisis Data Simulasi Berdistriusi Ekspoesial Metode Pedugaa = 0 0 Akurasi Presisi Akurasi Presisi MLE Tertiggi Tertiggi Tertiggi Tertiggi Media Rak Modified Kapla-Meier Kesimpula Berdasarka hasil aalisis di atas dapat ditarik suatu kesimpula seagai erikut : a. Utuk distriusi Normal, pada ukura sampel seesar 0, 0, 30, 00, da 000 pedugaa parameter μ dega metode MLE maupu LSE (yag meliputi metode Media Rak da Modified Kapla-Meier) teryata hasilya sama. Sedagka utuk pedugaa parameter. Utuk distriusi Log-ormal, dega kriteria pemadiga ii elum isa disimpulka., pada ukura sampel seesar 0, 0, 30, 00, da 000 pedugaa parameter μ dega metode MLE maupu LSE (yag meliputi metode Media Rak da Modified Kapla-Meier) teryata hasilya sama. Sedagka utuk pedugaa parameter, kelihata dega metode MLE masih leih aik diadigka 7

8 dega metode LSE kecuali pada = 0 dega metode Modified Kapla-Meier leih aik diadigka dega metode laiya. c. Utuk distriusi Weiull,, pedugaa parameter teryata haya pada ukura sampel = 0 isa disimpulka yaitu dega metode Media Rak leih aik diadigka dega metode yag lai da pada ukura sampel leih dari 0 dega kriteria pemadiga ii masih elum isa disimpulka. Sedagka utuk pedugaa parameter, pada ukura sampel seesar 0, 0, 30, 00, da 000 terlihat dega metode MLE leih aik daripada dega metode LSE kecuali pada ukura sampel = 0 da ilai β > dega metode Modified Kapla-Meier leih aik diadigka dega metode laiya. d. Utuk distriusi Ekspoesial pada ukura sampel seesar 0, 0, 30, 00, da 000 pedugaa parameter θ dega metode MLE leih aik diadig dega metode LSE (yag meliputi metode Media Rak da Modified Kapla-Meier). Daftar Pustaka Dokis, L. da Iaoides, Y. M. (000). Dyamic evolutio of the US city size distriutio. I: Huriot, J. M. ad J. F. Thisse (Eds.), The ecoomics of cities. Camridge Uiversity Press, Camridge, hal Drapper, N.R. da Smith, H. (99). Aalisis Regresi Terapa, edisi kedua, PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Eelig, C.E. (997). A Itroductio to Reliaility ad Maitaiaility Egieerig, McGraw-Hill Books Compaies. Sigapore. Evas, M., Hastigs, N., da Peacock, B. (000). Statistical Distriutio. 3 th ed. Joh Willey & Sos. New York. Hogg, R.V. da Craig, A.T. (995). Itroductio to Mathematical Statistics. Pretice-Hall, Ic. New Jersey. Lewis, E.E. (996). Itroductio to Reliaility Egieerig. th ed. Joh Wiley ad Sos. Caada. Marquart, T. A. (998). Compariso of Methods for Iterval Data Usig Mote Carlo Simulatios. Weiull News (Issue 3). Daw Load taggal Murray, D. M., Rooey, B. L., Haa, P. J., Peterso, A. V., Ary, D. V., Bigla, A., Botvi, G. J., Evas, R. I., Flay, B. R., da Futterma, R. (994). Itraclass correlatio amog commo measures of adolescet smokig: Estimates, correlates, ad applicatios i smokig prevetio studies. America Joural of Epidemiology, vol. 40, hal

9 Nishiyama, Y. da Osada, S. (004). Statistical Theory of Rak Size Rule Regressio uder Pareto Distriutio. COE Iterfaces for Advaced Ecoomic Aalysis Kyoto. Uiversity. O Coor, P. D. T. (995). Practical Reliaility Egieerig. Joh Willey & Sos. New York. Roussas, G.G. (97). A First Course i Mathematical Statistics. Addiso Wesley Pulishig Compay. Lodo. Lampira Tael 5. Komiasi ukura sampel da ilai parameter distriusi Normal, Himpua Data Himpua Data 0 0 0, , , , , Tael 6. Komiasi ukura sampel da ilai parameter distriusi Log-ormal, Himpua Data Himpua Data 0 0,4 9 30, ,4 3 0, ,4 00, ,4 6 0, , ,

10 Tael 7. Komiasi ukura sampel da ilai parameter distriusi Weiull, Himpua Data θ β Himpua Data θ β 0 0 0, , , , , Tael 8. Komiasi ukura sampel da ilai parameter distriusi Ekspoesial(θ) Himpua Data θ Himpua Data θ