MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas)

Transkripsi

1 MATEMATIKA DASAR (Kardinalitas) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

2 Outline 1 Kardinalitas 2 Produk Kartesius 3 Representasi Komputer untuk Himpunan Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

5 Kardinalitas Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

6 Kardinalitas Definisi Kardinalitas (atau bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan A Contoh Jika A = {e, f, g, h} maka A = 4 Jika N = {x x 2 8x + 12 = 0} maka N = 2 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

10 Kardinalitas Power Set Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A) Contoh Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

11 Kardinalitas Power Set Misalkan A adalah sebuah himpunan. Power set (himpunan kuasa) dari himpunan A adalah himpunan semua subset dari A, dan dinotasikan P(A) Contoh Misalkan S = {a, b, c}, maka P(A) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

12 Kardinalitas Teorema Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2 n subset. Bukti Misalkan A = {x 1, x 2,..., x n }. Untuk menyusun sebuah subset B pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen x i, apakah x i B ataukah x i B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah = 2 n Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

13 Kardinalitas Teorema Misalkan A adalah sebuah himpunan dengan n elemen. Maka A memiliki 2 n subset. Bukti Misalkan A = {x 1, x 2,..., x n }. Untuk menyusun sebuah subset B pada A kita dapat melaksanakan dengan melihat setiap elemen dari A secara berurutan dan memutuskan apakah element tersebut merupakan anggota atau bukan anggota dari B. Ada 2 kemungkinan untuk suatu elemen x i, apakah x i B ataukah x i B. Indeks i bergerak dari 1 hingga n, sehingga total subset yang terbentuk adalah = 2 n Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

14 Produk Kartesius Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

15 Produk Kartesius Definisi Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai More generally A B = {(x, y) x A, y B} Produk Kartesius dari n himpunan A 1, A 2,..., A n didefinisikan sebagai A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,..., x n ) i {1, 2,..., n}, x i A i } Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

16 Produk Kartesius Definisi Produk Kartesius dari dua himpunan A dan B didefinisikan sebagai More generally A B = {(x, y) x A, y B} Produk Kartesius dari n himpunan A 1, A 2,..., A n didefinisikan sebagai A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,..., x n ) i {1, 2,..., n}, x i A i } Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

17 Produk Kartesius Produk Kartesius dan Komputasi Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu Misalnya Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

18 Produk Kartesius Produk Kartesius dan Komputasi Produk Kartesius muncul dalam komputasi saat kita berurusan dengan strings dari karakter-karakter yang didefinisikan berdasarkan aturan tertentu Misalnya Pada beberapa komputer, kode pengguna yang mengidentifikasi seorang pengguna yang terdaftar harus berisikan 3 huruf, diikuti 3 digit angka, dan diakhiri dengan sebuah huruf. Misalnya XYZ 123A. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

19 Produk Kartesius Jika L adalah himpunan semua huruf dan D adalah himpunan semua digit angka, maka himpunan semua kode pengguna yang valid adalah Kode pengguna L L L D D D L XYZ 123A berkorespondensi dengan elemen (X, Y, Z, 1, 2, 3, A) dalam himpunan L L L D D D L. Catatan Perbedaan penulisan XYZ 123A dengan (X, Y, Z, 1, 2, 3, A) hanya pada notasi saja dan bukan secara prinsip. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

22 Produk Kartesius Kadang kita perlu membentuk produk Kartesius dari sebuah himpunan dengan dirinya sendiri. Jika A sebuah himpunan, maka produk Kartesius A A... A (sebanyak n kali) dinotasikan A n A n = {(x 1, x 2,..., x n ) i {1, 2,..., n}(x i A)} Contoh 1: R 2 = {(x, y) x, y R} Contoh 2 Terkait dengan produk Kartesius {0, 1} n. Elemen (1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) {0, 1} 8. Kita dapat memandang {0, 1} n sebagai himpunan semua string n bits. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

25 Representasi Komputer untuk Himpunan Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

26 Representasi Komputer untuk Himpunan Pengantar Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters. Pertanyaannya: Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

27 Representasi Komputer untuk Himpunan Pengantar Beberapa bahasa pemrograman, seperti Pascal, memungkinkan himpunan-himpunan direkam dalam lingkungan tipe data tertentu, dimana elemen-elemen dari himpunan tersebut masuk dalam salah satu tipe data yang disediakan dalam bahasa tersebut, seperti integers atau characters. Pertanyaannya: Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

28 Representasi Komputer untuk Himpunan Sebuah himpunan selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu. Setiap himpunan A yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan A secara internal? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

29 Representasi Komputer untuk Himpunan Sebuah himpunan selalu didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini ada suatu perkecualian terhadap aturan yang secara umum menyebutkan bahwa urutan elemen suatu himpunan tidak relevan, karena perlu diasumsikan bahwa elemen-elemen dari himpunan semesta didaftar menurut urutan tertentu. Setiap himpunan A yang muncul dalam program dan didefinisikan dengan mengacu pada himpunan semesta S merupakan sub himpunan pada S. Lalu bagaimana komputer menyimpan A secara internal? Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

30 Representasi Komputer untuk Himpunan The answer: A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, b 1 b 2...b n, dimana n adalah bilangan kardinal dari S. Bit string b 1 b 2...b n dapat dipandang sebagai elemen (b 1, b 2,..., b n ) dalam {0, 1} n. Bit tersebut ditentukan berdasarkan aturan: b i = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A b i = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A dengan i bergerak dalam {1, 2,..., n} Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

31 Representasi Komputer untuk Himpunan Contoh Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 1 Tentukan representasi dari {2, 3, 5, 7} sebagai sebuah bit string! 2 Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string ! Jawab: 1 representasi bit string dari {2, 3, 5, 7} adalah himpunan yang direpresentasikan oleh adalah {1, 4, 6, 7, 9, 10} Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

37 Representasi Komputer untuk Himpunan Operasi irisan, gabungan dan komplemen juga dapat dinyatakan dalam bit string, dengan catatan bahwa himpunan-himpunan yang terlibat menggunakan referensi himpunan semesta yang sama Proses kalkulasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise and. untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise or. untuk mendapatkan bit string dari A disebut operasi bitwise not. Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

41 Representasi Komputer untuk Himpunan Contoh Jika bit string untuk himpunan A adalah dan bit string untuk himpunan B adalah Maka tentukan bit string untuk: A B, A B, dan A Jawab: 1 bit string untuk A B adalah bit string untuk A B adalah bit string untuk A adalah Coba cek kebenaran bit string tersebut dengan menggunakan operasi himpunan biasa Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19

47 TERIMA KASIH Selamat belajar dan sukses Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Kardinalitas Jember, / 19