TRANSFORMASI. Suatu transfornmasi pada bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga.

Transkripsi

1 1 TRANSFORMASI Suatu transfornmasi pada bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Sebuah fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat: 1. Surjektif 2. Injektif Surjektif artinya bahwa tiap titik B є V ada prapeta. Jadi kalau T suatu trasnformasi maka ada B є V sehingga B = T(A). B dinamakan peta dari A olewh T dan A dinamakan prapeta dari B. Injektif artinya kalau A 1 A 2 dan T(A 1 ) = B 1, T(A 2 ) = B 2, maka B 1 B 2 Ungkapan ini setara dengan ungkapan berikut: Kalau T(P 1 ) = Q 1 dan T(P 2 ) = Q 2 sedangkan Q 1 = Q 2 maka P 1 = P 2. Contoh soal: 1. Andaikan A є V, ada perpetaan T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V. Jadi T: V V yang didefinisikan sebagai berikut: 1.) T(A) = A 2.) Apabila P A, maka T(P) = Q titik tengah garis AP. Selidiki apakah T tersebut suatu trasnformasi. Jawab: P T(A)=A R S=T (R) Q=T(P) Jelas Bahwa A memiliki peta yaitu A sendiri.

2 2 Ambil sembarang titik R A pada V. Oleh karena V bidang euclides, maka ada ada satu garis yang melalui A dan R. Jadi ada satu ruas garis AR sehingga ada tepat satu titik S dimana S antara A dan R sehingga AS = SR. Berartti untuk setiap X є V ada satu Y, dengan Y = T(X) yang memenuhi persyaratan (2), jadi daerah asal T adalah V. 1) Apakah T surjektif atau apakah daerah nilai T juga V? Untuk menyelidikinya ini cukuplah dipertanyakan setiap titik V memiliki prapeta. Jadi apabila Y є Vapakah ada X є V yang bersifat bahwa T(X) = Y? Menurut ketentuan pertama kalau Y = A prapetanya adalah A sendiri, sebab T(A) = A. A X Y= T(X) Bila Y A maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X dengan X є AY sehingga AY = YX. Jadi Y adalah titik tengah AX yang merupakan satu-satunya titik tengah, jadi Y=T(X). Ini berrarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y, dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta, jadi t adalah suatu padanan yang surjektif. 2) Apakah T injektif? Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik P A, Q A, dan P Q, P, Q, A tidak segaris (kolinier). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q). A T(P) T(Q) P Q

3 3 Andaikan T(P) = T(Q) Oleh karena T(P) є AP dan T(Q) є AQ maka dalam hal ini AP dan AQ memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T(P) = T(Q). Ini berarti bahwa garis AP dan AQ berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa Q є AP. Ini berlawanan dengan permisalan bahwa A, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P) T(Q). Bagaimana apabila P, Q, A segaris? Dari uraian di atas tamapk bahwa T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V dan ditulis T : V V. Contoh 2: 2. Pilihlah pada bidang Eiuclides V suatu sistem koordinat ortogonal. T adalah padanan yang mengkaitkan setiap titik P dengan titik P yang letaknya satusatuanya dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T tranformasi? Jawab : Y P P' X 0 Kalau P = (X, Y) maka T(P) P = (X + 1, Y) Jelas daerah asal T adalah seluruh bidang V 1) Apakah T surjektif? 2) Apakah T injektif? Jika A(X, Y) pertanyaan yang harus dijawab ialah apakah A memiliki prapeta oleh T? Andaikan B =(X, Y ).

4 4 1) Kalau B ini prapeta titik A (X, Y) maka haruslah berlaku T(B) = ( X + 1, Y ) Jadi X + 1 = X, Y = Y. atau X = X - 1 Y = Y Jelas T (X-1, Y) = ((X-1) + 1, Y) = (X, Y) Oleh karena X, Y selalu ada untuk segala nilai X., Y maka B selalu ada sehingga T(B) = A. Karena A sebarang maka setiap titik di V memiliki prapeta yang berarti bahwa T surjektif. 2) Andaikan P(X 1, Y 1 ) dan Q(X 2, Y 2 ) dengan P Q. Apakah T(P) T(Q)? Disini T(P) = T(Q) maka (X 1 + 1, Y 1 ) = (X 2 + 1, Y 2 ). Jadi X 1 +1 = X 2 +1 dan Y 1 = Y 2. ini berarti X 1 = X 2 dan Y 1 = Y 2. jadai P=Q. Ini berlawanan dengan yang diketahui P=Q, jadi haruslah T(P) T(Q). Dengan demikian ternyata bahwa T injektif dan T adalah bijektif. Jada T suatu transformasi dari V ke V.

5 5 Contoh soal: 1. Misalkan v bidang euclides dimana A sebuah titik tertentu pada v, ditetapkan T suatu relasi sebagai berikut: a. T(A) jika A=P b. Jika P є v dan P A, T(P) = q dengan q merupakan titik tengah Jawab: v ruas garis AP. Apakah T merupakan suatu transformasi? A = P a. A є v P є v A = P, maka T(P) = A T(A) = P Akibatnya T(A) = A b. v A Q P A є v P є v A P AQ = PQ ( Q titiik tengah AP ) T (A) = Q T (A) = P T (P) = A T (P) = Q (terbukti)

6 6 2. Misal f suatu fungsi yang domainnya bidang datar dan didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) dan R (P) = (x + 2, 2y-3) a. Carilah F(a) jika A (1, 6) b. Carilah sebuah prapeta dari B jika B (-2, 4) c. Periksalah apakah F fungsi 1 1 Jawab: a. F (a) = A (1, 6) R (p) = x + 2, 2y-3 = (1+2, 2(6) 3 ) = (3, F (a) = (3, 9) b. B ( -2, 4), F (p) = x + 2, 2y-3 F (B) = (x + 2, 2y-3) (-2, 4) = x + 2, 2y-3 x + 2 = -2 x = - 4 2y-3 = 4 2y = y = 7 2 c. A (1, 6) f (A) = (3, 9) (1, 6) (3, 9) B (-4, 3 ½ ) f (B) = ( -2, 4) (-4, 3 ½ ) ( -2, 4) 3. Pemetaan f dari bidang ke bidang didefinisikan untuk suatu titik p(x,y) oleh f (p) = (l x l, l y l ) a. Tentukan f(a) jika a (-3, 60 b. Tentukan semua prapeta dari B (4, 2)

7 7 c. Tentukan range dari f d. Apakah f suatu transformasi Jawab: a. f(a) = A (-3, 6) f (p) = (l x l, l y l ) = (l -3 l, l 6 l ) f(a) = (3,6) b. B (4, 2), f (p) = (l x l, l y l ) f(b) = l x l, l y l (4, 2) = l 4 l, l 2 l dan l -4 l, l -2 l (4, 2) l 4 l, l 2l (4, 2) l -4 l, l -2l c. untuk A (-3,6) range dari f untuk A (-3,6) range dari f untuk B (4, 2) = (4, 2) dan (-4, 2) = (4, 2) (4, -2) = (4, 2) (-4, -2) =(4, 2) d. jadi ini fungsi onto bukan fungsi 1 1, jadi bukan fungsi transformasi.

8 8 PENCERMINAN Definisi Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi M s yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut: (i) (ii) Jika P s maka µ s (P) = P Jika P s maka µ s (P)= P sehingga garis s adalah sumbu PP. Pecerminan pada garis s selanjutnya kita lambangkan sebagai µ s. Garis s dinamakan sumbu refleksi (pencerminan/cermin). Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, kita selidiki apakah pencerminan itu suatu transformasi. 1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal µ adalah seluruh bidang V. 2) µ s adalah pancaran yang surjektif, sebab ambil X V, kalau X s maka X = X sebab µ s(x) = X= X Andaikan sekarang X s. Dari sifat geometri ada X V sehingga menjadi suatu ruas XX. Ini berarti bahwa µ s (X) = X. 3) Apakah µ s injektif? Andaikan A B A s dan B s maka jelas A = µ s (A) = A dab B = µ s (B) = B, A B. Kalau salah satu, misalnya A s, maka A = µ s (A) = A maka B s, B = µ s dengan B s. Ini pula A B atau µ s (A) µ s (B). Selanjutnya A s, B s

9 9 Misalkan bahwa µ s (A) = µ s (B). Maka A dan B, jadi A A s dan B B s. Ini berarti dari satu A ada dua garis berlainan yang tegak lurus pada s. Ini bisa mungkin. Pengandaian bahwa kalau A B maka µ s (A) = µ s (B) adalah tidak benar, sehingga pengandaian itu salah. Jadi kalau A B maka µ s (A) µ s (B). Jadi µ s adalah injektif, dengan demikian µ s adalah injektif, maka dari sifat-sifat (1), (2), dan (3) µ s adalah transformasi dengan asal V dan daerah nilai V. Dan ditulis µ s : V V. Contoh 3: Kalau A dan B dua titik maka apabila A = µ (A) dan B = µ (B). AB = A B. jadi jarak setiap dua titik sama dengan peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Dengan demikian yang dimiliki oleh µ itu membuat µ disebut transformasi yang isometrik atau µ adalah suatu isometri. Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P Q = PQ, dengan P =T(P) dan Q = T(Q). Teorema Setiap reflaksi pada garis adalah suatu isometri (lihat gambar) A B A s Jadi kalau A = µ s (A), S = µ s (B) maka AB = A B. B

10 10 Contoh soal: 1. Diketahui garis g adalah { (x, y) l y = x} dimana h = { (x,y) l y = 0} dan a = (1, 3), b = (-2, 1) tentukan : a. A sehingga A = (µh o µg ) (A) b. B sehingga B = (µg o µh ) (B) Jawab: A = (µh o µg ) (A) = µh o ( µg ) (A) = µh ( µg ) (1,3) 5 = µh (1,3) 1 A = (-3, 1) B = (µg o µh ) (B) = µg o ( µh ) (-2,1) = µh (-2, 1) 1 B = (1,2) 2. Diketahui garis g ={ (x, y) l y= -x} dimana h = { (x,y) l y= 3y = x+3}. Tantukan persamaan garis H sehingga h adalah µg (h). Jawab g ={ (x, y) l y= -x} h = { (x,y) l y= 3y = x+3} y = x+3 = 1 x h = µg (h)? misal : Q (x, y) µg (Q) = 3y = x +3.. (1) Q (x 0, y 0 ) maka µg (Q) = -y 0, -x 0 6 Diperoleh hubungan x = -y 0...(2) y = -x 0 Substitusikan 2 ke 1 3(-x 0 ) = -y x 0 = -y x 0 ) = y 0 3

11 11 Maka h = { (x,y) l 3x = y-3} -y = -3x-3 y = 3x +3 maka h = { (x,y) l y = 3x + 3} 3. Diberikan garis g adalah {(x,y) l y = 0}, h = {(x,y) l y = x} dimana k = h {(x,y) l x = -2}. Tentukan persamaan garis? a. µg(h) b. µh(g) c. µg(k) jawab: a. µg(h) misal x 0, y 0 є maka y 0 = x 0 µg (x 0, y 0 ) = - x 0, y 0 = x, y maka diperoleh x = y - x 0 y = x 0 y 0 sehingga didapat hubungan y = h maka µg(h) = h(x,y) l y=h} b. µh(g) misal x 0, y 0 є g maaka y 0 = 0 µh(x 0, y 0 ) = y 0, x 0 = x, y maka diperoleh x = y 0 y = x 0 ( x=0, y= x 0 ) sehingga didapat hubungan x =0 maka µh(g) = {(x,y) l x = 0}

12 12 c. µg(k) misal x 0, y 0 є k maaka x 0 = -2 µg(x 0, y 0 ) = = -x 0, y 0 = x, y maka diperoleh x = -x 0 y = y 0 sehingga didapat hubungan x =-2 maka µg= {(x,y) l x = -2}

13 13 DAFTAR PUSTAKA Rawuh Geometri Trasnformasi. Bandung.