GEOMETRI TRANSFORMASI MATERI

Transkripsi

1 GEOMERI RANFORMAI MAERI RANFORMAI BALIKAN Dosen Pengampu HERDIAN,.Pd., M.Pd. DIUUN OLEH : KELOMPOK V. DWI KHOMZAH NINGIH EVI PUPIAARI KELA V.B EKOLAH INGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (KIP) MUHAMMADIYAH PRINGEWU LAMPUNG 200

2 KAA PENGANAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah W yang telah melimpahkan karunia rahmat, hidayah serta nikmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas makalah Geometri ransformasi ini. Makalah ini disusun oleh kelompok VI sebagai tugas kelompok mata kuliah Geometri ransformasi. Makalah Geometri ransformasi ini membahas materi ransformasi Balikan. Di dalamnya sedikit memberikan pembahasan tentang ketentuan dan sifat-sifat serta teorema-teorema dalam transformasi balikan, di antaranya diambil dari buku dan internet. Dalam pembuatan makalah ini, penulis menyadari masih banyak terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua pihak. Dan penulis mengharapkan agar makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua dalam menambah wawasan dan pengetahuan. Pringsewu, November 200 Penulis Kelompok V

3 DAFAR II HALAMAN JUDUL... i KAA PENGANAR... ii DAFAR II... iii BAB I. PENDAHULUAN. Latar Belakang....2 Maksud dan ujuan... BAB II. PEMBAHAAN Ketentuan dan ifat-sifat... 2 eorema... 3 eorema eorema eorema eorema BAB III KEIMPULAN

4 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Pembelajaran pada saat ini, pembelajaran tidak hanya diberikan oleh guru,tetapi dengan kemajuan teknologi pelajar diharapkan bisa mandiri dan bermotivasi mencari bahan pembelajaran dan mendiskusikannya. Oleh karena itu, Mata Kuliah Geometri ransformasi ini pembelajarannya dilakukan dengan model diskusi presentasi kelompok. Makalah ini dibuat sebagai hasil diskusi kelompok kami tentang materi ransformasi Balikan yang dipresentasikan. 2.2 Maksud dan ujuan Maksud dan tujuan makalah ini adalah untuk:. Menyelesaikan tugas kelompok mata kuliah Geometri ransformasi. 2. Mengetahui ketentuan dan sifat-sifat dalam transformasi balikan. 3. Mengetahui teorema-teorema transformasi balikan.

5 BAB II PEMBAHAAN RANFORMAI BALIKAN KEENUAN DAN IFA-IFA Apabila g sebuah garis dan Mg refleksi pada garis g, maka MgMg (P) = P. Dapat ditulis M 2 g (P) = P. Jadi, M 2 adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. ransformasi demikian dinamakan transformasi identitas yang dilambangkan dengan huruf I, sehingga I (P) = P, P. eorema Buktikan bahwa I adalah suatu transformasi. Jawab : Jika I suatu transformasi maka akan berlaku sifat-sifat berikut: Jika suatu transformasi maka, I (P) = [ I (P) ] = (P), P. Jadi I =. Begitu pula I (P) = I [ (P) ] = (P), P. Jadi I = sehingga I = I = Dengan demikian transformasi identitas I berperan sebagai bilangan dalam himpunan transformasi-transformasi. Dalam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap x 0 ada balikan x - sehingga xx - = x - x =, Maka transformasi balikan ini dapat ditulis sebagai -. Jadi - = - =

6 EOREMA 2. EIAP RANFORMAI MEMILIKI BALIKAN Apabila adalah suatu transformasi, kita peroleh transformasi balikan dari yaitu L,adalah sebagai berikut : Andaikan X V dan V suatu bidang. Oleh karena suatu transformasi, maka adalah bijektif. Jadi ada prapeta A V. ehingga (A) = X.,kita peroleh L (X) = A, artinya L (X) adalah prapeta dari X. ehingga dari (A) = X [ L(X) ] = X. Atau (L) (X) = I (X), X V, ini berati L = I. Maka (L) (X) = L [ (X) ] = X Andaikan (X) = B, ehingga L (B) = X, ehingga L (B) = X L [ (X) ] = X. (L) (X) = X = I (X), X V, Bearti L = I Jadi L = L = I Akan dbuktiikan bahwa L adalah suatu transformasi. Dari definisi L jelas L suatu fungís yang surjektif, Andaikan (A) = X, dan (A2) = X2 Apabila (A) = (A2) Maka X = X2 (Karena injektif) ehingga (A) = (A2) Akibatnya,ada balikan dari,sedemikian sehingga : L (X) = L (X2) X = X2 Berarti L merupakan fungsi injektif. 3

7 Dengan demikian, terbukti bahwa L bijektif.jadi L suatu transformasi. ransformasi L ini disebut balikan dari transformasi dan dilambangkan dengan L = -. Jadi L = -. Contoh:.Pada suatu sistem orthogonal X 0 Y didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut: Untuk P (x,y), F (P) = (x, y) dan G (P)=(x-2, 2y). 2 ehingga (FG) (P)= F G (P) = F ( x 2,2y) =(x,y)=p Dan (GF)(P)=G F (P) =G ( x 2, y) 2 = (x,y)=p. Jadi (FG)(P)=(GF)(P)=I(P), P atau FG=GF=I Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis lagi G=F - atau F=G - 2.Ada dua garis g dan h yang sejajar dan titik A. Ditentukan : (P) = PA h, P g (Q)= QA g, Q h Jadi, daerah asal adalah garis g daerah asal adalah garis h daerah nilai adalah garis h daerah nilai adalah garis g 4

8 P Untuk Q g h ( ) ( P) ( ) ( Q) ( P) ( Q) P Q I ( P) I ( Q) ehingga = = L Ini berarti balikan dan balikan dari. EOREMA 3. EIAP RANFORMAI MEMILIKI HANYA AU BALIKAN. Andai suatu transformasi dengan dua balikan dan 2. Maka ( )(P)=( )(P)=I(P), P ( 2 )(P)=( 2 )(P)=I(P), P. ehingga ( )(P)=( 2 )(P) [ (P)]=[ 2 (P)]. Karena transformasi maka (P) = 2 (P), P. ehingga = 2. Jadi balikan adalah = 2 =. EOREMA 4. BALIKAN EIAP PENCERMINAN PADA GARI ADALAH PENCERMINAN IU ENDIRI Apabila pencerminan pada garis g, Mg Jika Mg (X) = Y; X g maka Mg Mg(X) = X atau (MgMg) (X) = I (X), X g. Jadi Mg o Mg = I. Apabila X g, maka Mg (X) = X sehingga Mg (X) = Mg [ Mg(X) ] atau juga Mg o Mg = I. Jadi untuk setiap X diperoleh : Mg o Mg Dengan demikian Mg - = Mg = I 5

9 DEFINII : uatu tranformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan suatu Involusi. Apabila dan transformasi maka masing-masing memiliki balikan yaitu - dan -. Komposisi transformasi, yaitu o adalah juga suatu transformasi. Jadi ada balikan ( o ) -. Hubungan - dan - terdapat pada teorema selanjutnya, yaitu; EOREMA 5: Apabila dan transformasi-transformasi maka (o) - = - o - Pembuktian I I Kita telah mengetahui bahwa ( o ) - o ( o ) = I. etapi ( - o - ) o ( o )= - ( - ) = - o I o = - o = I. Oleh karena suatu transformasi memiliki hanya satu balikan maka ( ) - = - -. Jadi, hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan-balikan transformasi dengan urutan yang terbalik. 6

10 CONOH OAL :. Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g = { (x,y) y = x } dan h = { (x,y) y = 0 } entukan P sehingga (MhMg) (P) = R dengan R = (2,7)! Jawab : Apabila P = (x,y), maka diperoleh berturut-turut (M g - M h - )(M h M g ) (P) = (M g - M h - ) (R). Jadi P = M g - [ M h - (R) ]. Oleh karena R = (2,7) dan M h - = M h, maka M h - (R) = M h (R) = (2,-7) sehingga M g -, M h - (R) = M g - (2,-7) = M g (2,7) = (7,2) sehingga P = (-7,2). 7

11 BAB III KEIMPULAN Dari penjelasan-penjelasan yang telah diterangkan maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:.etiap transformasi memiliki balikan. 2. etiap transformasi memiliki hanya satu balikan. 3. Balikan setiap penceminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri 4. Apabila dan transformasi-transformasi maka (o) - = - o -