APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISOMER SENYAWA ALKANA

Transkripsi

1 APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISMER SENYAWA ALKANA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Disusun oleh: Nely Indra Meifiani PRGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YGYAKARTA 008 i

2 PERSETUJUAN SKRIPSI APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISMER SENYAWA ALKANA Telah memenuhi syarat dan siap untuk diujikan Disetujui pada ari/tanggal: Rabu, 6 Juli 008 Menyetujui, Dosen Pembimbing I Dosen Pembimbing II Emut M.Si NIP. 808 Murdanu M.Pd NIP.0858 ii

3 PERNYATAAN Yang bertanda tangan di bawah ini, saya: Nama : Nely Indra Meifiani NIM : Program Studi Fakultas Judul Skripsi : Matematika : MIPA : Aplikasi Cayley Tree Dalam Menentukan Banyak Isomer Senyawa Alkana Menyatakan bahwa karya ilmiah ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan sepanjang sepengetahuan saya tidak berisi materi yang dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah laim. Yogyakarta, Juni 008 Yang menyatakan Nely Indra Meifiani NIM iii

4 PENGESAAN SKRIPSI APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISMER SENYAWA ALKANA Disusun oleh: Nely Indra Meifiani NIM Telah dipertahankan di depan Tim Penguji Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta pada hari / tanggal Rabu / Juli 008 Dan dinyatakan telah memenuhi syarat guna memperoleh Gelar Sarjana Sains DEWAN PENGUJI Nama Lengkap Tanda Tangan Tanggal Ketua Penguji Sekretaris Penguji Utama Penguji Pendamping : Emut, M. Si NIP : Murdanu, M. Pd NIP : Caturiyati, M. Si NIP : immawati P L, M. Si NIP Yogyakarta, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Dekan Dr.Ariswan NIP iv

5 MTT Tidak ada rahasia untuk menggapai sukses. Sukses itu dapat terjadi karena persiapan, kerja keras, dan mau belajar dari kegagalan... Barang siapa menempuh jalan untuk mendapatkan ilmu, Allah akan memudahkan baginya jalan menuju surga. (R Muslim) Dan mintalah pertolongan (kepada Allah SWT) dengan sabar dan shalat. Dan sesungguhnya yang demikian itu sungguh berat, kecuali bagi orang-orang yang khusyu. (QS: Al-Baqarah: 5) v

6 PERSEMBAAN Alhamdulillah, karya sederhana ini aku persembahkan untuk.... Ibu Bapakku Tercinta Terima kasih atas do a, kasih sayang, pengertian, kesabaran, pengorbanan, dan dukungannya yang telah diberikan semenjak aku lahir... Adekku Tersayang Lina Dwi Khusnawati (Nana) Terima kasih atas semuanya Telah membeikan makna indahnya arti persaudaraan... Mas Ris Terima kasih atas dorongan dan dukungannya ingga terselesaikannya tugas akhir ini... Teman-teman Math 0 Anggi, Lia, Do_why, Ria, Nopek, Nia, Anna, Susi, Nupus, Mamie, Irma, enik, Sigit, Johan, Fajar, endro, Sofyan, Yusfi Kalian teman-teman seperjuanganku.. 5. Sahabat-sahabatku Mbak Indri, Diana, Mas ari, Mas Yudi, Mas Ai, Mas eri, Eka,Mbak Umi, Emi, Mas endra, Mbak Bina, dll Terima kasih atas dukungan dan bantuannya 6. Teman-teman Kost Samirono CT 6 / 0 7. Guru-guru dalam hidupku Jasamu tiada tara... vi

7 APLIKASI CAYLEY TREE DALAM MENENTUKAN BANYAK ISMER SENYAWA ALKANA leh : Nely Indra Meifiani (005007) ABSTRAK Penulisan skripsi ini bertujuan membahas aplikasi teori graf dalam ilmu kimia. Pembahasan lebih ditekankan pada penggunaan Cayley Tree dalam menentukan banyak isomer senyawa alkana, yang pada awalnya perhitungan jumlah isomer terbatas pada perhitungan secara manual, yaitu metode draw and count. bjek penulisan ini adalah perhitungan isomer alkana berdasarkan konsep Cayley Tree, karena struktur graf dari senyawa alkana adalah pohon (tree). Dengan membuktikan bahwa senyawa alkana adalah graf pohon yang memenuhi E ( G) = V ( G), dengan nilai V ( G) = n dan E ( G) = n. Alkana dengan rumus kimia C n n di mana setiap simpulnya memiliki derajat simpul satu atau empat, oleh karena itu pada perhitungannya digunakan Cayley Tree. asil dari studi dan penulisan menunjukkan bahwa banyak isomer senyawa alkana dapat ditentukan melalui penjumlahan dari banyaknya Centered Tree dan Bicentered Tree. Centered Tree adalah sebuah pohon dengan satu pusat n C = C dan Bicentered Tree adalah sebuah yang mempunyai rumus h ( ) n 0 h, n pohon dengan tepat dua pusat (pusat selalu berdekatan) yang mempunyai rumus n B B. ( ) h = n 0 h, n vii

8 KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Aplikasi Cayley Tree dalam Menentukan Banyak Isomer Senyawa Alkana. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, skripsi ini tidak akan terwujud. leh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:. Bapak Dr. Ariswan selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta, yang telah memberi iin dan kesempatan kepada penulis dalam menyelesaikan studi.. Bapak Dr. artono selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan iin kepada penulis untuk menyusun skripsi.. Ibu Atmini Dhoruri, M.S. selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah turut membantu kelancaran penyusunan skripsi ini.. Bapak Emut M.Si sebagai Dosen Pembimbing Utama dan Bapak Murdanu M.Pd sebagai Dosen Pembimbing Pendamping yang telah membimbing, membantu, dan memberikan arahan serta masukanmasukan yang sangat membangun. viii

9 5. Seluruh dosen dan karyawan FMIPA UNY yang telah memberikan bantuan dalam bentuk apapun. 6. Kedua orang tuaku dan adikku yang senantiasa mendo akanku. 7. Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Semoga Allah SWT membalas mereka dengan kebaikan yang banyak. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini, oleh karena itu saran dan masukan sangat terbuka lebar. Penulis berharap karya ini dapat bermanfaat bagi kepentingan pendidikan pada khususnya dan dunia keilmuan pada umumnya. Yogyakarta, 0 Juli 008 Penulis Nely Indra Meifiani ix

10 DAFTAR ISI ALAMAN JUDUL... i ALAMAN PERSETUJUAN... ii ALAMAN PERNYATAAN... iii ALAMAN PENGESAAN... iv ALAMAN MTT... v ALAMAN PERSEMBAAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR SIMBL... xv BAB I PENDAULUAN A. Latar Belakang Masalah... B. Rumusan Masalah... 6 C. Tujuan Penulisan... 6 D. Manfaat Penulisan... 6 BAB II LANDASAN TERI A. Graf. Pengertian Graf Jenis-jenis Graf... 8 B. Derajat (degree) Simpul... C. Keterhubungan. Pengertian Dasar dalam Graf.... Graf Terhubung dan Komponen... x

11 D. Pohon (Tree)... 5 E. Pohon Berakar (Rooted Tree)... 7 F. perasi Biner... G. Grup.... rbit dan Cycle... 8 I. Graf Cayley (Cayley graph)... 6 J. Pohon Cayley (Cayley Tree)... 8 K. Graf Isomorfik... 0 L. idrokarbon... BAB III PEMBAASAN A. Penentuan Banyak k-cayley Tree... 5 B. Aplikasi Teori Graf dalam Menentukan Banyak Isomer Senyawa Alkana.. 6 BAB IV SIMPULAN DAN SARAN A. SIMPULAN B. SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR GAMBAR Gambar alaman Gambar. C 0 (Butana). Gambar. Representasi C 0 (Butana) dalam Graf 5 Gambar. Graf G dengan Lima Simpul dan Tujuh Rusuk 8 Gambar. Graf Tidak Berarah G... 9 Gambar. Graf Berarah G.. 9 Gambar. Graf Sederhana G... 0 Gambar.5 Graf tidak Sederhana G 5 dan G 6. 0 Gambar.6 Graf G 9 (Jalan, Jejak, Lintasan, Sikel) Gambar.7 Graf Terhubung G 7 dengan Komponen.. 5 Gambar.8 Graf Tidak Terhubung G 8 dengan Komponen 5 Gambar.9 Pohon dan Bukan Pohon 5 Gambar.0 (a) Pohon Berakar (b) Tanda panah pada sisi yang dibuang 7 Gambar. (a) pohon (b) b sebagai akar (c) e sebagai akar 8 Gambar. Pohon Berakar 9 Gambar. Upa Pohon.. 0 Gambar. Pohon dengan Tinggi.. Gambar.5 -ary tree dengan level... Gambar.6 Complete Binary Tree dengan Level.. Gambar.7 Fungsi α... 5 Gambar.8 Cayley Graph pada Dihedral group D. 8 xii

13 Gambar.9 Cayley tree. 8 Gambar.0 -Cayley Tree. 9 Gambar. Graf Isomorfik Gambar. Representasi C 0 (Iso-Butana) dalam Graf. Gambar. (a) Alkana dengan n= dalam bentuk Cayley Tree (b) Alkana dengan n= dalam bentuk Cayley Tree (c) Alkana dengan n= dalam bentuk Cayley Tree... 6 Gambar. -Cayley Tree. 6 Gambar. Metana, Etana, Propana... 6 Gambar. Senyawa Butana. 6 Senyawa Pentana 65 xiii

14 DAFTAR TABEL Tabel alaman Tabel. Tabel Cayley di S 7 Tabel. Tabel. Tabel Banyak Graf Isomorfik yang Ditentukan Melalui Metode Draw and Count Method Tabel Banyak Graf Isomorfik yang Ditentukan Melalui Konsep Cayley Tree Tabel. Tabel Istilah xiv

15 DAFTAR SIMBL C C Carbon idrogen Metana C Etana 6 C Propana 8 C 0 Butana C Alkana n n Ø V(G) Tidak kosong impunan Simpul G E(G) impunan Rusuk G V ( G) Banyaknya Simpul G E ( G) Banyaknya Rusuk G o ( G) rder dari grup G d(v i ) Derajat simpul δ ( G) Derajat minimum ( G) Derajat maksimum B R S n Bilangan bulat impunan perasi biner Grup simetri ~ Ekuivalen σ µ Permutasi xv

16 S ( G, S ) impunan generator Γ = Γ Cayley graph α β Generator Coordination number θ Φ Pemetaan satu-satu C() B() h Kongruen Centered Tree Bicentered Tree Tinggi pohon T h, Jumlah (k-) ary dengan n simpul dan tinggi pohon maksimum n h h Diameter pohon dengan satu pusat (center) h Diameter pohon dengan dua pusat (bicenter) xvi

17 xvii

18 BAB I PENDAULUAN A. Latar Belakang Masalah Teori graf pertama kali dikenalkan pada tahun 76 oleh seorang matematikawan terkenal dari Swiss yang bernama Euler. Teori Graf pertama muncul untuk memecahkan teka-teki masalah Jembatan Konigsberg yang sangat sulit dipecahkan pada masa itu. Konigsberg adalah suatu kota di Prusia bagian Timur Jerman. Kurang lebih seratus tahun setelah lahirnya tulisan Euler tersebut, tidak ada perkembangan yang berarti berkenaan dengan teori graf. Tahun 87, G. R. Kirchoff (8-887) berhasil mengembangkan teori pohon (Theory of Trees) yang digunakan dalam persoalan jaringan listrik. Sepuluh tahun kemudian, Arthur Cayley (8-895) juga menggunakan konsep pohon untuk menjelaskan permasalahan kimia yaitu hidrokarbon (eri Sutarno, 005: 65). Seiring perkembangan aman dan kemajuan teknologi yang semakin canggih, aplikasi teori graf telah merambah disiplin ilmu pengetahuan dan membantu memudahkan orang untuk menyelesaikan permasalahan. Penggunaan graf ditekankan untuk memodelkan persoalan. Teori ini juga sangat berguna untuk mengembangkan model-model yang terstruktur dalam berbagai situasi. Dalam implementasinya teori ini banyak dijumpai pada bidang elektro, kimia organik, ilmu komputer, dan lain sebagainya. Bahkan dewasa ini teori graf digunakan secara besar-besaran dalam bidang ekologi, geografi, antropologi, genetika, fisika, elektronika, pemrosesan informasi, arsitektur, dan desain. Dalam ilmu kimia, teori

19 graf dapat diterapkan dalam struktur kuantum elektronis, mekanika molekul, simulasi fase kondensasi, desain struktur molekul, polimer, topografi, energi potensial, dan makromolekul biologik (termasuk protein). Belakangan ini penerapan graf khususnya berkaitan dengan isomer struktur molekul, yaitu molekul yang mengandung karbon (Reisha umaria, 007: ). Seperti halnya senyawa-senyawa organik, dalam senyawa koordinasi dikenal pula adanya isomer. Menurut Kristian. Sugiyarto (006:.) isomer adalah senyawa yang mempunyai rumus molekul sama tetapi memiliki struktur berbeda. Lebih jauh lagi, menurut Reisha umaria (007: ) isomerisme bahan kimia merupakan konsep yang sangat penting dalam kimia modern. Pada awal dikenalnya isomer dalam kimia, jumlah isomer dari suatu senyawa ditentukan dengan cara menggambar lalu menghitungnya (Draw and Count Method). Metode ini dilakukan terhadap senyawa yang mempunyai struktur yang sederhana. Akan tetapi, secara umum dibutuhkan suatu metode untuk menghitung isomer senyawa yang lebih kompleks. Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang kimia, mendorong para ilmuwan melakukan penelitian dalam menghitung jumlah isomer. Misalnya, tahun 87 Cayley menghitung banyak isomer senyawa kimia dengan konsep graf. Penelitian dilanjutkan oleh George Polya dengan menggunakan kombinatorial untuk menentukan jumlah isomer senyawa kimia. Teori Polya ini sangat relevan untuk jenis perhitungan kombinatorik. Penentuan isomer dalam ilmu kimia tidak dilakukan secara sembarangan. Ada aturan khusus dalam penentuannya, misalnya dalam penamaan senyawa pada

20 setiap struktur yang terbentuk. Walaupun mempunyai rumus molekul yang sama, tetapi strukturnya berbeda isomer-isomer tersebut mempunyai sifat yang berbeda pula. Dalam teori graf perhitungan jumlah isomer dapat dilakukan dengan mudah dengan cara mengabaikan sifat-sifat dalam kimia. Karena perhitungan isomer dengan graf sifat-sifat dalam kimia tidak mempengaruhi hasil. Bentuk struktur dari susunan kimia adalah sebuah diagram yang menyatakan ikatan antara atom-atom dalam molekul. Salah satu senyawa kimia yang banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari adalah hidrokarbon, yaitu senyawa yang terdiri dari atom Carbon (C) dan atom idrogen (). idrokarbon dibagi atas hidrokarbon asiklik dan siklik. idrokarbon asiklik memiliki struktur pohon, dan dibagi atas tiga kelompok. Yaitu Alkana dengan rumus kimia C n n di mana mengandung ikatan tunggal, Alkena dengan rumus kimia Cn n di mana mengandung ikatan rangkap, dan Alkuna dengan rumus kimia C n n di mana mengandung ikatan rangkap tiga. Sementara hidrokarbon siklik ditandai dengan adanya struktur tertutup seperti cincin. idrokarbon siklik dibagi atas dua kategori, yaitu Sikloalkana dengan rumus kimia C n n dan idrokarbon aromatik dengan rumus kimia C 6 6. Dari semua penggolongan hidrokarbon, atom C dan atom yang menyusun senyawa tersebut tetap mempunyai sifat yang sama yaitu atom C mempunyai empat tangan, yang dapat berikatan dengan empat atom lainnya dan atom yang mempunyai satu tangan hanya dapat berikatan dengan satu atom saja. Dengan menyimbolkan atom C dengan simpul hitam putih ( ), dan atom dengan simpul hitam ( ), senyawa tersebut dapat digambarkan dengan mudah dalam bentuk graf. Semua jenis hidrokarbon di atas dapat

21 ditentukan banyak isomernya, tapi pada skripsi ini penulis hanya membahas penentuan banyak isomer senyawa alkana. Graf dengan teori pohonnya dapat digunakan dengan mudah untuk menyelesaikan masalah dalam kimia, khususnya dalam menentukan banyak isomer senyawa alkana. Karena penyelesaian dalam graf sangat sederhana dan tidak serumit jika ditentukan melalui ilmu kimia, dengan catatan sifat-sifat yang mempengaruhi perhitungan diabaikan. Untuk menyelesaikan permasalahan, senyawa alkana perlu dimodelkan. Graf dengan berbagai teorinya sangat cocok untuk memodelkan senyawa kimia tersebut. Dalam pemodelan menggunakan graf, unsur yang berikatan disimbolkan sebagai simpul dan ikatan-ikatan kimia yang terjadi disimbolkan dengan rusuk. Bentuk graf suatu senyawa mempunyai makna bahwa suatu senyawa yang terdapat di alam dikatakan stabil apabila mempunyai bentuk seperti yang dimodelkan dalam bentuk graf. Sebagai contoh pemodelan adalah senyawa Butana (C 0 ). C C C C Gambar. C 0 (Butana) Gambar., merupakan senyawa C 0 (Butana) yang terdiri dari dua jenis atom penyusun, yaitu atom C sebanyak empat dan atom sebanyak sepuluh, maka dari Gambar. diperoleh suatu graf yang merepresentasikan Butana.

22 5 Gambar.. Representasi C 0 (Butana) dalam Graf Dari Gambar., dapat ditemukan empatbelas simpul yang merepresentasikan jumlah atom dan tigabelas rusuk yang merepresentasikan jumlah ikatan antar atom pada senyawa Butana. Perhitungan isomer senyawa C 0 dapat dengan mudah ditentukan dengan cara Draw and Count Methods, akan tetapi untuk senyawa yang lebih kompleks khususnya pada senyawa alkana (C n n ), metode Draw and Count Method tidak mudah untuk diterapkan. Maka dari itu akan dicoba metode lain yang masih dalam ruang lingkup graf, perhitungan dengan menggunakan konsep Cayley Graph yaitu Cayley Tree. Struktur alkana digambarkan sebagai graf. Jumlah isomer yang berkorespondensi dengan jumlah graf yang bisa dibuat. Karena struktur graf dari senyawa alkana merupakan pohon, maka perhitungan dilakukan melalui pohon, yaitu Cayley Tree. Dalam perkuliahan Teori Graf di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta, Teori Graf telah menyajikan suatu teori yang sangat penting dalam kimia teoritis, yaitu Cayley Tree. Suatu teori yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam penentuan banyak isomer senyawa kimia. leh karena itu, penulis mengkaji salah satu aplikasi Teori Graf pada ilmu kimia yaitu Aplikasi Cayley Tree dalam menentukan banyak isomer senyawa alkana.

23 6 B. Rumusan Masalah. Bagaimana menentukan banyak k-cayley Tree?. Bagaimana aplikasi Teori Graf dalam menentukan banyak isomer senyawa Alkana? C. Tujuan Penulisan. Untuk menentukan banyak k-cayley Tree.. Untuk mengetahui aplikasi Teori Graf dalam menentukan banyak isomer senyawa Alkana. D. Manfaat Penulisan. Bagi Penulis Dengan mengetahui cara menentukan jumlah isomer senyawa alkana dengan Cayley Tree maka diharapkan dapat menambah referensi pengetahuan teori graf dan aplikasinya di bidang kimia.. Bagi Ilmu Pengetahuan Penulisan ini diharapkan dapat memberikan konstribusi bagi pengembangan Teori Graf, khususnya di bidang Ilmu Kimia.. Bagi Instansi Penulisan ini diharapkan dapat dijadikan sebagai salah satu referensi informasi bagi pihak yang berkepentingan.

24 7 BAB II DASAR TERI Pada bab ini akan disampaikan materi-materi berkaitan dengan graf khususnya Cayley Tree dan hidrokarbon khususnya alkana, yang merupakan landasan bagi pembahasan pada Bab III. Sebelum membahas Cayley Tree lebih lanjut, akan diuraikan terlebih dahulu mengenai beberapa istilah dasar dalam teori graf dan kimia. A. Graf. Pengertian Graf Menurut Goodaire & Parmenter (006: 89), Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan ( ( G) E( G) ) V,, dengan himpunan simpul tidak boleh kosong yang unsur-unsurnya disebut simpul (vertek) dan E ( G) mungkin kosong yang unsur-unsurnya disebut rusuk (edge). Jika v dan w adalah sepasang simpul yang berbeda di G, vw melambangkan rusuk di G, dan jika e=vw adalah rusuk di G, maka: a. v dan w berikatan (adjacent) di G b. rusuk e hadir (joining) simpul v dan w di G c. v dan w adalah simpul-simpul ujung rusuk di e d. rusuk e hadir (incident) di simpul v dan w atau sebaliknya dikatakan simpul v dan w hadir pada rusuk e.

25 8 Cara mempresentasikan sebuah graf yang paling umum adalah dengan diagram. Dalam diagram tersebut, titik-titik dinyatakan sebagai simpul dan tiap sisi dinyatakan sebagai rusuk sederhana yang menghubungkan tiap dua simpul. Gambar. menunjukkan suatu contoh representasi graf. e e e v e5 v e e7 v5 v e6 v Gambar. Graf G dengan Lima Simpul dan Tujuh Rusuk Dalam sebuah graf, seperti pada Gambar., dimungkinkan adanya suatu rusuk yang dua simpul ujungnya sama disebut gelang (loop), yaitu e. Sementara untuk dua simpul berbeda yang dikaitkan oleh dua atau lebih rusuk disebut rusuk ganda atau rusuk rangkap, yaitu e dan e 5 (eri Sutarno, 005: 66-67).. Jenis - Jenis Graf Secara umum rusuk pada graf mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah, graf dapat dikolompokkan menjadi dua jenis (Grimaldi, 999: 78) yaitu : a. Graf Tidak Berarah (undirected graph) Graf yang rusuknya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tidak berarah. Pada graf tidak berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh rusuk tidak diperhatikan. Jadi uv dan vu menyatakan rusuk yang sama. Sebagai contoh Gambar. adalah graf tidak berarah, dengan v v atau v v menunjukkan rusuk e, v v atau v v menunjukkan

26 9 rusuk e, v v atau v v menunjukkan rusuk e, dan v v atau v v menunjukkan rusuk e. e v v e e e v v Gambar. Graf Tidak Berarah G b. Graf Berarah (Directed graph) Graf yang setiap rusuknya diberikan orientasi arah disebut graf berarah(directed graph atau digraph). Pada graf berarah, rusuk berarahnya disebut busur (arc). Pada graf berarah uv dan vu menyatakan dua busur yang berbeda. Dengan kata lain, uv vu. Pada dasarnnya graf berarah tidak berbeda dengan graf yang telah diuraikan pada pengertian graf sebelumnya, hanya saja pada graf berarah setiap rusuk mempunyai arah tertentu. Gambar. menunjukkan contoh graf berarah dengan rusuk e = v v, rusuk e = v v, rusuk e = v v dan rusuk e = v v. e v v e e e v Gambar. Graf Berarah G Graf berarah pada Gambar 5 terdiri dari V = { v, v v }, { e, e, e e }, E =.,

27 0 Sesuai dengan kekhasan strukturnya, graf dapat dibedakan atas dua jenis (Wilson & Watkins, 990: 0), yaitu : a. Graf Sederhana Graf yang tidak memuat gelang maupun rusuk ganda dinamakan graf sederhana. Gambar. merupakan contoh graf sederhana G. Pada Gambar., rusuk-rusuknya tunggal dan tidak terdapat gelang. v v v v Gambar. Graf Sederhana G b. Graf tidak Sederhana Graf yang memuat rusuk ganda atau gelang dinamakan graf tidak sederhana. Gambar.5 merupakan contoh graf tidak sederhana. v v e e5 e e e v v v v e5 e e e e v G5 v G6 Gambar.5 Graf tidak Sederhana G 5 dan G 6

28 B. Derajat (Degree) Simpul Banyaknya rusuk yang hadir pada suatu simpul v i (loop dihitung dua kali), disebut derajat (degree) dari simpul tersebut; dinotasikan d ( v i ). Derajat suatu simpul sering juga disebut valensi dari simpul tersebut. Derajat minimum dari graf G dinotasikan dengan δ ( G) dan derajat maksimumnya dinotasikan dengan ( G). Contoh. Derajat (degree) dari suatu simpul dapat dilihat pada Gambar. d ( v ) = d( v ) = d( v ) =, d( v ), dan d ( v 5 ) =. Jadi, δ ( G) = dan ( G) = Teorema. (Chartrand, 985: 8) Untuk sebarang graf G dengan n simpul dan m rusuk berlaku sifat Bukti: n i= d ( v ) = m i =. Jika semua derajat simpulnya dijumlahkan, maka setiap rusuk dihitung dua kali yaitu masing-masing sekali untuk setiap simpul yang dihubungkannya. Sebagai contoh., pada Gambar. ( v ) d( v ) d( v ) d( v ) d( ) = = = d dua kali jumlah rusuk. v5 C. Keterhubungan Pada subbab ini akan dibahas pengertian dasar keterhubungan dalam suatu graf. Pengertian yang dimaksud adalah jalan (walk), jejak (trail), lintasan (Path), Sikel (Cycle), serta graf terhubung dan komponen pada graf.

29 . Pengertian Dasar dalam Graf a. Jalan (walk) Misal G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) di G adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) W ( v e, v, e,...,, ) =, e v 0 k k yang sukusukunya bergantian simpul dan rusuk, sedemikian hingga v i dan v i adalah simpul-simpul akhir rusuk e i untuk i k. W dikatakan sebagai jalan dari v 0 ke v k, atau ( v 0, v k ). Simpul v 0 dan v k berturut-turut disebut simpul awal dan simpul akhir W. Sedangkan simpul-simpul v, v,..., v k disebut simpul-simpul internal dari W dan k disebut panjang W. Panjang jalan W adalah banyaknya rusuk dalam W. Jalan W disebut jalan tertutup jika simpul awal dan simpul akhir W identik sama. Dengan kata lain, W jalan tertutup bila v 0 = v k. b. Jejak (trail) Misal W ( v e, v, e,...,, ) =, e v 0 k k adalah sebuah jalan di graf G. W disebut jejak (trail) jika semua rusuk e,...,, e, e ek dalam jalan W berbeda. Dengan kata lain, jejak (trail) adalah jalan tanpa rusuk berulang. c. Lintasan (Path) Misal W ( v e, v, e,...,, ) =, e v 0 k k adalah sebuah jalan di graf G. W disebut lintasan (Path) jika semua simpul dan rusuk dalam jalan W berbeda.

30 d. Sikel (Cycle) Sikel (Cycle) adalah sebuah jejak tertutup (closed trail) yang simpul awal dan semua simpul internalnya berbeda. Banyaknya rusuk dalam suatu sikel disebut panjang sikel tersebut. Sikel dengan panjang k disebut k- sikel. Sebuah sikel yang memuat semua simpul graf disebut sikel hamilton. Sebuah graf yang memuat sikel hamilton disebut Graf amilton. Definisi di atas dapat dijelaskan dengan Gambar.6 berikut. v e v e6 e7 e9 e e5 e8 v6 v e v e0 e v5 Gambar.6 Graf G 9 (Jalan, Jejak, Lintasan, Sikel) Diberikan contoh-contoh dari definisi di atas: Jalan (walk): W= (, e, v, e, v, e, v, e v ) v adalah sebuah jalan di graf 7 9 9, G 9. Jalan v, ) di graf G 9 mempunyai panjang. Karena ( v dalam barisan ini rusuk e 9 muncul lebih dari sekali, jelas barisan ini bukan jejak.

31 Jejak (Trail): W= (, e, v, e, v, e, v, e v ) v adalah sebuah jejak di graf 9, G 9 dengan panjang. Karena v muncul dua kali, maka jejak ini bukan lintasan. Lintasan (Path) : W= (, e, v, e, v, e, v, e, v, e v ) v adalah sebuah 5 0, lintasan di graf G 9 dengan panjang 5. Sikel (Cycle): W= ( v, e, v, e, v, e, v, e v ) , 6 adalah sebuah sikel di graf G 9 dengan panjang.. Graf Terhubung dan Komponen Sebuah graf G disebut terhubung (connected), jika untuk setiap dua simpul u dan v di G terdapat lintasan di G yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Sebaliknya graf G disebut graf tidak terhubung (disconnected), jika ada dua simpul di G yang tidak mempunyai lintasan yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Sebuah komponen dari graf G adalah sebuah graf bagian terhubung maksimal (simpul dan rusuk) dari G. Jadi, setiap graf terhubung hanya mempunyai satu komponen, sedangkan graf tak terhubung mempunyai lebih dari satu komponen. Gambar.7 menunjukkan contoh graf G 7 yang merupakan graf terhubung dengan satu komponen saja. Sedangkan Gambar.8 merupakan contoh graf G 8 yang merupakan graf tidak terhubung yang memiliki empat buah komponen.

32 5 b d a c f e Gambar.7 Graf Terhubung G 7 dengan Komponen a b c d e f g h i j Gambar.8 Graf Tidak Terhubung G 8 dengan Komponen D. Pohon (Tree) Definisi. (Grimaldi, 999: 57) Misal G=(V,E) adalah graf sederhana yang tidak berarah. Graf G disebut pohon (tree) jika G terhubung dan tidak memuat sikel. a b a b a b c c c d d d e f e f e f G0 G G Pohon Bukan Pohon Bukan Pohon Gambar.9 Pohon dan Bukan Pohon

33 6 Pada Gambar.9 terdapat graf G 0 yang merupakan pohon. Karena graf G 0 terhubung dan tidak memuat sikel. Graf G bukan pohon, karena mengandung sikel {a,b}, {b,c}, {c,a}. Graf G bukan pohon, karena tidak terhubung. Meskipun G bukan pohon, namun setiap komponen dari G adalah pohon. Teorema. (Grimaldi, 999: 59) Banyaknya simpul dari pohon T sama dengan banyaknya rusuk ditambah atau V ( T ) = E( T ) dengan V ( T ) Bukti : E ( T ) = banyaknya simpul T = banyaknya simpul T Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika pada V ( T ).. Untuk simpul n=, maka rusuk T adalah nol V ( T ) = E( T ) = 0 = Jadi ( T ) = E( T ) V benar.. Diasumsikan untuk jumlah simpul n=k ( T ) = E ( T ) Vk k benar. Akan dibuktikan benar untuk n=k Artinya V ( T ) E ( ) k = k T

34 7 Misalkan T adalah pohon dengan k simpul dan l adalah sebuah rusuk T. Maka, T- l memiliki tepat dua komponen T dan T, dan masing-masing komponen adalah pohon dengan simpul kurang dari k. Selanjutnya V V k k ( T ) = Ek ( T ) ( T ) = Vk ( T ) V ( T ) = Ek ( T ) Ek ( T ) = Ek ( T ) Ek ( T ) = E ( T ) ( ) k E. Pohon Berakar (Rooted Tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan rusukrusuknya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree). Gambar.0 mengilustrasikan pohon berakar. a a b c d b c d e f g e f g h i j h i j (a) (b) Gambar.0 (a) Pohon Berakar (b) Tanda panah pada sisi yang dibuang

35 8 Gambar. menunjukkan pohon dan dua buah pohon berakar yang dihasilkan dari pemilihan dua simpul berbeda sebagai akar b e a b d e g f a c d d f c h e g h g h b f a c (a) (b) (c) Gambar. (a) pohon (b) b sebagai akar (c) e sebagai akar Sebagaimana pada graf, akan sering menggunakan terminologi yang berhubungan dengan pohon. Di bawah ini didaftarkan beberapa terminologi yang penting pada pohon berakar. Untuk ilustrasi, pohon pada Gambar. dipakai sebagai contoh untuk menjelaskan terminologi yang dimaksudkan. Simpul-simpul pada pohon diberi label untuk mengacu simpul mana yang dimaksudkan. Kebanyakan terminologi pohon yang ditulis di bawah ini diadopsi dari terminologi botani dan silsilah keluarga.

36 9 a b c d e f g k h i j l m Gambar. Pohon Berakar Definisi. (Amir Muntaha, 008: ) Anak (child atau children) adalah simpul setelah suatu simpul dalam pohon dan rangtua (Parent) adalah simpul sebelum suatu simpul lain dalam satu pohon. Jadi, dari Gambar. dapat diketahui bahwa b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu. Definisi. (Amir Muntaha, 008: ) Saudara kandung (sibling) adalah simpul yang mempunyai orangtua yang sama. Jadi dari Gambar. diketahui f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda. Definisi. (Amir Muntaha, 008: ) Upapohon (subtree) adalah pohon yang dibentuk dengan memotong pohon yang sudah ada. Untuk lebih jelasnya, upapohon dapat dijelaskan melalui Gambar.

37 0 a b c d e f g k h i j l m Gambar. Upa Pohon Definisi.5 (Amir Muntaha, 008: ) Daun (leaf) adalah simpul paling ujung dalam sebuah pohon. Jadi daun tidak mempunyai anak dan berderajat 0. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun. Definisi.6 (Amir Muntaha, 008: ) Simpul yang mempunyai upapohon atau anak disebut Simpul dalam (internal nodes) Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. Definisi.7 (Amir Muntaha, 008: ) Aras (level) maksimum dari suatu pohon disebut tinggi (height) atau kedalaman (depth) pohon tersebut. Pohon pada Gambar. di bawah mempunyai tinggi.

38 a Aras 0 b c d e f g k h i j l m Gambar. Pohon dengan Tinggi Definisi.8 (Gross & Yellen, 005: 6) k-ary tree ( k ) adalah pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai paling banyak k anak (children). Jika k =, pohonnya disebut pohon biner (binary tree) Contoh Gambar.5 -ary tree dengan Level Definisi.9 (Gross & Yellen, 005: 6) Complete k-ary tree adalah k-ary tree di mana pada setiap simpul internalnya mempunyai tepat k anak dan pada semua daunnya mempunyai tinggi yang sama.

39 Banyaknya simpul internal pohon k-ary dengan tinggi h adalah... 0 = = = k k k k k k h h i i h Bukti Misalkan P(h) menyatakan... h k k k = k k h. untuk h=, maka ( ) = = = k k P Jadi P(h) benar untuk h=. Diasumsikan untuk h=n P(h) benar, yaitu sehingga... n k k k = k k n Akan dibuktikan untuk h=n P(h) benar, yaitu... = k k k k k k n n n ditunjukkan ( ) ( ) terbukti... = = = = k k k k k k k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n n n

40 P(h) = k k Contoh.... k h k h = k h Complete binary tree mempunyai simpul internal. Jika levelnya adalah, maka jumlah simpul internalnya adalah 7. Gambar.6 berikut merupakan complete binary tree dengan level Gambar.6 Complete Binary Tree dengan Level F. perasi Biner Misalkan R suatu himpunan yang tidak kosong. perasi pada elemenelemen R disebut operasi biner, apabila setiap dua elemen a, b R maka ( a b) R. Atau dapat pula dikatakan bahwa operasi merupakan pemetaan dari R R ke R. Sehingga dapat pula dikatakan bahwa operasi pada R bersifat tertutup. Contoh.5. perasi pada B dengan B = { b b bilangan bulat} adalah operasi biner. Sebab:

41 a. ( b Β) a b Β a, (operasi tertutup pada B) b. ( ( a, b ), ( a, b ) Β Β). ( a, b ) = ( a b ) a, = a & a b = a b = b b ( a b Β) ( ( a, b) Β Β), (hasil operasi tunggal). perasi pembagian bukan suatu operasi biner pada B, sebab terdapat a = Β dan b = 5 Β dengan Β 5 5 atau (,5 Β) Β G. Grup Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup. Asal-usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (80), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar. Definisi.0 (Fraleigh, 998: 5) Misalkan G adalah himpunan yang tidak kosong dan operasi pada G adalah suatu operasi biner. impunan G bersama-sama dengan operasi ditulis (G, ), adalah suatu grup bila memenuhi aksioma-aksioma:. Bersifat asosiatif a, b, c G, ( a b) c = a ( b c). G memuat elemen identitas, misal e e G x G berlaku x e = e x = x

42 5. Setiap unsur G mempunyai invers di dalam G pula a G, a G, a a = a a = e Definisi. (Fraleigh, 998: 9) a adalah invers dari a, sedemikian hingga Permutasi pada sebuah himpunan X dimaksudkan sebagai fungsi dari X ke X yang bersifat satu-satu dan onto. Contoh.6 Misalkan X { a, b, c} = dan terdapat permutasi α : X X, maka permutasi α dapat ditunjukkan sebagai berikut: a α = c b a c b Gambar.7 merepresentasikan fungsi α dari X ke X X X a b c a b c Gambar.7 Fungsi α Ditunjukkan fungsi α bersifat satu-satu dan onto, maka ( a) α( b). a b X, a b. a X b X a = α( b) α. (satu-satu),. (onto) Jadi α merupakan sebuah permutasi, di mana α ( a ) = c; α( b) = a; dan ( c ) = b α.

43 6 Definisi. (Fraleigh, 998: 96) Misalkan X = {,,,..., n}, maka grup dari semua permutasi pada X disebut grup simetri n, dan dinotasikan sebagai S n. Contoh.7 Misalkan = {,, } X maka S memiliki elemen sebanyak!=6. Semua permutasi pada X dapat disebutkan sebagai berikut. a = b = c = = = = ( ), d = = ( ), ( ), e = = ( ), ( ), f = = ( ). Dapat dibuktikan bahwa operasi perkalian permutasi. Contoh.8 Jika S = { a b, c, d, e, f }, merupakan sebuah grup terhadap S adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari S ke S dengan = {,,} S, maka S ={(), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )}. Akan dibuktikan bahwa S dengan komposisi fungsi.

44 7 Tabel. Tabel Cayley di S () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) Dari Tabel Cayley di atas dapat disimpulkan bahwa:. perasi pada S bersifat tertutup. al ini dapat dilihat dari Tabel Cayley yang menunjukkan bahwa hasil dari setiap komposisi dua elemen di S adalah juga elemen dari S. perasi pada S bersifat assosiatif, yaitu a, b, c S berlaku ( a b) c = a ( b c). Sesuai dengan sifat komposisi fungsi.. Ada elemen identitas, yaitu (), karena a S, berlaku a ( ) = ( ) a = a. Setiap elemen di S mempunyai invers di S. a S, a S, dengan a adalah invers dari a, sedemikian sehingga a a = a a = e invers dari () adalah () invers dari () adalah () invers dari () adalah () invers dari () adalah ()

45 8 invers dari () adalah () invers dari () adalah () karena operasi pada S memenuhi aksioma-aksioma dalam Definisi.0, maka ( S, ) adalah suatu grup. Definisi. (De Koninck, 007: 6) Misalkan a, b Z, m 0. a kongruen b modulo m (ditulis: a b(mod m)), jika m a-b; jika a tidak kongruen b modulo m (ditulis: a b(mod m)) Contoh.9 6 (mod ) sama artinya dengan 6 =. Definisi. (Weisstein, 008: ) Banyaknya elemen grup G disebut order dari grup G dan ditulis o ( G). Contoh.0 Misalkan G={,,,, 5, 6} dengan perkalian bilangan modulo 7 adalah suatu grup, maka ( G) = 6 o karena banyaknya elemen dari grup G adalah 6.. rbit dan Cycle Perkalian permutasi didefinisikan sebagai fungsi komposisi n σ = σ o σo σ o... o σ n kali σ n Akan dibuktikan bahwa ( ) ( σ ) = σ o σ oσ o... o σ n n kali n = σ

46 9 Misalkan diambil m ( σ ) n m ( σ ) n m m m m = σ o σ oσ o... o σ = σ o σ oσ o... o σ o σ o σ oσ o... o σ o... o σ o σ oσ o... o σ m kali m kali m kali = σ o σ oσ o... o σ = σ m. n m = m. n kali n kali n. n ( σ ) = σ n n ( σ ) = σ ( terbukti) n kali n Akan dibuktikan bahwa σ m n = σ oσ m n σ. σ n σ oσ m m = σ o σo σ o... o σ o = σ o σo σ o... o σ = σ n m n kali ( n m) kali ( terbukti) σ o σo σ o... o σ m kali Misalnya σ suatu permutasi pada himpunan A dan didefinisikan relasi ~ n pada A oleh a ~ b jika dan hanya jika b σ ( a) bulat. Relasi ini bersifat. Refleksif, yaitu a ~ a, a A Bukti: n σ ( a) = a =, a, b A, dan n suatu bilangan Ambil n = 0 Z n Maka σ ( a) = σ 0 ( a) = a

47 0. Simetris, yaitu a ~ b b ~ a Bukti: n diketahui a ~ b maka b σ ( a) b n n = σ ( a) a ( b) = untuk suatu n Z = σ untuk suatu n Z, maka b ~ a. Transitif, yaitu a ~ b dan b ~ c maka a ~ c Bukti: m a ~ b b σ ( a) n b ~ c c σ ( b) maka c = σ c = σ = σ =, untuk suatu bilangan bulat m =, untuk suatu bilangan bulat n n ( b) n m ( σ ( a) ) ( n m ) ( a ) a ~ c Dari ketiga sifat tersebut menunjukkan bahwa relasi ~ adalah suatu relasi ekuivalensi pada A dan mengakibatkan partisi pada A atas kelas-kelas ekuivalensi. Definisi.5 (Fraleigh, 998: ) Misalkan σ merupakan sebuah permutasi pada himpunan A. Kelas-kelas ekuivalensi yang ditentukan oleh relasi ekuivalensi merupakan orbit-orbit untuk σ. Contoh. a ~ b b n = σ Ditentukan σ adalah sebuah permutasi pada S 8. ( a) σ =

48 Pada S 8 dapat dicari orbit dengan mengaplikasikan σ berulangkali sampai kembali pada elemen semula. σ ( ) = 7 maka ~ 7 ( ) = σ ( σ ( ) ) = σ ( 7) = σ maka ~ σ ( ) = ( ) = ( ) σ σ ( ) = σ ( ) = 5 σ maka ~ 5 σ ( ) = σ ( σ ( ) ) = σ ( 5) = σ ( ) = 6 maka ~ 6 ( ) = σ ( σ ( ) ) = σ ( 6) = 8 σ maka ~ 8 σ ( ) = ( 8) = ( ) σ σ ( ) = σ Berikut ini alur yang didapatkan dari permutasi σ di atas. 7, 5, 6 8 Sehingga orbit-orbit untuk σ adalah {,7,}, {,5}, {,6,8} rbit-orbit σ dapat digambarkan sebagai berikut Apabila diperhatikan, maka setiap orbit pada contoh di atas dapat menentukan sebuah permutasi baru dalam S 8 dengan ketentuan bahwa elemen yang menjadi anggota orbit akan ditransformasikan sedangkan elemen-elemen lainnya tetap.

49 Misalkan saja orbit yang pertama {,7,} membentuk sebuah permutasi dengan alur 7 dapat µ = Dengan demikian permutasi µ hanya memiliki orbit yang beranggotakan lebih dari elemen. Permutasi yang demikian disebut sebagai cycle. Berikut definisi formalnya. Definisi.6 (Fraleigh, 998: 5) Sebuah permutasi σ Sn disebut cycle jika σ memiliki paling banyak satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen. Panjang sebuah cycle adalah banyaknya elemen pada orbit terbesar. Contoh. Sebagaimana telah disebutkan pada permutasi µ, permutasi µ merupakan sebuah cycle dengan panjang dan dinotasikan sebagai µ = (,7, ) Tidak seperti pada orbit, urutan elemen pada penulisan sebuah cycle akan menentukan alur pemutasinya. Misalnya (,7,) ( 7,,) = (,,7 ) (,7,) (,,7 ) = tetapi. Sebagaimana telah diketahui bahwa himpunan orbit sebuah permutasi merupakan partisi pada S n, sehingga orbit-orbit sebuah permutasi merupakan hmpunan-himpunan yang saling asing.

50 Cycle Index untuk grup permutasi G ditunjukkan sebagai berikut: ( ) ( ) ( )... g j g j g j a a a ( ) g j k menunjukkan banyaknya cycle g dengan panjang k dari hasil penguraian cycle g yang saling asing. Misalkan G adalah grup permutasi dengan order m dan derajat n, setiap permutasi g di G mempunyai cycle saling asing yang diuraikan secara tunggal. Cycle Index untuk grup simetri akan ditentukan sebagai berikut:. ( ) ( ) { },, = S Vertex Interchange Grup Permutasi Cycle Index = a = a Jadi Cycle Index untuk S adalah ( )! a a. S ={(), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )} Vertex Interchange Grup Permutasi Cycle Index = a = a = a

51 = a a = a a = a a Jadi Cycle Index untuk S adalah ( )! a a a a. S = {(), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )} Vertex Interchange Grup Permutasi Cycle Index = a = a = a = a = a = a = a

52 5 = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a a = a

53 6 Jadi Cycle Index untuk = = a a S adalah ( a 6a a 8a a a a )! 6 I. Graf Cayley (Cayley Graph) Dalam matematika, Cayley Graph juga dikenal dengan nama Cayley Colour Graph. Konsep ini diperkenalkan oleh Arthur Cayley, yang merupakan teori dasar untuk memahami Cayley Tree. Definisi.7 (Weisstein, 008: ) impunan generator dari suatu grup adalah himpunan elemen-elemen dari grup itu sendiri yang memungkinkan pengulangan generator tersebut maupun kombinasi antar generatornya dapat menghasilkan elemen-elemen grup. Contoh. Misalkan Z 6 adalah operasi penjumlahan modulo 6 adalah grup, Z 6 ={0,,,,, 5}. impunan generatornya adalah {}, {, 5}, {,, }. Diperoleh dengan cara sebagai berikut:

54 7 Untuk {}.0 = 0. =. =. =. =.5 = 5 Untuk {, 5} = =. 5. =. 5. =. 5. = = 5 Untuk {,, }.0.. = 5... =... =... =.5.. = 0... = Definisi.8 ( Misalkan G adalah grup dan S adalah himpunan generator. Cayley Graph Γ = Γ( G,S ) adalah Graf berwarna berarah (Colored Directed Graph) yang dibentuk sebagai berikut: a. setiap elemen g dari G dinyatakan sebagai simpul: himpunan simpul V ( Γ) dari Γ dinyatakan dengan G. b. setiap elemen s dari S dinyatakan sebagai warna. c. untuk setiap g G, s S, simpulnya berkorespondensi pada elemen g dan gs yang digabungkan oleh rusuk berarah yang berwarna, yaitu c s. Maka dari itu, himpunan rusuk E ( Γ) terdiri dari pasangan ( gs) penyedia warna. g,, dengan s S sebagai Cayley Graph pada Dihedral group D pada dua elemen, misalnya pada α dan β akan di jelaskan malalui Gambar.8. Pada Gambar.8 tanda panah merah merepresentasikan perkalian kiri oleh elemen α. Sedangkan elemen β adalah inverse terhadap dirinya sendiri, garis biru merepresentasikan perkalian

55 8 kiri oleh elemen β yang tidak berarah. leh karena itu graf ini terbentuk, yang memiliki delapan simpul, delapan tanda panah, dan empat rusuk. Tabel Cayley pada grup D dapat ditentukan melalui suatu grup yaitu α, β α = βα = β = e, αβ. Gambar.8 Cayley Graph pada Dihedral group D J. Pohon Cayley (Cayley Tree) Cayley Tree atau yang disebut dengan Bethe Lattice, diperkenalkan oleh ans Bethe pada tahun 95. Cayley Tree dengan coordination number adalah graf bercabang yang setiap simpulnya terhubung dengan sebanyak simpul yang lain dan tidak memuat loop. Gambar.9 menunjukkan sejumlah -Cayley tree Gambar.9 Cayley tree

56 9 Cayley tree bisa digambarkan sebagai suatu struktur yang terus mengembang dari simpul pusat, dengan semua simpul disusun melingkari simpul pada level sebelumnya. Simpul pusat dapat disebut juga sebagai akar, seperti pada Gambar.0. Gambar.0 -Cayley Tree Setiap simpul pada Gambar.0 digambarkan terhubung pada persekitaran. Jika adalah coordination number, maka simpul pada level k bisa di hitung dengan k ( ) N = untuk k 0. k Pada Gambar.0 = dan k=,,,, 5, 6 sehingga N = ( ) N = ( ) N5 = ( ) 0 = ( ) = ( ) = ( ) = = = 8 5

57 0 N = ( ) N = ( ) N6 = ( ) 5 = ( ) = ( ) = ( ) = 6 = = 96 6 K. Graf Isomorfik Definisi.9 (eri Sutarno, 005: 85) Sebuah graf G disebut isomorfik dengan graf jika terdapat pemetaan satusatu θ (yang disebut isomorfisme dari V (G) ke V ( ) mempertahankan ketetanggaan. Jadi, ( u v) E( G) ( ( u) θ ( v) ) E( ) ) sedemikian sehingga θ, jika dan hanya jika θ,. Jika graf G disebut isomorfik dengan graf, dinotasikan dengan G. Jika G adalah suatu graf dengan himpunan simpul V(G) dan himpunan rusuk E(G). adalah graf dengan himpunan simpul V() dan himpunan rusuk E(). G isomorfik dengan jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu θ : V Φ : E ( G) V ( ) ( G) E( ) Akibatnya V(G) dan V() memiliki elemen yang sama banyaknya, atau G dan berorder sama. Misalkan u dan v adalah dua titik dari G dan misalkan pula bahwa θ ( u ) = u dan θ ( v ) = v θ ( u) dan ( v), maka u dan v bertetangga dalam G jika dan hanya jika θ bertetangga dalam. Dengan kata lain uv merupakan rusuk dari G jika dan hanya jika ( u) θ ( v) θ merupakan rusuk dari. Selanjutnya untuk mengetahui dua buah graf adalah isomorfik dapat dilakukan dengan memperhatikan rusuk yang menghubungkan v i dan v j dalam G

58 sama dengan banyaknya rusuk yang menhubungkan pasangan simpul yang berkorespondensi dengan v i dan v j dalam. leh karena itu jika G dan adalah suatu graf yang isomorfik, maka berakibat ( G) V ( ) ( G) E( ) V = dan E =. Sebagai contoh dua buah graf isomorfik yaitu diperlihatkan pada Gambar. A D E B G C G F Gambar. Graf Isomorfik Graf G dan pada Gambar. merupakan dua buah graf isomorfik, karena mempunyai jumlah rusuk dan simpul yang sama, dan terdapat korespondensi satu-satu antara graf G dan yakni A E, D, B F, C G. Dari Definisi.9 maka dapat diperoleh kesimpulan bahwa dua graf dikatakan isomorfik jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:. Jumlah simpul G = jumlah simpul (mempunyai jumlah simpul yang sama).. Jumlah rusuk G = jumlah rusuk (mempunyai jumlah sisi yang sama).. Jumlah rusuk yang mempunyai derajat tertentu dalam graf G dan sama (mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu).

59 L. idrokarbon idrokarbon adalah sebuah senyawa yang terdiri dari unsur C dan. Seluruh hidrokarbon memiliki rantai C dan atom-atom yang berikatan dengan rantai tersebut. idrokarbon sebagai salah satu senyawa organik merupakan senyawa kimia yang dapat dibagi atas hidrokarbon asiklik dan siklik. idrokarbon asiklik memiliki unsur pohon dan bisa dibagi atas tiga kelompok, yaitu alkana, alkena, dan alkuna. Untuk selanjutnya, pembahasan akan dibatasi pada alkana saja. Definisi.0 (Daintith, 999: 5) Elektron valensi adalah elektron-elektron di atom yang terlibat dalam ikatan kimia. Elektron valensi merupakan jumlah elektron yang terdapat pada kulit paling luar dari sebuah atom netral. Dalam pokok bahasan ini, elektron valensi adalah representasi dari derajat masing-masing simpul. Definisi. (Mulyono, 006: 65) idrogen (bahasa Latin: hydrogenium, dari bahasa Yunani: hydro: air, genes: membentuk) adalah unsur kimia pada tabel periodik yang memiliki simbol dan nomor atom satu. Pada suhu dan tekanan standar, hidrogen tidak berwarna, tidak berbau, bersifat non-logam, dan bervalensi tunggal. idrogen hanya dapat berikatan dengan satu unsur saja, karena hidrogen bervalensi tunggal. idrogen dilambangkan simpul hitam putih.

60 Definisi. (Mulyono, 006: ) Karbon merupakan unsur kimia yang mempunyai simbol C dan nomor atom enam pada tabel periodik. Karbon merupakan unsur non-logam dan bervalensi empat. Karbon dapat berikatan dengan empat unsur, karena karbon bervalensi empat. Unsur yang berikatan tersebut dapat berupa sesama karbon atau unsur kimia yang lain, misalnya. Unsur Karbon direpresentasikan sebagai simpul hitam. Definisi. (Daintith, 999: 0) Alkana adalah sebuah hidrokarbon dengan rumus umum C n n. Alkana adalah senyawa jenuh, dan tidak mengandung ikatan rangkap dua atau rangkap tiga. Setiap n atom carbon pada C n n berkorespondensi pada simpul berderajat empat pada graf. Berlaku pula untuk n atom hidrogen berkorespondensi pada simpul berderajat satu. Definisi. (Kristian. Sugiyarto: 006:.) Isomer adalah senyawa yang mempunyai rumus molekul sama tetapi memiliki struktur berbeda. Unsur karbon mempunyai empat elektron valensi dan hidrogen mempunyai satu elektron valensi. Jika memodelkan sebuah senyawa hidrokarbon sebagai sebuah graf, maka atom karbon dan idrogen kita simbolkan sebagai simpul dan ikatan antara karbon dengan hidrogen sebagai rusuk. Elektron valensi dari masing-masing atom melambangkan derajat dari masing-masing simpul. leh karena atom karbon mempunyai empat elektron valensi, maka simpul yang melambangkan atom karbon mempunyai empat derajat simpul, begitu juga

61 dengan atom hidrogen, atom hidrogen mempunyai satu elektron valensi, maka simpul yang melambangkan atom hidrogen hanya mempunyai satu derajat simpul. Perlu ditekankan bahwa, banyaknya derajat simpul untuk masing-masing simpul harus dipenuhi ketika menggambarkan senyawa (hidrokarbon) dalam bentuk graf. al ini penting karena berkaitan dengan kestabilan suatu senyawa (hidrokarbon). Gambar. di bawah ini merepresentasikan C 0 (Iso-Butana) dalam graf. Gambar. Representasi C 0 (Iso-Butana) dalam Graf

62 5 BAB III PEMBAASAN Sebagaimana telah diuraikan pada Bab I bahwa permasalahan yang menjadi fokus penulisan ini adalah penentuan banyak k-cayley Tree dan aplikasi Teori Graf dalam menentukan banyak isomer senyawa Alkana. A. Penentuan Banyak k-cayley Tree Pada subbab ini akan dibahas mengenai penentuan banyak k-cayley Tree yang digunakan dalam perhitungan banyak isomer senyawa alkana. Di mana pada perhitungannya akan digunakan konsep Centered Tree dan Becentered Tree. Mengingat bahwa alkana adalah hidrokarbon asiklik yang memiliki struktur mirip pohon, maka perhitungan isomer senyawa alkana dilakukan dengan menggunakan konsep dasar Cayley Tree. Alkana dengan rumus kimia C di n n mana setiap simpulnya mempunyai derajat satu atau empat, maka pada pembahasan ini menggunkan konsep -Cayley Tree. Gambar. berikut menunjukkan -Cayley Tree.

63 6 (a) (b) (c) Gambar. (a) Alkana dengan n= dalam bentuk Cayley Tree (b) Alkana dengan n= dalam bentuk Cayley Tree (c) Alkana dengan n= dalam bentuk Cayley Tree Gambar. dapat digambarkan sebagai suatu struktur yang terus mengembang dari simpul pusat dengan semua simpul disusun melingkari simpul pada level sebelumnya seperti contoh pada Gambar.. Gambar. -Cayley Tree Gambar. adalah Calley Tree dengan akar pohon mempunyai =, maka simpul pada level k bisa di hitung dengan k ( ) N = untuk k 0 k

64 7 k = N k = N = = = = = ( ) 0 ( ) = ( ) ( ) k = N = = = 6 ( ) ( ) k = N = = ( ) ( ) = 08 Dan seterusnya sampai n. Sebuah graf dengan keunikan yang dimiliki pada simpul v didefinisikan sebagai jarak yang khas dari simpul v ke simpul yang lainnya. Pusat graf adalah simpul yang memiliki sifat tunggal. Sebuah graf dapat mempunyai jumlah simpul yang berbeda pada pusatnya. Untuk sebuah pohon, hanya ada dua kemungkinan, yaitu:. Sebuah pohon dengan tepat satu pusat (Centered Tree). Sebuah pohon dengan tepat dua pusat (Bicenterd Tree), dalam kasus ini pusat selalu berdekatan. Untuk lebih jelasnya, maka Centered Tree dan Bicenterd Tree akan ditunjukkan pada Tabel. sebagai berikut:

65 8 Tabel. Tabel Banyak Graf Isomorfik yang Ditentukan Melalui Metode Draw and Count Method n Centered Bicentered Total

66 9 Tabel. memperlihatkan perhitungan Centered dan bicentered dengan cara Draw and Count Method, tetapi untuk perhitungan selanjutnya akan digunakan cara yang lebih efisien yaitu dengan rumus yang dalam perhitungannya dibantu dengan program Maple. Suatu Pohon dengan lintasan terpanjang (diameter) m mempunyai sebuah simpul yang unik disebut center, pada titik tengah lintasan yang panjangnya m. Pada pohon dengan lintasan terpanjang (diameter) m terdapat pasangan simpul yang unik disebut bicenter, pada pertengahan lintasan yang panjangnya m. leh karena itu akan dibahas perhitungan isomer berdasarkan konsep center dan bicenter.. Centered Tree C ( ) Untuk suatu k-cayley Tree, misalkan T, adalah jumlah ( k ) ary h n dengan n adalah simpul dan tinggi pohon maksimum h. Sebagai perjanjian, pohon kosong mempunyai h=- Misalkan T h ( ) = Dan untuk h> T n 0 T h, n ( ) = n ( ) = T T 0, maka ( ) = S ( T ( ) ) h k h

67 50 T ( ) = = T ( ) = = T ( ) = = seterusnya sampai h Keterangan: T ) menyatakan banyak jumlah pohon berakar (k-)-ary dengan 0 adalah,0 ( simpul dan tinggi pohon maksimum. T ) menyatakan banyak jumlah pohon berakar (k-)-ary dengan adalah,( simpul dan tinggi pohon maksimum. T ) menyatakan banyak jumlah pohon berakar (k-)-ary dengan adalah,( simpul dan tinggi pohon maksimum. Dan seterusnya. T ( ) = S ( T ( ) ) h k h

68 5 S m ( f ( ) ) adalah hasil dari subsitusi ( ) berorder m= dan m=. S ( f ( ) ) = S ( f ( ) ) = f ke cycle index untuk grup simetri ( f ( ) f ( ) f ( ) f ( )! ( f ( ) 6 f ( ) f ( ) 8 f ( ) f ( ) f ( ) 6 f ( )! Misalkan C h, n adalah jumlah center dari k-cayley trees dengan n adalah simpul dan h adalah diameter pohon. Ambil C h ( ) = n 0 C h, n n Dengan menghapus simpul center dan sisi yang berdekatan dengannya, akan didapatkan sejumlah pohon yang berkorespondensi dengan k-tuple pohon berakar (k-)-ary dengan tinggi maksimum h-. Paling tidak terdapat dua pohon yang tingginya tepat h-. Karena itu, diperoleh persamaan sebagai berikut C ( S ( T ( ) )) ( S ( T ( ) )) ( T ( ) T ( ) )( T ( ) ) h = k h k h h h h Tiga ekspresi dalam persamaan di atas masing-masing menghitung k-tuple pohon dengan tinggi maksimum h-, k-tuple pohon dengan tinggi maksimum h-, dan pohon dengan tepat satu sub pohon yang tingginya h-. Selanjutnya, misalkan C ( ) = n 0 C n n, maka C n adalah jumlah k-cayley trees dengan n buah simpul, dan C ( ) = C ( ) h 0 Jika diuraikan, maka akan diperoleh center suatu pohon. C h ( ) = C ) C ( ) C ( ) C ( )... 0 ( 6