SOAL LATIHAN Pra-Test Olimpiade Matematika2007

Transkripsi

1 1. Diketahui T= a. T<1 b. T=1 c. 1<T<2 d. T>2 e. SOAL LATIHAN Pra-Test Olimpiade Matematika2007 Written by : N4S4 -, maka Jika P adalah hasil kali dari n bilangan yang membentuk barisan geometri, S merupakan jumlah dari n bilangan tersebut dan S adalah jumlah dari kebalikan masing-masing bilangan, maka nilai P dinyatakan dalam S,S dan n adalah.. a. b. d. e. c. 3. Dua orang melakukan olahraga pagi di track yang berbentuk lingkaran.orang pertama berjalan dengan kecepatan 5 m/s dan yang kedua 9 m/s.mereka berangkat dari titik dan waktu yang sama,tetapi berbeda arah. Mereka berhenti setelah bertemu kembali dititik A,yaitu titik dimana mereka berangkat bersama.berapa banyak mereka bertemu (tidak termasuk) pada saat berangkat dan selesai? a. 13 b. 25 c. 44 d. Tak hingga banyak 4. Misalkan dan dengan dan 3 untuk i = 1,2.Nilai x 1 +x 2 adalah.. a. d. 2b e. b. c. 5. Sekelompok bilangan positif memuat bilangan 68 mempunyai rata-rata 56.Jika bilangan 68 dibuang,maka rata-rata bilangan menjadi 55.Tentukan bilangan tebesar yang dapat muncul dalam kelompok tersebut. a. 520 b. 565 c. 594 d. 649 e. Tidak ada yang benar 6. Jika Z menyatakan himpunan bilangan bulat dan f:z Z dengan sifat f(n)=n-3 untuk n>999 dan f(n)=f(f(n+5)) jika n<1000. Tentukan f(84): a. 997 b. 998 c. 999 d Suatu ujian terdiri dari 30 soal pilihan ganda.seorang peserta menjawab benar sebanyak m pertanyaan, menjawab salah sebanyak n (tidak menjawab sebanyak 30-m-n) dan memperoleh nilai 30+4m-n.Seorang peserta memperoleh nilai N.Berdasarkan nilai N ini kita dapat menentukan banyaknya berapa banyak peserta tersebut menjawab pertanyaan dengan hasil yang benar, tetapi hal ini tidak benar untuk untuk nilai M yang memenuhi 80<M<N. Tentukan nilai N

2 a. 117 b. 118 c. 119 d. 120 e. Tidak ada yang benar 8. Berikut ini adalah bilangan real : x,y,z,w yang memenuhi : untuk n=2,4,6,8 tentukan nilai x 2 +y 2 +z 2 +w 2 a. 16 b. 25 c. 36 d. 49 e. Tidak ada yang benar =1, 9. Barisan bilangan bulat a 1,a 2,a 3, memenuhi a n+2 =a n+1 -a n untuk n>0. Jumlah dari nilai suku sebanyak 1492 adalah 1985, jumlah dari nilai suku sebanyak 1985 adalah 1492 tentukan jumlah dari 2005 suku: a b c d Bilangan bulat positif A,B,C,D memenuhi, dan C=A+19,carilah D-B a. 823 d. 757 b. 759 c Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang sisi 6 2. Garis EF sejajar dengan persegi dan mempunyai panjang 12 2.Sisi BCF dan ADE merupakan segitiga sama sisi. Hitung volume dari benda ABCDEF. a b. 72 c d. 288 e Hitung nilai minimum dengan 0 a. 12 b. 13 c. 14 d Diketahui 5 bilangan a,b,c,d,dan e sehingga a+b+c+d+e=8 dan 16 tentukan nilai terbesar yang mungkin e: a. 16/5 b. 2 c. 8 d. 6/5 14. Tentukan nilai minimum jika x memenuhi 15 dengan 0 < p < 15 : a. 0 b. 15 c. -15 d. 30

3 15. Pada gambar (tak diskala), Benda I dan III adalah segitiga sama sisi dengan luas masing-masing 32 3 dan 8 3. Benda II adalah persegi panjang dengan luas 32 cm 2, Jika panjang AD menyusut sebanyak 12 %, tetapi panjang AB dan CD tetap tidak berubah demikian pula bentuknya.berapa persen berkurangnya luas daerah persegi? a. 12,5 b. 25 c. 50 d. 75 e. 87,5 16. Diketahui persegi ABCD dan CMN adalah segitiga sama sisi. Jika luas persegi adalah 1 cm 2, maka luas segitiga CMN adalah: a b. 1 c. d. e Titik sudut segiempat ABCD terletak pada lingkaran dengan sisi AD sebagai garis tengah lingkaran dan panjangnya 4, Panjang sisi AB dan BC adalah 1,maka sisi CD mempunyai panjang a. b. c. 11 d. 13 e Nilai, adalah a. b. 1 c. d. e. 19. Jika x menyatakan bilangan real dan , maka nilai x yang mungkin agar y merupakan bilangan real adalah a. 2 atau 3 b. 2 atau 3 c. 3 atau 2 d. 3 2 e Misalkan m menyatakan bilangan bulat positif serta garis 13x+11y=700 dan y=mx-1 berpotongan dititik yang koordinatnya bilangan bulat.tentukan banyaknya kemungkinan nilai m a. Hanya ada 4 nilai b. Hanya ada 5 nilai c. Hanya ada 6 nilai d. Hanya ada 7 nilai e. Salah satu dari bilangan bulat 4,5,6,7, dan salah satu bilangan positif lainnya

4 21. Diketahui log dan 1. Jika,maka y = a. c. 2q-p-r d. 2q-pr b. e. q 2 -pr 22. Misalkan m= dan n= hitung m/n? a. 373 d. 573 b. 337 c Pada gambar, dua persegi berada di dalam suatu segitiga siku-siku.luas persegi yang pertama adalah 441 dan luas persegi yang kedua adalah 440, hitung jumlah dua sisi terpendek dari segitiga siku-siku a b c d Diketahui bilangan real,,,, yang semuanya berbeda.pertama kita bandingkan x 1 dan x 2. Jika x 2 < x 1 maka kita tukar urutannya yang lebih kecil diletakkan didepan.selanjutnya bilangan kedua dan ketiga dibandingkan dan ditukar urutannya jika yang berikutnya lebih kecil nilainya, demikian seterusnya sampai membandingkan x 39 dan x 40, kita tukar jika yang terakhir lebih kecil. Jika barisan diatas disusun secara random, berapa peluang x 20 akan berhenti sebagai suku ke 30? a. 1/31 b. 1/30 c. Tak ada yang benar d. 1/900 e. 1/ Diketahui persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik A,B,C,D berada di sisi AB,BC,CD,DA sehingga dengan luas a. 31 b. 32 c. 33. Garis A C dan AC serta BD dan B D membentuk persegi. Tentukan n d Tentukan nilai k terbesar sehingga 3 merupakan penjumlahan k bilangan positif berurutan a d b. 3 4 c. 3 5

5 27. Berapa banyak bilangan di 1,2,3,,1000 yang dapat dituliskan dalam bentuk untuk suatu bilangan real x? Catatan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan y a. 785 b. 790 c. 795 d Misalkan f(n) adalah nilai dari pembagi bersama terbesar dari bilangan 100 dan untuk n=1,2,3, Berapa nilai maksimum f(n) a. 41 d. 410 b. 401 e. Tidak ada yang benar c Seekor semut berjalan di sepanjang sisi bidang empat beraturanabcd dengan panjang sisi 1. Semut mulai dari titik A dan setiap sampai di titik sudut, semut memilih secara acak. Dengan demikian semut mempunyai peluang 1/3 untuk kembali ke sisi semula dia datang dan juga mempunyai masing-masing peluang 1/3 untuk memilih salah satu sisi yang lain.carilah peluang setelah ia berjalan sepanjang 7 satuan panjang ia akan kembali ke A kembali. a. 61/243 b. 187/729 c. 542/2187 d. 1645/ Jari-jari lingkaran terkecil yang dapat memuat 3 persegi satuan yang telah disusun sehingga mempunyai bentuk simetri (lihat gambar) adalah a. 2 b. 1,25 c. 1,25 d.

6 Kunci Jawaban: 1 Jawab : B T = Jawab : B Jawab : E Misalkan keliling lingkaran adalah K maka: Jika t=0 : start t 1 = waktu saat bertemu ke-1 Maka K14.t 1 (jadi bertemu ke 14 akan berada di tempat start) 4 Jawab :B 3 i = 1,2 i = 1 maka 3 0.(1) i = 2 maka 3 0..(2) Dari persamaan (1) dan (2)

7 5 Jawab :D 56n = 55 (n-1)+68 56n = 55n n= 13 i bilangan adalah 68 ii bilangan bisa jadi adalah 1 Maka maksimal 1 bilangan lagi adalah : = Jawab :A f (n) = n f (n) = f(f(n+5)) n < 1000 f (999) = f (f(1004)) = f (1001) =998 f (994) = f(f(999) = f(998) = f(f(1003)) =f(1000) =997 f (K.10+4) =f(84) ; ; 100 Jadi f (84) = f (994) = Jawab :C Jika jawab yang benar adalah 30-k Maka kemungkinan nilai adalah 30+4(30-k)-n=150-4k-n Dengan n = 0,1,2,,k Tetapi bilangan 118,117 muncul 2 kali jadi N = Jawab : C Kita ganti n dengan t maka: 1 Samakan penyebutnya maka akan diperoleh : Persamaan ini mempunyai akar 2 2,4 2,6 2,8 2 selanjutnya Karena itu jumlah akar sama dengan: dan = 36 9 Jawab : C a n+2 = a n+1 -a n a n+1 = a n - a n-1 + a n+2 =-a n-1 a n+2 + a n-1 = 0 a n+3 +a n =0 S 1492 = 1985 a 1 +a 4 +a 7 + +a 1492 a 4 +a 7 + +a 1492 =0 +a 2 +a 5 + +a a 3 +a 6 + +a

8 S 1985 = 1492 a 1 +a 4 +a 7 + +a 1984 a a 2 +a 5 + +a 1985 a 2 +a 3 +a 6 + +a S 2005 = a 1 +a 4 + +a a 2 +a 5 + +a 2003 a 2 +a 3 +a 6 + +a 2004 a 3 +? a 3 = a 2 - a 1 S 2005 = a 3 + a 2 = a 2 +a 2 - a 1 = 2.a 2 - a 1 = = Jawab : D A = ; A bilangan kuadrat sehingga ; C Bilangan kuadrat 19 terjadi C=100 ; A = 81 = 3 10 D = Jawab : D AB = BC = CD = DE = 6 2 ; EF = 12 2 Karena sisi BEF dan ADE sama sisi dengan panjang 6 2 Maka EH = GF = Volume = V ABCDHG + V BCGF +V ADHE = 36 = 6 V ABCDHG = = 216 V BCGF =.... = =36 V ADHE = V BCGF = 36 Volume = V ABCDHG + V BCGF +V ADHE = = 288

9 12 Jawab : A sin. 4sin cos 9sin. 4sin cos. sin Jawab : A a+b+c+d+e=8, maka a+b+c+d=8-e a 2 +b 2 +c 2 +d 2 =16-e e+ 16e Jawab : B (1) = Minimum terjadi saat x=p yakni 0 Jika terjadi saat (1) = Saat x=15 maka (1) = Jawab : D I. Luas segitiga = (s 1 adalah sisi segitiga 1) 64 dan 8 3 III. Luas segitiga = s 3 adalah sisi segitiga 3 Maka AD = = sehingga 4 2 ; II Setelah dikurangi 12,5 % AD berubah menjadi 14 2 Panjang BC = Jadi penyusutan : 100% - = 100% - 25 % = 75 % 16 Jawab : A Perhatikan ANM, 1 1 = (1) NBC, 1 Karena NM = NC maka = 1..(2)

10 , tidak mungkin karena x<1 2 3 mungkin Luas MNC = Luas ABCD-(Luas NBC+Luas DCM+Luas AMN) = 1 1 = = 1 = 2 3 = = 17 Jawab : A Layang-layang AOBC L AOBC =.. =. 2..(1) L AOBC = = 15.(2) L AOB = 2 1 =.. 15 Dari (1) dan (2) AC = CD 16 = 18 Jawab : D

11 19 Jawab : A adalah persamaan kuadrat dalam y dengan a = 4; b=4x dan c=x+6. Agar y real haruslah = = = 6 0 Pembuat nol (x-3)(x+2)=0 x= 3 x= Agar y real maka 2 atau 3 20 Jawab : A 13x+11y=700 dan y=mx-1 berpotongan 13x+11(mx-1) = x+11mx-11 = 700 (13+11m) = karena x bilangan bulat maka 13+11m haruslah factor dari Misalkan 13m+11 = 9 (tidak mungkin) 13+11m = 79 11m = 66 m = 6 dan x=9 Misalkan 13+11m = m = 689 m tidak merupakan bilangan bulat Kesimpulan hanya ada 1 solusi. 21 Jawab : C Log a = p log x Log b = q log x Log c = r log x.(1) log log Log b 2 -log ac =y log x 2 log b log a-log c = y log x..(2) Subtitusikan persamaan 1 ke persamaan 2 2q log x-p log x-r log x = y log x (2q-p-r)log x = y log x 2q p-r =y 22 Jawab : A Misalkan m = n= Perhatikan : (1) sehingga

12 (2) Dengan menguraikan setiap suku dari m dan n menurut (2) dan melakukan pembagian m/n, nanti akan ada suku-suku yang saling menghilangkan,dan menyisakan : Jawab : C Dengan P,UQ,A,V menyatakan luas daerah Karena A dengan luas P sebangun dengan A luas Q dan A dengan luas U sebangun dengan A luas V maka : Diketahui juga bahwa P+U+441 = Q+V+A +440 Misalkan L menyatakan luas seluruh segitiga, maka L = 441 A Artinya sisi segitiga dengan luas A adalah dari sisi segitiga besar dengan luas L Sisi miring dari segitiga besar adalah Jika tinggi dari sisi miring itu dimisalkan t maka 440 Jika dimisalkan panjang kedua sisi yang pendek dari segitiga besar masing-masing adalah a dan b maka : ab = dan = = 21 2 ( ) = dan a + b = = 3 x 7 x 2 x Jawab : E x 20 dapat menempati posisi 30 atau lebih jika x 20 adalah bilangan terbesar dari x 1, x 2, x 3,,x 30. Agar x 20 tidak menempati posisi 31, maka haruslah x 20 < x 31. Probabilitas x 31 merupakan yang terbesar dari x 1,,x 31 adalah. Probabilitas x 20 yang terbesar dari x 1,,x 30 adalah Sehingga probabilitas x 20 menempati posisi 30 adalah : 25 Jawab : E AB=BC=CD=DA=1 Luas EFGH = AA =BB =CC =DD =. 1= EG=FA = A A = Luas EFGH = Jawab : D Misalkan bilangan-bilangan itu adalah N+1,N+2,,N+k sehingga (N+1)+(N+2)+ +(N+k)=3.(1) Dapat ditunjukkan bahwa (N+1)+(N+2)+ +(N+k)=.(2)

13 Dari (1) dan (2) diperoleh : 3 Atau: (3) Karena semua bilangan harus positif maka N>0 Diketahui k<(2n+k+1).(4) Dari (3) dan (4) diperoleh : 2. 3 Atau 2. 3 Dari (3) diketahui kalau k harus membagi 2. 3.(5) Nilai k terbesar yang memenuhi (3) dan (5) adalah Jawab : E Kita lihat dari nilai yang terkecil: = = Jadi banyak bilangan = Jawab : B Analisa 1 : fpk akan maksimum jika salah satu bilangan merupakan pembagi dari yang lain. Misal : b<a 100 Periksa apakah = 1 karena100 tidak mungkin membagi 2n+1 maka a/b tidak bulat. Analisa B : pakai alogritma Euclide n+1 = ( Misalkan maka n= Jawab : E Kita anggap titik-titik lain selain A adalah X, rute yang mungkin ditempuh adalah : XXXXXXA XXXXAXA XXXAXXA XXAXXXA XAXXXXA XXAXAXA XAXXAXA XAXAXXA

14 Untuk rute dimana hanya ada satu A : XXXXXXA Rute 2A: Rute 3A : Jadi : = 30 Jawab :C AC adalah diameter yang akan dicari 2 4 Jari-jari =. 1,25 Soal dan solusi lathihan pra olimpiade matematika dikeluarkan oleh Lembaga Olimpiade pendidikan Indonesia tahun 2007

15