= Tentukan jumlah dari : ( 1) ( jawaban boleh di faktorkan) 6. Tentukan semua penyelesaian system persamaan dari : =

Transkripsi

1 1. Diberikan polynomial f(x) = x n + a 1x n a n-1 x + a 0 dengan koefisien a 1, a,...a n semua bilangan bulat dan ada 4 bilangan bulat berbeda a,b,c, dan d yang memenuhi f(a) = f(b) = f(c) = f(d) =5. Tunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi f(k)= 8.. Jika f(x) = x + x, buktikan bahwa 4 f(a) = f(b) tidak mempunyai solusi a dan b bilangan asli.. Tentukan semua paangan bilangan asli a dan b yang memenuhi persamaan a = b 4. Selesaikan persamaan : x + ( ) = 5. Tentukan jumlah dari : ( 1) ( jawaban boleh di faktorkan) 6. Tentukan semua penyelesaian system persamaan dari : = = = 7. Bilangan a, b, c adalah digit digit dari uatu bilangan yang memenuhi persamaan : 49a + 7b + c = 86 tentukan bilangan tiga angka ( 100a + 10b + c) 8. Misalkan a, b, c, dan p adalah bilangan real a, b, c semuanya berbeda dan memenuhi + = + = + =, maka tentukan semua kemungkinan nilai p. 9. Tunjukkan bahwa setiap bilangan bulat positif n maka 11 n 5 n n (-4) n habi di bagi 000 (British Mathematical Olimpiad Round 1) 10. Diketahui x,y dan N adalah bilangan asli. Jika terdapat tepat 005 pasangan (x,y) yang memenuhi persamaan : + =, tunjukkan bahwa N adalah bilangan kuadrat. (British Mathematical Olimpiad Round ) n n n a1 p1 a1 p a p a 11. Tunjukkan bahwa:, untuk setiap bilangan asli n n n n b1 p1 b1 p b p b 1. Tentukan semua tripel (x, y, z) yang memenuhi bahwa salah satu bilangan jika di tambahkan dengan hasil kali kedua bilangan yang lain hasilnya adalah. 1. Tunjukkan bahwa diantara lima bilangan bulat kita dapat memilih tiga di antaranya memiliki jumlah habis di bagi. 14. ABCD adalah persegi panjang, jika P adalah titik tengah AB dan Q adalah titik tengan PD sehingga CQ tegak lurus PD. Buktikan bahwa segitiga BQC sama kaki. (British Mathematical Olimpiad)

2 15. Tunjukkan bahwa sembarang segi empat tali busur yang di gambar pada lingkaran berjarijari 1,maka panjang sisi terpendek tidak akan lebih dari. Mathematical Olimpiad) (Canadian 16. Jika akar-akar dari persamaan x px = 0 adalah sin cos, maka tentukan nilai p. 17. Jika f(x) = a x b x 11 + c x 5 dan f(-009) = 009, maka nilai dari f(009) 18. Suatu fungsi f(x) = ( x + x x 5 ) 009, tentukan semua koefisien darix pangkat ganjilnya. 19. Dari bilangan-bilangan sampai , banyak bilangan yang mengandung angka 1 dan adalah. 0. Diketahui persegi panjang ABCD jika titik E terletak di dalam persegi panjang, sehingga AE= 6, CE = 5, dan DE = 7, maka tentukan panjang BE. 1. Pada suatu kubus ABCD.EFGH bila titik adalah titik tengah rusuk FG,tentukan panjang lintasan terpendek dari pada permukaan kubus dari A ke S.. Pada segitiga ABC yang tumpul di C, titik M adalah titik tengah AB melalui c di buat garis tegak lurus pada BC yang memotong AB di titik E dari M tarik garis memotong BC tegak lurus D. jika luas segitiga ABC = 54,maka tentukan luas segitiga BED.. Sebuah lingkaran berjari-jari 1, tentukan luas maksimum segitiga sama sisi yang terletak di dalam lingkaran. 4. Pada trapesium ABCD dengan AB dan rasio luas ABC dengan luas segitiga ACD adalah 1. Jika E dan F berturut-turut adalah titik tengah BC dan DA, maka tentukan rasio luas ABEF dan EFDC. 5. Jika bilangan real r memenuhi peramaan : = 006 Dengan tanda menyatakan bilangan bulat terkecil lebih dari atau sama dengan x. Contoh :,1 = ; 4, = -4 ; 7 = 7 ; = 4. Maka tentukan nilai dari Dua garis lurus membagi sebuah segitiga menjadi empat bagian dengang tiga diantaranya tertulis seperti pada gambar. Tentukan luas bagian keempat Jika sebuah bilangan dipilih secara acak dari bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari 10 99, maka berapakah peluang bahwa bilangan tersebut habis di bagi 10 88? 8. Diketahui bahwa ax + bx + c bulat untuk x = 0, 1, dan. Buktikan bahwa ax + bx + c bulat untuk semua nilai x bulat.

3 9. Misalkan n adalah bilangan bulat lebih dari 6. Buktikan bahwa jika n 1 dan n +1 keduanya dilangan prima maka n (n + 16) habis di bagi Andaikan f(x) suatu fungsi polynomial derajat 5 dan f(k) = k untuk k = 0, 1,,, 4, 5. Hitung nilai f(6). 1. Jika 8 =, tentukan nilai A.. Dua dadu dengan sisinya di cat merah atau biru. Dadu pertama dilempar terdiri dari 5 sisi merah dan 1 sisi biru. Ketika kedua dadu tersebut di lempar, peluang munculnya sisi dadu berwarna sama adalah 1. Ada berapa banyak sisi dadu yang keduanya berwarna merah.. Tentukan nilai terbesar z yang memenuhi x + y + z = 5 dan xy + yz + xz =. 4. Tentukan emua penyelesaian real dari peramaan 4x = 0 dengan tanda menyatakan bilangan bulat terbear kurang dari atau sama dengan x. 5. Segitiga ABC memiliki sisi AB = 17, AC = 41 dan BC = 00. Titik D terletak pada sisi BC sehingga lingkaran dalam dan lingkaran dalam menyinggung sisi AD di titik yang sama, yaitu E. tentukan panjang CD. 6. Sebuah trapezium DEFG dengan sebuah lingkarang dalam menyinggung keempat isinya dan berjari-jari, serta berpusat di C. sisi DE dan Gf adalah sisi yang sejajar dengan DE< GF dan DE =. Diketahui bahwa DEF = EFG = 90. Tentukan luas trapezium. 7. Segitiga ABC siku-siku di A. Titik P dan Q keduanya terletak pada sisi BC sehingga BP = PQ = QC. Jika diketahui AP = dan AQ = 4, tentukan panjang masing- masing. 8. Tali busur CD tegak luru diameterab dan berpotongan di titik H. Panjang AB merupakan bilangan bulat dua angka dan panjang CD juga merupakan bilangan angka dengan menukar posisi kedua angka AB. Sedangkan panjang OH merupakan bilangan raisional. Maka tentukan panjang AB. 9. Misalkan f(n) didefinisikan kuadrat dari penjumlahan digit n. misalkan juga f (n) di definisikan f(f(n)), f (n) di definisikan f(f(f(n))) dan seterusnya. Tentukan f 1988 (11). 40. Berapakah bilangan bulat positif terbear n yang memenuhi (n+10) ( + 100). Dengan ( " h ). 41. Ada berapa banyak bilangan bulat positif n, yang kurang dari 100 yang memenuhi 10 ( n 10 1)? 4. Jika menyaakan bilangan bulat terbear yang lebih kecil atau sama dengan bilangan real x, maka 5 = 4. Banyaknya soal matematika yang di kerjakan amin hari ini bertambah tepat 40% di bandingkan dengan yang di kerjakan kemari. Banyaknya soal yang di kerjakan amin hari ini paling sedikit... soal = 45. Misalkan N sebuah bilangan asli dua angka dan M adalah bilangan asli yang di peroleh dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu membagi habis N M 46. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x - x 1 = Misalkan a = 4, 4 b = 5, 5 c = 6, 6 d = 7, 7 e = 8, dan 8 f = 9. Berapakah hasil abcdef? 48. Ada berapa banyak persegi yang dapat di buat dalam persegi yang berukuran satuan?

4 = 50. Berapakah sisa pembagian ( ) 01 (...) 01 (sebanyak 01 angka 9 dan 01 angka tiga) di bagi 11? 51. Jika 5 x = 8, hitunglah nilai 5 + x. 5. Tanggal 1 April 004 dan 9 November 099 adalah contoh tanggal-tanggal istimewa sebab perkalian tanggal dan bulan sama dengan dua digit terakhir dari tahun tersebut. 1 4 = 04 ;9 11 = 99. Ada berapa banyak tanggal istimewa dari tanggal 1 Januari 001 sampai dengan 1 Desember 009? 5. Mengingat bahwa : =,berapakah..? Andi sedang mengikut suatu perlombaan. Perlombaan tersebut terdiri dari beberapa tes. Setiap tes masing-masing peerta akan dinilai. Pada suatu tes, Andi mendapat nilai 185 yang mengakibatkan rata-ratanya naik dari 176 menjadi 177. Berapakah nilai yang harus dicapai Andi agar pada tes selanjutnya nilai rata-ratanya naik menjadi 178? buah bilangan positif disuun. Bilangan ke-4 adalah 4,sedangkan bilangan ke 1 adalah 1. Jumlah bilangan beruruta sama dengan 004. Tentukan bilangan ke Hitunglah nilai jika : S =, +,. +, +,. 57. Jika x + y = 1 dan x + y = 19, maka x + y = Jika > > = 6, 5 log 59. Persegi panjang ABCD memiliki panjang sisi AB = dan AD = 1 sesuai pada gambar dengan titik C terletak pada EF. Berapakah luas persegi panjang BDEF? 60. Tono setiap hari menyiapkan kelereng berturur=t-turut untuk hari pertama 5, hari kedua 6 dan seterusnya. Maka jentukan jumlah jumlah kelereng sampai hari ke Bila jumlah 009 bilangan bulat berurutan adalah 009dan n merupakan bilangan bulat terbesar. Maka tentukan nilai n. 6. Jika L n adalah luas segitiga sama sisi n untuk n = 1,,, 4...,10. Maka tentukan nilai dari L 1 + L L diketahui barisan dengan suku pertama U 1 = 15 dan memenuhi U n - U n+1 = n + 1 untuk, maka tentukan U 50 + U. 4

5 64. Jika U 1, U,...,U 5 adalah lima suku pertama dari deret Geometri memenuhi log U 1+ log U log U 5 = 5log dan U 4 = 1, maka tentukan nilai dari U y log(x-1), y log(x+1), y log(x-1) adalah barisan aritmetika dengan S = 6, maka tentukan nilai x + y. 66. Bila Tentukan banyaknya angka 1 jika banyaknya angka 9 pada sku ke-n adalah Tentukan nilai dari Hitunglah hasil dari, Rasionalkan bentuk berikut : 70. N adalah bilangan bulat terbesar dengan semua digitnya berbeda dan N merupakan bilangan kelipatan 8. Berapakah sisanya jika N di bagi 1000? 71. Jika x memenuhi persamaan + =, tentukan nilai Berapakah penjumlahan seluruh bilangan pada kotak-kotak berikut : Jika sebuah bilangan di pilih secara acak dari bilangan bilangan yang merupakan faktor dari maka berapakah peluang bahwa bilangan tersebut habis di bagi 10 88? 74. Persamaan 54(6 x ) + x = 6(18 x ) + 9 mempunyai penyelesaian x 1 dan x. Berapakah nilai (x 1x ) adalah? 75. Untuk a, b, x dan y bilangan real diketehui ax + by = ax + by = 7 ax + by = 16 ax 4 + by 4 = 4 tentukan nilai S jika S = ax 5 + by Tentukan nilai dari : Diberikan a = , maka hitung nilai dari Sebuah lingkaran L 1 : x + y x 6y + 9 = 0 dirotasikan oleh (0,90 ) sehingga di peroleh L selanjtnya lingkaran L dirotasikan kembali oleh (0,90 ) sehingga diperoleh lingkaran L. Jika ketiga pusat lingkaran di hubungkan maka luas bangun yang dibentuk 79. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a di titik K pada perpanjangan DA sehingga KA = KD. Jarak titik K ke bidang BDHF 80. Dalam kubus ABCD.EFDH titik S adalah titik tengah sisi Cd dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Perbandingan volume antara limas P.BCS dan ABCD.EFGH 5

6 81. Parabola = + 1 memotong sumbu Y dititik (0,p) serta memtotong sumbu x dititik (q,0) dan (r,0). Jika p, q, dan r membentuk barisan geometri yang jumlahnya 1 maka tentukan nilai K. 8. Jika s n menyatakan jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika maka s n+ s n+ s n Jika xy = a, xz = b dan yz = c dengan tidak ada yang bernilai nol maka nilai x + y + z = ABCD adalah suatu persegi dengan sisi 10 cm bila suatu lingkaran melalui titik A dan D dengan menyinggung sisi BC tentukan luas lingkaran tersebut Tentukan semua pasangan bilangan bulat (a,b) yang memenuhi a b = Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis di bagi 7, tentukan nilai a dan b! 87. Bila f(x) = (5 p)x 6x + (p + 5) maka tentukanlah semua nilai p real sedemikian hingga f(x) 0 untuk semua nilai x poitif. 88. Diberikan a dan b adalah bilangan real yang berbeda sehingga + =.tentukan nilai. 89. Misalhan ABC adalah sebuah segitiga dengan sisi-sisinya a, b, dan c. garis bagi yang ditarik dari titik C memotong sisi AB di D. buktikan bahwa panjang CD = 90. Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan tidak nol yang memenuhi xy = = x y. Nilai x + y =... (-1/) (-1) 91. Jumlah sepuluh digit pertama dari bilangan hasil perkalian adalah 9. Di suatu kelas ada 5 siswa. A, B, C, D, dan E. Mereka harus memilih ekstrakurikuler,salah satu dari jenis olah raga : bola basket atau bola voli dan salah satu dati bidang kesenian : music atau melukis. Diantara mereka ada siswa yang memilih bola basket dan dua siswa memilih music. A dan C memilih jenis olahraga yang sama D dan E memilih jenis olahraga yang berbeda B dan E memilih bidang kesenian yang sama C dan D memilih bidang keseniam yang berbeda Jika ada informasi tambahan, C memilih melukis dan memilih bola basket, maka apa yang disim1pulkan mengenai pilihan D? 9. Jika....= maka nilai....= 94. Jika abc = 1, maka bentuk sederhana dari Suatu jam dinding selalu mengalami keterlambatan 8 menit untuk setiap jamnya. Jika saat sekarang jam tersebut menunjukkan waktu yang tepat, maka jam tersebut akan menunjukkan waktu yang tepat setelah... jam 96. Diketahui dengan AB = BC = AC = 0. Pada titik tengah masing-masing sisi AB, BC, dan AC dibuat titik A 1, B 1 dan C 1 sehingga terbentuk A 1B 1C 1. Demikian pula pada 6

7 titik tengah masing-masing sisi A 1B 1, B 1C 1, A 1C 1 dibuat A, B, C sehingga terbentuk A B C. Jumlah panjang keliling semua segitiga yang terbentuk. 97. Keliling sebuah segitiga adalah 8. Panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat, maka luas segitiga tersebut 98. Ada berapa banyak diagonal segi-10? 99. Sisa pembagian Tentukan semua bilangan bulat n yang menyebabkan merupakan bilangan bulat Tentukan semua bilangan prima yang terbentuk dari n + 1 untuk suatu bilangan asli n. 10. Banyak bilangan yang dapat di bentuk oleh angka 1,,, 4,,, 1 dengan syarat dilangan ganjil harus menempati posisi ganjil 10. Tentukan banyak solusi bilngan bulat non negative dati persamaan x 1 + x + x + x 4 = Jika terdapat 1 orang, berapa orang paling sedikitlahir pada bulan yang sama? Jika maka nilai dari x + y x 4y Persegi panjang ABCD dengan panjang 18 cm dan lebar 14 cm. jika F titik tengah BC hitunglah daerah yang di arsir BEF. A B 107. If x = FF D D E, so the value of 16x 0x is a76b adalah bilangan bulat yang habis dibagi 99. Banyak pasangan a dan b yang mungkin adalah 109. Diketahui bidang segi enam beraturan ABCD.EFGH dengan panjang rusuk satan. Jika P titik tengah, Q titik tengah, R titik tengah, dan adalah proyeksi pada bidang ABCD, maka panjang Bs satuan 110. Nilai dari Jika x adalah bilangan asli dan a x = c, x + b = a, a + x = b makanilai terbesar yang mungkin dari b + c a 11. Jika + = 7 maka nilai + = Nilai y x yang memenuhi persamaan x + y = 6 dan 5x y + = Rata-ratanilai Ayu dan Agus adalah 8,0. Jika perbandingan nilai Ayu dan Nilai Agus : 5, maka selisih nilai ayu dan agus 115. Banyaknya bilangan asli n sehingga bentuk juga merupakan bilangan asli adlah Digit terakhir dari Urutan bilangan 10060, 606, dari yang terkecil 118. Selisih bilangan terbesar dan terkecil pada kelompok ke-1 pada barisan bilangan (,7), (11,15,19), (,7,1,5) Sebuah persegi panjang memiliki panjang (x + 1) satuan panjang dan lebar (x +1) satuan panjang.jika luas persegi panjang tersebut 10 satuan luas, maka panjang diagonal persegi panjang tersebut 7

8 10. Suatu barisan berbentuk a, (a+ b), (a + b), (a + b), (a + 5b),.. jika suku ke tujuh barisan tersebut adalah 8. Tentukan rata-rata delapan suku pertama barisan tersebut. 11. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi persamaan xy 5x + y = Pipa di samping masing-masing berdiameter 10cm. panjang tali minimum yang diperlukan untuk mengikat pipa agar terbentuk seperti pada gambar di samping 1. Ketiga lingkaran dibawah memiliki panjang jari-jari sama yaitu 10 c, dan saling bersinggungan. Luas daerah diantara ketiga lingkaran tersebut seperti diarsir 14. Seekor kupu-kupu terbang dari titik (0,0) menuju 1 unit ke atas (vertical), ½ unit kearah kanan (horizontal), ¼ unit turun (vertical), 1 / 8 unit ke kiri (horizontal), 1 / 16unit ke atas (vertical),dan seterusnya. Pada koordinat berapakah kupu-kupu tersebut berhenti? 15. Jika,, adalah akar-akar dari persamaan 1,maka nilai + + adalah 16. Suatu kede rahasia berupa bilangan lima angka. Angka nol mungkin berada di tempat pertama. Berapa banyak kode rahasia yang mungkin dapat di buat jika angka-angkanya menunjukkan barisan naik. 17. Misalkan limas ABCD segitiga beraturan, yaiyu bangun ruang berisi empat yang berpentuk segi empat sama sisi. Misalkan S adalah titik tengah rusuk Ab dan T titik tengah rusuk Cd, jika panjang rusuk ABCD adalah 1 satuan panjang, maka panjang ST adalah? 18. =.Nilai x yang memenuhi adalah 19. Ayu berangkat ke sekolah pukul setiap pagi. Bila Ayu mengendarai sepeda motor dengan kecepatan 40 km/jam, dia tiba di sekolah terlambat 0 menit. Bila kecepatannya 60 k/jam dia tiba 15 menit lebih awal. Di sekolah Ayu, pelajaran perta,ma di mulai pukul Seekor semut di A akan menuju ke sumber makanan yang terletak di B seperti tampak pada gambar. Semut tersebut dapat melangkah ke kanan, ke kiri, ke atas, dank e bawah. Banyak cara menuju B dari A dalam Sembilan langkah atau kurang tanpa melewati C C B 8

9 A 11. Jika m dan n adalah bilangan asli yang memenuhi mn + m + n = 71 dan m n + mn = 880,maka m + n = Terdapat suatu segitiga PQR. Titik S terletak pada PQ daan diketahui PR = 5 cm, PS =11 cm, dan RQ = RS = 1 cm. panjang sisi SQ 1. Jika = = maka nilai dari = 14. Seorang pedagan gmembeli barang dagangannya dengan harga tertentu. Karena sesuatu dan lain hal barang tersebut dijual dengan mengalami kerugian sebesar 5%. Jika barang tersebut dijual dengan harga Rp ,00maka harga beli barang tersebut Nilai x yang memenuhi persamaan = adalah 16. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 1. Jaraktitik F ke diagonah ruang BH cm 17. Jika rataan dari x 1,x, x,..., adalah a, maka jumlah dari +, + 5, + 7,, + ( + 1)adalah 18. Jika x y = xy = 1 x y maka nilai x + y -= Diketahui sebuah balok ABCD.EFGH dengan sisi AB = n, BC = n dan tinggi 1 mempunyai luas 54.jika n bilangan bulat maka panjang diagonal ruang balok tersebut 140. Nilai x yang memenuhi 4 x x < 0 adalah... 9