BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
|
|
- Hartono Setiawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing notasi. (2) Dapat memberikan tiga contoh konjektur dalam teori bilangan. (3) Dapat menjelaskan prinsip induksi matematika. (4) Dapat membuktikan pernyataan dalam teori bilangan dengan induksi matematika. 1.1 Notasi Notasi merupakan kesepakatan (persetujuan, perjanjian) untuk suatu lambang tertentu sehingga mempunyai makna. Contoh: (1) (a,b) berarti faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b atau Greatest Common Divisor (GCD) (2) [a,b] berarti kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b atau Least Common Multipl (LCM) a (3) Simbol Legendre b berarti bilangan bulat lebih kecil atau sama dengan b a a a (4) Simbol Jacobi b berarti bilangan bulat lebih besar atau sama dengan b
2 (5) : membagi, misalnya 2 6 dibaca dua membagi enam, artinya 2 dapat membagi 6 dengan sisa nol atau tanpa sisa atau membagi habis. (6) x : berarti bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x = = 3 (7) Notasi yang berkaitan dengan operasi, misalnya sebagai berikut.,, X, :,,. : penjumlahan berulang : perkalian berulang. (8) Notasi yang berkaitan dengan relasi atau hubungan, misalnya sebagai berikut.,,,,,,,,,,. (9) Notasi yang berkaitan dengan himpunan, misalnya sebagai berikut. N : Himpunan bilangan asli (Natural numbers, counting numbers) Z : Himpunan bilangan bulat (Integers; Zahlen) Z : Himpunan bilangan bulat positip R Q C : Himpunan bilangan nyata (Real numbers). : Himpunan bilangan rasional (Rational numbers) : Himpunan bilangan kompleks (Complex numbers) x Q :Bilangan rasional tidak nol x R : Bilangan real tidak nol (Nonzero Real Numbers). 1.2 Konjektur Dalam teori bilangan terdapat masalah-masalah yang belum terselesaikan atau belum terpecahkan, yang dinamakan konjektur. Konjektur (Conjecture = dugaan, perkiraan)
3 yaitu suatu pernyataan yang kebenarannya belum diketahui atau belum dapat dibuktikan. Konjektur yang terkenal, misalnya Konjektur Fermat, konjektur Lagrange, dan konjektur Goldbach. (1) Konjektur Fermat adalah sebagai berikut. a. Untuk semua bilangan bulat x, maka x 2 x 41 adalah bilangan prima, kecuali x 41 b. 2 2 n 1 adalah bilangan prima. c. Berikut adalah konjektur Fermat yang terkenal. Untuk n 3, tidak ada bilangan bulat positip x,y,z yang memenuhi x n y n z n. Konjektur ini disebut Fermat s Last Theorem (teorema terakhir Fermat). Sampai Fermat meninggal, belum ditemukan bilangan bulat n yang memenuhi x n y n z n. (2) Konjektur Lagrange Setiap bilangan asli dapat dinyatakan sebagai jumlah dari empat bilangan kuadrat. Contoh (3) Konjektur Goldbach Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima (4) Konjektur tentang bilangan perfek a. Banyaknya bilangan perfek adalah takhingga b. Semua bilangan perfek adalah genap
4 c. Jika 2 n 1 adalah bilangan prima, maka (2 n-1 )(2 n 1) adalah bilangan perfek. Bilangan perfek adalah suatu bilangan bulat positip yang jumlah semua pembagi sejatinya yang positip sama dengan bilangan itu sendiri. Contoh: 6, 28, 496, 8128, dan Pembagi sejatinya 6 adalah 1,2, dan 3, di pihak lain Pembagi sejatinya 28 adalah 1,2,4,7, dan 14; di pihak lain Pembagi sejatinya 496 adalah 1,2,, dan 248, di pihak lain (5) Konjektur tentang Twin Primes (Pasangan Prima) Banyaknya pasangan prima (twin prime) adalah takhingga. Pasangan prima yaitu dua bilangan prima yang berselisih 2. Contoh: 3 dan 5; 5 dan 7; 11 dan 13; 17 dan 19; 29 dan 31; 41 dan 43. (6) Konjektur tentang pasangan dua bilangan bersekawan Terdapat takhingga banyaknya pasangan bilangan bersekawan (Amicable). Dua bilagan bulat positip a dan b dikatakan amicable (bersekawan) jika jumlah pembagi sejati positip bilangan a bilangan b, dan jumlah pembagi sejati positip bilangan b bilangan a. Contoh: 220 dan 284; 1184 dan 1210; dan Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah 284, di pihak lain jumlah pembagi sejati positip bilangan 284.adalah 220. Jumlah pembagi sejati positip bilangan 220 adalah Jumlah pembagi sejati positip bilangan 284 adalah
5 1.3 Prinsip Prinsip mengungkap sifat, definisi yang mendasari bagian lain. Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti sesuatu Pinsip urutan Prinsip urutan (WOP = Well Ordering Prinsiple) pada bilangan bulat menyatakan, jika a dan b adalah dua bilangan bulat berbeda maka dapat ditentukan hubungan a dan b, yaitu a b atau a b. Z = {x Z x 1} atau Z = {x Z x 0} Q = {x Q x 0} R = {x R x 0} Perhatikan bahwa deskripsi Q dan Z mempunyai sifat bahwa setiap A Z R tidak dapat menggunakan relasi. dan A maka selalu ada bilangan bulat k A sehingga k x untuk semua x A. Dikatakan bahwa k adalah elemen terkecil dari himpunan A. Di pihak lain, Q dan R tidak mempunyai elemen terkecil. Suatu himpunan S dikatakan terurut jika setiap A S dan A maka A mempunyai elemen terkecil. Himpunan bilangan asli adalah terurut, himpunan bilangan cacah (Whole number) adalah terurut, himpunan bilangan rasional positip tidak terurut. himpuna {2,7,9,10} terurut Prinsip Logika Matematika
6 (1) Pernyataan Berkuantor Pernyataan Setiap x memenuhi y tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contohcontoh x yang memenuhi y. Tidak berlakunya pernyataan Setiap x memenuhi y dapat ditunjukkan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Pernyataan Tidak setiap x memenuhi sifat y dapat dibuktikan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y.. (2) Bukti Langsung Pembuktian secara langsung dilakukan berdasarkan pernyataan p yang diketahui, p diproses dengan sifat-sifat yang telah berlaku, akhirnya diperoleh pernyataan q. Pernyataan Jika p maka q dapat dibuktikan dengan mendasarkan pada pernyataan p yang diketahui kemudian diarahkan untuk memperoleh pernyataan P 1, P 2, P 3,, P n.dan akhirnya diperoleh q. p P 1 P 2 P 3 P n q Prinsip modus ponens dan prinsip silogisme memberikan dasar konstruksi pembuktian langsung. Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut. p q p Jadi q. Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.
7 p q q r Jadi p r Pernyataan Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dapat dibuktikan secara langsung. (3) Bukti Tak langsung Pembuktian tak langsung dapat dilakukan dengan prinsip kontraposisi ataupun kontradiksi. (a) Pembuktian dengan prinsip kontraposisi Dasar pembuktian tersebut adalah prinsip modus tollens berikut. p q q Jadi p Dalam pembuktian yang dilakukan dengan prinsip kontraposisi, untuk membuktikan pq, mula-mula dianggap bahwa q tidak benar, dan ternyata menghasilkan ~ p. Hal ini berarti jika p benar maka q benar.
8 Pernyataan Misalkan a bilangan real, dan a 0. Jika untuk setiap 0 0 a maka a 0 dapat dibuktikan secara tak langsung. berlaku Bukti: Andaikan 0 a dan a 0. Dari a 0 dan a 0 diperoleh a 0. Karena sebarang a bilangan positip, ambil 0 2, maka a atau a. Hal ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi yang benar, 0 a dan a 0. (Q.E.D). (b) Pembuktian Dengan Kontradiksi Untuk membuktikan bahwa p q benar, ditunjukkan bahwa p dan ~q mengakibatkan sesuatu pertentangan. Prinsip kontradiksi dalam pembuktian tak langsung adalah sebagai berikut. [~ p (q ~q)] p Pembuktian tak langsung ini berangkat dari suatu anggapan benar. Kemudian anggapan benar ini dijalankan dengan hal-hal yang diketahui atau sifat yang telah tersedia, ternyata menghasilkan sesuatu yang bertentangan (kontradiksi) atau sesuatu yang mustahil, yang berarti bahwa anggapan yang diambil semula adalah tidak benar (salah). 1 Pernyataan Jka a bilangan real dan a 0 maka a 0 dapat dibuktikan dengan kontradiksi.
9 Bukti : 1 Diketahui a bilangan real dan a 0. Andaikan 0. Selanjutnya digunakan prinsip a bahwa hasil kali bilangan positip dan bilangan negatip adalah negatip, sebagai berikut. Untuk a 1 0 berarti a a dan untuk a 1 0 berarti a a sehingga untuk a 1 0 berakibat 1 0. Hal ini kontradiksi dengan sifat bilangan 1 bahwa Jadi yang benar, a 0 maka a 0. (Q.E.D) Prinsip Induksi Matematika Prinsip induksi matematika (Principle of Mathematical induction) adalah sebagai berikut. Sebelum pembahasan tentang induksi matematika, perlu diketahui sifat terurut bilangan asli N, yaitu : Setiap subset tak kosong dari N mempunyai elemen terkecil. Jika S adalah suatu subset dari N dan S { } maka terdapat suatu elemen ms sedemikian hingga m k untuk setiap ks, dan m disebut elemen terkecil dari S. Jadi bilangan asli N bersifat terurut karena mempunyai mempunyai elemen terkecil, yaitu 1 (satu). Prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut.
10 Misalkan S adalah himpunan bagian (Subset) dari bilangan asli N yang mempunyai sifat: (a) 1S (b) Jika k S berakibat (k 1)S maka S memuat semua bilangan asli, atau S N Prinsip induksi matematika dapat pula dinyatakan dalam bentuk berikut. S(n) adalah pernyataan matematis dalam himpunan bilangan asli N. Jika : (a) S(1) benar (b) S(k) benar berakibat S(k 1) benar maka S(n) benar untuk semua n N. Bukti: Andaikan S tidak memuat semua bilangan asli N, atau S N. Maka N S. Misalkan F N S maka F N dan F S.. Karena N terurut, maka F mempunyai elemen terkecil, misalkan t. Karena t F maka t N, dan t S sehingga t 1. Karena 1 unsur terkecil di N dan t N maka t 1 sehingga t 1 N. Dari t 1 t dan t elemen terkecil di F diperoleh t 1 F atau t 1 S. t 1 S. berakibat (t 1) 1 S atau t S Hal ini kontradiksi dengan t S di atas. Jadi yang benar, S N, atau S memuat semua bilangan asli.
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah
Lebih terperinciBILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli
BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan,
Lebih terperinciLembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan
Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu
Lebih terperinci1.6 RULES OF INFERENCE
1.6 RULES OF INFERENCE 1 Argumen Argumen dalam logika adalah kumpulan sejumlah proposisi. Seluruh proposisi dalam suatu argumen, kecuali proposisi terakhir, disebut premis. Sedangkan proposisi terakhir
Lebih terperinciKeterbagian Pada Bilangan Bulat
Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1): Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciBILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya
Lebih terperincin suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritma Pembagian............................. 3 1.2 Pembagi persekutuan terbesar......................... 6 1.3 Algoritma Euclides............................... 11
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian
Lebih terperinciR. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik
Lebih terperinciPemfaktoran prima (2)
FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian
Lebih terperinci1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
1 TEORI KETERBAGIAN Bilangan 0 dan 1 adalah dua bilangan dasar yang digunakan dalam sistem bilangan real. Dengan dua operasi + dan maka bilangan-bilangan lainnya didenisikan. Himpunan bilangan asli (natural
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciContoh : 1..Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan ganjil, maka n 2 adalah bilangan ganjil! Jawab :
PEMBUKTIAN LANGSUNG Untuk menunjukan pernyataan (p=>q) benar dapat dilakukan dengan menggunakan premis p untuk mendapatkan konklusi q. Metode pembuktian yang termasuk bukti langsung antara lain modus ponens,
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo January 12, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo October 29, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinci1.6 RULES OF INFERENCE
1.6 RULES OF INFERENCE 1 Argumen Argumen dalam logika adalah kumpulan sejumlah proposisi. Seluruh proposisi dalam suatu argumen, kecuali proposisi terakhir, disebut premis. Sedangkan proposisi terakhir
Lebih terperinciPEMBAHASAN. Teorema 1. Tidak ada bilangan asli N yang lebih besar dari semua bilangan bulat lainnya.
PEMAHAAN 1. Pengertian Kontradiksi Kontradiksi adalah dua pernyataan yang bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari setiap komponen-komponennya. 2. Pembuktian dengan Kontradiksi Kontradiksi merupakan
Lebih terperinciTEKNIK PEMBUKTIAN. (Yus Mochamad Cholily)
TEKNIK PEMBUKTIAN (Yus Mochamad Cholily) Pembuktian merupakan aktifitas yang tidak bisa dipisahkan dengan Matematika. Hal ini disebabkan produk matematika pada umumnya berbentuk teorema yang harus dibuktikan
Lebih terperinciNama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS
Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi
Lebih terperinciBAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT
BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciPembagi Persekutuan Terbesar dan Teorema Bezout
Latest Update: March 10, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 3): Pembagi Persekutuan Terbesar dan Teorema Bezout M. Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciBAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima
BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciBilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika
Pembaharuan Terakhir: 28 Maret 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 5): Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika M. Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3 DEFINISI DAN PERISTILAHAN MATEMATIKA (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Ingat PROPOSISI Ini? Proposisi. Jika segitiga siku-siku XYZ dengan
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciMetode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematika Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh: 1. Buktikan bahwa jumlah n bilangan bilangan bulat positif pertama adalah n(n
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Bilangan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah April 13, 2013 Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi matematik merupakan teknik pembuktian yang baku
Lebih terperinciCerdik Matematika. Bambang Triatma. Matematika. Cerdik Pustaka [Type the phone number] [Type the fax number]
Cerdik Matematika Bambang Triatma 2011 Matematika Cerdik Pustaka e-mail: kombucha2000@yahoo.co.uk [Type the phone number] [Type the fax number] 1. Himpunan Cerdik Matematika 2011 Himpunan adalah kumpulan
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Pertemuan Standar kompetensi: mahasiswa memahami cara membangun sistem bilangan real, aturan dan sifat-sifat dasarnya. Kompetensi dasar Memahami aksioma atau sifat aljabar bilangan real Memahami fakta-fakta
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciTEORI BILANGAN. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0.
TEORI BILANGAN Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan
Lebih terperinciMETODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 1 (2015), hal 85 94 METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Sari Puspita, Evi Noviani, Bayu Prihandono INTISARI Bilangan prima
Lebih terperinciUrian Singkat Himpunan
Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 11, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciSistem Bilangan Real
TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciBAB III PENGEMBANGAN TEOREMA DAN PERANCANGAN PROGRAM
BAB III PENGEMBANGAN TEOREMA DAN PERANCANGAN PROGRAM 3.1 Pengembangan Teorema Pada penelitian dan perancangan algoritma ini, akan dibahas mengenai beberapa teorema uji primalitas yang telah ditemukan baru
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciBAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit
BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli
Lebih terperinciSetelah mengikuti materi Bab ini mahasiswa diharapkan mampu: 2. Mendefinisikan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK.
BAB II KETERBAGIAN PENDAHULUAN A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah Mata kuliah ini dimaksudkan untuk memberikan kemampuan pada mahasiswa untuk belajar bukti matematika. Materi dalam mata kuliah ini sangat
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sejak tiga abad yang lalu, pakar-pakar matematika telah menghabiskan banyak waktu untuk mengeksplorasi dunia bilangan prima. Banyak sifat unik dari bilangan prima yang menakjubkan.
Lebih terperinciMateri Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN
Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Oleh. Nikenasih B 1.1 SIFAT HABIS DIBAGI PADA BILANGAN BULAT Untuk dapat memahami sifat habis dibagi pada bilangan bulat, sebelumnya perhatikan
Lebih terperinciDisajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul
Disajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul Training of Trainer (TOT) Olimpiade Matematika Tingkat Sekolah Menengah Atas Untuk Guru-guru Sekolah Menengah Atas di Kabupaten Bantul
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinciMatematika Diskrit. Reza Pulungan. March 31, Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta
Matematika Diskrit Reza Pulungan Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta March 31, 2011 Teori Bilangan (Number Theory) Keterbagian (Divisibility) Pada bagian ini kita hanya akan berbicara
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciPENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.
PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta
Lebih terperinciDAFTAR ISI 3 TEORI KONGRUENSI 39 4 TEOREMA FERMAT DAN WILSON 40
DAFTAR ISI 1 TEORI KETERBAGIAN 1 1.1 Algoritma Pembagian............................. 2 1.2 Pembagi persekutuan terbesar........................ 5 1.3 Algoritma Euclides.............................. 12
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciBAB V BILANGAN BULAT
BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan
Lebih terperinciBAB 1. PENDAHULUAN. Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi.
BAB PENDAHULUAN Bab ini akan membahas sekilas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan himpunan dan fungsi Himpunan Real Ada beberapa notasi himpunan yang sering digunakan dalam Analisis () merupakan
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciKEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT ABSTRACT
KEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT Apriadi, Sri Gemawati 2, Musraini 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciI. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
1 I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan
Lebih terperinciKelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Ada suatu konsep yang paralel dengan konsep faktor persekutuan terbesar (FPB), yang dikenal faktor persekutuan terkecil (KPK). Suatu bilangan bulat c disebut kelipatan
Lebih terperinciMAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER
MAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER Disusun : NIM : 12141424 Nama : Ristiana Prodi : Teknik Informatika B SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN ILMU KOMPUTER EL RAHMA YOGYAKARTA 2016 1. Pendahuluan
Lebih terperinciInduksi Matematika. Fitriyanti Mayasari
Induksi Matematika Fitriyanti Mayasari Pendahuluan Induksi Matematika merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang menegaskan bahwa suatu p(n) adalah benar
Lebih terperinciBIDANG MATEMATIKA SMA
MATERI PENGANTAR OLIMPIADE SAINS NASIONAL BIDANG MATEMATIKA SMA DISUSUN OLEH: TIM PEMBINA OLIMPIADE MATEMATIKA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Juli 009 KATA PENGANTAR Olimpiade Sains Nasional (OSN)
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciBILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah.
BILANGAN BULAT 1. Bilangan Asli (Natural Number) Bilangan Asli berkaitan dengan hasil membilang, urutan, ranking. Bilangan Cacah berkaitan dengan banyaknya anggota suatu himpunan. Definisi penjumlahan:
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi
MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian
Lebih terperinciPERANAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN MATEMATIKA
PERANAN INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN MATEMATIKA Riani Rilanda NIM : 13505051 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung e-mail : if15051@students.if.itb.ac.id
Lebih terperinciInduksi 1 Matematika
Induksi 1 Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n): Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar!
Lebih terperinciMetode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematik 1 Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n): Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar!
Lebih terperinciMETODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA
METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dr. Julan HERNADI & Uki Suhendar, S.Pd (Asrul dan Enggar) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo Pertemuan 8 FONDASI MATEMATIKA Matematika Bukan Sekedar
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciArief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs
Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs ariefikhwanwicaksono@gmail.com masawik.blogspot.com @awik1212 Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinciBab 2 Daerah Euclid. 2.1 Struktur Daerah Euclid
Bab 2 Daerah Euclid Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain yang terkait nya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan digunakan untuk melihat struktur gelanggang
Lebih terperinciRizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
ISSN: 978-44 Vol. No. (Juni 07) Hal. 30-37 SIFAT-SIFAT FUNGSI PHI EULER DAN BATAS PRAPETA FUNGSI PHI EULER Rizkun As Syirazi, Thresye, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan
(Semester I Tahun 2011-2012) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan August 8, 2011 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan
Lebih terperinciJadi penting itu baik, tapi jadi baik jauh lebih penting
LOGIKA MATEMATIKA Logika Matematika - Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka - Pernyataan Majemuk - Konvers, Invers, dan Kontraposisi - Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial - Ingkaran dari
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum kita membahas mengenai uji primalitas, terlebih dahulu kita bicarakan beberapa definisi yang diperlukan serta beberapa teorema dan sifat-sifat yang penting dalam teori bilangan
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciAPOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Lebih terperinci