Cerdik Matematika. Bambang Triatma. Matematika. Cerdik Pustaka [Type the phone number] [Type the fax number]
|
|
- Sri Makmur
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Cerdik Matematika Bambang Triatma 2011 Matematika Cerdik Pustaka [Type the phone number] [Type the fax number]
2 1. Himpunan Cerdik Matematika 2011 Himpunan adalah kumpulan obyek yang ciri keanggotaannya terdefinisikan dengan jelas 2. Kumpulan angka yang membawa keberuntungan; kumpulan angka pembawa sial; dsj., tak bisa disebut himpunan, karena ciri keanggotaannya tidak jelas, karena berbeda-beda antara orang satu dengan lainnya. 3. Kumpulan bilangan kelipatan dua bisa disebut himpunan, karena ciri keanggotaannya jelas. 4. Kumpulan mahasiswa miskin tidak bisa disebut himpunan, karena kriteria miskin tidak jelas. Tetapi jika kriteria miskin sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan. 5. Kumpulan mahasiswa cantik tidak bisa disebut himpunan, karena kriteria cantik tidak jelas. Tetapi jika kriteria cantik sudah ditentukan secara jelas, maka dalam batasan tertentu kumpulan ini bisa disebut himpunan. 6. Batasan tertentu ini kemudian menghasilkan himpunan universal. 7. Himpunan universal adalah himpunan yang menjadi topik pembicaraan 8. Misalnya himpunan universal bagi bilangan bulat positif ganjil yaitu 1, 3, 5, 7,..., dst. 2
3 9. Himpunan universal untuk mahasiswa miskin misalnya mahasiswa yang gaji orang tuanya kurang dari Rp ,- per bulan. 10. Himpunan universal untuk mahasiswa cantik misalnya yang memenuhi syarat: harus berjenis kelamin perempuan, harus memiliki mata, harus memiliki mulut, letak hidung harus di bawah mata, letak mulut harus di bawah hidung, dst. 11. Ciri keanggotaan himpunan bisa dinyatakan secara verbal (dengan kata-kata) maupun dengan simbol. 12. Misal himpunan kelompok belajar Alfa Omega beranggotakan: Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah, Nurul, bisa dinyatakan sbb: A = { Mirna, Ovie, Denis, Irfan, Cinta, Aisah, Nurul} Mirna A (dibaca: Mirna anggota himpunan A). tetapi M A (dibaca: M bukan anggota himpunan A), karena tak ada anggota bernama M. 13. Mendeskripsikan himpunan secara verbal, misalnya: {a, b, c,..., z} bisa dideskripsikan sebagai himpunan alfabet Inggris. {1, 2, 3,... } = himpunan bilangan dapat dihitung (counting numbers). Bilangan dapat dihitung (counting numbers) juga disebut bilangan asli (natural) oleh sebab itu sering disimbolkan dengan N. 3
4 {1, 3, 5,... } = himpunan bilangan dapat dihitung ganjil (odd counting numbers). {0, 1, 2, 3,... } = himpunan bilangan utuh (the whole numbers). {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } = himpunan bilangan bulat (the integers} ,,,,,, adalah salah satu himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional. 14. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a, dimana a maupun b anggota b bilangan bulat, tetapi b tak boleh = 0. Dengan demikian himpunan bilangan rasional bisa dinyatakan sebagai Q = {x = b a a maupun b = bilangan bulat, tetapi b 0}. 4 merupakan anggota bilangan rasional, karena bisa dinyatakan sebagai 1 2 atau 2 4, tetapi 3 = 1, menghasilkan desimal tak ada hentinya dan tak berulang. Oleh sebab itu 3 tak dapat dinyatakan sebagai b a, dimana a maupun b = bilangan bulat, maka 3 bukan bilangan rasional, tetapi 3 masuk bilangan irasional. 15. Bilangan irasional adalah lawan dari bilangan rasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tak dapat dinyatakan sebagai a, dimana a maupun b anggota b bilangan bulat. Bilangan irasional bila dinyatakan dengan 4
5 desimal menghasilkan angka di belakang koma yang tak ada habisnya dan tak berulang, misalnya 2 = 1, tetapi jika desimalnya berulang, bilangan termasuk ke dalam bilangan rasional, misal 0, merupakan hasil dari 3 2, maka masuk bilangan rasional, demikian pula 0, = 1. Himpunan 3 a bilangan irasional bisa dinyatakan sebagai: P = {x a b maupun b bilangan bulat (the whole numbers)} misal {..., - 5, 3, 2,...}. 16. Gabungan bilangan rasional dan irasional dikelompokkan ke dalam bilangan riil. Maka himpunan bilangan riil bisa dinyatakan sebagai R = semua bilangan rasional maupun irasional. 17. Bilangan kompleks: Jika - 5 bisa dinyatakan sebagai - 2, , tidak demikian dengan 5. Bilangan 5 tidak dikelompokkan riil, karena tidak ada bilangan yang kalau dikuadratkan menghasilkan bilangan negativ. Maka 5 kemudian disederhanakan menjadi 5( 1) = ( 5 )( 1 ). Selanjutnya 1 disimbolkan sebagai i, sedang 5 diselesaikan menjadi , sehingga akhirnya menjadi ( ) i. Oleh sebab itu bilangan kompleks bisa dinyatakan sebagai C = {a + bi a maupun b anggota bilangan riil, sedangkan i = 1. 5
6 Gambar Himpunan bilangan asli (N) = himpunan bagian dari himpunan bilangan utuh (W), ditulis dalam simbol: N W. Bilangan 0 bukan anggota himpunan bilangan asli (N), ditulis dengan simbol: 0 N, tetapi 0 anggota himpunan bilangan utuh (W), ditulis dengan simbol: 0 W. 19. Himpunan bilangan utuh (W) = himpunan bagian sejati dari himpunan bulat (I), ditulis W I. Bilangan bulat 6
7 negativ (I-) bukan anggota himpunan bilangan utuh (W), misal -3 W, tetapi bilangan -3 anggota himpunan bilangan bulat (I), simbolnya -3 I. 20. Himpunan bilangan bulat (I) = himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan rasional (Q). 21. Himpunan bilangan rasional = himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan riil (R). Himpunan bilangan riil (R) = himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan kompleks (C). 22. Dengan demikian: N W I Q R C. 23. Contoh penerapan: {3, 6, 9,..., 27} bisa dideskripsikan sebagai himpunan bilangan asli (atau bilangan dapat dihitung) kelipatan 3 dan kurang dari 28 (atau kurang dari 29, atau kurang dari 30). 24. Mengubah penulisan himpunan dari bentuk simbol ke dalam bentuk daftar bisa sbb: 25. Misal A = {x x adalah simbol digit pembentuk bilangan 1896}, dibaca: A adalah himpunan beranggotakan x dimana x adalah simbol dari bilangan 1896, maka anggota himpunan A terdiri dari: 1, 8, 9, dan 6 dan dituliskan sebagai {1, 8, 9, 6}. B = {x x > 5, x bilangan bulat ganjil}, dibaca: B adalah himpunan beranggotakan x dimana nilai x lebih besar dari 5, sedangkan x bilangan bulat ganjil, maka anggota himpunan B adalah {7, 9, 11,... } 7
8 C = {x 0 < x < 1, x bilangan dapat dihitung (counting numbers)}, dibaca: C adalah himpunan beranggotakan x dimana nilai-nilai x berada pada kisaran lebih dari 0 tetapi kurang dari 1, maka himpunan C tidak memiliki anggota sama sekali. Dengan demikian C adalah himpunan kosong, ditulis C = { } atau C =. D = {x x = 4n, n bilangan dapat dihitung (counting numbers)} maka D = {4, 8, 12,... }. 26. Dua himpunan disebut sama (equal) jika banyak maupun macam anggota-anggotanya sama, meskipun urutan penulisannya tidak sama. Misal: Himpunan { 1, 2, 3 } = { 3, 1, 2 } = { 3, 2, 1 }. 27. Diagram Venn: Jika himpunan universal U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, gambarkan diagram Venn untuk situasi ini. Jawab: Gambar 2 8
9 28. Perpotongan (intersection) antara A dan B disimbolkan: A B = {a}. Kesimpulan: A B = {x x A dan x B}. 29. Gabungan (union) antara A dan B disimbolkan: A B = {a, b, c, e}, boleh juga = {a, c, e, b}, boleh juga = {c, a, b, e}. Kesimpulan: A B = {x x A dan/atau x B}. 30. Komplemen A atau disimbolkan A (dibaca A prime) = {e, d} = {d, e}. Kesimpulan : A {x x U dan x A }. Bisa juga A = U-A. 31. Komplemen B disimbolkan B = {b, c, d} = {b, d, c} = {c, d, b} (urutan tidak mempengaruhi). 32. Diketahui A = {a, b, c}, dan B = {a, e}, maka A - B = {b, c}, sedang B - A = {e}, 33. Diketahui U = {a, b, c, d, e}; sedang A B = {a, b, c, e}, maka U (A B) = {d}, Kesimpulan : A-B = {x x A dan x B} (A B) = {d}. 34. Jika U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedang A = {1, 3, 5}, sementara B = {2, 4}, tentukan : A, B, A B, dan A B. Gambarkan pula diagram Venn-nya. Jawab: A = {2, 4, 6}; B = {1, 3, 5, 6}; A B = { 6 }; Gambar 3 9
10 sedangkan A B = { } atau 35. Himpunan bagian (subset) (simbol : Misal jika A = {a, b, c}, sedang B = {a, b}, lalu C = {b}, maka B merupakan himpunan bagian dari A, simbolnya : B A; demikian pula C A; juga C B. Kesimpulan: B A jika setiap anggota dari B juga merupakan anggota dari A. 36. Menghitung banyaknya himpunan bagian. Jika A = { } maka A mempunyai 1 himpunan bagian yaitu { } atau. Jika A = { a } maka A mempunyai 2 himpunan bagian yaitu, dan { a}. Jika A = { a, b } maka A mempunyai 4 himpunan bagian yaitu, { a }, { b }, dan {a, b}. Maka A; juga {a} A, juga {b} A, juga {a, b} A. Tabel 1 Banyaknya anggota Banyaknya himpunan bagian dalam himpunan induk 0 2 pangkat pangkat pangkat pangkat 3 8 n 2 pangkat n 2 n Teori himpunan bagian di atas membuktikan bahwa segala bilangan jika dipangkatkan NOL menghasilkan SATU. 10
11 37. Banyaknya himpunan bagian dengan anggota sebanyak tertentu: Tabel 2 Banyaknya anggota dalam himpunan induk 0 { } atau 1 1 {a} { } {a} {a, b} { } {a}; {b} Banyaknya himpunan bagian beranggotakan: { } {a, b} {a,b,c} { } {a}; {b}; {c} {a, b}; {a, c}; {b, c} {a, b, c} Banyaknya himpunan bagian dengan anggota sebanyak tertentu ini menghasilkan segita yang dikenal sebagai Segitiga Pascal (untuk menghormati Blaise Pascal, ). 39. Selain himpunan bagian ( ), ada juga himpunan bagian sejati ( ) atau the proper subset. Banyaknya himpunan bagian sejati adalah 2 n -1 karena semua 11
12 merupakan himpunan bagian dari {a,b,c} kecuali {a,b,c} itu sendiri. Jadi {a,b,c} bukan himpunan bagian sejati ( ) dari {a,b,c}. Segitiga Pascal: Gambar Hukum-hukum operasi himpunan: 41. Hukum yang melibatkan dan : 42. Hukum komutativ: A B = B A A B = B A 43. Hukum asosiativ: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 44. Hukum distributiv: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 45. Hukum yang melibatkan dan U: A = A A U = U A = A U = A 12
13 A A = A A A = A 46. Hukum yang melibatkan komplemen: Cerdik Matematika 2011 A A = U A A = U = = U (A ) = A 47. Hukum De Morgan: (A B) = A B (A B) = A B 48. Hukum yang melibatkan selisih himpunan: A-B = A B U-A = A Gambar 5 Gambar 6 Gambar 8 Gambar 7 13
14 Latihan: 1. Buatlah daftar anggota himpunan {x x adalah bilangan bulat kurang dari 10} 2. Gambarlah diagram Venn A B; A B; A-B; A -B; A B; A' B. 3. Gambarlah diagram Venn untuk melukiskan himpunan berikut: {x x A atau x B}; {x A atau x B}; {x x A dan x B}. 4. Dengan melihat gambar di samping kanan, tentukan himpunan berikut: a. B-A, b. A B A C Gambar 9 5. Di antara 200 calon putri Indonesia, 70 orang bisa berbahasa Perancis, 40 orang bisa berbahasa Jerman, 75 orang bisa berbahasa Spanyol, 10 orang bisa berbahasa Perancis dan Jerman, 30 orang bisa berbahasa Perancis dan Spanyol, 15 orang bisa berbahasa Jerman dan Spanyol, sedangkan 70 orang tidak menguasai satupun dari bahasa-bahasa itu. Jika diketahui bahwa tak ada satupun calon yang menguasai tiga bahasa sekaligus: 14
15 a. Berapa banyak calon yang menguasai dua bahasa?, b. Berapa banyak calon yang menguasai bahasa Spanyol saja?, c. Berapa banyak calon yang menguasai bahasa Spanyol, tetapi tidak menguasai bahasa Perancis? 2. Logika 1. Pernyataan (statement) = kalimat yang dapat ditentukan nilainya benar atau tidak. 2. Contoh pernyataan: Dua adalah bilangan genap. (Pernyataan yang nilai kebenarannya = 1). Simbol angka 1 mewakili nilai benar. Simbol lain yang sama nilainya adalah T (True). Dua adalah bilangan ganjil. (Pernyataan yang nilai kebenarannya = 0). Simbol angka 0 mewakili nilai salah. Simbol lain yang sama nilainya adalah F (False). 3. Contoh bukan pernyataan: Benarkah dua bilangan genap? (bukan pernyataan karena tak dapat ditentukan benar tidaknya). Jam berapakah sekarang? (bukan pernyataan). 4. Menentukan nilai kebenaran dari gabungan (compound) dua pernyataan: p = Semarang adalah ibukota Jawa Tengah. 15
16 Jika kenyataannya Semarang memang ibukota Jawa Tengah, maka pernyataan p mempunyai nilai kebenaran = 1 atau T (True). Jika ternyata Semarang bukan ibukota Jawa Tengah, maka pernyataan p nilainya = 0 atau F (False). q = Jawa Tengah terletak di pulau Jawa. Pernyataan gabungan p dan q disimbolkan p q dinyatakan benar jika dan hanya jika p benar dan q juga benar. Tabel kebenaran p dan q sbb: Tabel 3 p q p q Jika ditulis dengan cara lain sbb: Tabel 4 p q p q T T T T F F F T F F F F 5. Gabungan pernyataan p dan q disebut konjungsi, sedangkan gabungan pernyataan p atau q disebut disjungsi seperti berikut ini: 16
17 p = Menurunkan harga minyak. q = Menaikkan gaji pegawai. p atau q disimbolkan p q memiliki tabel kebenaran sbb: Tabel 5 p q p q Penyangkalan (negasi): p = Menurunkan harga minyak. Negasi dari p disimbolkan p = Bukan menurunkan harga minyak. Jika p nilainya 1 atau T (True), maka p nilainya 0 atau F (False). q = Menaikkan gaji pegawai. Negasi dari q disimbolkan q = Bukan menaikkan gaji pegawai: Tabel 6 p p q q Contoh: Buatlah tabel kebenaran pernyataan (p Q). Tabel 7 p q q p q (p q)
18 8. Jika dua pernyataan memiliki kesamaan nilai pada tabel kebenaran, maka dua pernyataan tersebut disebut ekuivalen (disimbolkan ). Contoh: Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan p (q r) (p q) (p r). Jawab: Tabel 8 p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) Hasil menunjukkan bahwa isian pada kolom p (q r) identik dengan kolom (p q) (p r), membuktikan bahwa p (q r) ekuivalen dengan (p q) (p r). 9. Pernyataan Kondisional:satu arah dan dua arah. p = Pernyataan penyebab (antecedent); q = Pernyataan akibat (consequent). Misal: p = Saya lupa lupa mengisi bensin; q = Motor saya mogok. 18
19 10. Jika p maka q disimbolkan p q (Kondisional 1 arah) Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok, tetapi tidak berarti bahwa mogoknya motor saya selalu disebabkan oleh kelupaan saya mengisi bensin. Juga tak masuk akal bila saya lupa mengisi bensin, tetapi motor saya tetap jalan. Oleh sebab itu tabel kebenaran p q sbb: Tabel 9 p q p q Pernyataan kondisional dua arah sbb: p = Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa seseorang. q = Seseorang pasti mati. q jika dan hanya jika P, disimbolkan p q (kondisional 2 arah). Seseorang pasti mati, jika dan hanya jika Tuhan sudah berkehendak menyambil nyawa orang itu. Pernyataan: Tuhan sudah berkehendak mengambil nyawa seseorang, tetapi ternyata orang itu tidak mati, pasti tidak mengandung kebenaran. Demikian pula pernyataan: Seseorang telah mati, tetapi setelah dicheck ternyata Tuhan tidak berkehendak mengambil 19
20 nyawa orang itu, pasti tidak mengandung kebenaran. Oleh sebab itu tabel kebenaran p q sbb: Tabel 10 p q p q Buktikan bahwa p q ekuivalen dengan (p q) (q p): Tabel 11 p q p q p q q p (p q) (q p) Terbukti p q (p q) (q p). 13. Buktikan bahwa pernyataan Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok ekuivalen dengan pernyataan Saya tak boleh lupa mengisi bensin atau motor saya mogok. p = Saya lupa mengisi bensin; q = Motor saya mogok. 20
21 Tabel 12 p q p q p q p q Terbukti (p q) ( p q). 14. Variasi kondisional q p merupakan converse dari p q q p merupakan contrapositive dari p q p q merupakan inverse dari p q Tabel 13 conditional contrapositive converse Inverse p q p q q p q p p q Perhatikan bahwa (p q) ( q p) 15. Misal buktikan bahwa jika n 2 adalah ganjil, maka n juga ganjil. Jawab: p = n 2 ganjil; q = n ganjil; (p q) ( q p) q = n genap; p = n 2 genap; misal n = 2k, maka n 2 = 4k 2 = 2 (2k 2 ). Karena 2k = genap; maka 2 (2k 2 ) = genap. terbukti bahwa jika n genap, maka n 2 juga genap. 21
22 Karena kontrapositiv ekuivalen dengan kondisional, maka terbukti bahwa jika n 2 ganjil, maka n juga ganjil. 16. Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan Jika dia teman saya, maka dia pasti mengenali saya ekuivalen dengan Ternyata dia tidak mengenali saya, maka dia bukan teman saya. Jawab: p = dia teman saya; q = dia mengenali saya. Tabel 14 p q p q q p q p Terbukti bahwa (p q) ( q p). 17. Pernyataan yang kesimpulannya selalu benar disebut tautologi. Misal : Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan p atau bukan p adalah tautologi. Tabel 15 p p p p terbukti bahwa p p selalu menghasilkan nilai 1, jadi p p suatu tautologi. 22
23 18. Pernyataan yang kesimpulannya selalu salah disebut kontradiksi. Misal: Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa pernyataan p dan bukan p adalah kontradiksi. Tabel 16 p p p p terbukti bahwa p p selalu menghasilkan nilai 0, jadi p p suatu kontradiksi. 19. p q jika dan hanya jika p q suatu tautologi.misal: Buktikan bahwa pernyataan (p q) p q. Tabel 17 p q p q (p q) p q p q [ (p q)] ( p q) terbukti bahwa [ (p q)] ( p q) suatu tautologi. 20. Implikasi: Pernyataan p dikatakan berimplikasi terhadap pernyataan q (simbolnya p q) jika dan hanya jika kondisional jika p maka q (simbolnya p q) tautologi. Contoh: Buktikan bahwa [(p q) p] q. Jawab: 23
24 Tabel 18 p q p q [(p q) p] [(p q) p] q terbukti bahwa [(p q) p] q tautologi. 21. Hukum-hukum yang melibatkan pernyataan: Hukum commutative : (p q) (q p), dibaca: p atau q ekuivalen dengan q atau p. (p q) (q p), dibaca: p dan q ekuivalen dengan q dan p. Hukum assosiative: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) Hukum distributive: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Jika t adalah tautologi (pernyataan yang nilainya selalu benar), dan c adalah kontradiksi (pernyataan yang nilainya selalu salah), maka: (p c) p (p c) c (p t) t (p t) p (p p) p (p p) p Hukum-hukum yang melibatkan negasi: Jika t adalah tautologi, sedang c adalah kontradiksi, maka: 24
25 (p p) t (p p) c t c c t p p Hukum-hukum De Morgan: (p q) p q (p q) p q 22. Penerapan logika: Himpunan universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6]. p = pernyataan bilangannya adalah genap. Himpunan yang sesuai dengan pernyataan p adalah P = {2, 4, 6}. P adalah himpunan bagian dari U, yang mana P merupakan himpunan kebenaran dari p, yaitu himpunan yang menyatakan bahwa p bernilai benar. Jika q adalah pernyataan bilangannya ganjil, maka himpunan yang sesuai dengan pernyataan q adalah Q = {1, 3, 5}. Q adalah himpunan kebenaran dari q. 23. Argumen: Premis adalah pernyataan sebelumnya yang mendahului kesimpulan. Kesimpulan (conclusion) adalah pernyataan yang dibuat berdasarkan premis. Argumen adalah klaim bahwa suatu kesimpulan dibuat sudah berdasarkan premis-premis yang ada sebelumnya. Argumen ada yang valid dan ada yang invalid. 25
26 24. Argumen yang valid adalah argumen yang ketika semua premis benar, maka semua kesimpulannya juga benar. Contoh kesimpulan yang valid sbb: p = saya lupa mengisi bensin; q = motor saya mogok Jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok. Sesampainya di tengah perjalanan, ternyata motor saya mogok. Kesimpulan: kemungkinan karena saya lupa mengisi bensin atau karena penyebab lain, alias bukan karena lupa mengisi bensin. Bukti bahwa kesimpulan ini valid sbb: Tabel 19 Premis Premis Kesimpulan Pemeriksaan 1 2 kevalidan p q p p q q p p dan 1 hasil dan 1 hasil Simbol argumennya sbb: p q q p p valid. Jadi Kesimpulan valid 26
27 25. Jika ketika semua premis benar, kesimpulannya tidak semuanya benar, maka argumen yang dibentuk tidak valid. Contoh kesimpulan yang tidak valid: p = saya lupa mengisi bensin. q = motor saya mogok. Premis 1 = jika saya lupa mengisi bensin, maka motor saya mogok, disimbolkan: p q Premis 2 = ternyata motor saya mogok, disimbolkan q Kesimpulan :Saya lupa mengisi bensin, disimbolkan p. Kita akan membuktikan bahwa kesimpulan ini tidak valid sbb: Tabel 20 Premis 1 Premis 2 Kesimpulan p q p q q p Pemeriksaan kevalidan dan 1 hasil dan 1 hasil Jadi Kesimpulan tidak valid Simbol argumennya sbb: p q q p, tidak valid. 27
28 26. Jika dia ayah saya, maka dia tahu nama kecil saya. Kenyataannya dia tidak tahu nama kecil saya, jadi saya pastikan bahwa dia bukan ayah saya, buktikan kesimpulan ini valid. p = dia ayah saya; q = dia tahu nama kecil saya; p q q p Pembuktian sbb: Tabel 21 Premis 1 Premis 2 Kesimpulan Kevalidan p q p q q p dan 1 hasil 1 Valid 27. Buktikan bahwa kesimpulan argumen berikut valid. Komputer adalah alat yang penting. Alat penting biasanya harganya mahal Komputer biasanya harganya mahal. 28
29 JAWAB: Premis 1 Jika barang yang dimaksud adalah komputer (k), maka barang tersebut adalah alat yang penting (t). Premis 2 Jika suatu barang adalah alat yang penting (t), maka biasanya harganya mahal (h). Kesimpulan : Komputer biasanya harganya mahal. k t t h k h Pembuktian: Tabel 22 Premis 1 Premis 2 Kesimpulan k t h k t t h k h kevalidan dan 1 hasil dan 1 hasil dan 1 hasil dan 1 hasil 1 Kesimpulan valid 29
30 Bentuk-bentuk argumen yang umum: Modus Ponens Modus Tollens Hypothetical Syllogism Disjunctive Syllogism p q p q p q p q p q q r p q p p r q LATIHAN: 1. Buktikan apakah kedua pasangan pernyataan ini ekuivalen apa tidak: (p q); p q p q; p q p q; p q p (p q); p p (p q); p p q ; p q (p q) r; p q r 2. Buktikan bahwa pasangan-pasangan pernyataan ini ekuivalen satu sama lain: p ( p q) (p q) p ( p q) p q (p q) ( p q) p [(p q) (p r)] r [p (q r)] p (p q) p 30
31 3. Berikan kesimpulan yang benar terhadap premis-premis ini: p q q r s r Buktikan validitas argumen ini. Jika Anda sudah menyelesaikan tugas (t), maka Anda boleh pulang (p). Anda belum menyelesaikan tugas: jadi Anda belum boleh pulang. 5. Premis 1: Jika Agus sedang belajar, maka Beni juga ikut belajar. Premis 2: Cinta akan belajar, jika dan hanya jika Beni belajar. Premis 3: Devi tak pernah belajar, jika Cinta sedang belajar. Premis 4: Devi selalu ikut belajar, jika Edi sedang belajar. Buktikan kesimpulan bahwa Agus tak pernah belajar, jika Edi sedang belajar. 31
32 3. Sistem Bilangan a b x a c =... a b / a c =... Tulislah bilangan decimal berikut ke dalam bilangan biner: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17 Tulislah bilangan basis non sepuluh berikut ini ke dalam basis sepuluh (decimal): Selesaikan operasi bilangan-bilangan basis dua dan lima ini: 1101 dua 1101 dua 342 lima 342 lima dua dua lima -123 lima
33 33
34 34
35 35
36 36
BAB I DASAR-DASAR LOGIKA
BAB I DASAR-DASAR LOGIKA 11 Pendahuluan Logika adalah suatu displin yang berhubungan dengan metode berpikir Pada tingkat dasar, logika memberikan aturan-aturan dan teknik-teknik untuk menentukan apakah
Lebih terperinciBAB 4 PROPOSISI. 1. Pernyataan dan Nilai Kebenaran
BAB 4 PROPOSISI 1. Pernyataan dan Nilai Kebenaran Ilmu logika adalah berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen-argumen) dan hubungan yang ada diantara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memberikan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA)
LOGIKA MATEMATIKA (Pendalaman Materi SMA) Disampaikan Pada MGMP Matematika SMA Provinsi Bengkulu Tahun Ajaran 2007/2008 Oleh: Supama Widyaiswara LPMP Bengkulu DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT
Lebih terperinciBAB I LOGIKA MATEMATIKA
BAB I LOGIKA MATEMATIKA A. Ringkasan Materi 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut
Lebih terperinciLOGIKA. /Nurain Suryadinata, M.Pd
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-3615/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata, M.Pd Referensi
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) LOGIKA MATEMATIKA Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana 37 Logika Matematika Kompetensi
Lebih terperinciMatematika Industri I
LOGIKA MATEMATIKA TIP FTP - UB Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai kebenaran dari proposisi Tautologi Ekuivalen Kontradiksi Kuantor Validitas pembuktian Pokok Bahasan Proposisi dan negasinya Nilai
Lebih terperinciLogika. Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si.
Logika Arum Handini Primandari, M.Sc. Ayundyah Kesumawati, M.Si. Logika Matematika Kalimat Terbuka dan Tertutup Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Semoga kamu
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciBAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP
BAB I NOTASI, KONJEKTUR, DAN PRINSIP Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari bab ini adalah sebagai berikut. (1) Dapat memberikan sepuluh contoh notasi dalam teori bilangan dan menjelaskan masing-masing
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciBAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN
BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi
Lebih terperinciBILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli
BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan,
Lebih terperinciPENGERTIAN. Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Nama lain proposisi: kalimat terbuka.
BAB 2 LOGIKA PENGERTIAN Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi Kalimat deklaratif yang
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN
LOGIKA MATEMATIKA I. PENDAHULUAN Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Tabel kebenarannya sbb : p ~ p B S S B
LOGIKA MATEMATIKA A. Pernyataan, kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan. 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya. a. Hasil kali
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinci1. Memahami pengertian proposisi dan predikat. 3. Memahami penggunaan penghubung dan tabel kebenaran
Modul 1 Logika Matematika Pendahuluan Pada Modul ini akan dibahas materi yang berkaitan dengan logika proposisi dan logika predikat, serta berbagai macam manipulasi didalamnya. Tujuan Instruksional Umum
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H
MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA LOGIKA. Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
LOGIKA MATEMATIKA LOGIKA Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom Pendahuluan Untuk menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada, diperlukan proses berpikir. Proses ini dikenal
Lebih terperinciRUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6)
RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI (Minggu ke-5 dan 6) 1 1 Rumus-rumus tautologi Rumus 1.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 2 Rumus 1.2 (Distributif) 1. p (q r) (p
Lebih terperinci1.3 Pembuktian Tautologi dan Kontradiksi. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set)
BAB 1 HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Anggota Himpunan Objek di dalam himpunan disebut elemen,
Lebih terperinciLogika Matematika. Logika Matematika. Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah. September 26, 2012
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah September 26, 2012 Cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu dengan membagi beberapa bagian (kolom). Nilai kebenarannya
Lebih terperinciMAKALAH RANGKUMAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA : NURHIDAYAT NIM : DBC
MAKALAH RANGKUMAN MATERI LOGIKA MATEMATIKA Nama : NURHIDAYAT NIM : DC 113 055 JURUAN TEKNIK INFORMATIKA FAKULTA TEKNIK UNIVERITA PALANGKA RAYA 2013 A I PENGERTIAN Logika adalah dasar dan alat berpikir
Lebih terperinciHimpunan. by Ira Prasetyaningrum. Page 1
Himpunan by Ira Prasetyaningrum Page 1 Set / Himpunan Set/Himpunan = kumpulan dari objek-objek yang berbeda Anggota Himpunan disebut elemen/anggota Contoh Listing: Example: A = {1,3,5,7} = {7, 5, 3, 1,
Lebih terperinciBILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT
BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya
Lebih terperinciHIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
Kegiatan Belajar Mengajar 4 HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Zainuddin Akina Kegiatan belajar mengajar 4 ini akan membahas tentang himpunan, relasi, dan fungsi.. Kegiatan belajar mengajar 4 ini mencakup 3 pokok
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. a. Apa sajakah hukum-hukum logika dalam matematika? b. Apa itu preposisi bersyarat?
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti
Lebih terperinciPusat Pengembangan Pendidikan Universitas Gadjah Mada 1
2. ALJABAR LOGIKA 2.1 Pernyataan / Proposisi Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah), tetapi tidak keduanya. Contoh 1 : P = Tadi malam BBM mulai naik (memiliki
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperinciModul Matematika X Semester 2 Logika Matematika
Modul Matematika X Semester 2 Logika Matematika Oleh : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 2014 2015 SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. 24 Bandung LOGIKA MATEMATIKA A. Standar Kompetensi : Menggunakan
Lebih terperinciPENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF
Unit 6 PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF Wahyudi Pendahuluan U nit ini membahas tentang penalaran induktif dan deduktif yang berisi penarikan kesimpulan dan penalaran indukti deduktif. Dalam penalaran induktif
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciTeori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15
Teori Himpunan Author-IKN 1 Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan 2 Teori Himpunan Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah,
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,
Lebih terperinciBAB IV LOGIKA A. Pernyataan B. Operasi uner
BAB IV LOGIKA A. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat matematika tertutup yang benar atau yang salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang bersamaan. Pernyataan biasa dilambangkan dengan p, q, r,...
Lebih terperinciLOGIKA Matematika Industri I
LOGIKA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pengertian Logika Pernyataan Matematika Nilai Kebenaran Operasi Uner Operasi Biner Tabel kebenaran Pernyataan Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen Pernyataan-pernyataan
Lebih terperinciHimpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciBAB I H I M P U N A N
1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan
Lebih terperinciTeori Himpunan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Teori Himpunan Drs. Sukirman, M.Pd. M PENDAHULUAN odul ini memuat pembahasan teori himpunan dan himpunan bilangan bulat. Teori himpunan memuat notasi himpunan, relasi dan operasi dua himpunan atau
Lebih terperinciLOGIKA. Arum Handini Primandari
LOGIKA Arum Handini Primandari LOGIKA MATEMATIKA KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP Kalimat terbuka adalah kalimat yang tidak mengandung nilai kebenaran Contoh: Apakah kamu tahu pencipta lagu PPAP? Semoga ujian
Lebih terperinciSTMIK Banjarbaru EKUIVALENSI LOGIKA. 10/15/2012 H. Fitriyadi & F. Soesianto
1 EKUIVALENSI LOGIKA 2 Pada tautologi dan kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis, demikian pula
Lebih terperinciBAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA
1 BAHAN AJAR LOGIKA MATEMATIKA DI SUSUN OLEH : DRS. ABD. SALAM,MM KELAS X BM & PAR SMK NEGERI 1 SURABAYA LOGIKA MATEMATIKA Standar Kompetensi : Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi)
MATEMATIKA DASAR (Ekivalensi dan Kuantifikasi) Antonius Cahya Prihandoko Universitas Jember Indonesia Jember, 2015 Antonius Cahya Prihandoko (UNEJ) MDAS - Ekivalensi dan Kuantifikasi Jember, 2015 1 / 20
Lebih terperinciLogika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements).
Logika (logic) 1 Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara proposisi atau pernyataan (statements). Proposisi Kalimat deklaratif yang bernilai
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciTeori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:
Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciHimpunan. Nur Hasanah, M.Cs
Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,
Lebih terperinciMatematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB
Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. d. 6 + a > -4 e. 7 adalah faktor dari 63. c. 4 x 6 2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari: a.
LOGIKA MATEMATIKA A. Definisi 1). Pernyataan Pernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Air laut rasanya asin, adalah bilangan prima, urabaya
Lebih terperinciI. PERNYATAAN DAN NEGASINYA
1 I. PERNYATAAN DAN NEGASINYA A. Pernyataan. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya. Benar atau salahnya suatu pernyataan dapat ditunjukkan
Lebih terperinciTopik: Tipe Bilangan dan Sistem Bilangan
Mata Kuliah: Matematika Kode: TKF 20 Topik: Tipe Bilangan dan Sistem Bilangan MAT 0 Kompetensi : Dapat menerapkan konsep-konsep tipe dan sistem bilangan dalam mempelajari konsep-konsep keteknikan pada
Lebih terperinciMETODE INFERENSI. Level 2. Level 3. Level 4
METODE INFERENSI Tree (Pohon) dan Graph - Tree (pohon) adalah suatu hierarki struktur yang terdiri dari Node (simpul/veteks) yang menyimpan informasi atau pengetahuan dan cabang (link/edge) yang menghubungkan
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1
BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}
BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinciKata kata Motivasi. Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari.
M e n g e n a l H i m p u n a n 1 Kata kata Motivasi Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari. Tidak ada mata pelajaran yang sulit, kecuali kemalasan akan mempelajari mata
Lebih terperinciLogika Matematika BAGUS PRIAMBODO. Tautologi dan Kontradiksi Argumen 1/Penarikan kesimpulan yang valid: modus ponen, modus tolen.
Modul ke: 6 Logika Matematika Tautologi dan Kontradiksi Argumen 1/Penarikan kesimpulan yang valid: modus ponen, modus tolen Fakultas FASILKOM BAGUS PRIAMBODO Program Studi SISTEM INFORMASI http://www.mercubuana.ac.id
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT LOGIKA
MATEMATIKA DISKRIT LOGIKA Logika Perhatikan argumen di bawah ini: Jika anda mahasiswa Informatika maka anda tidak sulit belajar Bahasa Java. Jika anda tidak suka begadang maka anda bukan mahasiswa Informatika.
Lebih terperinciLogika Proposisi. Pertemuan 2 (Chapter 10 Schaum, Set Theory) (Chapter 3/4 Schaum, Theory Logic)
Logika Proposisi Pertemuan 2 (Chapter 10 Schaum, Set Theory) (Chapter 3/4 Schaum, Theory Logic) Logika Proposisional Tujuan pembicaraan kali ini adalah untuk menampilkan suatu bahasa daripada kalimat abstrak
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan Real
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan
Lebih terperinciNAMA LAMBANG KATA PERNYATAAN LOGIKANYA PENGHUBUNG
LOGIKA MATEMATIKA A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar dan salah). 1. Gadis itu cantik. 2. Bersihkan lantai itu. 3. Pernyataan/kalimat
Lebih terperinciPernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
LOGIKA MATEMATIKA 1. Pernyataan Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya.
Lebih terperinci5. 1 Mendeskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka)
Sumber: Art and Gallery Standar Kompetensi 5. Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar 5. 1 Mendeskripsikan
Lebih terperinciHIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si
HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas
Lebih terperinciARGUMEN DAN METODE PENARIKAN KESIMPULAN
1 RGUMEN DN METODE PENRIKN KESIMPULN rgumen adalah rangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan (inferensi). rgumen terdiri dari pernyataanpernyataan yang terdiri
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.
Lebih terperinci2.1. Definisi Logika Proposisi Logika proposisi Atomic proposition compound proposition
2. LOGIKA PROPOSISI 2.1. Definisi Logika Proposisi Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk yang disusun dari pernyataanpernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung Boolean (Boolean
Lebih terperinciPENARIKAN KESIMPULAN/ INFERENSI
PENARIKAN KESIMPULAN/ INFERENSI Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi disebut inferensi (inference). Argumen Valid/Invalid Kaidah-kaidah Inferensi Modus Ponens Modus Tollens Silogisme Hipotesis
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA SOAL DAN PENYELESAIAN Logika, Himpunan, Relasi, Fungsi JONG JEK SIANG Kita menjalani hidup dari apa yang kita dapatkan Tetapi kita menikmati hidup dari apa yang kita berikan Jong Jek
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciKATA PENGANTAR. Assalamu alaikum Wr. Wb.
KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Matematika tidak dapat terlepas dalam kehidupan manusia sehari-hari, baik saat mempelajari matematika itu sendiri maupun mata kuliah lainnya. Mata kuliah Pengantar
Lebih terperinciInduksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah
Lebih terperinciPERTEMUAN KE 3 F T T F T F T F
PEREMUAN KE 3 E. DISJUNGSI EKSLUSI (Exclusive OR) Misalkan p dan q adalah proposisi. Exclusive or p dan q, dinyatakan dengan notasi, adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan
Lebih terperinciBAB 6 LOGIKA MATEMATIKA
A 6 LOGIKA MATEMATIKA A RINGKAAN MATERI 1. Pengertian Logika adalah suatu metode yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (bentuk pemikiran yang masuk akal). Pernyataan adalah kalimat yang hanya
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciLogika. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Logika Drs. Sukirman, M.Pd. L PENDAHULUAN ogika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat deduktif
Lebih terperinciARGUMEN (ARGUMENT) Drs. C. Jacob, M.Pd LOGIKA BERUSAHA UTK MEMBEDAKAN ARGUMEN VALID (CORRECT) & INVALID (INCORRECT)
ARGUMEN (ARGUMENT) Drs. C. Jacob, M.Pd Email: cjacob@upi.edu LOGIKA BERUSAHA UTK MEMBEDAKAN ARGUMEN VALID (CORRECT) & INVALID (INCORRECT) SUATU ARGUMEN MEMUAT SATU ATAU LEBIH KALIMAT YG DISEBUT PREMIS
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT BAB I HIMPUNAN Huruf-huruf besar A, B, C,... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan. Notasi himpunan : p Є A A B atau
Lebih terperinciUnit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA. Wahyudi. Pendahuluan
Unit 5 PENALARAN/LOGIKA MATEMATIKA Wahyudi Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan. Penalaran matematika menjadi pedoman atau tuntunan sah atau tidaknya
Lebih terperinciMETODE INFERENSI (1)
METODE INFERENSI (1) Tree (Pohon) dan Graph - Tree (pohon) adalah suatu hierarki struktur yang terdiri dari Node (simpul/veteks) yang menyimpan informasi atau pengetahuan dan cabang (link/edge) yang menghubungkan
Lebih terperinciArgumen premis konklusi jika dan hanya jika Tautolog
INFERENSI LOGIKA Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan proposisi P 1, P 2,...,P n yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan proposisi Q yang lain yang disebut
Lebih terperinciLogika Matematika. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Logika Matematika 1. Pengertian Logika 2. Pernyataan Matematika 3. Nilai Kebenaran 4. Operasi Uner 5. Operasi Biner 6. Tabel kebenaran Pernyataan 7. Tautologi, Kontradiksi dan Kontingen 8. Pernyataan-pernyataan
Lebih terperinciMahdhivan Syafwan. PAM 123 Pengantar Matematika
Mahdhivan Syafwan PAM 123 Pengantar Matematika APAKAH LOGIKA ITU PENTING? http://hukum.kompasiana.com/2012/03/31/dpr-menunda-sementara-kenaikan-bbm-bersubsidi-451248.html Pasal 7 Ayat 6 : Harga jual eceran
Lebih terperinciIMPLEMENTASI STRATEGI PERLAWANAN UNTUK PEMBUKTIAN VALIDITAS ARGUMEN DENGAN METODE REDUCTIO AD ABSURDUM
IMPLEMENTASI STRATEGI PERLAWANAN UNTUK PEMBUKTIAN VALIDITAS ARGUMEN DENGAN METODE REDUCTIO AD ABSURDUM Abstrak Pembuktian validitas argumen dengan menggunakan tabel kebenaran memerlukan baris dan kolom
Lebih terperinciARGUMEN DAN METODE DEDUKSI. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
ARGUMEN DAN METODE DEDUKSI Pengertian Argumen Argumen merupakan serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan. Dalam argumen terdapat kata-kata seperti : Jadi, maka, oleh
Lebih terperinciTeori Dasar Logika (Lanjutan)
Teori Dasar Logika (Lanjutan) Inferensi Logika Logika selalu berhubungan dengan pernyataan-pernyataan yang ditentukan nilai kebenarannya. Untuk menentukan benar tidaknya kesimpulan berdasarkan sejumlah
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA. Pernyataan
LOGIKA MATEMATIKA 1 PERNYATAAN DAN UKAN PERNYATAAN A Pengertian logika Matematika Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Logika matematika (logika simbolik) adalah ilmu tentang penyimpulan
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.
BAB V HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas. Contoh: 1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11. Anggota
Lebih terperinciKode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar
Lebih terperinciARGUMENTASI. Kalimat Deklaratif Kalimat Deklaratif (Proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya.
ARGUMENTASI Kalimat Deklaratif Kalimat Deklaratif (Proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Berikut ini adalah beberapa contoh Proposisi : a. 1 + 2 = 3 b. Kuala
Lebih terperinci