RANCANGAN BUKU AJAR MATA KULIAH : ANALISA STRUKTUR 1 : TINJAUAN MATA KULIAH. 1. Deskripsi Singkat

Transkripsi

1 RNCNGN UKU JR MT KUIH : NIS STRUKTUR SKS HSN : SKS : TINJUN MT KUIH. Deskripsi Singkat Mata kuliah nalisa Struktur merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program strata Teknik Sipil di semester. Mata kuliah ini mencakup penjelasan tentang cara menghitung gaya dalam, garis pengaruh gaya dalam dan lendutan untuk balok dan rangka batang. Gaya dalam, lendutan merupakan fenomena umum keseimbangan benda dalam merespon beban luar yang bekerja padanya. Teori balok dan rangka batang merupakan teori struktur sederhana yang banyak digunakan dalam perencanaan struktur bangunan teknik sipil, disamping merupakan dasar teori mata kuliah analisa struktur selanjutannya maupun mata kuliah terapan seperti struktur baja, beton bertulang dan kayu. Penguasaan mahasiswa pada mata kuliah ini akan sangat membantu dalam penguasaan mata kuliah analisa struktur lanjutan, mata kuliah yang berhubungan dan juga bermanfaat langsung saat terjun kedunia pekerjaan kesipilan.. Relevansi (Kegunaan) Dalam perencanaan struktur jembatan, struktur rangka atap, balok gedung bertingkat, gaya dalam, lendutan merupakan hal yang menentukan dimensi struktur. Dimensi terlalu kecil akan memberikan tegangan yang melampaui kemampuan material dan lendutan melampaui lendutan batas peraturan. Dimensi terlalu besar akan over design dan mahal. Penguasaan mahasiswa akan teori menghitung gaya dalam, lendutan balok dan rangka batang akan sangat berguna bagi seorang teknik sipil dalam merencana bangunan yang ekonomis dan kuat.. Standar Kopetensi Mata kuliah ini mendukung pencapaian kompetensi lulusan dalam perencanaan struktur rangka atap, struktur jembatan rangka dan struktur balok jembatan maupun bangunan gedung. Dukungan menekankan pada perhitungan gaya dalam dan deformasi struktur akibat beban-beban yang bergerak maupun tidak bergerak. 4. Kopetensi Dasar (Tujuan Instruksional Umum) Setelah menempuh perkuliahan ini :

2 Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung gaya dalam rangka batang dengan metoda Keseimbangan titik kumpul, Cremona, Ritter dan Culman. Mahasiswa mampu menghitung garis pengaruh gaya dalam balok dan rangka batang akibat pengaruh beban berjalan. Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung perpindahan titik simpul rangka batang dengan cara Williot dan usaha virtuil. Mahasiswa mampu menjelaskan teori dan mampu menghitung lendutan balok dengan metoda analitis dan metoda luasan bidang momen. Mahasiswa mampu menjelaskan teori energi regangan batang tertarik, benda tergeser, balok terlentur, benda dengan beban kejut, teorema Castigliano, Teorema etti dan teorema Mawell dan dapat menghitung lendutan balok maupun rangka batang dengan teorema Castigliano, etti dan Mawell. 5. Indikator Indikator keberhasilan mahasiswa dalam setiap bahasan adalah mampu menghitung benar untuk kasus-kasus yang diberikan dengan prosentase mahasiswa menghitung benar mencapai 85 %. Indikator kemampauan meliputi : Mampu menghitung gaya batang dengan cara keseimbangan titik kumpul, Cremona, Ritter maupun Culman secara benar untuk persoalan atau kasus yang diberikan. Mampu menghitung secara benar garis pengaruh gaya dalam balok dan rangka batang akibat beban berjalan dari kasus yang diberikan. Mampu menghitung secara benar perpindahan titik simpul persoalan rangka batang yang diberikan dengan cara Williot dan usaha virtuil. Mampu menghitung secara benar lendutan balok tertumpu sederhana, balok kantilever dan balok beroverstek dengan cara analitis maupun metoda luasan bidang momen. Mampu menghitung secara benar lendutan balok, portal sederhana, rangka batang dengan menggunakan teorema Castigliano dan Mawell dari kasus yang diberikan. POKOK HSN I : Gaya dalam rangka batang. SU POKOK HSN : Keseimbangan titik kumpul

3 .. Pendahuluan... Deskripsi singkat Membahas konsep keseimbangan benda, keseimbangan titik kumpul, formulasi indikator pembedaan jenis rangka batang statis tertentu dan tak tertentu.... Relevansi Penguasaan teori menghitung gaya dalam rangka batang sangat diperlukan dalam perencanaan struktur rangka atap dan jembatan.... Standar kompetensi Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan keseimbangan benda dan titik simpul rangka batang.... Kompetensi dasar Mahasiswa menjelaskan teori dan mampu menghitung gaya batang dengan cara keseimbangan titik simpul... Penyajian... Keseimbangan Titik Kumpul PRINSIP KESEIMNGN Dalam benda bidang, syarat seimbang adalah : P R P R P R Pi Pn Kalau semua gaya yang bekerja pada benda baik beban maupun reaksi perletakan melalui titik syarat seimbang cukup : o K 0 o Ky 0 () Kalau gaya beban dan reaksi perletakan tidak melalui titik syarat seimbang : o K 0 o Ky 0 Gambar : enda bidang seimbang o Mz 0 ()

4 RNGK TNG Struktur rangka batang adalah struktur yang tersusun oleh kumpulan elemen batang yang tersambung satu sama lain secara sendi. Gaya dalam yang ada hanya gaya normal yaitu gaya yang tegak lurus penampang dan sejajar dengan sumbu batang. Gaya-gaya batang dan beban luar yang bekerja pada titik simpul dalam keadaan seimbang. Persamaan keseimbangan yang dimiliki titik kumpul ada. Kalau jumlah titik simpul rangka batang K, jumlah persamaan keseimbangan yang dimiliki adalah K. Jumlah anu yang dicari adalah gaya batang sebanyak batang S dan reaksi perletakan sebanyak R. Kalau jumlah anu yang dicari sama dengan jumlah persamaan keseimbangan yang ada dikatakan rangka batang adalah Rangka atang Statis Tertentu. S + R K Rangka atang Statis Tertentu Kalau jumlah anu yang dicari lebih banyak dari jumlah persamaan keseimbangan yang ada, dikatakan rangka batang adalah Rangka atang Statis Tak Tertentu. S + R > K Rangka atang Statis Tak Tertentu. Terdapat beberapa cara untuk mencari gaya batang Rangka Stastis Tertentu : Keseimbangan Titik Simpul Cara Cremona Cara Ritter Cara Culman KESEIMNGN TITIK SIMPU anyak persamaan keseimbangan yang dimiliki titik simpul adalah. Maka banyak gaya batang yang akan dipecahkan maksimum harus. Dengan menguraikan gayagaya batang baik yang sudah diketahui harganya atau yang belum dan gaya luar yang bekerja menjadi gaya yang sejajar sumbu X dan sumbu Y, akan diperoleh persamaan dengan anu gaya batang yang dicari. Dengan menggunakan eliminasi Gauss kedua gaya batang akan didapat. Contoh : RV C E G RH M R α D F H I 0 T 4 M 4 M 4 M 4 M Gambar : Rangka atang idang 4

5 Mencari Reaksi Perletakan : Ky 0 RV 0 0 RV 0 ton Mz 0 - R R 40 ton () K 0 R RH 0 RH 40 ton Dimulai dari titik simpul yang jumlah anu maksimum. Yang memenuhi titik simpul dan I. Dicoba dari titik simpul : K 0 S4 + R 0 S4-40 ton Ky 0 S S8 0 ton Catatan : Permisalan semua gaya batang yang belum diketahui besar dan arah adalah tarik, dengan arah meninggalkan titik simpul. pabila dari hasil perhitungan didapat harga negatip, berarti arah gaya batang yang bersangkutan berlawanan dengan arah permisalan semula. Dengan demikian batang tersebut adalah tekan. Simpul : Ky 0 RV - S8 - S9 sin α S9 0 S9 0 ton K 0 - RH + S + S9 cos α 0 S ton Dengan cara yang sama diterapkan pada titik-titik simpul D, C, F, E, H, G dan I akan didapat hasil analisis seperti tersebut pada tabel : Tabel : Hasil nalisis Keseimbangan Titik Simpul atang Gaya atang (ton) atang Gaya atang (ton) S 0 S9 0 S 0 S0-0 S 0 S 0 S4-40 S 0 S5-0 S 0 S6 0 S4 0 S7 0 S5 0 S8 0 5

6 ... atihan Rangka batang pada gambar () : titik kerja gaya 0 ton berada di H Tabel : Gaya batang akibat beban 0 ton vertikal di H atang Gaya atang (ton) atang Gaya atang (ton) S 40 S9 0 S 0 S0-0 S 0 S 0 S4-60 S - 0 S5-40 S 0 S6-0 S4 0 S7 0 S5 0 S Penutup... Tes formatif Tentukan gaya batang rangka batang gambar () ababila gaya 0 ton bekerja dititik I dengan arah mendatar.... Umpan balik Hasil perhitungan gaya batang harus memenuhi bahwa resultante gaya di semua titik simpul harus Tindak lanjut Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung gaya batang dengan membuat soal latihan sendiri....4 Rangkuman Setiap benda maupun titik dalam kondisi yang diam berati seimbang. Dengan keseimbangan dapat menghitung gaya dalam. 6

7 ...5 Kunci jawaban tes formatif Tabel : gaya batang akibat 0 ton horisontal di I atang Gaya atang (ton) atang Gaya atang (ton) S 0 S9 0 S 0 S0 0 S 0 S 0 S4 0 S 0 S5 0 S 0 S6 0 S4 0 S7 0 S5 0 S8 0. SU POKOK HSN : Cara Cremona.. Pendahuluan... Deskripsi singkat Membahas konsep keseimbangan benda, keseimbangan titik kumpul dengan cara grafis pada rangka batang statis tertentu.... Relevansi Penguasaan teori menghitung gaya dalam rangka batang sangat diperlukan dalam perencanaan struktur rangka atap dan jembatan.... Standar kompetensi Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasahan keseimbangan benda dan titik simpul rangka batang.... Kompetensi dasar Mahasiswa mampu menghitung gaya batang dengan cara Cremona... Penyajian... Cara Cremona 7

8 CREMON Cara Cremona adalah cara untuk menghitung reaksi perletakan dan gaya batang secara grafis. Dalam mencari reaksi perletakan berpegang pada prinsip benda seimbang bahwa resultante gaya luar dan reaksi perletakan harus sama dengan 0 r. Sedang dalam mencari gaya batang berpegang pada prinsip titik simpul seimbang bahwa resultante gaya-gaya batang dan beban luar dititik simpul harus sama dengan 0 r. Seluruh diagram keseimbangan vektor gaya dari reaksi perletakan, beban luar hingga gaya-gaya batang di semua titik simpul dijadikan. Diagram gabungan akan berupa diagram gaya-gaya yang menutup. nalisis dapat dilakukan dalam arah searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam. RV C E G RH M R α D F H I 0 T 4 M 4 M 4 M 4 M R + (a) T 4 R Gambar : Rangka atang Seimbang (a) Garis-garis Kerja Gaya (b) Diagram Cremona (b) Penataan arah reaksi perletakan juga harus sesuai dengan arah analisis yang ditetapkan. rah yang tidak konsisten akan menyebabkan diagram vektor tidak menutup. rah gaya reaksi yang sudah diketahui adalah R. Ditentukan titik potong R dan beban 0 ton. Resultan R dan gaya 0 ton akan melalui titik potong 8

9 tersebut. Resultan antara resultan R dan 0 ton dengan R akan berupa vektor 0 r. Hal ini hanya bisa dipenuhi apabila kedua vektor segaris kerja, sama besar dan berlawanan arah. Dengan demikian arah gaya reaksi R melalui dan titik potong R dan 0 ton (F). Dengan mengambil arah searah jarum jam, diagram gaya reaksi dan gaya-gaya batang disajikan dalam diagram Cremona berikut : Gaya gaya batang yang tidak tersebut berharga 0. + menyatakan tarik dan menyatakan tekan. rah reaksi perletakan yang tergambar merupakan arah yang benar. Gaya-gaya batang dihitung berdasar besaran skala. Kalau disajikan dalam tabel sesuai dengan tabel.... atihan Rangka batang pada gambar () : titik kerja gaya 0 ton berada di H Dikerjakan secara grafis akan diperoleh gaya batang seperti pada tabel.... Penutup... Tes formatif Tentukan gaya batang rangka batang gambar () ababila gaya 0 ton bekerja dititik I dengan arah mendatar dengan cara Cremona.... Umpan balik Hasil perhitungan gaya batang harus memenuhi bahwa resultante gaya di semua titik simpul harus Tindak lanjut Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung gaya batang cara Cremona dengan membuat soal latihan sendiri....4 Rangkuman Setiap benda maupun titik dalam kondisi yang diam berati seimbang. Dengan penerapan keseimbangan grafis dapat menghitung gaya dalam....5 Kunci jawaban tes formatif Hasil perhitungan dengancara Cremona sama seperti pada tabel.. POKOK HSN : Garis Pengaruh.. SU POKOK HSN : Garis Pengaruh alok 9

10 .. Pendahuluan... Deskripsi singkat Membahas gaya lintang dan momen suatu titik di balok yang besarnya dipengaruhi oleh posisi beban berjalan.... Relevansi Pengaruh beban berjalan pada gaya lintang dan momen pada balok merupakan gambaran pengaruh beban kendaraan atau kereta api pada gaya lintang dan momen jembatan balok.... Standar kompetensi Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan dan pengaruh beban bergerak pada jembatan balok.... Kompetensi dasar Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik garis pengaruh gaya lintang dan momen pada balok.... Penyajian C (a)... Garis Pengaruh alok (b) (c) Garis pengaruh gaya lintang dan momen adalah grafik yang menyajikan besar gaya lintang dan momen suatu titik di balok akibat pengaruh beban berjalan satu satuan gaya. D C C M C 0.4 (d) Dengan menerapkan prinsip keseimbangan balok atau bagian balok, gaya lintang dan momen suatu titik akan diperoleh. 0.6 M C D C Gambar 6 : Garis Pengaruh Reaksi Perletakan (a) alok dengan beban berjalan (b) Garis Pengaruh R (c) Garis Pengaruh R (d) Potongan kanan ()P ki i (e) Contoh : Menggambar garis Pengaruh Gaya intang dan Momen titik C 0

11 Mz 0 R *( - ) 0 R / R merupakan fungsi pangkat, fungsi R merupakan garis lurus seperti tergambar (6.b) Mz 0 - R + * 0 R / R juga merupakan fungsi pangkat, fungsi R merupakan garis lurus seperti tergambar (6.c) 0.4 _ (a) Kalau beban di kiri C, dikaji keseimbangan potongan C : Ky 0 D C R (b) Sesuai ketentuan gaya lintang dinyatakan negatip. Dengan demikian beban berjalan dari C, gaya lintang C - R. Gambar 7a : Garis Pengaruh Gaya Dalam di C (a) Garis Pengaruh Gaya intang (b) Garis Pengaruh Momen Mz 0 M C R*0.4 Sesuai ketentuan momen dinyata kan positip. Kalau beban dikanan C, dikaji keseimbangan potongan C : Ky 0 D C R Sesuai ketentuan gaya lintang dinyatakan positip. Mz 0 M C R*0.6 Sesuai ketentuan momen dinyata kan positip. Gambar garis pengaruh gaya lintang dan momen di C dinyatakan dalam gambar (7).... atihan 0.5 _ (a) (b) Garis pengaruh gaya lintang dan momen untuk titik D ditengah bentang disajikan pada gambar (7.b). 0.5 Gambar7.b : Garis Pengaruh Gaya Dalam di D (c) Garis Pengaruh Gaya intang (d) Garis Pengaruh Momen

12 ... Penutup... Tes formatif Tentukan garis pengaruh gaya lintang dan momen untuk titik E yang berjarak 0. dari tumpuan kiri balok gambar (6).... Umpan balik Jumlah gaya lintang posistip dan negatip sama dengan. esar momen ekstrim sama dengan perkalian bentang kiri dan kanan dibagi bentang tottal.... Tindak lanjut Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya lintang dan momen soal soal berikut : 0.6 C 0.4 D Hitung dan gambar garis pengaruh gaya lintang di C dan D kedua balok berikut : 0. C D Rangkuman Dengan keseimbangan potongan, garis pengaruh gaya lintang dan momen akan dapat digambar dan grafik berupa kumpulan fungsi linier terhadap posisi beban....5 Kunci jawaban tes formatif _ (a) (b) (a) Garis Pengaruh Gaya intang (b) Garis Pengaruh Momen

13 .. SU POKOK HSN : Garis Pengaruh Rangka atang Pendahuluan... Deskripsi singkat Membahas gaya normal suatu batang pada rangka batang yang besarnya dipengaruhi oleh posisi beban berjalan.... Relevansi Pengaruh beban berjalan pada gaya normal rangka batang merupakan gambaran pengaruh beban kendaraan atau kereta api pada gaya dalam jembatan rangka batang.... Standar kompetensi Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan dan pengaruh beban bergerak pada jembatan rangka batang.... Kompetensi dasar Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik garis pengaruh gaya normal pada rangka batang.... Penyajian... Garis Pengaruh Rangka atang Garis pengaruh pada rangka batang merupakan grafik yang menggambarkan besar gaya normal suatu batang akibat pengaruh beban berjalan satuan gaya. Untuk menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya normal suatu batang dipergunakan cara analisis Ritter.... atihan Sebagai contoh akan menghitung garis pengaruh gaya normal batang, 6 dan rangka batang yang tercantum pada gambar (8), diambil potongan Ritter I I. Untuk beban dikiri potongan, dikaji keseimbangan potongan kanan : MzI 0 - S4 R8 0 S - R MzD 0 S64 R 0 S6 R Ky 0 Ssin α + R 0 S -R Untuk beban dikanan potongan, dikaji keseimbangan potongan kiri :

14 MzI 0 S4 + R8 0 S - R MzD 0 - S64 + R4 0 S6 R Ky 0 - Ssin α + R 0 S R I C D E F 4 G M α R H I I J R 4 M 4 M 4 M 4 M (a) (b) (c) C D E F G 4 M R α 6 H I 4 M 4 M 6 I (d) I J 6 4 M 4 M α (e) R Gambar 8 : Potongan Ritter pada Rangka atang idang (a) Rangka batang dengan beban berjalan (b) Garis Pengaruh R (c) Garis Pengaruh R (d) Potongan kiri (e) Potongan kanan 4

15 Grafik garis pengaruh dinyatakan dalam gambar (9). 0.5V _ 0.5V + (a) _ 0.5 (b) (c) Gambar 9 : Garis Pengaruh Gaya Normal Rangka atang (a) Garis Pengaruh S (b) Garis Pengaruh S (c) Garis Pengaruh S6... Penutup... Tes formatif Tentukan garis pengaruh gaya batang, 7, 4 rangka batang gambar (8).... Umpan balik Garis pengaruh gaya batang atas umumnya negatip, gaya batang bawah umumnya tarik dan gaya batang vertikal dan diagonal terjadi silang tanda.... Tindak lanjut Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya batang soal soal berikut : Hitung dan gambar garis pengaruh batang 0, dan. Hitung dan gambar garis pengaruh batang, 5 dan Rangkuman Dengan keseimbangan potongan, garis pengaruh gaya batang akan dapat digambar dan grafik berupa kumpulan fungsi linier terhadap posisi beban....5 Kunci jawaban tes formatif 5

16 0.5V + _ (a) 0.5V 0.5 _ (b) (c) Gambar 9.b : Garis Pengaruh Gaya Normal Rangka atang (a) Garis Pengaruh S4 (b) Garis Pengaruh S (c) Garis Pengaruh S7. POKOK HSN : endutan.. SU POKOK HSN : endutan Rangka atang... Pendahuluan... Deskripsi singkat Membahas perpindahan titik-titik simpul rangka batang akibat beban luar yang bekerja. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara analitis yaitu dengan usaha virtuil atau dengan cara grafis yaitu cara Williot.... Relevansi endutan rangka batang sesuai dengan lendutan rangka batang jembatan datu atap. endutan yang besar akan dirasakan tidak aman oleh pemakai. Sehingga lendutan terbesar menurut peraturan perencanaan harus dibatasi. Materi ini akan diperlukan bagi seorang sarjana teknik sipil dalam bertindak sebagai perencana struktur.... Standar kompetensi Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan rangka batang yang berhubungan dengan beban, dimensi, bentang dan lendutan.... Kompetensi dasar Mahasiswa mampu menghitung dan menggambarkan grafik lendutan rangka batang. 6

17 ... Penyajian... endutan Rangka batang da beberapa cara untuk menghitung lendutan, diantaranya : Cara Williot Usaha Virtuil Formulasi Castigliano Untuk cara ke tiga akan dibahas setelah pembahasan C Energi Regangan.. Cara Williot Menggambarkan perpindahan suata titik pertemuan buah batang, diawali dengan menempatkan kedua batang pada posisi akhir yaitu batang mengikuti perpindahan ujung yang lain. Dalam pergeseran batang tetap diposisikan sejajar arah semula. Δ C + Δ C O Δ Δ C (a) (b) (c) Gambar 0 : Diagram Williot (a) Kondisi awal Titik C (b) Sketsa perpindahan titik C (c) Diagram Williot perpindahan titik C Dengan demikian perpindahan ujung batang yang berhubungan dengan titik yang akan digambarkan perpindahannya sama dengan perpindahan titik ujung yang lain. Perubahan panjang digambarkan dengan arah sesuai arah batang. Kedua batang yang ujung-ujung batangnya tidak bertemu dilingkarkan sampai kedua ujung bertemu. Titik temu hádala posisi baru titik tersebut. Dalam batasan deformasi Sangay kecil gerakan melingkar batang dapat didekati dengan gerakan tegak lurus. Penggambaran diagram Williot hanya menampilkan perpindahan titik-titik 7

18 sebelumnya, perubahan panjang dan gerakan tegak lurus. Semua perpindahan titik simpul diukur dari titik awal O. Sketsa penggambaran perpindahan titik simpul dan diagram Williot disajikan pada gambar (0). Contoh : 0 t C D RH 0 0V α 0 5 RV R 4 M Δ O Δ 4 (b) D C Δ 4 M (a) Gambar : Perpindahan titik simpul Rangka atang beban 0 ton (a) Sketsa Rangka atang (b) Diagram Williot Dengan menggunakan keseimbangan titik kumpul gaya batang rangka batang pada gambar () yang berbeban 0 ton, dapat diperoleh. Hasil gaya batang tercantum dalam gambar. erdasar gaya batang terhitung, perubahan panjang batang dihitung dengan menggunakan humus Robert Hooke : σ Eε S σ Δ ε dengan demikian Δ S E Dimana : Δ perubahan panjang batang ε regangan normal panjang batang S gaya batang (gaya normal penampang) E modulus elastisitas luas penampang batang Perhitungan perubahan panjang batang disajikan pada tebel 4. 8

19 Tabel 4 : Perubahan Panjang atang Sii i Si (Kg) i (cm) i (cm) Δi Ei (cm) V 400V erdasar perubahan panjang batang yang dihasilkan dipergunakan untuk menggambar diagram Williot seperti ditunjukkan pada gambar (.b). Contoh : C 0V 0V α 0 D 0 0 T R R 4 M C Δ C D D Δ O Δ 4 Δ 5 Δ 4 M 4 M (a) (b) Gambar : Perpindahan titik simpul Rangka atang beban 0 ton (a) Rangka dan Gaya batang (b) Diagram Williot Dengan menggunakan keseimbangan titik kumpul gaya batang rangka batang pada gambar () yang berbeban beban 0 ton, dapat diperoleh. Hasil gaya batang tercantum dalam gambar. erdasar gaya batang terhitung, perubahan panjang batang dihitung. Hasilnya disajikan pada tabel 5. 9

20 Tabel 5 : Perubahan Panjang atang Sii i Si (Kg) i (cm) i (cm) Δi Ei (cm) -0000V 400V V 400V Persoalan berbeda dengan contoh dimana titik kedua setelah titik sendi adalah titik rol yang tidak mungkin pindah vertikal. Contoh titik kedua adalah titik yang dimungkinkan berpindah vertical. Untuk mengatasi kesulitan ini, titik kedua setelah sendi dianggap tidak pindah vertical. Kemudian dilanjutkan penggambaran perpindahan titik-titik yang lain. Setelah tergambar ternyata titik rol pindah vertical. Ini merupakan kesalahan akibat asumís titik D tidak pindah vertical. Kesalahan harus dikoreksi dengan cara rangka batang diputar secara kaku dengan titik pusat titik sendi. esar pemutaran sebesar kesalahan yang terjadi. Hasil pemutaran kaku akan memberikan perpindah titik kumpul tergambar sebagai ( ). Perpindahan yang benar adalah dari ( ) ke ( ). Dengan demikian titik rol hanya perpindah horisontal dari ke.. Usaha Virtuil enda yang seimbang kalau diberi beban/perpindahan maya, usaha yang dilakukan oleh beban luar akan sama dengan energi regangan yang tersimpan dalam benda. Rangka batang seperti pada gambar (), diberi beban maya satu satuan gaya yang sangat kecil di dalam arah horisontal. Gaya ini akan menimbulkan gaya batang αi. erdasar Hukum Usaha Virtuil akan diperoleh persamaan seperti berikut : * n i i i δ H atau δ H i S α E i n i S α Si adalah gaya batang yang ke i akibat beban luar αi adalah gaya batang yang ke i akibat beban satu satuan gaya di dalam arah horisontal. i i E i i 0

21 i adalah panjang batang yang ke i i adalah luas penampang batang yang ke i E adalah modulus elastisitas. 0 C C 0V 0V 0 0 R α 0 D 0 0 T 4 M 4 M R (a) 4 M α D R 4 M 4 M R (b) 4 M Gambar : eban maya di dalam arah horisontal (a) Rangka, Gaya batang akibat beban luar. (b) Gaya batang akibat beban satu satuan gaya di arah horisontal Tabel 6 : Perpindahan horizontal titik δ H i Si (Kg) αi i (cm) i (cm) Siαii Ei -0000V 0 400V V 0 400V δ H 0. (cm) Penempatan posisi dan arah beban maya disesuaikan dengan perpindahan titik dan arah yang diinginkan. pabila ternyata perpindahan yang dihitung berharga negatip berarti arah perpindahan berlawanan denga arah beban maya.... Penutup... Tes formatif Tentukan perpindahan vertikal titik D rangka batang gambar ().

22 ... Umpan balik Pada rangka batang tertumpu sendi dan rol umumnya perpindahan vertikal titik-titik simpul oleh beban gravitasi mempunyai arah kebawah, perpindahan horisontal titiktitik simpul bawah mempunyai arah kekanan dan titik-titik simpul atas kekiri... Tindak lanjut Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung dan menggambar garis pengaruh gaya batang soal soal berikut : Hitung perpindahan vertikal titik C rangka batang gambar () Hitung perpindahan horisontal titik D rangka batang gambar ()...4 Rangkuman Untuk menghitung perpindahan suatu titik lebih efisien mempergunakan cara uasah virtuil dan kalau menghitung perpindahan seluruh titik simpul lebih cepat dipergunakan cara Williot....5 Kunci jawaban tes formatif Tabel 7 : Perpindahan vertikal titik D δ DV i Si (Kg) αi i (cm) i (cm) Siαii Ei (cm) -0000V -0.5V 400V 0 0.V V -0.5V 400V 0 0.V δ DV V.. SU POKOK HSN : endutan alok... Pendahuluan... Deskripsi singkat

23 endutan balok dapat dihitung dengan menggunakan cara analitis, metoda uasan idang Momen dan Teorema Castigliano. Cara analitis adalah cara yang menggunakan integrasi persamaan diferensial turunan kedua lendutan. Metoda uasan idang momen mengembangkan persamaan turunan kedua lendutan kearah lausan dan statis momen bidang momen. Dan Teorema Castigliano merupakan hasil jabaran lanjut dari teori energi regangan beban satis.... Relevansi endutan balok sesuai dengan lendutan balok jembatan, balok gedung bertingkat. endutan terbesar menurut peraturan perencanaan harus dibatasi. endutan yang melampaui batas dapat dirasakan oleh pemakai, sehingga timbul kesan tidak aman. Materi ini sangat diperlukan bagi seorang sarjana teknik sipil saat terjun dalam dunia perencanaan struktur.... Standar kompetensi Mahasiswa mampu berfikir kritis tentang permasalahan balok yang berhubungan dengan beban, dimensi, bentang dan lendutan.... Kompetensi dasar Mahasiswa mampu menghitung lendutan balok statis tertentu.... Penyajian... endutan alok da beberapa cara untuk menghitung lendutan, diantaranya : Cara nalitis Metoda uasan idang Momen Formulasi Castigliano Untuk cara ke tiga akan dibahas setelah pembahasan C eban Impact. Cara nalitis Untuk mencari lendutan balok dengan cara analitis, dilakukan integrasi persamaan hubungan lendutan dengan momen lapangan. Momen lapangan disesuaikan momen lapangan balok yang dikaji yang sangat dipengaruhi oleh macam beban yang bekerja. Integrasi turunan kedua fungsi lendutan akan terdapat konstanta integrasi untuk setiap momen lapangan. Dengan memanfaatkan harga batas, konstanta integrasi akan dapat ditemukan.

24 . alok Dengan eban Merata q M R ½ q M ½ q ½ q R φ φ R X M y" EI EIz y - M z Y Gambar 4 : alok dengan beban merata EIz y ½ q - ½ q EIz y /6 q ¼ q + C EIz y /4 q 4 / q + C + C Dari lendutan yang terjadi terdapat titik yang diketahui harganya, yaitu titik dan : 0 y 0 memberikan harga C 0 q y 0 memberikan harga C 4 Persamaan turunan pertama lendutan dan lendutan menjadi : EIz y q q q EIz y q 4 q q Fungsi lendutan sudah definitip. Kalau harga E, Iz, q dan diketahui fungsi lendutan dan turunan dapat digambar. Dalam bangunan sipil lendutan umumnya sangat kecil sehingga sudut yang dibentuk oleh garis singgung menyinggung balok melendut dengan sumbu juga sangat kecil. Tangen sudut yang sangat kecil akan sama dengan sudutnya itu sendiri. Hanya sudut harus dalam radial. φ sudut yang dibentuk oleh garis singgung di terhadap sumbu atau terhadap arah sebelum dibebani. φ juga menyatakan rotasi penampang atau titik di. 4

25 φ y untuk 0 φ y untuk ϕ ϕ q 4EI z q 4EI z endutan terbesar y ma terjadi kalau y 0 atau : q q q + 0 ini merupakan polinom pangkat yang mempunyai akar buah. Karena kondisi simetris salah satu akar pasti ½. Kalau dimasukkan akan memenuhi persamaan. Harga lendutan didapat dengan memasukkan ½ ke persamaan y : y ma 5ql 4 84EI z. alok Dengan eban Terpusat R Y P φ a b φ R Gambar 5 : alok dengan beban terpusat X Pb Pa R R Terdapat momen lapangan : apangan : 0 < < a Pb M R EIz y - M Pb EIz y - Pb EIz y - + C Pb EIz y C + C apangan : a < < Pb M - P (-a) EIz y - M Pb EIz y - + P (-a) 5

26 Pb EIz y - + ½ P (-a) + C Pb EIz y /6 P (-a) + C + C 4 Konstanta C, C, C dan C 4 dapat dipecahkan dengan menggunakan 4 buah persamaan harga batas : 0 y 0 (a) a y y R (b) y y R (c) y 0 (d) Dari harga batas (a) didapat C 0 Dari harga batas (b) didapat C C Dari harga batas (c) didapat C 4 0 Pab( + b) Dari harga batas (d) didapat C 6 Dengan demikian fungsi turunan lendutan dan lendutan adalah : apangan : 0 < < a Pb EIz y - Pab( + b) + 6 Pb EIz y - 6 Pab( + b) + 6 apangan : a < < Pb EIz y - + ½ P (-a) + Pab( + b) 6 EIz y - Pb /6 P (-a) + Pab( + b) 6 Rotasi penampang di dan adalah : Pab( + b) φ y untuk 0 ϕ 6EI φ y untuk Pab( + a) ϕ 6EI endutan terbesar untuk keadaan a b ½ akan terjadi di titik ½ : y ma P 48EI z z z 6

27 . alok Dengan eban Momen diujung R Y φ φ M R Gambar 6 : alok dengan beban Momen X M R M M - M EIz y M EIz y EIz y + C M 6 + C + C Harga batas : 0 y 0 memberikan harga C 0 y 0 M memberikan harga C - 6 Persamaan turunan pertama lendutan dan lendutan menjadi : EIz y M M - 6 EIz y M 6-6 M Rotasi dan lendutan terbesar : φ y untuk 0 φ y untuk Yma terjadi bila y 0 atau : ϕ ϕ M 6EI M EI z z M M - 0 didapat akar yang rasional 6 Y ma M 7 Metoda uasan idang Momen kibat beban sebarang balok seperti pada gambar (7) melendut. Turunan kedua fungsi lendutan adalah : M y" EI z Ditarik garis singgung melalui kedua ujung elemen sepanjang d. Kedua garis singgung akan membentuk sudut sebesar dφ dan akan memotong garis vertikal 7

28 melalui di titik. Jarak kedua titik potong adalah df. Sudut yang dibentuk oleh garis singgung dengan sumbu dinyatakan oleh y. Selisih arah kedua garis singgung atau sudut yang dibentuk oleh kedua garis singgung adalah dy. Dengan demikian : Y singgung melalui dan melalui. dy' y d atau M dy d atau EI z M dφ d EI z untuk perhitungan semi grafis tanda minus tidak diperhatikan, dengan demikian : M dφ d EI z Kalau seluruh dφ dijumlah dari sampai, maka hasil penjumlahan akan sama dengan sudut yang dibentuk oleh garis M ϕ d EI z Formulasi ini menyatakan bahwa sudut yang dibentuk oleh garis singgung memalui dan sama dengan luas bidang momen dari sampai dibagi EIz. Dengan mengacu pada asumsi bahwa lendutan sangat kecil, besar df dφ atau : df d M M EI z Gambar 7 : endutan dan idang Momen d q df f X idang M Kalau seluruh df yang dihasilkan oleh garis singgung dari sampai dijumlah akan sama dengan f, yaitu panjang bagian garis vertical melalui yang terpotong oleh garis singgung melalui dan melalui : f M EI z d Formulasi ini menyatakan bahwa f sama dengan statis momen luasan bidang momen antara dan terhadap dibagi EIz. Contoh : alok dengan buah beban terpusat dengan posisi simetris gambar (8). Reaksi di dan sama dengan P. Momen di bawah beban sama dengan Pa. idang momen berupa trapesium. 8

29 Menghitung rotasi penampang atau rotasi garis singgung di dan : f { a Pa } ( EIz ) Pa + f ( a) EIz f Pa Pa ϕ ϕ ( a) idem ϕ ( a) EIz EIz f φ a P y ma a P φ a f X Menghitung maksimum : endutan Dikaji bagian C. erhubung simetris titik tengah bentang C mempunyai lendutan yang maksimum. Y f Pa + Pa Gambar 8 : alok dengan beban terpusat (a) idang momen (b) Sketsa lendutan di tengah bentang C id. M (a) y ma (b) y maks f sama dengan statis momen luasan bidang momen antara C terhadap dibagi EIz y maks { Pa a + EIz a Pa( a)( a + )} 4 Pa a EIz 8 6 y maks uasan dan posisi titik berat bentuk-bentuk idang Momen :. Segi tiga a b * C h uas h ( a + ) ( + b) 9

30 . Parabola uas h q * C h uasan yang dinyatakan merupakan setengan bidang momen balok dengan beban merata.. Parabola uas / h q * C h ¼ ¾ uasan yang dinyatakan merupakan bidang momen kantilever terjepit dengan beban merata. 4. Hiperbola * C h uas /4 h q /5 4/5 uasan yang dinyatakan merupakan bidang momen kantilever terjepit dengan beban merata.segitiga. Contoh : alok tertumpu sederhana sendi dan rol dengan beban merata segitiga seperti gambar (9). Dengan menggunakan persamaan keseimbangan diperoleh reaksi perletakan : R /6 q R / q. 0

31 q Dengan menggunakan perban dingan seharga didapat : φ y maks Φ f q / q M /6 q /6 q / f (a) Untuk mempermudah penyele saian, bidang momen dipisah menjadi bentuk segitiga untuk R dan hiperbola untuk akibat q. f (/6 q / / /6 q /4 /5)/EIz 4 7q f 60EIz 7q dengan demikian φ 60EIz f (/6 q / / /6 q /4 4/5)/EIz 4 8q 8q f φ 60EIz 60EIz Posisi lendutan maksimum ymaks berada dititik C yang ber garis singgung sejajar sumbu X. Misal posisi titik tersebut berjarak dari titik. Tentukan M dan M dalam : M /6 q M M M /6 q / Untuk seksi C : Sudut yang dibentuk garis singgung mealalui dan C φ. Persamaan ini adalah : /6 q ½ /6 q / ¼ 7/60 q atau 4 + 7/ _ /6 q (b) /6 q (c) Gambar 9 : alok dengan beban merata segitiga (a) Sketsa lendutan (b) idang momen akibat R (c) idang momen akibat q y maks f y maks y maks q 4 EIz EIz q(0.59) 4 q(0.59) 5 4 5

32 . Teorema Castigliano.. Energi Regangan dalam Tarikan wal ntara khir tang ditarik secara statis artinya beban berkembang secara bertahap tanpa hentakan. Kondisi awal batang mempunyai panjang dan luas penampang dengan gaya tarik 0. Kondisi akhir panjang batang berubah menjadi ( + δ) dengan gaya tarik P. Diamati kondisi antara : P dp d Gambar 0 : atang ditarik secara statis P δ Panjang batang (+) dengan beban P. eban ditambar sebesar dp dan batang bertambah panjang sebesar d. Dengan adanya pertambahan panjang d beban bergerak dan melakukan usaha sebesar (P+dP)d. dp dan d sangat kecilmendekati 0, maka dpd diabaikan. Sehingga usaha saat penambahan beban dp adalah Pd. tau : dw Pd. (4) Material bersifat elastis linier, dengan mengacu rumus Robert Hooke : σ E ε padahal σ P/ dan ε /, sehingga P E/ (5) Persamaan (5) masuk ke (4) diperoleh : dw E/ d (6) Kalau seluruh du dari awal hingga akhir dijumlah, akan diperoleh total usaha : W δ 0 E d atau E W δ Menurut Hukum Kekekalan Energi, usaha yang dilakukan beban akan berubah menjadi Energi Regangan dalam benda. Energi regangan batang dinyatakan dengan U, sehingg : E δ U (7) Formulasi energi regangan dapat dinyatakan dalam bentuk lain :

33 Pδ U dan P U (8) E Energi regangan persatuan volume ω : ω Eε σε ω dan σ ω (8) E.. atang tertarik secara mendadak Suatu beban berat W dijatuhkan setinggi h seperti gambar (). Setelah menekan platform, platform masih tersu turun hingga mencapai δ. eban mealakukan usaha sebesar : W(h+ δ). Pada batang yang bertambah panjang δ tersimpan energi E regangan U δ. Menurut hukum kekekalan energi usaha yang dilakukan beban sama dengan energi yang tersimpan, sehingga diperoleh persamaan : δ W Gambar : atang dengan beban impact h E δ W (h+ δ) atau δ W W - δ - h 0 E E W Misal dinyatakan sebagai δst maka persamaan E menjadi δ - δ St δ - δ St h 0 diperoleh δ δ St + δ + St δ St h (9) δ St adalah perubahan panjang kalau seandainya W bekerja secara statis. Contoh : Memasukkan paku ke kayu dengan menggunakan Palu. Paku diameter 4 mm panjang 5 cm dipukul dengan palu berat 0.0 Kg dengan tinngi jatuh 0 cm. erapa tegangan kerja paku?. Jawab : W 0.0 Kg ¼ π (0.4) cm. 5 cm E. 0 6 Kg/cm. h 0 cm W δ St E δ St cm

34 δ δ St + δ + St δ St h δ cm σ E δ/ σ Kg/cm. Ini merupakan tegangan yang terjadi akibat beban impact palu. andingkan dengan tegangan yang terjadi kalau palu dibebankan di pakau secara statis : σ St Kg/cm. Tegangan hancur kayu sekitar 4 kali tegangan ijin. Misal tegangan ijin kayu 50 Kg/cm maka tegangan hancur 600 Kg/cm. Kayu tidak kuat menahan tegangan ujung paku sebesar Kg/cm. Maka kayu akan hancur dan paku akan masuk kedalam kayu... Energi Regangan dalam Geseran enda seperti gambar () memikul gaya geser P secara statis. Pada kondisi beban akhir benda berubah bentuk dengan kedua penampang bergeser relatip sebesar δ. nalog penjabaran seperti pada pembebanan tarik statis, energi regangan pada benda : P P δ Gambar : enda dibebani geser secara statis γ U Pδ (0) Tinjau rumusan Robert Hooke untuk geser : δ P τ G γ padahal γ dan τ G sehingga P δ () Persamaan () dimasukan ke persamaan (0) didapat energi regangan : U G δ dan U P () G Kalau dibagi dengan volume akan diperoleh energi persatuan volume : τγ ω ω Gγ dan τ ω () G M φ Gambar : Kantilever dengan beban Momen.4 Energi Regangan entur erdasar metoda luasan bidang momen, diperoleh : 4

35 M ϕ EIz erdasar analogi pembebanan statis tarik, pada pembebanan statis momen diperoleh energi regangan : Mϕ U, M U dan U EIz EIzϕ (4) Dikaji balok melendut seprti gambar (4). dφ d dφ dy padahal dy y d, sehingga : M dφ y d atau dφ d Gambar 4 : alok Melendut EIz Elemen d yang semula lurus menjadi melengkung dengan sudut lengkung kedua garis singgung ujung elemen dφ. erdasar humus (), energi remangan dalam eleven sepanjang d adalah : M du d EIz Kalau energi regangan lentur seluruh elemen dijumlah, didapat : U 0 M d EIz atau U 0 EIz d y d d (5) Contoh : endutan oleh Momen entur dan Gaya Geser δ P P (a) (b) (c) P Gambar 5 : Kantilever dengan beban terpusat (a) Sketsa balok melendut (b) idang Gaya intang (c) idang Momen alok kantilever berpenampang empat persegi panjang lebar b, tinggi h dengan beban statis P diujung seperti pada gambar (5). Dengan menggunakan metoda luasan bidang momen, lendutan ujung kantilever dapat dihitung. P δ (6) EIz Persamaan (6) merupakan lendutan hanya oleh momen lentur. Untuk mendapatkan lendutan oleh gaya geser, dikaji elemen kecil panjang d tinggi dy dan lebar b. Energi yang tersimpan dalam elemen tersebut adalah du : 5

36 du τ P h b d dy Distribusi tegangan geser pada lapis y : τ ( y ) G Iz 4 P h Sehingga du ( y ) bddy. Persamaan ini menyatakan energi geser 8GIz 4 yang tersimpan dalam elemen. Total energi regangan geser dalam balok adalah : P h ( y ) bddy 8GIz 4 U G didapat P h U G 0GIz Kalau energi regangan momen lentur dan energi regangan geser dijumlah diadapat Total energi regangan U : U P P h + Untuk pembebanan statis U 6EIz 0GIz Pδ Dengan demikian diperoleh persamaan : P δ P P h + atau δ 6EIz 0GIz P Ph + atau EIz 0GIz δ P + EIz 0 h E G Untuk 0 h 0 dan μ 0.5 diperoleh : δ P +. 5 EIz 0 00 P EIz ( ) Karena lendutan akibat geser sangat kecil dibanding akibat momen lentur, untuk perhitungan lendutan yang diperhitungkan hanya pengaruh momen lentur..5. eban Impact pada balok / P / δ W h δ (a) (b) nalogi pemecahan pembebanan impact gambar (6) seperti pemecahan beban impact pada batang tarik. δ St W 48EIz δ St hádala lendutan dibawah beban seandai nya beban bekerja secara status. Gambar 6 : alok dibebani P (a) Pembebanan statis P (b) Pembebanan Impact W Persamaan energi adalah : W(h+δ) 4EIz δ atau 6

37 W W δ δ h 0 atau 4EIz 4EIz δ δ St δ St h 0 Merupakan persamaan kuadrat dalam δ dan mempunyai akar : St + δ δ + δ δ h sama seperti persamaan (9). St St Contoh : Pembebanan impact dengan h 0. Dengan menggunakan persamaan (9) didapat δ δ St. Difleksi sebesar ini 48EIz sepadan dengan pembebanan statis akibat P δ St atau P W. P.6. Persamaan Umum Energi Regangan P δ δ 4 δ δ δ n P Gambar 7 : enda memikul beban P 4 P n enda memikul beban sebarang dalam kondisi seimbang seperti gambar (7). enda mengalami deformasi dan titik-titik dimana Pi bekerja mengalami perpin dahan. esarnya energi regangan tidak terpengaruh oleh proses pembebanan tetapi hanya tergantung pada kondisi akhir pembebanan. esar energi regangan : dl k d b / / M φ φ M φ δ Gambar 8 : alok dibebani P & M (a) Pembebanan statis ersama sama (b) Pembebanan Statis P (c) Pembebanan Statis M P P δ δ (a) (b) (c) U ½ P δ + ½ P δ +. + ½ P n δ n (7) U merupakan fungsi P, P,., P n. Untuk membuktikan energi regangan hanya tergantung pada kondisi akhir pembebanan, dikaji contoh seperti gambar (8) berikut : alok dengan beban P ditengah bentang dan M di atas perletakan. Kalau dikaji secara terpisah hanya akibat P seperti (b) : P P δ ϕ 48EIz 6EIz dan akibat M seperti (c) : M M δ ϕ 6EIz EIz 7

38 Kalau P dan M bekerja bersama secara statis seperti (a), energi regangan : P M P M U ½ P ( + ) + ½ M ( + ) 48EIz 6EIz 6EIz EIz P PM M U + + (8) 96EIz 6EIz 6EIz Dicoba M bekerja lebih dulu baru P bekerja kemudian : M M Saat M bekerja U ½ M EIz 6EIz P P PM P Saat P bekerja U M +/ P + 6EIz 48EIz 6EIz 96EIz M PM P Sehingga total energi regangan : U + + 6EIz 6EIz 96EIz sama seperti (8)..7. Teorema Castigliano P kibat penambahan beban sebesar dp n energi remangan akan bertambah : P δ δ δ P δ 4 dδ n δ n Gambar 9 : enda mendapat bh bb d P 4 P n dp n U U + dpn (9) Pn Pembebanan dibalik dp n bekerja lebih dulu baru P, P,., P n bekerja kemudian. Energi regangan saat dp n bekerja : ½ dp n dδ n. karena sangat kecil diabaikan. Energi regangan saat P, P,., P n bekerja : ½ P δ + ½ P δ +. + ½ P n δ n + dp n δ n U + dp n δ n (0) Energi regangan tidak tergantung pada proses, dengan demikian persamaan (9) sama dengan persamaan (0) dan diperoleh : U δ n () Pn Rumusan ini menyatakan bahwa perpindahan suatu titik sama dengan turunan parsial energi regangan ke gaya dititik itu bekerja. Rumusan tersebut ditemukan oleh seorang Italian P dari Torino yang bernama Castigliano (875). δ M φ Gambar 0 : Kantilever dengan beban terpusat dan momen Contoh : alok kantilever dengan beban terpusat dan momen diujung. Diminta menentukan δ dan φ diujung kantilever. 8

39 M - M P Menggunakan persamaan (4), energi regangan : U 0 M d EIz U δ P 0 M M d EIz P 0 ( M P) ( ) d EIz P M δ + EIz EIz U M M ϕ d ϕ EIz ϕ P M ϕ + EIz EIz.8. Teorema etti (87) 0 0 ( M P) ( ) d EIz P P δ δ δ δ 4 δ δ P δ δ 4 P 4 enda saat memikul beban P dan P mengalami deformasi. Pada titik-titik terjadi perpindahan δ, δ, δ, δ 4. Pada saat memikul P dan P 4, pada titik-titik terjadi perpindahan δ, δ, δ, δ 4. Gambar 9 : enda mendapat memikul ragam b b U ½ P δ + ½ P δ Kalau P, P bekerja lebih dulu baru P, P 4 bekerja kemudian, energi regang an : U P δ + P δ + ½ P δ + ½ P 4 δ 4 Total energi regangan U U + U U ½ P δ + ½ P δ + P δ + P δ + ½ P δ + ½ P 4 δ 4 () Kalau dibalik, P, P 4 bekerja lebih dulu baru P, P bekerja kemudian, energi regangan : U ½ P δ + ½ P 4 δ 4 U P δ + P 4 δ 4 + ½ P δ + ½ P δ Total energi regangan U U + U 9

40 U ½ P δ + ½ P 4 δ 4 + P δ + P 4 δ 4 + ½ P δ + ½ P δ () Karena kondisi akhir sama, persamaan () sama dengan persamaan (), didapat : P δ + P δ P δ + P 4 δ 4 (4) Rumusan () dikenal sebagai teorema timbal balik (Reciprocal Theorem) dari etti..9. Teorema Mawell δ P δ angkah sama seperti pada pembahas an teorema etti, diperoleh rumusan : P δ δ P δ P δ Untuk P P diperoleh : δ δ (5) Contoh : Gambar 0 : enda mendapat memikul bb / / φ M φ δ diperoleh persamaan : P δ M φ atau δ Gambar : alok dibebani P & M (a) Pembebanan Statis P (b) Pembebanan Statis M P (a) (b) Dari perhitungan dengan menggunakan metoda luasan bidang momen atau analitis, akibat beban terpusat seperti gambar ( a), didapat : δ P 48EIz ϕ P 6EIz Dan akibat beban momen seperti gambar ( b) didapat : M ϕ EIz Dengan menggunakan teorema Mawell δ M P /P 6EIz M 6EIz 40

41 ... Penutup... Tes formatif Tentukan perpindahan vertikal titik D balok pada gambar (). /4 C EI Gambar : alok dengan overstek D P... Umpan balik Teorema Castigliano merupakan cara menghitung lendutan yang paling mudah dibanding kedua cara yang lain.... Tindak lanjut Mahasiswa harus mau melakukan latihan menghitung lendutan balok berikut : Hitung perpindahan vertikal titik tengah bentang C balok gambar () Hitung Rotasi titik-titk diatas perletakan dan ujung overstek balok gambar ()...4 Rangkuman Perhitungan lendutan yang dihitung dengan menggunakan cara analitis, metoda luasan bidang momen dan teorema Castigliano akan memberikan hasil yang sama. Untuk struktur yang relatip rumit teorema castigliano paling mudah untuk diaplikasikan....5 Kunci jawaban tes formatif R ¼ P arah kebawah Untuk sona 0 < < : M - ¼ P U 0 P 4 EI d Untuk sona < < 5/4 : M - ¼ P + 5/4 P (-) 4

42 U P P( ) 4 EI d U 0 P 4 EI d 5 P P( ) d EI 0 U δ D P 5 48 P EI 4