STRUKTUR STATIS TAK TENTU

Transkripsi

1 . Struktur Statis Tertentu dan Struktur Statis Tak Tentu Struktur statis tertentu : Suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi perletakannya sama dengan jumlah syarat kesetimbangan statika. Struktur statis tak tentu : suatu struktur yang mempunyai kondisi di mana jumlah reaksi perletakannya melebihi jumlah syarat kesetimbangan statika. Jenis perletakan dan reaksi yang timbul : STRUKTUR STTIS TK TENTU No. Jenis peletakan Simbol/notasi Reaksi dan rotasi yang timbul 1 Perletakan Sendi Mampu menahan gaya vetikal dan horisontal tetapi mengalami rotasi (putaran sudut) 2 Perletakan Rol Mampu menahan gaya vetikal dan mengalami rotasi 3 Perletakan Jepit Mampu menahan gaya vetikal, horisontal dan momen serta tidak mengalami rotasi tumpuan Jumlah syarat kesetimbangan statika : 1. Struktur 2 dimensi : 3 syarat kesetimbangan ----> Fx = 0 ; Fy = 0 ; M = 0 y x 2. Struktur 3 dimensi : 6 syarat kesetimbangan ----> Fx = 0 ; Fy = 0 ; Fz = 0 Mx = 0 ; My = 0 ; Mz = 0 z y Pada suatu struktur balok atau portal, apabila jumlah joint (titik kumpul atau titik simpul) termasuk perletakan dinyatakan sebagai j, jumlah batang yang dibatasi 2 joint dinyatakan sebagai m, dan jumlah reaksi perletakan dinyatakan sebagai r maka dalam bentuk formula, x

2 Struktur statis tertentu : 3j = 3m + r Struktur statis tak tentu : 3j < 3m + r. Contoh Struktur StatisTertentu dan Struktur Statis Tak Tentu 1. y Ry Ry x Rx Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3 Jumlah joint, j = 2 6 = > Struktur statis tertentu 2. y M Ry x Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r Jumlah batang, m = 0 (3 * 1) = (3 * 0) + 3 Jumlah joint, j = 1 3 = > Struktur statis tertentu Rx 3. y Ry Ry x Rx Reaksi perletakan, r = 3 3j = 3m + r Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 3 Jumlah joint, j = 2 6 = > Struktur statis tertentu 4. y Ry Ry x Rx Rx Reaksi perletakan, r = 4 3j = 3m + r Jumlah batang, m = 1 (3 * 2) = (3 * 1) + 4 Jumlah joint, j = 2 6 < > Struktur statis tak tentu

3 5. y Ry Ry C RCy x Rx Reaksi perletakan, r = 4 3j = 3m + r Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 4 Jumlah joint, j = 3 9 < > Struktur statis tak tentu 6. y M C MC Ry Ry RCy x Rx Rx RCx Reaksi perletakan, r = 8 3j = 3m + r Jumlah batang, m = 2 (3 * 3) = (3 * 2) + 8 Jumlah joint, j = 3 9 < > Struktur statis tak tentu 7. Tumpuan sendi z y Rx Rz Ry C x RCx RCz RCy Rx Rz Ry Reaksi perletakan, r = 9 3j = 3m + r Jumlah batang, m = 3 (3 * 4) = (3 * 3) + 9 Jumlah joint, j = 4 12 < > Struktur statis tak tentu 13

4 C. Metode nalisis Pendekatan Metode analisis pendekatan didasarkan pada deformasi balok (struktur) dengan mencermati lokasi titik-titik belok, di mana pada titik-titik belok deformasi balok (struktur) momen lenturnya sama dengan nol. 1. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban merata w 1) alok statis tak tentu kedua ujung terjepit dengan beban merata M M R L R 2) Sketsa deformasi balok Terdapat dua titik belok M N yaitu titik M dan N 0,21L 0,58L 0,21L Pada titik M dan N momen lenturnya sama dengan nol w 3) Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis (I) stertentu yg terpisahkan pada titik belok R M R N M w (II) M N (II) w M Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung. R R 0,21L 0,58L 0,21L (+) M L Segmen I : RM = RN = (w x 0,58L)/2 = 0,29 wl ML = (wl 2 )/8 = (w x (0,58L) 2 )/8 = wl 2 /24

5 Segmen II : RM atau RN menjadi beban pada segmen II M T (-) R = R = (w x 0,21L)+RM = 0,21 wl + 0,29 wl = 0,5 wl MT = - (RM x 0,21L) - (w x 0,21L) x (0,21L/2) = - (0,29 wl x 0,21 L) - 0,022 wl 2 = - wl 2 /12 M T =- wl 2 /12 Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen. (-) (-) (+) M L =wl 2 /24 (-) D=1/2wL D=1/2wL (+) Diagram gaya lintang 2. Struktur balok yang kedua ujungnya terjepit dengan beban terpusat 1) P alok statis tak tentu kedua ujung terjepit dengan beban terpusat M M R L R L/2 2) Sketsa deformasi balok Terdapat dua titik belok M N yaitu titik M dan N 0,25L 0,5L 0,25L Pada titik M dan N momen lenturnya sama dengan nol

6 3) P Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis tertentu yang terpisahkan pada titik belok (I) M (II) R M M R N N (II) M Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung. R 0,25L 0,5L 0,25L R Segmen I : RM = RN = 1/2 P M L ML = 1/4 PL = 1/4 x P x 0,5L = 1/8 PL M T Segmen II : RM atau RN menjadi beban pada segmen II R = R = RM = 1/2 P M T =-1/8PL (-) (+) M L = 1/8PL (-) MT = - (RM x 0,25L) - (1/2 P x 0,25L) = -1/8 PL Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen. (-) D=-1/2P D=1/2P (+) Diagram gaya lintang

7 3. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata w 1) alok statis tak tentu ujung terjepit dan tumpuan sendi dengan beban merata M R L R 2) Sketsa deformasi balok Terdapat satu titik belok M yaitu titik M 0,75L 0,25L Pada titik M momen lenturnya adalah nol w 3) Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis (I) stertentu yg terpisahkan pada titik belok R M R M (II) w M Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung. R 0,75L 0,25L M L (+) Segmen I : RM = R = (w x 0,75L)/2 = 0,375 wl ML = (wl 2 )/8 = (w x (0,75L) 2 )/8 = 9/128 wl 2 M T (-) Segmen II : RM menjadi beban pada segmen II R = (w x 0,25L)+RM = 0,25 wl + 0,375 wl = 0,625 wl

8 M T =-wl 2 /8 MT = - (RM x 0,25L) - (w x 0,25L) x (0,25L/2) = - (0,375 wl x 0,25 L) - 0,03125 wl 2 = - wl 2 /8 (+) M L =9/128wL 2 (-) Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen. (-) D=-0,625wL D=0,375wL (+) Diagram gaya lintang 4. Struktur balok terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat P 1) alok statis tak tentu ujung terjepit dan tumpuan sendi dengan beban terpusat M R L/2 L R 2) Sketsa deformasi balok Terdapat satu titik belok M yaitu titik M 0,7275L 0,2725L Pada titik M momen lenturnya sama dengan nol

9 3) P Struktur diuraikan menjadi segmen-segmen statis stertentu yg terpisahkan (I) pada titik belok R R M M (II) M Reaksi tumpuan dan momen untuk masingmasing segmen dapat dihitung. 0,5L 0,2275L R 0,7275L 0,2725L Segmen I : RM = (0,5/0,7275) x P = 0,687 P (+) R = (0,2275/0,7275) x P = 0,313 P M L ML = R x 0,5L = 0,313P x 0,5L = 5/32 PL atau ML = RM x 0,2275L = 0,687P x 0,2275L = 5/32 PL Segmen II : RM menjadi beban pada segmen II M T (-) R = RM = 0,687 P M T =-3/16 PL (-) MT = - (RM x 0,2725L) - = - (0,687 P x 0,2725 L) - = -3/16 PL Diagram momen untuk seluruh struktur adalah gabungan dari diagram momen masing-masing segmen. (+) M L =5/32 PL

10 (-) D=-0,687P D=0,313P (+) Diagram gaya lintang D. Metode Clapeyron 1. Pengertian metode Clapeyron Metoda Clapeyron atau yang dikenal juga dengan Metode Persamaan Tiga Momen adalah salah cara menyelesaikan suatu struktur statis tak tentu di mana meliputi perhitungan semua gaya-gaya luar (reaksi perletakan) dan gaya-gaya dalam (gaya normal, gaya lintang, momen) pada struktur tersebut. Pada suatu struktur balok dan portal, sambungan antara batang-batang pada struktur tersebut diasumsikan sebagai sambungan kaku, dimana dalam sambungan kaku harus dipenuhi dua persyaratan yaitu : 1) Keseimbangan Jumlah momen batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama dengan nol. 2) Kestabilan Rotasi batang-batang yang bertemu pada sebuah titik simpul yang disambung secara kaku sama besarnya dan arahnya Perhatikan konstruksi di bawah ini! atang T1, T2, T3 bertemu di titik simpul T dengan sambungan kaku maka, M T1 + M T2 + M T3 = 0 dan q T1 = q T2 = q T3 P M T1 T M T3 3 q T3 q T1 M T2 q T2 1 2

11 Deformasi (rotasi) balok disebabkan oleh beberapa faktor yaitu : 1) kibat beban luar yang bekerja a) eban terpusat di tengah bentang EI 1 2 q 12 q 21 L/2 L/2 P q 12 = q 21 = PL 2 16 EI b) eban terpusat jarak a dari tumpuan 1 P 1 2 q 12 q 21 a EI L b q 12 = q 21 = Pb (L 2 - b 2 ) 6 EI L Pa (L 2 - a 2 ) 6 EI L c) eban merata EI w q 12 = q 21 = wl 3 24 EI 1 2 q 12 q 21 L d) eban merata setengah bentag 1 2 q 12 q 21 L/2 L/2 2) kibat momen pada salah satu ujung balok a) Momen di ujung balok 1 M 1 w EI EI 1 2 q 12 q 21 L q 12 = q 21 = q 12 = q 21 = 9 wl EI 7 wl EI M 1 L 3 EI M 1 L 6 EI

12 b) Momen di ujung balok 2 EI M q 12 q 21 L q 12 = q 21 = M 2 L 6 EI M 2 L 3 EI 3) kibat perpindahan (translasi) relatif ujung balok terhadap ujung balok yang lain q q 21 D q 12 = q 21 = D L L Metoda Clapeyron (Persamaan Tiga Momen) memakai momen-momen batang sebagai variabel (bilangan yang tidak diketahui) dan pergoyangan (defleksi D ) pada struktur-struktur yang dapat bergoyang. Untuk menentukan apakah sebuah struktur dapat bergoyang atau tidak, dapat dilihat dari teori sebagai berikut : 1) Suatu titik simpul mempunyai dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu vertikal dan horizontal. 2) Perletakan jepit dan perletakan sendi tidak dapat bergerak vertikal maupun horizontal, sedangkan perletakan rol dapat bergerak hanya pada satu arah yaitu searah bidang perletakan. 3) atang dibatasi oleh dua titik simpul, sehingga pergerakan titik simpul searah batang sama. Dari konsep tersebut dapat dirumuskan : n = 2 j (m + 2f + 2 h + r) dimana, n = jumlah derajat kebebasan dalam pergoyangan. j = jumlah titik simpul termasuk perletakan m = jumlah batang yang dibatasi oleh dua joint. f = jumlah perletakan jepit. h = jumlah perletakan sendi. r = jumlah perletakan rol pabila n 0, struktur tidak dapat bergoyang. Untuk menghitung variabel yang ada, disusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada dari dua ketentuan syarat sambungan kaku seperti yang disebutkan diatas yaitu : 1) Jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. 2) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik sama, besar dan arahnya. Dan kalau ada variabel D perlu persamaan keseimbangan struktur.

13 2. Langkah-langkah penyelesaian metode Clapeyron Untuk menyelesaikan perhitungan struktur statis tidak tertentu dengan metode Clapeyron (metode Persamaan Tiga momen) urutan langkah-langkah yang harus dikerjakan adalah sebagai berikut : 1) Tentukan apakah struktur statis tidak tertentu tersebut mempunyai pergoyangan, dengan rumus : n = 2 j (m + 2f + 2 h + r) Kalau n 0, berarti stuktur tersebut tidak bergoyang. a) P=10 kn w=5 kn/m D EI EI EI 3 m C 4 m 6 m alok diatas tiga tumpuan, jepit, dan C rol, dengan beban seperti tergambar, maka : j = 3 ; m = 2 ; f = 1 ; h = 0 ; r = 2 b) n = 2 j (m + 2f + 2 h + r) = (2 x 3) - ((2 + (2 x 1) + (2 x 0) + 2)) = > Tidak ada pergoyangan P2=6 kn w=5 kn/m P1=4 kn C EI D EI E 4 m EI EI 4 m 1,5 m Suatu portal dengan perletakan dan sendi, dengan ukuran dan beban seperti tergambar, maka : j = 4 ; m = 3 ; f = 0 ; h = 2 ; r = 0 n = 2 j (m + 2f + 2 h + r) = (2 x 4) - ((3 + (2 x 0) + (2 x 2) + 0)) = > da pergoyangan

14 2) Kalau ada pergoyangan, gambarkan bentuk pergoyangan dan tentukan arah rotasi batang batang akibat pergoyangan tersebut. Dalam menggambarkan bentuk pergoyangan ada dua ketentuan yang harus diperhatikan yaitu : a) atang tidak berubah panjang, suatu batang ( ij ) kalau joint i bergerak ke kanan sebesar D, maka joint j juga akan berpindah ke kanan sebesar D. b) atang dapat berotasi akibat perpindahan relatif ujung-ujung batang. Perpindahan relatif antara ujung-ujung batang dapat digambarkan tegak lurus sumbu batang dan arah rotasi digambarkan dari arah asli sumbu batang ke arah sumbu batang setelah bergoyang. 3) Gambarkan permisalan arah momen-momen batang. Untuk momen kantilever, dapat dihitung besarnya dan ditentukan secara pasti arah putarannya, sedangkan untuk momen- momen batang yang lain besar maupun arahnya dimisalkan dengan mengingat ketentuan bahwa jumlah momen-momen batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Jadi kalau pada satu titik simpul bertemu dua batang, maka besarnya momen-momen batang tadi sama, tetapi arahnya berlawanan. P=10 kn w=5 kn/m D M CD C M C M C M M

15 P2=6 kn w=5 kn/m P1=4 kn C MCD M DC D M DE E M C M D 4) Gambar pemisalan bentuk garis elastis struktur. Untuk menggambarkan permisalan bentuk garis elastis struktur, harus mengingat ketentuan bahwa : a) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul adalah sama besarnya maupun arahnya. Jadi kalau salah satu batang yang bertemu pada satu titik dimisalkan rotasinya searah jarum jam, maka batang-batang yang lain yang bertemu pada titik simpul tersebut harus digambarkan dengan arah rotasi yang sama yaitu searah jarum jam. b) Ujung batang yang terjepit tetap mengalami rotasi (pada saat pemisalan garis elastis batang yang ujungnya terjepit diasumsikan sebagai tumpuan sendi, sehingga mengalami rotasi), Walaupun terjepit tetap mengalami rotasi P=10 kn q C w=5 kn/m q D C w=5 kn/m P1=4 kn P2=6 kn C D E q DE q CD q DC q C q D

16 5) 6) 7) 8) Dari langkah 1-4 yang telah dikerjakan diatas dapat ditentukan jumlah variablenya, yaitu momen-momen batang yang belum diketahui besarnya dan perpidahan relatif ujung batang (Δ) kalau ada goyangan. Untuk menghitung variable-variable diatas, susunlah persamaan-persamaan sejumlah variable yang ada. Penyusunan persamaan persamaan tersebut berdasarkan ketentuan keseimbangan momen dan rotasi batang-batang pada titik simpul atau perletakan. a) Momen batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama dengan nol. Untuk momen batang yang digambarkan dengan arah sama, diberi tanda sama. Misalnya kalau searah jarum jam diberi tanda positif (+). Maka yang berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif (-), atau sebaliknya. b) Rotasi batang dengan perletakan jepit sama dengan nol. c) Rotasi batang-batang yang bertemu pada satu titik simpul sama besar maupun arahnya. Untuk menyusun persamaan rotasi harus memperhatikan permisalan garis elastis (rotasi batang) dengan beban dan momen momen yang ada pada batang tersebut. Kalau arah rotasi batang pada permisalan garis elastis sesuai dengan rotasi batang yang diakibatkan oleh beban dan momen batang yang bekerja diberi tanda positif (+), kalau sebaliknya diberi tanda negatif (-). d) Kalau ada variable pergoyangan (Δ) maka perlu tambahan persamaan keseimbangan struktur. Disini kita buat perhitungan free body diagram dengan arah momen-momen batang seperti yang dimisalkan, sehingga kita mendapatkan satu persamaan yang menghubungkan antara variable satu dengan yang lainnya. Dari persamaan-persamaan yang disusun diatas, maka variable-variable yang berupa momenmomen batang tadi dapat dihitung besarnya. Kalau nilai variable yang didapat positif (+), maka arah momen permisalan benar, sedangkan kalau nilainya negatif (-), maka arah momen yang dimisalkan terbalik. Setelah momen-momen diperoleh, dengan perhitungan keseimbangan tiap-tiap batang (free body diagram), maka bidang momen, gaya lintang dan gaya normal dari struktur statis tidak tertentu tersebut dapat digambarkan. 3. Contoh-contoh soal :

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35