Chap 7. Gas Fermi Ideal
Gas Fermi pada Ground State Distribusi Fermi Dirac pada kondisi Ground State (T 0) memiliki perilaku: n p = e β ε p μ +1 1 ε p < μ 1 0 jika ε p > μ Hasil ini berarti: Seluruh level energy di bawah nilai energy fermi (ε F ) terisi, sedangkan di atasnya kosong sama sekali. Kondisi seperti ini dikenal sebagai degenerasi kuantum. Apakah arti energy fermi? Berapakah energy fermi? 1 0 n p ε F ε p
Arti energi Fermi F Artinya : pada T=0 (Ground State), maka semua Fermion berusaha menempati level energi terendah, akan tetapi karena aturan Pauli, maka tidak semua bisa menempati level terendah! Sehingga Fermion akan menempati semua level terendah sampai dengan level dengan energy tertinggi yaitu F. Jadi energi Fermi adalah level energi tertinggi yg berisi Fermion pada kondisi Ground State. Berarti total partikel dengan energi di bawah F = N (untuk kasus spinless Fermion, tiap level energi berisi 1).
Energi Fermi (Tingkat Fermi) ε F dapat ditentukan dari kondisi bahwa : N = (S + 1) p n p, jika T 0, maka N = (S + 1) p p F n p Dengan p F adalah momentum fermi yg terkait dengan energy fermi melalui: ε F = p F m Pada ground state maka : p F N = S + 1 1 = N = p 4π S + 1 V 3h 3 p F 3 = S + 1 V h 3 p F 4πp dp 0 4π S + 1 V 3h 3 mε F 3
Energi Fermi (Tingkat Fermi) ε F = ħ m 6π N V s + 1 /3 = ħ Dimana n=n/v adalah rapat partikel. Energi internal pada Ground State : m U 0 = (S + 1) ε p = (S + 1) ε ε F p F S + 1 Vπ U 0 = mh 3 p 4 dp = S + 1 0 6π n s + 1 p p F p m /3 Vπ 5mh 3 p F 5
Energi Rata-Rata Ground State U 0 = S + 1 Vπ mh 3 p F p 4 dp = S + 1 0 Vπ 5mh 3 p F 5 S + 1 πv U 0 = 5mh 3 mε 5/ F Energi dalam per partikel pada ground state: (tak bergantung S!) U 0 N = S + 1 πv 5mh 3 4π S + 1 V 3h 3 mε F mε F 5 3 = 3 5 ε F
Zero Point Pressure Tetapi berlaku persamaa PV = /3U, sehingga pada T=0 (Ground state) ini juga berlaku: P 0 V = /3 U 0 atau: P 0 V = 3 3 5 Nε F P 0 = 5 nε F Dengan n=n/v adalah kerapatan partikel. Adanya tekanan pada temperatur NOL ini disebabkan karena hanya 1 (kasus spinless) Fermion yg bisa di energi NOL, sisanya mesti bergerak, memiliki momentum! Sehingga menimbulkan tekanan.
Zero Point Pressure Contoh : elektron di logam n 7x10 8./m 3. Elektron spin s=1/, maka energi ferminya : ε F = ħ m 6π s+1 v /3 7eV, sehingga tekanan temperature nolnya : P 0 =3x84x10 10 Pa (besar atau kecilkah nilai ini?)
Suhu Fermi dan Eksitasi Suhu Fermi didefinisikan sbg T F = ε F /k Pada logam nilai ε F ev, yang terkait dengan T F x10 4 K. Artinya pada suhu ruang boleh dibilang electron membeku pada ground state, kecuali sedikit yang dekat dengan tingkat fermi ε F yg mengalami eksitasi. Rata-rata energy eksitasi per partikel kt Hanya sekitar T T F 1.5% electron yang dekat tingkat Fermi yang pindah ke tingkat eksitasi lebih tinggi.
Persamaan Keadaan Gas Fermi Ideal (secara umum) Trick : Eliminasi z dalam pers. Gas fermi P kt = 1 λ 3 f 5 z dan 1 v = 1 λ 3 f 3 z (1) Dengan v = V N dan λ = h πmkt Sebenarnya rumus (1) di atas adalah untuk kasus spinless (s=0)!!! Jikalau spin 0, maka mesti dimasukkan faktor koreksi (s+1), Sebab untuk setiap satu nilai momentum p terdapat m s =-s,- s+1,..,0,..,s yg berbeda bisa ditempati fermion dan semuanya memiliki energi p yg sama.
Limit Klasik Gas Fermi Dengan koreksi ini mestinya bentuk yg lebih umum bagi pasangan persamaan untuk Fermion adalah: P kt = (s + 1) λ 3 f 5 z dan 1 v = (s + 1) λ 3 f3 z () Limit klasik (non degenerate Fermi Gas), jika (T tinggi) kasus z = e βμ 1 Dalam kondisi ini, maka distribusi FD menjadi MB: 1 < n p > = z 1 e βε p + 1 ze βε p
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas) Mari kita tinjau kasus spinless Fermion: P kt = 1 λ 3 f 5 z dan 1 v = 1 λ 3 f 3 Untuk kasus z kecil maka: z (1) f3 z = z z 3 + danf5 z = z z Sub. Pers. () ke (1) : P kt 1 z λ3 (z ) 3a 5 1 v = 1 z λ3 (z ) (3b) 3 5 ()
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas) Tujuan kita mengeliminasi z dari (3a) dan (3b), dengan cara sbb: Dari (3b) λ 3 v = Pecahkan untuk z: z z 3 (4) z = 1 ± 1 z 0 dengan z 0 = λ3 Untuk kecil, dpt diekspansi 1 + Δ n = 1 + nδ + n n 1 v Δ + (5)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas) Dengan mempertahankan sampai order ke, diperoleh: 1 z 0 = 1 1 z 0 1 4 z 0 + Sehingga dengan mengingat z>0, maka (5) menjadi: z 1 1 1 z 0 1 4 z 0 + = z 0 + 1 3 z 0 + (6)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas) Memakai aproksimasi z ini, maka persamaan bagi P di (3a) menjadi: P kt = 1 λ 3 z 0 + 1 3/ z 0 z 0 + 1 3 5 Mempertahankan suku hingga kuadratis: z 0 + P kt = 1 λ 3 z 0 + 1 3/ z 0 1 5/ z 0 + (7)
Arti Limit Klasik Atau dengan sub. Nilai z 0 : Pv λ 3 = 1 + 1 5 + (8) kt v Bentuk terakhir ini dikenal sebagai ekspansi virial (variabel ekspansinya (1/v). Pada orde-nol maka kembali diperoleh hasil gas ideal: PV kt = N λ 3 Suku koreksi 1 bukan hasil potensial interaksi antar v 5 partikel melainkan murni efek kuantum dari Fermion.
Arti Limit Klasik Kita bisa memakai z 0 untuk memahami arti aproksimasi z<<1. z 0 = λ3 v 1 berarti λ/v1/3 1. Tetapi v 1/3 = L: jarak rata-rata antar partikel. Berarti aproksimasi ini meminta panjang gelombang thermal jauh lebih kecil dibandingkan jarak rata-rata antar partikel. Artinya efek kuantum dapat diabaikan, jadi partikel terbedakan seperti di kasus gas ideal klasik. Jadi z<<1 analog dengan kasus klasik yaitu T tinggi
Arti Limit Klasik Berhubung 1/ T, maka << berarti T>>, dan juga v>> berarti N/V << atau low density of particles. Jadi aproksimasi klasik berlaku baik bilamana : temperatur tinggi kerapatan partikel rendah.
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar ( 3 /v >>1) - Fermion pada T rendah Rezim ekstrim yg lainnya adalah jika λ3 v 1 atau berarti suhu rendah dan kerapatan partikel besar. Akibatnya efek kuantum (eksklusi Pauli) menjadi nyata sekali. Fungsi f 3/ tidak bisa diaproksimasi dengan polynomial, akan tetapi mesti diekspansi dengan cara lain (spt dilakukan Sommerfeld, lih. K. Huang, atau appendix slide ini), yaitu : f3(z) = 4 3 π ln z 3 + π 8 1 ln z + (9) Jika kita pertahankan suku ke satu saja (yang akan bagus jika T 0):
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar ( 3 /v >>1) - Fermion pada T rendah λ 3 v = 4 3 π ln z 3 Pecahkan bagi z, dan substitusi nilai akan diperoleh: z = e βε F (10) Dengan F energi Fermi yang didefinsikan sbb (lihat Ground state): ε F = ħ m 6π v /3 (11)
Fermion Pada Temperatur Rendah Bagaimana perilaku Fermion pada T rendah tapi bukan ground state (T 0). Telah diturunkan di (9)-(11), untuk order terendah (kasus spinless fermion): ln z 0 = λ 3 v = 4 3 π ln z 0 3 π 4v λ3 /3 3 = βε F = ε F kt = T F T Dengan suhu Fermi didefinisikan sbg: F = kt F.
Fermion Pada Temperatur Rendah Untuk ketelitian yang lebih baik, maka: λ 3 v = 4 3 π [ ln z 3 + π 8 1 ln z + ] Atau dapat dituliskan ln z 0 3 = [ ln z 3 + π 8 1 ln z + ]
Fermion Pada temperatur rendah T F T 3 = [ ln z 3 + π 8 Atau dapat disusun ulang menjadi: ln z 3 = T F T 3 π 8 1 ln z + ] 1 ln z Trick, suku ln z di ruas kanan di aproksimasi dengan ln z 0 = T F T Sehingga menjadi : ln z 3 T F T 3 π 8 T F T 1 T F T 3 1 π 8 T F T
Fermion pada temperatur rendah Selanjutnya dengan aproksimasi : (1+x) n =1+nx+, maka: ln z T F T 1 π 1 T T F Padahal z = e, maka untuk suhu rendah dekat ground state: 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4 / F μ T ε F T F 0 0.5 1 1.5 T 1 π 1 n 1. 1 0.8 0.6 0.4 0. 0 T T F 0 1 E/EF T=0.1 T=0.01
Energi Fermion Pada Suhu Rendah Energi total sistem Fermion diberikan oleh: U = Σ p ε p n p = V h 3 0 = 4πV h 3 0 p ε p β ε e p μ + d 3 pε p n p = V h 3 0 1 dp ε p β ε e p μ + 1 d3 p Dengan ε p = p dan integrasi parsial akan diperoleh: m βv p 6 e β ε p μ U = 0π m ħ 0 e β εp μ + 1 dp
Energi Fermion Pada Suhu Rendah Karena kita tidak jauh dari T=0, maka pengali p 6 dalam integrand akan berpuncak di sekitar = F saja. Faktor p 6 diuraikan di sekitar p F, maka Sommerfeld (lihat misalnya K Huang) mendapatkan:*) U = 3 5 Nε F 1 + 5 1 π kt ε F + Untuk hasil ini telah dimanfaatkan ungkapan bagi (T) pada suhu rendah. *) atau alternative penurunan di slide bagian belakang
Energi Fermion Pada Suhu Rendah Persamaan keadaan segera diperoleh melalui: PV = 3 U = 5 Nε F 1 + 5 1 π kt ε F + Hasil ini menunjukkan bahkan pada T=0 memang tekanan tidak=0, sehingga perlu mewadahi Fermion bahkan pada T=0.
Aplikasi: Distribusi Fermion Teori Bintang Katai Diamagnetism Landau Paramagnetism Pauli De Haas-Van Alphen effect dll
Apendix: Fungsi Fermi Untuk suhu rendah (z = e βμ besar! ), maka f3(z) tak dapat diuraikan dengan deret kuasa yg biasa. Tinjau kembali bentuk integralnya: f3 z = 4 dx π z 1 e x + 1 0 Substitusi : y = x z = e α atau α = ln(z) Maka : f3 z = π 0 x y dy e y α + 1
Apendix: Fungsi Fermi Fungsi 1 e y α +1 untuk suhu rendah akan mendekati fungsi tangga di sekitar y = α. Jadi derivativenya akan serupa delta dirac di sekitar y = α. Sifat ini akan dimanfaatkan. Integrasi parsial 0 dy y e y α + 1 = dv = ydy U = 3 y3 e y α + 1 0 Integrand berpuncak sekitar y = α 1 e y α + 1 3 0 dy y 3 e y α e y α + 1
Apendix: Fungsi Fermi 0 y dy e y α + 1 = 3 0 Substitusi lagi y α = t 0 dy Jika α besar y 3 e y α e y α + 1 = α 3/ dy α dt 1 + t α e t + 1 y 3 e y α e y α + 1 3/ e t dt 1 + t α e t + 1 3/ e t
Apendix: Fungsi Fermi Ekspansikan 1 + x n = 1 + nx + dt 1 + 3 t α + 3 8 e t t α n n 1! +. x +. e t e t + 1 Karena fungsi adalah fungsi genap (simetrik thd x - e t +1 x), maka hanya suku suku terkait t n untuk n genap yang tak NOL. Definisikan I 0 = dt e t e t + 1 = 1
Apendix: Fungsi Fermi Selanjutnya: Dan I n = 0 t n e t e t +1 I 1 = I 3 =. = 0 dt untuk n: genap. Misalnya I = π 3 Sebagai catatan I n bisa dinyatakan dengan fungsi terkenal Riemann Zeta. Dengan uraian ini maka : f3 z = 3 ln z 3/ + π 1 4 π 8 ln z +.
Apendix: Fungsi Fermi f3 z = 3 4 π ln z 3/ 1 + π 8 (ln z) +. Dengan cara serupa dapat diturunkan bahwa: z = 8 15 π ln z 5/ 1 + 5π (ln z) +. 8 f 5
Apendix: Fungsi Fermi Energi rata-rata system U = ln ζ = kt β T Dengan bantuan: ln ζ = kt T U = 3 kt V λ 3 f 5(z) V λ 3 f 5 z Maka : N = V λ 3 f 3(z) U = 3 NkT f 5(z)/f3 z
Apendix: Fungsi Fermi Dengan bantuan uraian orde pertama f 3/ dan f 5/ maka : Mengingat bahwa : U = 3 NkT ln z 5 1 μ = kt ln z ε F + π ln z +.. 1 π 1 kt ε F Maka eliminasi ln z, menghasilkan : U = 3 5 N ε F 1 + 5π 1 kt ε F +