INTEGRASI NUMERIK KAPASITAS PANAS DEBYE MATERIAL LOGAM MENGGUNAKAN METODE NEWTON-COTES

Transkripsi

1 SIGMA, Vol., No., Juli : 7- ISSN: -888 INTEGRASI NUMERIK KAPASITAS PANAS EBYE MATERIAL LOGAM MENGGUNAKAN METOE NEWTON-COTES E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso Jurusan Fisika FMIPA Universitas Hasanuddin eko_juarlin@yahoo.co.id Abstract There are three kinds of heat capacity: Classical heat capacity, Einstein heat capacity, and ebye heat capacity. ebye model assumes that atoms vibrate and its number of states contributes to heat capacity. The last step in the ebye model formula derivation is the derivation of internal energy with respect to temperature. The integration can not be solved analytically but it can be solved numerically. Numerical integration methods using in this paper is the Newton-Cotes method which uses segments. Numerical integration is approximated by first order to five order polynom. Keywords: ebye heat capacity, Newton-Cotes formula, Simpson Method. Pendahuluan Panas, salah satu sifat material, bersifat penting sebagai salah satu kriteria aplikasi material. Para peneliti Cooper and Rizzuto (97), Civjan et al (97), Garai (), Rycerz, et al. (), Mohelnikova (6), Korkut, et al. (8), dan Nascimento et al. (9) melaporkan bahwa sifat panas, perlakuan panas, perpindahan panas mempunyai dampak yang besar dalam sifat material lainnya. Salah satu bagian dari sifat panas adalah kapasitas panas. ari kapasitas panas, ada banyak informasi yang dapat diperoleh. Salah satu informasi tersebut adalah panas yang diserap atau dilepaskan selama terjadi perpindahan panas maka jumlah panas yang diberikan atau dilepaskan dapat diketahui. Para peneliti melaporkan bahwa kapasitas panas berkaitan dengan sifat-sifat lainnya (Garai, ; Rycerz, et al., ; Mohelnikova, 6). Kapasitas panas dibagi dua jenis ditinjau dari keadaan sistem ketika menerima atau melepaskan panas, yaitu kapasitas panas pada tekanan tetap (C p ) dan kapasitas panas pada volume tetap (C v ). Kapasitas panas pada volume tetap C v dibagi menjadi tiga, yaitu: kapasitas panas klasik, kapasitas panas Einstein dan kapasitas panas ebye (Kittel, 9). Kapasitas panas ebye diturunkan dari energi sistem osilator harmonik kuantum dan rapat keadaan sebagai fungsi temperatur. alam model ebye, integrasi untuk mendapatkan kapasitas panas ebye, tidak bisa diselesaikan secara analitik. alam makalah ini, penulis menghitung integrasi di dalam rumus kapasitas panas ebye untuk logam menggunakan metode numerik. Metode numerik Newton-Cotes (N-C) digunakan untuk menyelesaikan integrasi numerik tersebut. Metode N-C adalah metode yang mudah, dan sudah mapan.. Metode Newton-Cotes Untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dapat digunakan metode trapesium dan metode Simpson. Metode trapesium adalah menghitung luas di bawah kurva berdasarkan interpolasi linear. Metode Simpson adalah menghitung luas di bawah kurva berdasarkan interpolasi pangkat dua. Metode Simpson 8 berdasarkan interpolasi pangkat tiga. Misalkan sebuah fungsi ( x) fungsi tersebut dirumuskan: adalah menghitung luas di bawah kurva f berada di a < x < b. Integral SIGMA Vol., No., Juli 7

2 E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso b f ( x) I = dx () x= a Jarak antara a dengan b dibagi menjadi n interval dan jarak antar interval adalah b a h = n Formula Newton-Cotes (N-C) adalah salah satu teknik menghitung integral. Suatu kurva yang diintegralkan terhadap sumbu x, didiskritisasi sepanjang sumbu x. Titik-titik diskritisasi diinterpolasi. Bentuk interpolasi bisa berupa interpolasi linear, pangkat dua, pangkat tiga dan seterusnya. Formula integrasi numerik N-C menyatakan bahwa sebuah fungsi yang diintegrasikan, dapat diekspansikan menjadi: b f ( x) dx = h( w f ( x ) + w f ( x ) + w f ( x ) + K+ w f ( x )) N N x= a Beberapa konstanta tersaji dalam tabel berikut: α () Tabel. Konstanta Polinom dengan N adalah orde polinomial. N α w i Hasil dan Pembahasan Menurut Purwanto (7) rumus kapasitas panas logam adalah: T T x dx T 9N k a C v 6Nak () T = ( exp( x) ) T x T exp T Integrasi di persamaan () diselesaikan menggunakan metode N-C. Kurva kapasitas panas ebye logam terhadap suhu terdapat di gambar. Ketika suhu logam rendah, kurva dapat diaproksimasi menjadi fungsi kubik dari suhu. Ketika suhu logam tinggi, kurva mendekati garis asimptot. 8 SIGMA Vol., No., Juli

3 Integrasi Numerik Kapasitas Panas ebye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes Gambar. Kapasitas panas ebye (Purwanto, 7) Fungsi terintegrasi di persamaan () digambarkan dalam gambar. Fungsi tersebut dibagi menjadi fugsi naik dan fungsi turun. Titik puncak fungsi berada di (,8;,). Fungsi naik bila diaproksimasi dengan fungsi polinomial, menghasilkan kesalahan terkecil bila diaproksimasi dengan fungsi polinom derajat empat yang menghasilkan persamaan: y =.9x.96x +.87x +.8x.6 Fungsi turun bila diaproksimasi dengan fungsi polinomial, menghasilkan kesalahan terkecil bila diaproksimasi dengan fungsi polinom derajat lima yang menghasilkan persamaan: 8 6 y = x. x + 8. x 6. x 7. x +. Gambar. Fungsi Terintegrasi di Rumus ebye Gambar menggambarkan suku kedua ruas kanan persamaan () terhadap tersebut ada garis asimptot pada suhu tinggi. Hal tersebut terjadi karena fungsi T bersifat divergen dan fungsi bersifat konvergen. T T T. alam suku T exp T SIGMA Vol., No., Juli 9

4 E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso 8 x 7 Right Second Term in Eq Gambar. Fungsi Suku Kedua Ruas Kanan P. Contoh logam yang diambil dalam makalah ini adalah logam logam Perak. Perak mempunyai suhu ebye K (Hajra, 987). Grafik kapasitas panas ebye terhadap T T untuk formula N-C berpangkat satu sampai lima T terdapat di gambar a-e. Grafik konstanta panas ebye terhadap sama untuk logam T lainnya. Tetapi, grafik konstanta panas ebye terhadap T berbeda untuk logam lainnya.. x Numeric ebye Heat Constant using st order polynomial..... Gambar a. Kapasitas panas ebye menggunakan formula N-C polinom orde SIGMA Vol., No., Juli

5 Integrasi Numerik Kapasitas Panas ebye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes. x Numeric ebye Heat Constant using nd order polynomial..... Gambar b. Kapasitas panas ebye menggunakan formula N-C polinom orde. x Numeric ebye Constant using rd order polynomial..... Gambar c. Kapasitas panas ebye menggunakan formula N-C polinom orde SIGMA Vol., No., Juli

6 E. Juarlin, A. Limbong, dan P. L. Gareso. x Numeric ebye Constant using th order polynomial..... Gambar d. Kapasitas panas ebye menggunakan formula N-C polinom orde x Numeric ebye Constant using th order polynomial Gambar e. Kapasitas panas ebye menggunakan formula N-C polinom orde Formula N-C dapat mensimulasikan konstanta panas ebye sampai polinom orde lima. Grafik kapasitas panas ebye menggunakan formula N-C orde satu sampai orde empat tidak menunjukkan perbedaan yang berarti. Garis asimptotik untuk keempat grafik tersebut adalah, J/K. Garis asimptotik dicapai pada suhu tinggi yang berarti bahwa kapasitas panas SIGMA Vol., No., Juli

7 Integrasi Numerik Kapasitas Panas ebye Material Logam Menggunakan Metode Newton-Cotes logam menurut ebye adalah sama. Khusus untuk polinom orde, grafik lambat mencapai garis asimptotik dan mempunyai nilai asimptotik yang lebih besar. Hal itu menunjukkan bahwa kesalahan numerik mulai tampak di orde lima formula N-C.. Kesimpulan Formula N-C dapat mensimulasikan konstanta panas ebye. Hasil yang mirip didapatkan dari polinom orde satu sampai orde empat. Hasil tersebut adalah hasil simulasi kapasitas panas ebye terbaik. Saran penelitian adalah perhitungan numerik kapasitas panas logam metode Einstein dan perhitungn kapasitas panas logam menggunakan metode lainnya. Kepustakaan Cooper, J. R. and Rizzuto, C. 97. Magnetic Susceptibility, Electronic Specific Heat and Transport Properties of Some Intermetallic Compounds of Cerium. Journal de Physique Colloque C, : Civjan et al. 97. Effects of Heat Treatment on Mechanical Properties of Two Nickel- Chromium-Based Casting Alloys. J. ent. Res, (6): 7-. Korkut, et al. 8. Effect of Heat Treatment on Some Mechanical Properties of Laminated Window Profiles Manufactured Using Two Types of Adhesives. Int. J. Mol. Sci. 9 (): -6. Nascimento, et al. 9. Effect of Solution Heat Treatment in Nanoscale Mechanical Properties of ASTM A 7Gr. CN Mn Superaustenitic Stainless Steel. th International Conference oan Advanced Material. Garai, J.. Correlation between Thermal Expansion and Heat Capacity. arxiv: physics/7. Rycerz, L., et al.. Heat Capacity and Thermodynamic Properties of LaBr at K, Z. Naturforsch. 9a. Mohelnikova, J. 6. etermination of Specific Heat of a Building Material. WSEAS Transactions on Heat and Mass Transfer, (): Kittel, C. 9. Introduction to Solid State Physics. New York: John Wiley & Sons,. Purwanto, A. 7. Fisika Statistik. Surabaya: Gava Media. Hajra, J. P A New Formalism for Representation of Heat Capacity in Metals. Bulletin Material Science, 9 (), India. SIGMA Vol., No., Juli