SOLUTION QUIZ 1 INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA

Transkripsi

1 ISTITUT TEKOLOGI BADUG FAKULTAS MATEMATIKA DA ILMU PEGETAHUA ALAM PROGRAM STUDI FISIKA PR 1 - FI-52 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem /217 Waktu : 9 menit (Closed Book) 1. Tinjau dipol identik yang terlokalisir (distinguishable), non interacting dan dapat berputar bebas di ruang D thd medan magnet luar. Masing-masing dipol memiliki momen dipol magnetic I yang membentuk arah θ i terhadap arah medan magnet luar Hi Hamiltonian (energy) tiap dipol: H(μ i ) = μ i H a. Memakai ruang fasa klasik, turunkanlah ungkapan bagi fungsi partisi kanonik klasik sistem buah dipol ini. (bobot:1) b. Hitunglah magnetisasi M yaitu total momen dipol magnetik rata-rata (bobot:1) c. Definisikan x =, dengan β = 1/kT turunkanlah ungkapan bagi M untuk x kecil (tulis 2 suku pertama tak nol-nya). (bobot:5) d. Pakailah hasil (c ) untuk kasus suhu tinggi guna mendapatkan ungkapan bagi susceptibility magnetik χ yaitu χ = lim M H H. Gunakanlah suku pertama saja. (bobot:5) e. Turunkanlah ungkapan bagi fungsi energi bebas Helmhotz. (bobot:5) a. H = μ i H = μ i H cos θ i Dengan sudut θ i adalah antara dipol dan medan H. Fungsi partisi kanonik untuk 1 dipol akan diberikan oleh : Q 1 (β) = exp( cos θ) sin θ dθ dφ Pengambilan sudut adalah sudut ruang karena orientasi dipol bisa dimensi. Hasilnya 4 sinh() Q 1 (β) = Karena sistem non-interacting distinguishable maka fungsi partisi dipol : Q = Q 4 sinh() 1 = ( ) b. Magnetisasi M, yaitu total momen dipol magnetik rata-rata: 2 M z = < μ cos θ > = ( (μ cos θ) exp( cos θ) sin θ dθ dφ ) Q 1 Tetapi dengan mengingat : Q 1 H = β (μ cos θ) exp( cos θ) sin θ dθ dφ Sehingga Momen magnetic rata-rata (searah dg medan H) : SOLUTIO QUIZ 1

2 Sehingga : M z = μ{coth() 1 } c. Definisikan x =, dengan β = 1/kT M z = < μ cos θ > = β ln Q 1 H memakai uraian coth(x): maka: M z = μ {coth(x) 1 x } coth(x) = 1 x + x. M z μx d. Pada suhu tinggi (x kecil) maka susceptibilitas magnetiknya : M χ = lim H H lim β H H {μ2 H} = μ2 β = μ2 kt hasil terakhir ini menjelaskan hukum Curie untuk susceptibilitas paramagnetik. e. Fungsi energi bebas Helmhotz: A = kt ln Q = kt ln Q 1 4 sinh() A = kt ln ( )

3 2. Tinjau gas ultrarelativistik dalam ruang D bervolume V yang memiliki hamiltonian sistem partikel H{q, p} = p i c dimana p i adalah besar momentum dan c konstanta. Anggap partikel gas ini identik tak terbedakan. Turunkanlah ungkapan bagi: a. fungsi partisi kanonik klasik bagi sistem ini Q(V,T) (bobot:1) b. energi bebas Helmhotz A(,V,T) (bobot:1) c. persamaan keadaannya (bobot:1) d. entropi S(,V,T) (bobot:1) a. Fungsi partisi kanoniknya : Dengan Maka : Q (V, T) = 1 h! d pd q exp( βh) = V Q (V, T) = h! d p 1 d p exp( βp n c) Q (V, T) = V n=1 V Q (V, T) = h! [ dp 4p2 exp( βpc) ] x 2 e αx dx = 2 α h! d p exp( β p n c) n=1 = V h! [ d p exp( βpc)] V h! ( 8 β c ) = V T h! (8k c ) = 1 (8V (kt! hc ) ) b. Fungsi energi bebas Helmhotz : A = kt ln Q = kt ln { V T h! (8k c ) } atau bisa juga diaproksimasi (memakai aproksimasi Stirling: ln x! xlnx x A kt ln (8V ( kt hc ) ) + kt ln kt A kt {ln ( 8V (kt hc ) ) } + kt = kt {ln ( 8V (kt hc ) ) 1} c. Persamaan keadaan diperoleh dari : P = ( A V ) = + kt PV = kt V d. Entropi: S = ( A T ) = k ln { V T V h! (8k c ) } + k Atau memakai aproksimasi stirling :

4 S = ( A T ) V T [kt {ln (8V (kt hc ) ) 1}] S k {ln ( 8V (kt hc ) ) 1} + k = k ln ( 8V (kt hc ) ) + 2k Atau bisa juga melalui ungkapan: Energi rata-ratanya U = β ln Q = β ln ( V h! ( 8 β c ) ) = β = kt dan A = U TS S = U A T = k + k ln { V T h! (8k c ) } Jika selanjutnya digunakan aproksimasi stirling juga akan menghasilkan hasil yang sama.

5 . P r,s adalah probabilitas menemukan sistem dalam ensembel grand kanonik pada status keadaan r yang memiliki energi E r dan mengandung jumlah partikel s : P r,s = e β(e r s μ) ζ = z n Q ζ n n= a. Berdasarkan P r,s turunkan P() yaitu probabilitas menemukan suatu sistem di ensembel grand kanonik memiliki jumlah partikel tidak peduli status keadaannya. yatakan dalam z, Q, ζ yaitu fugacity, fungsi partisi kanonik dan fungsi partisi grand kanonik. (bobot:1) b. Selanjutnya hitunglah P() untuk kasus gas ideal monoatomik, dan tunjukkan bahwa bentuknya adalah distribusi Poisson. (bobot:15) a. Probabilitas menemukan sistem dengan jumlah partikel adalah : (boleh s = ) P( s ) = P r,s = exp( β(e r μ s )) s= r= exp( β(e r μ s )) b. Untuk gas ideal monoatomik: definisikan x = ( zv λ ): r r Q s = s! λ P( s ) = z s Q s ζ V s P( s ) = z s ζ = exp (zv λ ) V s 1 s! λ exp ( zv λ ) P() = x exp( x)! bentuk terakhir ini tak lain adalah distribusi Poisson. = exp(βμ s) r exp( βe r ) s= r= exp( β(e r μ s )) ote : Bilamana diperlukan: coth(x) = 1 x + x x Distribusi poisson P(, x) = x exp( x)! e αx2 dx = α x 2 e αx2 dx = 1 2 Γ(n) = α /2 xn 1 e x dx Γ(n + 1) = n! &&&&&&&&& PR1FEB218 &&&&&&&&&&&