SIFAT-SIFAT DAN STRUKTUR ALJABAR MATRIKS PENYAJIAN DARI PERSEGI AJAIB

SIFAT-SIFAT DAN STRUKTUR ALJABAR MATRIKS PENYAJIAN DARI PERSEGI AJAIB Suryoto 1, Harjito 2, Titi Udjiai SRRM 3, Nikke Prima Puspita 4 1,2,3,4 Departeme Matematika FSM Uiversitas Dipoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalag, Semarag 50275 email : 1 suryotomath@gmail.com Abstrak Peelitia ii membahas sifat-sifat dasar dari persegi ajaib da struktur aljabar dari himpua semua matriks peyajia dari persegi ajaib berordo. Struktur aljabar yag dapat dibetuk dari himpua matriks persegi ii atara lai berupa grup komutatif terhadap operasi pejumlaha matriks, modul atas daerah bilaga bulat Z, da juga merupaka ruag vektor (atas lapaga rasioal Q, lapaga real R maupu lapaga kompleks C). Diberika pula ilai karakteristik dari matriks persegi ajaib salah satuya adalah kostata ajaib dari matriks persegi ajaib yag bersagkuta. Kata Kuci : persegi ajaib, kostata ajaib, matriks persegi ajaib, grup komutatif, modul, ilai da vektor karakteristik. 1. Pedahulua Utuk mempelajari struktur aljabar dari himpua semua matriks peyajia suatu persegi ajaib da sifat-sifat yag berlaku di dalamya, terlebih dahulu diperluka kosep persegi ajaib, grup komutatif da modul atas rig dega usur satua beserta sifat-sifatya secara umum. Berikut diberika pegertia persegi ajaib tersebut. Pada [1] da [2] diperkealka persegi ajaib, sebagai sebuah persegi yag bersifat jumlaha etri-etri pada setiap baris, kolom, da diagoalya seatiasa sama da jumlaha ii disebut kostata ajaib dari persegi ajaibya. Jumlaha yag kosta ii memegag peraa petig dalam peetua ilai karakteristik dari matriks peyajia persegi ajaib yag bersagkuta. Berikut ii diberika defiisi persegi ajaib sebagai awal pembetuka struktur aljabar dari himpua semua matriks peyajia dari persegi ajaib, yag merupaka grup komutatif terhadap operasi pejumlaha matriks da lebih lajut merupaka modul atas daerah bilaga bulat. Defiisi 1.1 [1] Persegi ajaib adalah kumpula dari bilaga-bilaga yag disusu dalam kotakkotak yag membetuk suatu persegi yag mempuyai sifat jumlah bilaga pada semua baris, semua kolom, da pada kedua diagoalya adalah sama. Biasaya jumlaha bilaga ii diotasika dega otasi S. Berikut ii diberika cotoh dari persegi ajaib. Cotoh 1. 1 Berikut adalah persegi ajaib berukura 3 3 : 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Tampak bahwa jumlaha etri-etri pada setiap baris, setiap kolom, da kedua diagoalya seatiasa sama, yaitu sama dega 15. Dega demikia jumlah ajaib dari persegi ii adalah S = 15. Selai persegi ajaib, kosep lai yag diperluka dalam artikel ii adalah struktur grup komutatif da modul yag merupaka struktur aljabar utama dari yag dapat dibetuk dari persegi ajaib tersebut. Pembahasa struktur aljabar dari himpua semua matriks persegi ajaib, tidak terlepas dari struktur grup komutatif sebagai dasar pembetukaya. Secara formal pegertia tetag grup diberika oleh defiisi berikut. 53

Suryoto, Harjito, Titi Udjiai, Nikke Prima Puspita (Sifat-Sifat da Struktur ) Defiisi 1.2 [3] Suatu grup adalah himpua tidak kosog G yag dilegkapi dega operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma berikut : a. Operasi bersifat asosiatif, yaitu a (b c) = (a b) c, utuk setiap a, b, c G b. G mempuyai eleme idetitas, yaitu terdapat eleme e G sehigga a e = a = e a, utuk setiap a G. Eleme e ii disebut eleme idetitas dari G c. Setiap eleme di G mempuyai ivers di G juga, yaitu utuk setiap a G, terdapat eleme b G sehigga a b = e = b a. Eleme b ii disebut ivers dari a da diotasika dega b = a 1. Selajutya grup G disebut grup komutatif jika a b = b a, utuk setiap a, b G. Cotoh 1.2 Himpua semua bilaga bulat Z = (Z, +) merupaka grup, lebih lajut himpua ii merupaka grup komutatif. Demikia pula himpua semua bilaga rasioal Q, bilaga real R, da bilaga kompleks C merupaka grup komutatif terhadap operasi pejumlaha. Cotoh 1.3 Himpua semua matriks berukura 2 2 : M 2 2 (Z) = {[ a b ] a, b, c, d Z} c d terhadap operasi pejumlaha matriks merupaka grup komutatif. Selajutya meurut [4], modul adalah suatu struktur aljabar dari suatu himpua tidak kosog atas sebuah rig yag dilegkapi dega dua buah operasi bier, berupa operasi pejumlaha da operasi perkalia dega skalar, dimaa himpua ii merupaka grup komutatif terhadap operasi pejumlaha da dilegkapi dega tidaka perkalia skalar. Aksioma-aksioma yag berlaku pada modul serupa dega aksioma-aksioma yag berlaku pada ruag vektor yag didefiisika atas lapaga. Sebagai awal dalam pembahasa struktur aljabar himpua semua matriks persegi ajaib sebagai modul atas daerah bilaga bulat Z, ditijau rig yag mempuyai usur satua. Beragkat dari rig ii didefiisika modul atas rig yag dapat dibedaka mejadi dua, yaitu modul kiri da modul. Berikut diberika defiisi dari modul kiri atas rig. Defiisi 1. 3 ([4]) Misalka R = (R, +, ) rig dega usur satua 1. Modul kiri M atas rig R atau R-modul kiri adalah grup komutatif M = (M, +) yag dilegkapi dega tidaka R M M melalui pegaita (α, m) αm, utuk setiap pasag (α, m) R M da memeuhi aksioma-aksioma berikut : a. α(m + ) = αm + α b. (α + β)m = αm + βm c. (αβ)m = α(βm) d. 1m = m utuk setiap α, β R da m, M. Sedagka pegertia utuk modul kaa dapat didefiisika dega cara yag serupa, perbedaaya terletak pada tidaka rig R terhadap himpua M-ya. Jika pada modul kiri berlaku tidaka R M M melalui pegaita (α, m) αm atau R beraksi dari kiri dalam operasi perkalia skalar terhadap M, maka pada modul kaa berlaku sebalikya, tidaka M R M melalui pegaita (m, α) mα yaitu R beraksi dari kaa dalam operasi perkalia skalar terhadap M. Dalam hal R merupaka rig komutatif, pegertia modul kiri da modul kaa tidak harus sama, ii karea eleme dari M belum tetu sama dega eleme dari R. Selajutya jika M merupaka 54

Jural Matematika Vol 20, No. 2, Agustus 2017 : 53-61 modul kiri da sekaligus modul kaa, maka M dikataka modul atas R. Berikut ii diberika beberapa cotoh modul atas suatu rig. Cotoh 1. 4 Diberika R = (R, +, ) sebarag rig dega I da J berturut-turut adalah ideal kiri da ideal kaa di R, maka I da J berturut-turut merupaka R-modul kiri da R-modul kaa terhadap operasi perkalia rig R. Cotoh 1. 5 Padag daerah bilaga bulat Z = (Z, +, ), maka sebarag grup komutatif G = (G, +) merupaka Z-modul terhadap operasi (tidaka) : g + g + + g sebayak suku, utuk > 0 g = 0, utuk = 0 { (( )g), utuk < 0 2. Sifat-sifat Dasar Persegi Ajaib Sebelum membahas sifat-sifat dasar yag berlaku pada persegi ajaib diberika terlebih dulu beberapa jeis persegi ajaib yag cukup dikeal yag diambil dari referesi [1] da [2], beserta dega metode pegkostruksiaya. Persegi Ajaib Sempura Persegi ajaib sempura adalah persegi ajaib dega sifat tambaha bahwa jumlaha etri pada sebarag diagoal tambaha yag sejajar dega diagoal utama maupu yag sejajar dega diagoal yag buka utama sama dega kostata ajaib. Persegi Ajaib Simetris Persegi ajaib simetris adalah persegi ajaib yag bersifat jumlaha bilaga pada dua sel sebarag yag simetris terhadap sel pusatya berilai sama. Persegi ajaib simetris ii kadag disebut juga dega istilah persegi ajaib asosiatif. Persegi Ajaib Nol Persegi ajaib ol adalah persegi ajaib dimaa kostata ajaibya adalah 0. Persegi Ajaib Geometris Persegi ajaib geometris atau persegi ajaib perkalia adalah persegi ajaib dimaa perkalia dari etri-etri setiap baris, kolom, da pojok-pojok diagoalya merupaka suatu kostata. Berikut diberika cotoh dari persegi-persegi ajaib sebagaimaa telah diberika sebelumya. Cotoh 2.1 Beberapa jeis persegi ajaib. Persegi ajaib sempura : 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Persegi ajaib ol : 4 11 12 5 2 10 8 6 1 3 9 7 0 7 9 3 1 6 8 10 2 5 12 11 4 Persegi ajaib geometris : 432 6 18 16 4 72 24 108 8 36 12 216 54 48 144 2 Semetara itu terdapat beberapa cara utuk meghasilka persegi ajaib, pada bagia ii haya diberika beberapa metode pegkostruksia yag cukup dikeal. Pada dasarya metode pegkostruksia persegi ajaib berordo gajil berbeda dega persegi ajaib berordo geap. a. Persegi Ajaib Ordo Gajil Metode yag cukup terkeal utuk megkostruksi persegi ajaib berordo gajil adalah Metode de la Loubere. Berikut ii diberika pegkostruksia persegi ajaib ordo 3 dega metode de la Loubere. 55

Suryoto, Harjito, Titi Udjiai, Nikke Prima Puspita (Sifat-Sifat da Struktur ) b. Persegi Ajaib Ordo Geap Kelipata Empat Persegi ajaib ordo geap kelipata 4 atau 0 mod 4 atau disebut persegi ajaib doublyeve order dapat dikotruksi dega megguaka metode Durer. Berikut diberika garis besar pegkostruksia dega metode Durer ii. c. Persegi Ajaib Ordo Geap Buka Kelipata Empat Persegi ajaib ordo geap buka kelipata 4, seperti ordo 6, 10, 14, da seterusya atau secara umum 2 mod 4 atau disebut persegi ajaib sigly-eve order dapat dikotruksi dega megguaka metode Ralph Stracey. Berikut diberika garis besar pegkostruksia dega metode Ralph Stracey ii. Selajutya diberika defiisi matriks peyajia dari persegi ajaib, sebagaimaa dituagka pada defiisi berikut. Defiisi 2.1 Matriks peyajia dari suatu persegi ajaib berukura adalah suatu matriks berukura atau matriks berordo yag etri-etriya adalah bilaga real yag disusu sedemikia higga jumlah etri-etri pada setiap baris, kolom, da diagoalya sama. Utuk meyigkat peulisa da peyebuta, matriks peyajia dari suatu persegi ajaib selajutya disebut saja dega istilah matriks persegi ajaib. Selajutya matriks persegi ajaib yag etrietriya berupa bilaga 1, 2,, 2 diamaka matriks persegi ajaib ormal (klasik). Utuk matriks persegi ajaib M, kostata ajaib dari matriks M, diotasika dega σ(m). Cotoh 2.2 Dari persegi ajaib berukura 3 3 pada Cotoh 1.5 : 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Matriks peyajia dari persegi ajaib ii adalah matriks yag berbetuk : 4 9 2 [ 3 5 7] 8 1 6 Berikut ii diberika beberapa sifat dasar dari matriks persegi ajaib. 1. Jumlaha dua matriks persegi ajaib dega ordo sama meghasilka matriks persegi ajaib juga. Bukti : Misalka A = (a ij ) da B = (b ij ) matriks-matriks persegi ajaib berordo dega kostata ajaibya berurut-turut diotasika dega σ(a) da σ(b), serta matriks C = A + B = (c ij ), maka utuk sebarag baris matriks C berlaku σ(c) = σ(a + B) = σ(a) + σ(b). Hal ii juga berlaku utuk sebarag kolom matriks C da kedua diagoalya. Ii memperlihatka C merupaka matriks persegi ajaib. 2. Jika M suatu matriks persegi ajaib, maka traspose dari M juga merupaka matriks 56

Jural Matematika Vol 20, No. 2, Agustus 2017 : 53-61 persegi ajaib dega kostata ajaib yag sama. Bukti : Misalka M t meyataka traspose dari matriks M, maka tampak bahwa baris matriks M mejadi kolom matriks M t da sebalikya kolom matriks M mejadi baris dari matriks M t. Dega demika jumlaha etrietri pada setiap baris da kolomya seatiasa terawetka. Demikia pula utuk jumlaha pada kedua diagoalya, seatiasa terawetka di dalam matriks M t. Hal ii memberika σ(m t ) = σ(m). 3. Jika M suatu matriks persegi ajaib da M adalah matriks hasil trasformasi geometri (rotasi atau refleksi) matriks M, maka M juga merupaka matriks persegi ajaib. Bukti : Karea letak etri dari matriks hasil trasformasiya relatif tidak berubah terhadap etri yag laiya, maka jumlaha etrietriya pada setiap baris, kolom, da diagoal seatiasa tetap, yaitu σ(m ) = σ(m). 4. Jika M suatu matriks persegi ajaib da N suatu matriks yag diperoleh dari matriks M dega meambahka, meguragka, megalika, da membagi setiap etriya dega sebuah bilaga (tidak boleh ol utuk kasus perkalia da pembagia), maka N merupaka matriks persegi ajaib. 5. Utuk matriks persegi ajaib ormal M dega ordo, maka berlaku σ(m) = 2 (2 + 1). Bukti : Utuk bukti sifat ii sudah bayak dibuktika dalam beberapa artikel atau referesi yag membahas tetag persegi ajaib, diataraya dibuktika oleh Schubert ([5], hal. 44). Bukti utuk gajil diberika oleh Dees da Keedwell ([6], hal. 280, Teorema 6,2.2). Bukti lai utuk rumus ii dapat dilakuka dega memperhatika jumlaha dari bilaga-bilaga peyusuya yag merupaka barisa aritmatika. 6. Utuk matriks persegi ajaib M yag disusu dari bilaga-bilaga yag membetuk barisa aritmatika, maka berlaku σ(m) = (bilaga terkecil 2 + bilaga terbesar) Bukti : Dapat dilihat pada Kig ([8], hal. 6 7) atau dega mecari jumlaha dari bilaga-bilaga peyusuya yag merupaka barisa aritmatika. 3. Struktur Aljabar Himpua Matriks Peyajia Persegi Ajaib da Aspek Aljabar Terkait Sebelum membahas struktur aljabar yag dapat dibetuk dari persegi ajaib, terlebih dahulu diberika beberapa otasi maupu termiologi yag aka diguaka utuk mempermudah pembahasa. Notasi MS() dimaksudka adalah himpua semua matriks persegi ajaib berordo. Berikut ii diberika beberapa hasil petig terkait dega himpua dari matriks persegi tersebut sebagaimaa diberika oleh teorema berikut. Teorema 3.1 Utuk N, dega 2, MS() membetuk pejumlaha matriks. grup komutatif terhadap operasi Bukti : Misalka A, B, C MS(), matriks-matriks persegi dega ordo. Misalka juga A = (a ij ), B = (b ij ), da C = (c ij ), dega i, j = 1, 2,, maka dapat diperlihatka beberapa hal berikut : a. Sifat tertutup operasi pejumlah matriks. Dari pejumlah matriks A da B dipuyai A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ). Utuk memperlihatka A + B merupaka matriks persegi ajaib, harus diperlihatka bahwa jumlah etri-etri pada setiap baris, kolom, da diagoalya adalah sama. Dipilih sebarag baris k dari matriks A + B, dega k = 57

Suryoto, Harjito, Titi Udjiai, Nikke Prima Puspita (Sifat-Sifat da Struktur ) 1, 2,, maka dega megguaka sifat pejumlaha matriks diperoleh a kj + b kj = (a kj + b kj ) j=1 j=1 j=1 = σ(a + B) Dega cara serupa dapat dilihat bahwa jumlaha dari etri-etri pada setiap kolom matriks A + B adalah a il + b il = (a il + b il ) = σ(a + B) i=1 i=1 i=1 Demikia pula jumlaha etri-etri pada kedua diagoal matriks A + B juga diperoleh σ(a + B). Hal ii memperlihatka A + B matriks persegi ajaib. b. Terpeuhiya sifat asosiatif pejumlaha matriks. Utuk matriks-matriks persegi A = (a ij ), B = (b ij ), da C = (c ij ), dega i, j = 1, 2,, diperoleh (A + B) + C = [(a ij ) + (b ij )] + (c ij ) = (a ij + b ij ) + (c ij ) = (a ij + b ij + c ij ) = (a ij ) + (b ij + c ij ) = (a ij ) + [(b ij ) + (c ij )] = A + (B + C) c. MS() mempuyai eleme idetitas terhadap operasi pejumlaha matriks Eleme idetitas pejumlaha dari MS() adalah matriks O dega a ij = 0, utuk setiap i da j, karea utuk sebarag matriks A = (a ij ) MS() diperoleh A + O = (a ij + 0) = (a ij ) = A, demikia juga O + A = (0 + a ij ) = (a ij ) = A. d. Setiap matriks di MS() seatiasa mempuyai ivers jumlah di MS() juga Utuk sebarag matriks A = (a ij ) MS() terdapat matriks B = ( 1)A da berlaku A + B = (a ij ) + ( a ij ) = (a ij a ij ) = (0) = O. Dega cara serupa diperoleh B + A = ( a ij ) + (a ij ) = ( a ij + a ij ) = (0) = O. e. Terpeuhiya sifat komutatif pejumlaha matriks. Utuk matriks A = (a ij ), B = (b ij ) di MS() berlaku A + B = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = B + A. Ii memperlihatka sifat komutatif berlaku pada himpua matriks MS(). Dega demikia terbukti bahwa (MS(), +) merupaka grup komutatif. Dega diketahui bahwa himpua MS() membetuk grup komutatif terhadap operasi pejumlaha matriks lebih lajut dapat diperlihatka bahwa himpua semua matriks persegi ajaib MS() membetuk struktur modul atas daerah itegral Z = (Z, +, ), seperti diberika oleh teorema berikut. Teorema 3.2 Himpua semua matriks persegi MS() membetuk modul atas daerah itegral Z = (Z, +, ). Bukti : Teorema 3.1 memberika bahwa himpua matriks persegi ajaib (MS(), +) membetuk grup komutatif. Utuk memperlihatka himpua ii membetuk modul atas Z, didefiisika operasi perkalia skalar Z MS() MS() dega (α, A) = αa, utuk setiap (α, A) Z MS(). Misalka A = (a ij ), B = (b ij ) di MS() da α, β Z, maka diperoleh a. Operasi perkalia skalar bersifat distributif atas pejumlaha matriks persegi ajaib, yaitu α(a + B) = αa + αb. Perhatika bahwa α(a + B) = α(a ij + b ij ) = [α(a ij + b ij )] = (αa ij + αb ij ) = (αa ij ) + (αb ij ) = αa + αb. b. Operasi pejumalaha dari dua operasi perkalia skalar dega matriks persegi ajaib 58

Jural Matematika Vol 20, No. 2, Agustus 2017 : 53-61 memeuhi sifat distributif kaa, yaitu (α + β)a = αa + βa. Perhatika bahwa (α + β)a = [(α + β)a ij ] = (αa ij + βa ij ) = (αa ij ) + (βa ij ) = αa + βa. c. Hasil kali dua perkalia skalar dega matriks persegi ajaib bersifat asosiatif, yaitu : (αβ)a = α(βa). Dicatat bahwa (αβ)a = [(αβ)a ij ] = α(βa ij ) = α(βa). d. Eleme satua 1 merupaka idetitas operasi perkalia skalar. Tampak bahwa 1A = (1a ij ) = (a ij ) = A. Karea semua aksioma modul dipeuhi, maka terlihat bahwa himpua matriks persegi MS() membetuk modul atas daerah itegral Z. Selajutya jika rig acua pedefiisia struktur aljabarya dipersempit tidak lagi daerah itegral Z, tetapi mejadi lapaga, seperti lapaga bilaga rasioal, lapaga real, maupu lapaga kompleks, maka diperoleh struktur aljabar lai dari himpua matriks persegi ajaib ii. Struktur aljabar yag baru merupaka ruag vektor da telah diperlihatka oleh bayak peeliti yag lai, salah satuya adalah oleh Stephes ([2], hal. 17 18) da oleh Ward ([7], hal. 108 111) Berikut ii diberika hasil tersebut. Teorema 3.3 Himpua semua matriks persegi MS() membetuk ruag vektor atas lapaga C = (C, +, ). Bukti : Bukti sejala dega apa yag telah diberika oleh Stephes ([2], hal. 17 18, dega cara memperluas lapaga real R = (R, +, ) mejadi lapaga kompleks C = (C, +, ). Seperti telah diberika sebelumya, utuk sebarag persegi ajaib seatiasa dikaitka dega sebuah ilai umerik yag disebut dega jumlah ajaib atau kostata ajaib. Pada bab ii diperlihatka bahwa kostata ajaib ii mejadi ilai karakteristik dari matriks persegi ajaibya. Sebelum melihat hal ii diberika terlebih dahulu beberapa defiisi berikut, sebagai alat batu memahami permasalaha ilai karakteristik da vektor karakteristik utuk matriks persegi ajaib ii. Defiisi 3.4 ([9]) Misalka A matriks persegi berukura. Bilaga real λ disebut ilai karakteristik matriks A jika terdapat vektor tak ol v berdimesi- sedemikia higga Av = λv, dega vektor tak ol v disebut vektor karakteristik dari matriks A yag berpadaa dega ilai karakteristik λ. Selajutya berkaita dega ilai karakteristik dari suatu matriks persegi dipuyai istilah jari-jari (radius) sepktral, seperti diberika oleh defiisi berikut. Defiisi 3.5 ([10]) Misalka M sebarag matriks persegi, jari-jari (radius) spektral dari matiks M adalah supremum dari semua ilai karatkteristik matriks M, da diotasika dega ρ(m) = maks { λ λ ilai karakteristik dari M}. Jarijari (radius) spektral yag merupaka ilai karakteristik terbesar ii kadag juga dikeal dega istilah ilai karakteristik utama atau ilai karakteristik domia dari matriks persegi M. Sebagimaa di dalam aljabar liier, utuk mecari ilai karakteristik (da juga vektor karakteristik yag berpadaa) dari sebuah matriks persegi A, dilakuka dega meyelesaika persamaa karakteristik λi A = 0 utuk λ, dimaa otasi I meyataka matriks idetitas, yaitu matriks yag berilai 1 pada diagoal utamaya da berilai 0 utuk yag laiya. Berikut ii diberika cotoh meetuka ilai karakteristik utuk matriks persegi ajaib berordo 3. Cotoh 3.1 Diberika matriks persegi ajaib 59

Suryoto, Harjito, Titi Udjiai, Nikke Prima Puspita (Sifat-Sifat da Struktur ) 8 1 6 M = [ 3 5 7] 4 9 2 Ditetuka ilai karakteristik da vektor karakteristik dari matriks M. Dari persamaa karakteristik λi M = 0 diperoleh λ 8 1 6 3 λ 5 7 = 0 4 9 λ 2 (λ 8)(λ 5)(λ 2) + ( 1)( 7)( 4) + ( 6)( 3)( 9) ( 6)(λ 5)( 4) (λ 8)( 7)( 9) ( 1)( 3)(λ 2) = 0 (λ 2 13λ + 40)(λ 2) 28 162 24λ + 120 63λ + 504 3λ + 6 = 0 λ 3 13λ 2 + 40λ 2λ 2 + 26λ 80 28 126 24λ + 120 63λ + 504 3λ + 6 = 0 λ 3 15λ 2 24λ + 360 = 0 λ 2 (λ 15) 24(λ 15) = 0 (λ 15)(λ 2 24) = 0 λ 15 = 0 atau λ 2 24 = 0 Dega demikia ilai-ilai karakteristik utuk matriks M, yaitu λ = 15, λ = 2 6, da λ = 2 6. Semetara itu jari-jari spektral dari matriks persegi M adalah λ = 15 da vektor karakteristik yag bersesuaia dega ilai karakteristik ii adalah 1 v = [ 1]. 1 Lebih lajut jika matriks persegi ajaibya memuat etri yag berilai egatif, maka salah satu ilai karakteristikya adalah kostata ajaibya. 4. Kesimpula Dari ragkaia pejelasa pada bagia sebelumya telah diperoleh gambara bahwa persegi ajaib mempuyai beberapa keajaiba, khususya yag berkaita dega jumlah ajaib atau kostata ajaibya. Kostata ii merupaka rasio dari jumlaha dari etri-etri (bilaga-bilaga) peyususu persegi ajaibya dega ordo dari persegi ajaibya. Lebih lajut dapat diduga kostata ajaib tersebut mejadi ilai karakteristik dari matriks peyajia persegi ajaibya. Dari hasil pembahasa sejauh ii dapat disimpulka bahwa struktur aljabar dari himpua semua matriks persegi ajaib terhadap operasi pejumlaha matriks merupaka grup komutatif. Lebih lajut dapat diperlihatka bahwa himpua ii membetuk suatu modul atau suatu ruag vektor tergatug dari rig yag dijadika acua pedefiisia operasi perkalia skalarya. Sifatsifat yag berlaku pada struktur aljabar ii serupa dega struktur aljabar modul atau ruag vektor biasa. Megigat masih luasya kajia terhadap persegi ajaib ii, seperti yag diberika pada kojektur 3.5, peelitia ii masih sagat terbuka utuk dilajutka da dikembagka utuk megkaji sifat-sifat yag berlaku maupu hasil-hasil yag lai yag belum ditemuka. Dari Cotoh 3.1 membawa kita ke dugaa semetara sebagaimaa diberika oleh kojektur berikut ii. Kojektur 3.5 Jika matriks persegi ajaib etrietriya kesemuaya positif, maka ilai karakteristik utamaya adalah kostata ajaibya. 5. Ucapa Terima Kasih Peulis megucapka terima kasih kepada Fakultas Sais da Matematika (FSM) Uiversitas Dipoegoro yag telah memberika batua fiasial, melalui program Peelitia Pembiaa dega daa DIPA PNBP FSM Uiversitas Dipoegoro Tahu 2017 dega kotrak 60

Jural Matematika Vol 20, No. 2, Agustus 2017 : 53-61 pelaksaaa peelitia No. 1645d/UN7.5.8/PP/2017. 6. Daftar Pustaka [1] Adrews, W. S., Magic Squares ad Cubes, 2d editio, Dover Publicatios Ic., Vaice Street, New York 14, New York, 1960. [2] Stephes, D. L., Matrix Properties of Magic Squares, A Master of Sciece Professioal Paper, College of Arts ad Sciece, Deto, Texas, 1993. [3] Joseph, A. Galliai, Cotemporary Abstract Algebra, Narosa Publicatio House, Daryagaj, New Delhi, 2009. [4] Wisbauer, Robert, Foudatios of Modul & Rig Theory, Gordo & Research Sciece Publishers, Readig, 1991. [5] Scubert, Herma, Mathematical Essays ad Recreatios, Ope Court Publishig Compay, Chicago, 1899. [6] Dees, Joszef & A. D. Keedwell, Lati Squares ad their Applicatios, Academic Press, New York, 1974. [7] Ward, J. E., Vector Space of Magic Squares, Mathematics Magazie, 52, 2, 108 111, 1980. [8] Kig, David, Magic Square Puzzles, Dorset Press, Great Britai, 1992. [9] Ato, H. & Chris Rorres, Elemetary Liear Algebra (Applicatio Versio), 11th editio, Joh Wiley ad Sos Ic., New York, 2014. [10] David, C. Lay, Liear Algebra ad Its Applicatios, 3rd editio, Pearso Educatio Ic., 2009. 61