PENGUJIAN HIPOTESIS PADA REGRESI KUANTIL Nurwahida Astari, Amra, Adi Kresa Jaya Departeme Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Hasauddi E-mail: urwahida.astari95yahoo.co.id Abstrak Umumya, pegujia hipotesis pada aalisis regresi didasarka pada asumsi error berdistribusi ormal dega μ = 0 da variasi σ 2. Namu, asumsi error berdistribusi ormal tidak dipeuhi pada kelompok data dega betuk distribusi tidak simetris. Salah satu metode aalisis utuk data yag berdistribusi tidak simetris adalah regresi kuatil. Pegujia hipotesis pada regresi kuatil mejadi suatu masalah petig yag perlu diatasi. Tugas akhir ii membahas tetag pegujia hipotesis pada regresi kuatil megguaka uji Wald. Estimasi parameter megguaka metode iterior poit dega algoritma Frisch-Newto. Ditujukka bahwa distribusi asimtotik estimator berdistribusi ormal (0, W 0 ). Dari distribusi asimtotik tersebut diperoleh fugsi sparsity. Rumusa fugsi sparsity diguaka utuk megkostruksi statistik uji Wald yag berdistribusi chi-square dega derajat bebas. Aplikasi pegujia hipotesis pada regresi kuatil megguaka kuatil atas meujukka bahwa Sea Surface Temperature (SST) Niño 3.4 memberika pegaruh yag sigifika terhadap curah huja di Kota Makassar pada kuatil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, da 0.95. Kata Kuci: Regresi Kuatil, Iterior Poit, Asimtotik Distribusi Normal, Fugsi Sparsity, Uji Wald, Curah Huja, SST Niño 3.4. Pedahulua Aalisis regresi dalam ilmu statistika merupaka salah satu metode statistik yag diguaka utuk melihat apakah ada hubuga yaki sebab da akibat atara dua atau lebih variabel. Variabel dibagi mejadi dua jeis yaitu variabel terikat da variable bebas. Aalisis regresi memerluka suatu metode utuk estimasi parameter yag memeuhi sifat Best Liiear Ubiased Estimator (BLUE). Salah satu metode estimasi yag serig diguaka adalah Ordiary Least Square (OLS). Aalisis regresi megguaka metode OLS berdasarka pada fugsi mea. Perkembaga metode estimasi parameter model dega data berdistribusi tidak simetris dimulai dega metode Least Absolute Deviatio (LAD) da dikeal sebagai regresi kuatil media. Nilai estimasi parameter dega megguaka metode LAD dapat diperoleh dega memiimumka jumlah ilai mutlak dari error. Selai regresi kuatil media dikeal juga regresi kuatil. Regresi kuatil adalah salah satu metode regresi dega memisahka atau membagi data mejadi kuatil-kuatil tertetu dimaa diduga terdapat perbedaa ilai estimasi. Regresi kuatil pertama kali diperkealka oleh Koeker da Basset (1978). Rahmawati dkk (2011) meeliti regresi kuatil megeai studi kasus pada data suhu haria. Naviati (2014) membahas megeai regresi kuatil utuk pemodela tigkat pegaggura terbuka di Idoesia. Rahmawati dkk (2011) haya berfokus pada estimasi parameter regresi kuatil da Naviati (2014) berfokus pada selag kepercayaa pada regresi kuatil.
Regresi kuatil sagat bergua utuk data dega distribusi tidak simetris, dalam bidag meteorologi dapat diterapka pada data curah huja, temperatur, da perubaha iklim. Data curah huja merupaka data musima, sehigga pada waktu tertetu (Desember, Jauari, Februari) terjadi huja lebat. Kejadia Huja lebat dapat dimodelka dega megguaka aalisis regresi kuatil bagia atas, khususya utuk ilai ekstrem. Kombiasi dari setiap ilai kuatil dapat mejelaska pola keseluruha data sehigga bermafaat utuk megaalisa bagia tertetu dari sebara bersyarat. Pegujia hipotesis merupaka hal yag petig dalam tahapa aalisis regresi. Pegujia hipotesis pada aalisis regresi didasarka pada asumsi error berdistribusi ormal dega μ = 0 da variasi σ 2 dega data yag berdistribusi simetris. Asumsi error tersebut umumya tidak dipeuhi pada data kuatil atas yag berdistribusi tidak simetris. Berdasarka asumsi tersebut peulis tertarik utuk membahas Pegujia Hipotesis pada Regresi Kuatil. Regresi Kuatil Misalya Y merupaka suatu variabel acak dega suatu fugsi distribusi F Y da τ merupaka kostata dimaa 0 < τ < 1. Kuatil ke- τ dari F Y, diotasika sebagai q Y (τ) merupaka solusi utuk F Y (q) = τ, adalah sebagai berikut: q y (τ) F y 1 (τ) = if {y F Y (y) τ}. Seperti halya dega suatu metode OLS yag diguaka sebagai memiimumka jumlah kuadrat error (sisaa) utuk meetuka suatu ilai parameter β, maka dalam aalisis regresi kuatil, kuatil ke- τ dari F Y dapat diperoleh dega memiimumka suatu fugsi berikut ii terhadap q: τ y q df Y (y) + (1 τ) y q df Y (y) y>q y<q = τ (y q)df Y (y) (1 τ) (y q)df Y (y). (1) y>q y<q Dega memiimumka fugsi persamaa (1), dapat diperoleh persamaa berikut ii: 0 = τ df Y (y) + (1 τ) df Y (y) y>q y<q 0 = τ[1 F Y (q)] + (1 τ)f Y (q) 0 = τ + F Y (q) sehigga diperoleh: τ = F Y (q), (2) sehigga persamaa (2) merupaka kuatil ke- τ adalah solusi dari F Y. Misalka Y sebagai suatu fugsi dari X yag telah diketahui, yag memiliki peluag yaitu F Y X (y), maka kuatil ke- τ dari fugsi tersebut dapat dituliska sebagai Q Y X (τ) F 1 Y X (τ). Q Y X (τ) ii merupaka suatu fugsi dari X da dapat diselesaika dega persamaa berikut ii:
mi [τ y q df y (y) + (1 τ) y q df y (y)]. (3) q y>q Jika Q Y X (τ) adalah fugsi liier Xβ, dega vektor parameter β yag tidak diketahui, sehigga persamaa (3) mejadi: mi [τ y Xβ df Y (y) + (1 τ) y Xβ df Y (y)]. (4) β y>xβ y<q y<xβ Solusi dari persamaa (4) ii diotasika sebagai β 0 da kuatil Y (sebagai fugsi dari X) ke- τ adalah Q Y X (τ) = Xβ 0 (Kua, 2007). Q Y X (τ) = x t β adalah kuatil ke-τ (0 < τ < 1) yag ilai y tergatug terhadap x t. Suatu ilai estimasi terhadap β dari regresi kuatil ke-τ diperoleh dega memiimumka jumlah ilai mutlak dari error dega pembobot τ utuk error positif da pembobot (1 τ) utuk error egatif adalah: atau utuk: β (τ) = arg mi β {τ y t x t β + (1 τ) y t x t β } (5) t:y t x t β (τ) = arg mi β ρ τ (u i ) i=1 t:y t <x t τu ρ τ (u i ) = { i jika u i 0 (τ 1)u i jika u i < 0 Solusi dari persamaa (5) atau (6) tidak dapat diperoleh secara aalitik, melaika dikerjaka secara umerik, seperti metode simplex, metode iterior poit, atau metode smoothig. (6) Pegujia Hipotesis Aalisis regresi kuatil diterapka pada sampel yag berukura besar, maka parameter regresi kuatil megguaka uji Wald. Asumsi hipotesis liier adalah Rβ τ = r, dimaa R adalah matriks dega full row rak berukura q k, da r adalah vektor berukura q 1 pada ilai hipotesis. Rumusa hipotesis yag diguaka dalam peelitia ii adalah sebagai berikut: H 0 : β = 0 H 1 : β 0 A. Iferesi Asimtotik pada Regresi Kuatil Dalam regresi kuatil terdapat fugsi kuatil bersyarat ke-τ yag mempertimbagka estimasi β(τ), sehigga diperoleh solusi pada persamaa (6) atau diyataka pada persamaa (7):
β (τ) = arg mi ρ τ (Y i X i β). (7) β i=1 Beberapa kodisi yag diguaka Newey da McFadde (1994) terhadap teorema asimtotik ormal sebagai berikut: 1 [β (τ) β(τ)] = M 1 0 X i{1[y i Xβ(τ)] τ} + O p (1) (8) i=1 Berdasarka persamaa (8) M 0 adalah Hessia terhadap limit fugsi loss, da 1 X i{1[y i Xβ(τ)] τ} d N(0, V 0 ) i=1 dega: V 0 = E({1[Y i Xβ(τ)] τ} 2 X i X i ) = τ(1 τ)e(x X i ). Perhatika bahwa asumsi liier pada kuatil bersyarat adalah diyataka dalam persamaa (9) da (10): [β (τ) β(τ)] d N(0, W 0 ) (9) dimaa: τ(1 τ) W 0 = f(f 1 (τ)) 2 [E(X i X i )] 1. (10) B. Meetuka Nilai Statistik Uji Uji Wald diguaka pada regresi kuatil utuk megecek apakah Rβ τ sigifika terhadap hipotesis ilai r. Asumsi bahwa estimasi kosiste lemah utuk f(f 1 (τ)) diotasika dega f(f 1 (τ)). Sehigga dari persamaa (7) diperoleh hipotesis ol seperti berikut ii: A τ(1 τ) [β (τ) β(τ)] ~N (0, f(f 1 (τ)) 2 [E(X i X i )] 1 ) f(f 1 (τ)) > 0 memiliki kepadata positif dimaa F 1 (τ) = Q(τ), dega τ(1 τ) parameter skala f(f 1 (τ)) 2 mejadi fugsi s(τ) = f(f 1 (τ)) 2 yag disebut sebagai fugsi sparsity. Parze (1979) meyataka bahawa fugsi sparsity adalah fugsi kepadata kuatil. Nilai f(f 1 (τ)) tidak diketahui da harus diestimasi. Estimasi telah diusulka Siddiqui (1960) dalam buku Davio dkk (2014) meyataka bahwa: 1 s(τ) = f(f 1 (τ)) = F 1 (τ + h) F 1 (11) (τ h) 2h Badwidth h dari fugsi F harus didefiisika. Koeker da Machado (1999) meyaraka megguaka badwidth: h = 1 3z 2 3 [ 1.5φ4 (Φ 1 (τ)) (2Φ 1 (τ) 2 + 1) ] (12) Berdasarka teorema Slutsky da sifat distribusi ormal, megalika R pada distribusi maka diperoleh: 1 3 1
A R [β (τ) β(τ)] = (Rβ (τ) r) ~N(0, RW 0 R ). Dega hukum bilaga besar lemah, M = 1 i=1 x i x i kosiste terhadap E(X i X i ). Estimasi kosiste lemah utuk W 0 adalah: τ(1 τ) W 0 = f(f 1 (τ)) 2 [M ] 1 atau: sehigga: dimaa Γ 1 2 = RW 0R. τ(1 τ) W 0 = f(f 1 (τ)) 2 [ 1 x i x i ] i=1 Γ τ 12 A (Rβ (τ) r) ~N(0, I q ) Γ 1 2(Rβ τ r) merupaka vektor berdistribusi ormal. Hasil kali dalam atara vektor tersebut sehigga diperoleh statistik uji Wald berikut ii: A W (τ) = (Rβ τ r) Γ 1 2(Rβ τ r) ~χ 2 () (14) 1 (13) C. Kriteria Peerimaa da Peolaka H 0 Jika ilai W (τ) ilai tabel chi-square maka H 0 ditolak Jika ilai W (τ) < ilai tabel chi-square maka H 0 tidak ditolak Aplikasi Pegujia Hipotesis Pada Regresi Kuatil Data yag diguaka berupa data curah huja bulaa da Sea Surface Temperature (SST) Niño 3.4. Data curah huja diperoleh dari BMKG Maros yaitu data curah huja Stasiu Meteorologi Hasauddi Makassar periode Jauari 1983- September 2015. Data SST Niño 3.4 diperoleh dari iteret http://www.esrl.oaa.gov/psd/gcos_wgsp/timeseries/nio34/. Program komputer yag diguaka utuk medukug proses peelitia ii adalah program RStudio. Berdasarka fugsi kuatil τ [0.1] dapat didekati dalam betuk fugsi distribusi empiris. Grafik fugsi distribusi empiris adalah sebagai berikut: Gambar (a) Fugsi Distribusi Empiris F y (Y) Gambar (b) Fugsi Distribusi Empiris Q Y (τ)
Berdasarka gambar (b) dapat disimpulka bahwa Q Y (0.75) = 405, yag berarti pada data curah huja ilai kuatil 0.75 berada disekitara 405, kuatil 0.80 berada disekitara 493, kuatil 0.85 berada disekitara 552, kuatil 0.90 berada disekitara 687, da kuatil 0.95 berada disekitara 863. Tabel 1.1 Hasil estimasi parameter regresi kuatil Kuatil Itercept (β 0 ) Kemiriga (β 1 ) 0.75 403.8846 113.4615 0.80 481.7586 117.2414 0.85 533.6131 98.0926 0.90 643.8378 121.6216 0.95 824.8028 64.6789 Sumber: hasil olah data Nilai estimasi parameter β 0 berbadig lurus dega kuatil dalam hal ii semaki besar kuatil yag dipilih, maka ilai estimasi parameter β 0 meigkat. Persamaa regresi utuk kuatil 75%, 80%, 85%, 90%, da 95% adalah sebagai berikut: Y 75% = 403.8846 113.4615X Y 80% = 481.7586 117.2414X Y 85% = 533.6131 98.0926X Y 90% = 643.8378 121.6216X Y 95% = 824.8028 64.6789X Selag kepercayaa estimasi parameter β 0 da β 1 megguaka α = 0.05 utuk kelima kuatil atas adalah sebagai berikut: Tabel 1. 2 Selag kepercayaa terhadap estimasi parameter Kuatil β 0 β 1 75% 354.8393 451.5338 144.9374 ( 55.1881) 80% 430.1285 522.6401 145.5004 ( 77.0079) 85% 512.1712 610.0504 151.6838 ( 76.6799) 90% 609.2118 739.2684 146.3982 ( 68.4706) 95% 772.1026 917.2122 175.0718 7.7018 Sumber: hasil olah data
Gambar (c) Plot estimasi parameter regresi kuati pada kuatil atas Nilai badwidth berdasarka pada persamaa (12) adalah: Tabel 1. 3 Nilai badwidth berdasarka data megguaka program RStudio. Kuatil 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 h 0.0919 0.0781 0.0633 0.0472 0.0290 Sumber: hasil olah data Nilai fugsi sparsity berdasarka persamaa (4.10) pada kuatil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, da 0.95 adalah sebagai berikut: Kuatil 0.75 adalah 7.4715 10 4 Kuatil 0.80 adalah 5.6522 10 4 Kuatil 0.85 adalah 4.6520 10 4 Kuatil 0.90 adalah 3.2218 10 4 Kuatil 0.95 adalah 2.1887 10 4 Berdasarka persamaa (13) ilai estimasi kosiste lemah utuk W 0 pada kuatil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, da 0.95 adalah sebagai berikut: 330005.1055 13200.2042 Kuatil 0.75 adalah [ 13200.2042 435606.7392 ] 492064.9827 19682.5993 Kuatil 0.80 adalah [ 19682.5993 649525.7771 ] 578849.1751 23153.9670 Kuatil 0.85 adalah [ 23153.9670 764080.9112 ] 851878.6127 34075.1445 Kuatil 0.90 adalah [ 34075.1445 1124479.7688 ] Kuatil 0.95 adalah [ 974214.0531 38968.5621 38968.5621 1285962.5501 ]
Meetuka ilai statistik uji pada regresi kuatil megguaka uji Wald berdasarka persamaa (14) maka ilai uji Wald pada kuatil 0.75, 0.80, 0.85, 0.90, 0.95 adalah sebagai berikut: Peerimaa da Peolaka H 0 W 99 (0.75) = 5.7647 10 12 W 79 (0.80) = 9.5518 10 12 W 59 (0.85) = 1.0015 10 13 W 39 (0.90) = 1.4213 10 13 W 20 (0.95) = 1.3280 10 13 W 99 (0.75) χ 2 (99) atau 5.7647 10 12 123.2252 W 79 (0.80) χ 2 (79) atau 9.5518 10 12 100.7486 W 59 (0.85) χ 2 (59) atau 1.0015 10 13 77.9305 W 39 (0.90) χ 2 (39) atau 1.4213 10 13 54.5722 W 20 (0.95) χ 2 (20) atau 1.3280 10 13 31.4104 Kesimpula Utuk medapatka statistik uji Wald perlu ditujukka bahwa distribusi asimtotik estimator berdistribusi ormal (0, W 0 ). Dari distribusi asimtotik tersebut diperoleh fugsi sparsity. Rumusa fugsi sparsity diguaka utuk megkostruksi statistik uji Wald yag berdistribusi chi-square dega derajat bebas. Pegaplikasia pegujia hipotesis pada regresi kuatil meujukka bahwa SST Niño 3.4 memberi pegaruh yag sigifika terhadap curah huja ekstrem di Kota Makassar. Daftar Pustaka Davio, C., Furo, M., & Vistocco, D. (2014). Quatile Regressio Theory ad Applicatios. Wiley. Koeker, R., & Bassett, Jr., G. (1978). Regressio quatile. Ecoometrica. 46; 33-50. Kua, C.-M. (2007). A Itroductio To Quatile Regressio. Ecoometrica. Istitute of Ecoomics, Academia Siica. Naviati, D. R. (2014). Regresi Kuatil Utuk Pemodela Tigkat Pegaggura Terbuka di Idoesia. I Skripsi. Istitut Tekologi Sepuluh Nopember.
Newey, W., & McFadde, D. (1994). Large Sample Estimatio ad Hypothesis Testig, i R. Rahmawati, R., Widiarti, & Noviati, P. (2011). Regresi Kuatil (Studi Kasus Pada Suhu Haria).