Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya

Vol. 5, No.1, 52-57, Juli 2008 Gelanggang Evalusi dan Sifat-sifatnya Amir Kamal Amir Astrak Sifat-sifat gelanggang evaluasi eserta pemuktiannya sudah ada dieerapa literatur seperti misalnya pada McConnel & Roson (1987). Namun demikian penyajiannya elum terurai dengan jelas sehingga alur pemuktian masih sulit dimengerti. Tulisan ini akan menguraikan secara terperinci dan sistematik dengan ahasa yang mudah dimengerti sifat-sifat dan uktinya terseut. Sifat-sifat yang akan diahas antara lain adalah sifat-sifat yang menghuungkan gelanggang evaluasi dengan lapangan pecahan, gelanggang lokal, gelanggang Noetherian, sifat terurut total, dan terintegral tutup. Kata Kunci : Lapangan pecahan, gelanggang evaluasi, lokal, Noetherian, terurut total, terintegral tutup. 1. Pendahuluan Suatu sugelanggang R dari lapangan K adalah Gelanggang Evaluasi dari K jika setiap elemen tak nol K, maka salah satu dari atau erada dalam R. Beerapa contoh: 1. Misalkan K = Q, himpunan ilangan rasioanal, dengan p adalah ilangan prima r tertentu. Pilih R adalah himpunan semua ilangan rasioanal yang erentuk p m / n, dimana r 0 dan p tidak memagi m dan tidak memagi n. 2. Misalkan K k() x, dimana k adalah suatu lapangan, dan misalkan R adalah himpunan semua fungsi-fungsi rasional f / g k( x ) sedemikian sehingga deg f deg g. Sifat-sifat dari gelanggang ini sudah anyak diturunkan dalam literatur seperti yang disajikan pada McConnel & Roson (1987). Namun demikian penyajian pemuktian dari sifatsifat terseut elum terurai dengan jelas sehinga alur pemuktian masih sulit dimengerti. Papa paper ini disajikan ukti yang leih terperinci menggunakan ahasa yang sederhana sehingga alur pemuktian isa diikuti dari tahap ke tahap. 2. Beerapa Pengertian dan Notasi Gelanggang Lokal Dalam ilmu Matematika, leih khusus dalam aljaar astrak, suatu gelanggang R adalah suatu Gelanggang Lokal jika gelanggang terseut memiliki salah satu dari sifat-sifat yang saling ekuivalen erikut ini: R mempunyai maksimal ideal kiri yang tunggal R mempunyai maksimal ideal kanan yang tunggal Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

53 Identitas perkalian tidak sama dengan identitas penjumlahan dan penjumlahan semarang dua elemen ukan unit dalam R akan menghasilkan elemen ukan unit. Identitas perkalian tidak sama dengan identitas penjumlahan dan jika x adalah semarang elemen dari R, maka x atau 1 x adalah elemen unit. Sifat ketiga di atas mengatakan ahwa, himpunan elemen-elemen ukan unit dalam suatu Gelanggang Lokal mementuk suatu ideal. Seagai contoh, semua lapangan merupakan Gelanggang Lokal, karena hanya {0} yang merupakan ideal maksimal dalam gelanggang ini. Daerah Integral Suatu Daerah Integral adalah suatu gelanggang komutatif dengan identitas terhadap penjumlahan adalah 0 dan identitas terhadap perkalian adalah 1 sedemikian sehingga identitas penjumlahan tidak sama dengan identitas perkalian, dimana perkalaian semarang dua anggota yang tidak nol selalu menghasilkan anggota yang tidak nol pula. Atau dengan kata lain, tidak ada anggota yang merupakan pemagi nol. Seagai contoh, gelanggang dari ilangan-ilangan ulat adalah daerah integral. Leih lanjut, suatu daerah integral dimana setiap idealnya merupakan ideal utama, yaitu idealnya dapat diangun oleh satu elemen saja, diseut Daerah Ideal Utama (Principal Ideal Domain, PID). Seagai contoh, untuk K adalah lapangan, maka K[x], gelanggang dari polinomialpolinomial dalam satu variael dengan koefisien-koefisien ada dalam K, merupakan Daerah Ideal Utama. Lapangan dari Pecahan (Field of Fractions) Setiap daerah integral dapat dijadikan seagai ahan pementukan seuah lapangan dari pecahan (Lapangan Pecahan untuk singkatnya). Anggota-anggota dari Lapangan Pecahan dari suatu daerah integral R eretuk a/ dengan a dan dalam R. Lapangan Pecahan dari gelanggang R dinotasikan seagai Quot(R) atau Frac(R). Lapangan Pecahan, Quot(R), dari daerah integral R dapat dikonstruksi seagai erikut: Quot(R) adalah himpunan dari kelas-kelas ekuivalensi dari pasangan [n,d], dimana n dan d adalah elemenelemen dari R dan d tidak nol, dan relasi ekuivalensinya adalah: [n, d] ekuivalen dengan [m, ] jika dan hanya jika n = md (kelas ekuivalensi [n,d] dapat dipandang seagai pecahan n/d). Penjumlahan dari kelas-kelas ekuivalensi [n.d] dan [m,] adalah kelas ekuivalensi [n + md, d] dan perkaliannya adalah kelas ekuivalensi [mn, d]. Beerapa contoh : 1. Lapangan pecahan dari gelanggang ilangan ulat adalah ilangan rational, Q: Quot( Z ). 2. Misalkan R: { ai a, Z } adalah gelanggang dari ilangan-ilangan ulat Gauss, maka Quot ( R) { cdi c, dq }, lapangan dari ilangan-ilangan rasional Gauss. Integral Penutup (Integral Closure) Misalkan S adalah seuah daerah integral dengan R adalah suatu sugelanggang dari S. Suatu elemen s dari S dikatakan integral atas R jika s adalah merupakan suatu akar dari suatu polinomial monik dengan koefisien-koefisien dalam R. Dapat ditunjukkan ahwa himpunan semua elemen-elemen dari S yang merupakan elemen integral atas R mementuk sugelanggang dari S yang memuat R. Gelanggang ini

54 selanjutnya diseut integral penutup dari R. Jika setiap elemen dari S yang merupakan elemen integral atas R sudah erada di dalam R, maka R diseut Terintegral tutup (integrally Closed) dalam S. Untuk contoh, himpunan ilangan-ilangan ulat Z adalah terintegral tutup. Integral penutup dari Z dalam ilangan kompleks C adalah himpunan semua ilangan-ilangan ulat aljaar. Gelanggang Noetherian Suatu Gelanggang Noetherian adalah suatu gelanggang yang memenuhi kondisi rantai memesar pada ideal-idealnya. Leih jelasnya: Suatu gelanggang adalah Noetherian-kiri jika memenuhi kondisi rantai memesar pada ideal-ideal kirinya. Suatu gelanggang adalah Noetherian-kanan jika memenuhi kondisi rantai memesar pada ideal-ideal kanannya. Suatu gelanggang adalah Noetherian jika memenuhi Noetherian-kanan dan Noetherian-kiri. Ada definisi yang lain yang ekuivalen dengan definisi Noetherian-kiri, yaitu : Setiap ideal kiri I dari R adalah diangun erhingga, dalam arti ada elemen-elemen a1,..., an dalam I sedemikian sehingga I Ra1... Ra n. 3. Sifat-sifat dari Gelanggang Evaluasi dari K. Mulai dari sini sampai akhir, paper ini dimisalkan ahwa V adalah Gelanggang Penilaian Sifat-sifat dari Gelanggang Evaluasi. 1. Lapangan Pecahan dari V adalah K. Misalkan K adalah lapangan pecahan dari V. Akan ditunjukkan ahwa K = K. Amil K ', maka karena K adalah lapangan pecahan, maka a, dimana a, V. Karena V K dan K adalah lapangan maka a K. Langkah ini memuktikan ahwa K' K. Selanjutnya, amil K, dimana tidak nol, maka V atau V. Jika V, maka K ', sedangkan jika V, maka 1 K '. Langkah ini 1 memuktikan ahwa K' K yang sekaligus melengkapi pemuktian sifat ini. 2. Semarang sugelanggang dari K yang memuat V adalah suatu Gelanggang Evaluasi dari K Misalkan V adalah sugelanggang dari K yang memuat V. Akan ditunjukkan ahwa V adalah suatu gelangang penilaian dari K. Amil, dimana tidak nol. Karena V K adalah gelanggang penilaina dari K, maka V atau memuat V, maka V ' atau V '. 3. V adalah gelanggang lokal. V. Selanjutnya, karena V

55 Kita akan tunjukkan ahwa himpunan M dari anggota-anggota yang ukan anggota satuan dari V adalah suatu Ideal. Untuk memuktikan ahwa M adalah ideal akan ditunjukkan dua hal, yaitu (1). a, M, maka a M dan (2). rv dan a M, maka ra M. Jika a dan adalah anggota-anggota satuan tidak nol, maka salah satu dari a/ atau /a yang erada di V, karena V adalah gelanggang evaluasi dari K. Jika a V, maka a (1 a ) M (sea jika (1 a) M erarti (1 a ) adalah anggota satuan dari V, yang akan menyeakan anggota satuan juga. Hal ini tidak mungkin karena dari awal sudah diasumsikan ahwa ukan anggota satuan). Serupa dengan itu, Jika V, maka a a M. Selanjutnya, jika rv dan a M, maka ra M, kalau tidak demikian maka a akan merupakan anggota unit yang akan ertentangan dengan asumsi semula. 4. V adalah terintegral tutup Misalkan adalah suatu elemen tak nol dari K, dengan intergral terhadap V. Untuk menunjukkan ahwa V adalah terintegral tutup, akan ditunjukkan ahwa erada dalam V. Karena V adalah gelanggang evaluasi dari K, maka V atau V. Jika V, maka pemuktian sudah selesai. Namun, jika V, maka terleih dahulu kita memperhatikan ahwa adalah integral terhadap V. Dengan demikian terdapat suatu persamaan yang eretuk n n cn c1 c0 0. ( n) Dengan c i V. Jika persamaan ini dikalikan dengan, maka kita akan memperoleh ( n2) ( n) cn cn2 c1 c0. Karena c i dan erada dalam V, maka disimpulkan ahwa ( n2) ( n) cn cn2 c1 c0 V. 5. Jika I dan J adalah ideal-ideal dari V, maka salah satu dari I J atau J I enar. Sehingga ideal-ideal dari V terurut total oleh urutan himpunan agian. Untuk memuktikan ini, akan ditunjukkan ahwa, jika I tidak termuat dalam J, maka J I. Misalkan I tidak termuat dalam J, pilih anggota a I \ J (dari sini diketahui a 0 ). Selanjutnya, untuk menunjukkan ahwa J I, akan ditunjukkan ahwa, jika J, maka I. Jika 0, maka ukti sudah selesai. Sekarang asumsikan ahwa 0. Karena V adalah gelanggang evaluasi, maka / a V atau a / V. Namun demikian dipastikan / a V, karena apaila a / V, akan diperoleh a( a / ) J yang akan erakiat terjadinya kontradiksi. Oleh karena itu disimpulkan ( / a) a I. 6. Kealikan dari 5, misalkan V adalah daerah integral dengan lapangan pecahan K. Jika idealideal dari V terurut total oleh urutan himpunan agian, maka V adalah seuah gelanggang evaluasi.

56 Jika adalah elemen taknol dari K, maka ( a/ ) dengan a dan elemen-elemen taknol dari V (K adalah lapangan pecahan dari V). Dengan hipotesis ahwa ideal-ideal dari V terurut total oleh urutan himpunan agian, maka diperoleh a atau a. Jika a, maka a n n untuk suatu n. Dari sini diketahui a / V. Namun, jika a, maka dengan cara yang analog diperoleh / a V. 7. Jika V adalah gelanggang penilaian Noetherian, maka V adalah suatu Daerah Ideal Utama m (PID). Leih lanjut, untuk suatu pv, setiap ideal erentuk p, m 0. Karena V adalah Noetherian, suatu ideal I dari V adalah diangun erhingga, katakanlah diangun oleh a1,, a n. Dengan sifat 5, kita dapat mengatur kemali indeks dari a i sedemikian sehingga a1 a2 a n. Tetapi itu erarti I an I, sehingga I a n. 8. Let R adalah seuah sugelanggang dari lapangan K. Integral penutup R dari R dalam K adalah irisan dari semua gelanggang-gelanggang evaluasi V dari K sedemikian sehingga V R. Untuk pemuktian sifat ini kita memutuhkan teorema erikut ini. Bukti dari teorema ini disajikan dengan lengkap pada [...] Teorema 1. Misalkan R adalah suatu sugelanggang dari lapangan K, dan h : R C adalah suatu homomorfisma gelanggang dari R ke suatu lapangan aljaar tertutup C, maka maka h mempunyai ekstensi maksimal ( Vh, ). Dengan kata lain, V adalah sugelanggang dari K yang memuat R, h adalah suatu ektensi dari h, dan tidak ada ektensi ke sugelanggang yang leih esar. Leih lanjut, untuk semarang maksimal ekstension, V adalah suatu gelanggang evaluasi dari K. Bukti sifat 8: Jika a R, maka a adalah integral atas R. Dari sini, a integral atas semarang gelanggang penilaian V R. Tetapi karena V terintegral tutup maka dengan sifat 4, diperoleh a V. Uraian di atas memuktikan ahwa integral penutup R adalah himpunan agian dari irisan dari semua gelanggang-gelanggang penilaian V dari K. Kealikannya, misalkan a anggota irisan semua gelanggang-gelanggang evaluasi V dari K. Kemudian andaikan a R, maka a tidak erada pada gelanggang R ' R[ a ].(karena jika a erada dalam R atau a merupakan polinomial dari a, maka kita dapat mengalikan polinomial terseut dengan a erpangkat tertentu untuk mendapatkan polinomila monik yang dipennuhi oleh a, yang menyeakan a merupakan anggota R ). Dengan demikian, a 1 ukan anggota unit dari R. (karena jika a dengan R ', maka a a1 aa R ', akan terjadi kontradiksi). Oleh karena itu, a masuk ke suatu

57 maksimal ideal M dari R. Misalkan C adalah penutup aljaar dari lapangan k = R /M, dan misalkan h adalah komposisi dari pemetaan kanonik R' R'/ M ' k dan inklusi k C. Dengan teorema di atas, h mempunyai maksimal ekstension ke h : V gelanggang evaluasi V dari K yang memuat R' R. Sekarang C untuk eerapa h( a ) h( a ) karena a M ' R, dan ha ( ) 0 yang diseakan oleh defenisi dari h. Seagai kosekuensinya av, karena jika av, maka Terjadi suatu kontradiksi. 1 1 1 (1) ( h h aa ) h( a) h( aa ) 0, 9. Misalkan R adalah suatu daerah integral dengan lapangan pecahan K, maka R adalah terintegral tutup jika dan hanya jika R V, yaitu irisan dari eerapa (tidak harus semua) gelanggang evaluasi dari K. Bukti dari kanan ke kiri mengikut dari sifat 8. Untuk ukti dari kanan ke kiri. Karena setiap V adalah terintegral tertutup maka dengan sifat 4 diperoleh, R juga terintegral tutup. 4. Kesimpulan Dari pemaparan di atas dapat ditarik eerapa kesimpulan: 1. Lapangan pecahan dari suatu gelanggang evaluasi sama dengan lapangannya sendiri. 2. Gelanggang evaluasi akan selalu juga merupakan gelanggang lokal. 3. Ideal-ideal dari suatu gelanggang evaluasi dapat diurutkan dengan menggunakan urutan himpunan agian. Begitu juga sealiknya, jika ideal-ideal dari suatu gelanggang dapat diurutkan, maka gelanggang teseut adalah gelanggang evalusi. 4. Jika suatu gelanggang sekaligus merupakan gelanggang evaluasi dan Noetherian, maka gelanggang terseut merupakan daerah ideal utama. Daftar Pustaka 1. McConnel, J.C., and Roson, J.C., Noncommutative Noetherian Rings, John Wiley & Sons, 1987. 2. Fraleigh, J.B., A First Course in Astract Algera, Addison-Wesley, 1994. 3. Lam, T.Y., Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999. 4., A First Course in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, 1991. 5. Roman, S., Advanced Linear Algera. Springer-Verlag, 1992. 6. Wisauer, R., Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science, 1991. 7. http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/comalg/comalg3.pdf.